26.1 第3课时 反比例函数图象和性质的应用-【拔尖特训】2024-2025学年九年级下册数学（人教版）

6 第3课时 反比例函数图象和性质的应用 ▶ “答案与解析”见P3 1. (易错易混题)(2023·天水一模)如图,一次 函数y=kx+b与反比例函数y= m x 的图象 相交于A(a,2),B(-4,-3)两点,则关于x 的不等式m x>kx+b 的解集是 ( ) (第1题) A. x<-4或0<x<6 B. x<-3或0<x<6 C. -3<x<0或x>6 D. -4<x<0或x>6 2. (2023·陕西模拟)已知(x1,y1),(x2,y2)是 反比例函数y= k x (k≠0)图象上的两点,且 x1<x2<0,y1-y2<0,请写出一个符合要 求的k的整数值: . 3. (2024·淮安期末)如图,A,B分别是x轴正 半轴上和y轴正半轴上的点,且OA=OB, 以AB为边在第一象限内作正方形ABCD, 反比例函数y= k x (k≠0)的图象经过点C. (1) 若点C的坐标为(2,3),则k= . (2) 若A,B两点的坐标分别为(2,0),(0,2). ① 求k的值. ② 此时点D在该反比例函数的图象上吗? (3) 若C,D 两点都在函数y= 2 x 的图象上, 求点C的坐标. (第3题) 4. (2024·杭州二模)某小组在研究了函数 y1=x与y2= 2 x 性质的基础上,进一步探究 函数y=y1-y2的性质,有下列结论:① 函 数y=y1-y2的图象与x轴有交点;② 函数 y=y1-y2的图象与y轴没有交点;③ 若点 (a,b)在函数y=y1-y2 的图象上,则点 (-a,-b)也在函数y=y1-y2的图象上. 其中,正确的是 ( ) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 5. (2024·桂林二模)如图,函数y1= x2(x≤2), 8 x (x>2) 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 的 图 象 与 一 次 函 数 y2=x+b的图象有三个交点,则b的取值范 围是 ( ) (第5题) A. -14≤b≤2 B. b>-14 C. -14≤b<2 D. -14<b<2 6. (2023·烟台)如图,在平面直角坐标系中, ☉A与x轴相切于点B,CB 为☉A 的直径, 点C在反比例函数y= k x (k>0,x>0)的图 象上,D为y轴上一点,△ACD 的面积为6, 则k的值为 . (第6题) (第7题) 7. (2023·绍兴)如图,在平面直角坐标系中,反 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级下 7 比例函数y= k x (k为大于0的常数,x>0) 图象上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)满足 x2=2x1,△ABC 的边AC∥x 轴,边BC∥ y轴.若△OAB 的面积为6,则△ABC 的面 积为 . 8. (2023·保定期末)已知一次函数y=-x+4 的图象与反比例函数y= k x 的图象在同一平 面直角坐标系内.如图,一次函数y=-x+4 的图象与坐标轴交于A,B两点,M(2,m)是 直线AB 上一点,点N 与点M 关于y轴对 称,线段MN 交y轴于点C. (1) m= ,S△AOB= . (2) 如果线段MN 被反比例函数y= k x 的图 象分成两部分,并且这两部分的长度之比为 1∶3,求k的值. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9. (2024·泰州期末)如图,M,N 是反 比例函数y= 3 x 的图象上的两个动 点,过点M 作MP⊥y轴、过点N 作NQ⊥ x轴,分别交反比例函数y=- 2 x 的图象于点 P,Q,连接PN,QM.