26.1 第2课时 反比例函数的图象和性质-【拔尖特训】2024-2025学年九年级下册数学（人教版）

4 第2课时 反比例函数的图象和性质 ▶ “答案与解析”见P1 1. (2023·宜昌)某反比例函数图象上四个点 的坐标分别为(-3,y1),(-2,3),(1,y2), (2,y3),则y1,y2,y3的大小关系为 ( ) A. y2<y1<y3 B. y3<y2<y1 C. y2<y3<y1 D. y1<y3<y2 2. (2024·宿迁期末)反比例函数y= k x 在第一 (第2题) 象限的图象如图所示,则k的值 可能是 ( ) A. 16 B. 11 C. 8 D. 6 3. (2024·苏州段考)在同一平面直角坐标系 中,函数y= k x 和y=kx+1(k>0)的图象大 致是 ( ) A. B. C. D. 4. (2024·苏州期末)已知反比例函数y= 1-k x 的图象的每一条曲线上,y都随x的增大而 减小,则k的取值范围是 . 5. (2024·陕西)已知点A(-2,y1),B(m,y2) 均在反比例函数y=- 5 x 的图象上.如果0< m<1,那么y1+y2 0(填“>”“<” 或“=”). (第6题) 6. (2024·南宁模拟)反比例函数 y= k x (k≠0)与一次函数y= -x+b 的图象如图所示,则 函数y=kx2+bx+k+2的图 象可能为 ( ) A. B. C. D. 7. (2023·沈阳期末)已知反比例函数y= k x (k≠0),当-2≤x≤-1时,y的最大值是6, 则当x≥2时,y有 ( ) A. 最小值-6 B. 最小值-3 C. 最大值-6 D. 最大值-3 8. (2024·杭州期末)已知反比例函数y1= k x , y2=- 2k x (k≠0),当a≤x≤b(a,b为常数, 且b>a>0)时,y1的最小值为m,y2的最大 值为n,则mn 的值为 . (第9题) 9. (2023·河北)如图,点A的坐 标为(3,3),点B的坐标为(3, 1),反比例函数y= k x (k≠0) 图象的一个分支与线段AB 有交点,写出一个符合条件的k的整数值: . 10. ★(2023·杭州模拟)已知点P(x1,y1), Q(x2,y2)在反比例函数y= 6 x 的图象上.若 x1=x2+2,y1=3y2,则当x>x1+x2时, 求y的取值范围. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级下 5 11. (新情境)(2023·泉州期中)有这样一个问 题:探究函数y= 4 |x+2| 的图象与性质,并 解决问题.小安根据学习函数的经验,对问 题进行了探究,下面是小安的探究过程,请 补充完整. (1) 函数y= 4 |x+2| 的自变量x的取值范 围是 . (2) y与x的部分对应值如下表,其中m= . x … -7-6-4-3-1 0 2 3 … y … 0.8 1 2 4 4 m 1 0.8 … (3) 如图,根据(2)中表格里各组对应值,请 把图象补充完整. (4) 若P(a,t),Q(b,t)是函数y= 4 |x+2| 图象上的两点,求a+b的值. (第11题) 12. 如图,在△ABC中,AB⊥x轴于点 A,AB=4,点C在反比例函数y= k x 的图象上,过点C作CD∥x轴, 交y轴于点E,交反比例函数y=- 12 x 的图 象于点D,CE=2,DE=2CE. (1) 求k的值. (2) 若反比例函数y= k x 的图象过边AB的 中点F,将△ABC沿x轴向左平移,使点C 的对应点C'落在y轴上,得到△A'B'C',再 把△A'B'C'绕点B'按顺时针方向旋转90°, 此时,点A'的对应点A″是否在反比例函数 y=- 12 x 的图象上? 请说明理由. (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十六章　反比例函数 第二十六章　反比例函数 26.1　反比例函数 第1课时 反比例函数 1. A 判断一个函数是不是反比例 函数的方法 观察两个变量的关系式是否 符合反比例函数的三种形式中的 一种.反比例函数的三种形式为 y= k x 或y=kx-1或xy=k,注意 k为常数且k≠0. 2. C 3. C 4. -2 5. y= 7 x 6. y= 30 x 7. 22+8 8. (1) 当函数y=(5m-3)x2-n+ (m+n)是一次函数时,2-n=1,且 5m-3≠0,解得n=1且m≠35. (2) 当函数y=(5m-3)x2-n+(m+ n)是反比例函数时, 2-n=-1, m+n=0, 5m-3≠0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解 得 m=-3, n=3. 9. A [解析] 由题意,得y1= -12 3 =-32. 把x=-32+1=- 1 2 代入y=- 1 x ,得y2=- 1 -12 =2.把 x=2+1=3代入y=- 1 x ,得y3= -13. 把x=- 13 +1= 2 3 代入 y=- 1 x ,得y4=- 3 2 ……∴ y的 值以-32 ,2,-13 为 一 个 循 环. ∵ 2024÷3=674……2,∴ y2024=2. 10. C 11. A 12. 反 [解析] ∵ y 与2z成反比 例,比例系数为k1,∴ y= k1 2z.∵ z与 1 2x 成正比例,比例系数为k2, ∴ z=k2× 1 2x= 1 2k2x.∴ y= k1 2z= k1 2×12k2x = k1 k2 x.∵ k1 和k2 是 已知数,且k1·k2≠0,∴ y与x成反 比例. 13. y= 2 x 14. x,y成反比例关系. ∵ (x-2y)2=(x+2y)2+10, ∴ x2-4xy+4y2=x2+4xy+4y2+ 10. 整理,得8xy=-10. ∴ y= -5 4x. ∴ x,y 成反比例关系,比例系数 为-54. 15. (1) 由变量y与z成反比例,变量 z与x成反比例,可设y= m z (m为常 数,m≠0),z=nx (n为常数,n≠0). ∴ y= m n x =mn ·x. ∴ y与x成正比例. (2) 补全表格如下: x -2 -1 1 2 y 4 2 -2 -4 z -2 -4 4 2 (3) 根据(1)(2),将x=-2,y=4代 入y= m nx ,得4=-2mn ① ; 将x=-1,z=-4代入z=nx ,得 n=4②. 将②代入①,得m=-8. ∴ y与x之间的函数解析式为y= -2x. 16. (1) ∵