设点M 的横坐标为 m(m>0),点N 的横坐标为n(n<0). (1) 若m=3,求MP的长. (2) 若MP=NQ,求mn的值. (3) ① 连接MN,求△MNP 的面积(用含 m,n的代数式表示). ② 点P,Q到直线MN 的距离是否相等? 请 说明理由. (第9题) 第二十六章　反比例函数 ∴ 点A'的对应点A″在反比例函数 y=- 12 x 的图象上. 第3课时 反比例函数图象 和性质的应用 1. A 2. 答案不唯一,如-2 3. (1) 6. (2) ① ∵ A(2,0),B(0,2),四边形 ABCD是正方形, ∴ C(2,4),D(4,2). ∵ 反比例函数y= k x (k≠0)的图象 经过点C, ∴ 4=k2. ∴ k=8. ② ∵ k=8, ∴ 反比例函数的解析式为y= 8 x. ∴ 当x=4时,y= 8 4=2. ∴ 点D在该反比例函数的图象上. (3) 设 A (a,0),则 C (a,2a), D(2a,a). ∵ C,D 两点都在函数y= 2 x 的图 象上, ∴ 2a=2a ,a=22a. ∴ a=1或a=-1(不合题意,舍去). ∴ C(1,2). 4. D [解析] ∵ y1=x,y2= 2 x , ∴ y=y1-y2=x- 2 x. 当y=0时, x-2x=0 ,解得x=± 2,∴ 图象与 x轴有交点.故①正确.当x=0时,分 式无意义,∴ 图象与y轴没有交点. 故②正确.当点(a,b)在函数y=y1- y2 的图象上时,b=a- 2 a. 当点 (-a,-b)在函数y=y1-y2的图象 上时,-b=-a- 2-a=- a- 2 a , 即b=a-2a. 故③正确.综上所述,正 确的是①②③. 5. D [解析] 当x=2时,y1=4, ∴ 二次函数与反比例函数图象的交 点坐标为(2,4).当点(2,4)在一次函 数的图象上时,4=2+b,解得b=2. 当一次函数y2=x+b的图象与二次 函数的图象相切时,x2-x-b=0, Δ=1+4b=0,解得b=-14.∴ 易得 b的取值范围是-14<b<2. 6. 24 [解析] 如图,过点A作AE⊥ y 轴于点E.设☉A 的半径为r. ∵ ☉A与x轴相切于点B,∴ AC= AB=r,BC=2r.设AE=a,则点C 的坐 标 为 (a,2r),∴ k =2ar. ∵ S△ACD= 1 2AC ·AE=6,∴ 1 2 · r·a=6,即ar=12.∴ k=2ar=24. (第6题) 7. 2 [解析] 如图,延长CA 交y轴 于点E,延长CB交x轴于点F,过点 A作AD⊥x轴于点D,则易得CE⊥ y轴,CF⊥x轴,四边形OEAD、四边 形OECF为矩形.∵ x2=2x1,∴ A 为CE 的中点.∵ 点A,B 在反比例 函数的图象上,∴ S△OAE=S△OBF= 1 2S矩形OEAD.∴ 易得B为CF的中点. ∴ CB=BF=12CF.∵ S五边形OEABF= S△OAE+S△OBF+S△OAB=S矩形OEAD+ S△OAB = S矩形OEAD + S梯形ABFD, ∴ S梯形ABFD=S△OAB.∵ △OAB的面 积为6,∴ S梯形ABFD=6.∵ S梯形ABFD= 1 2 (BF+AD)·DF,CB=BF= 1 2CF ,易得AD=CF,∴ S梯形ABFD= 1 2×3BF ·DF=32BF ·DF=6. ∴ BF·DF=4.∵ S△ABC= 1 2BC · AC,易得 AC =DF,∴ S△ABC = 1 2BF ·DF=12×4=2. (第7题) 8. (1) 2;8. (2) ∵ M(2,2),点N 与点M 关于 y轴对称, ∴ N(-2,2). ∴ MN=4. 设线段MN 与反比例函数y= k x 图 象的交点为D. ① 当DN DM= 1 3 时,DN MN= 1 4 , ∴ DN=14MN= 1 4×4=1. ∴ D(-1,2). ∴ k=-1×2=-2. ② 当DN DM=3 时,DM MN= 1 4 , ∴ DM=14MN= 1 4×4=1. ∴ D(1,2). ∴ k=1×2=2. 综上所述,k的值为-2或2. 9. (1) 当m=3时,∵ 点M 的横坐标 为m,点M 在反比例函数y= 3 x 的图 象上, ∴ M(3,1). 又∵ MP⊥y轴, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3 ∴ 点P的纵坐标为1. 又∵ 点P 在反比例函数y=- 2 x 的 图象上, ∴ P(-2,1). ∴ MP=3-(-2)=5. (2) ∵ 点M 的横坐标为m,点N 的 横坐标为n,点M,N 都在反比例函数 y= 3 x 的图象上, ∴ M m,3m ,N n,3n . ∵ MP⊥y轴,NQ⊥x轴, ∴ 点P的纵坐标为 3 m ,点Q 的横坐 标为n. 又∵ 点P,Q 都在反比例函数y= -2x 的图象上, ∴ P -2m3 ,3 m ,Qn,-2n . ∴ MP=m- -2m3 =5m3,NQ= -2n- 3 n=- 5 n. 又∵ MP=NQ, ∴ 5m 3=- 5 n. ∴ mn=-3. (3) ① 由 (2),得 N n,3n , P -2m3 ,3 m . ∴ △MNP 的边 MP 上的高h 为 3 m- 3 n= 3(n-m) mn . 又∵ MP=5m3 , ∴ S△MNP= 1 2MP ·h=12× 5m 3 × 3(n-m) mn = 5n-5m 2n . ② 相等. 理 由:由 (2),得 M m,3m , Qn,-2n . ∴ △MNQ 的边NQ 上的高h'= m-n. 又∵ NQ=-5n , ∴ S△MNQ = 1 2 NQ ·h'= 12 × -5n ×(m-n)=5n-5m2n . 由①,知S△MNP= 5n-5m 2n . ∴ S△MNP=S△MNQ. ∴ 将MN 看作底时,两个三角形的高 相等,即点P,Q 到直线MN 的距离 相等. 专题特训（一）　反比例 函数中k的几何意义 1. B [解析] ① 当x<0时,y= -2x ,∴ ①错误.② 当x<0时, y= - 2 x ;当 x>0 时,y= 4 x , ∴ S△OPQ= 1 2×2+ 1 2×4=3 ,为定 值.∴ ②正确.③ 当x>0时,y= 4 x. ∵ 4>0,∴ y 随x 的增大而减小. ∴ ③错误.④ ∵ 易得S△OPM =1, S△OQM=2,PQ⊥y轴,∴ 易得MQ= 2PM.∴ ④正确.⑤ 设PM=-a (a<0),则OM=-2a ,MQ=-2a, PQ=PM+MQ=-3a.∴ PO2= PM2+OM2=(-a)2+ -2a 2 = a2 + 4 a2 ,QO2 = MQ2 +OM2 = (-2a)2+ -2a 2 =4a2+4 a2 .∴ 若 ∠POQ=90°,则PQ2=PO2+QO2= a2+4 a2 +4a2+4 a2 =5a2+8 a2 =9a2. 整理,得8 a2 =4a2.∴ a4=2.∵ a有 解,∴ ∠POQ=90°可能成立.∴ ⑤ 正确.综上所述,正确的有②④⑤. 2. C [解析] ∵ 将直线y=-x和 曲线C2 绕点O 按逆时针方向旋转 45°后,直线y=-x与x轴重合,曲 线C2 与曲线C1 重合,∴ 旋转后点 N 落在曲线C1 上,点M 落在x 轴 上.如图,设点M,N 的对应点分别为 M',N',过点N'作N'P⊥x 轴于点 P,连接ON',M'N'.∵ MN=ON, ∴ M'N'=ON'.∴ M'P =OP. ∴ S△MON =2S△PN'O=2× 1 2|k|= |k|=23.∵ k<0,∴ k=-23. (第2题) 3. 10 4. 23 [解析] 如图,连接OC,过 点C作ED∥x轴,交y轴于点E,过 点A作AF⊥x 轴于点F,延长FA 交ED 于点D.∵ 点A 的横坐标为 2 m,点A 在反比例函数y= m x (m>0)的图象上,∴ A 2 m, m 2 .∵ 点C 的纵坐标为 3m, 点C在反比例函数y= m x (m>0)的 图象 上,∴ C 3m3 , 3m . ∴ D(2 m,3m).∴ CD=2 m- 3m 3 ,AD = 3m - m2 ,则 S△ACD= 1 2 × 2 m - 3m3 · 3m - m2 = 13312 -1 m. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4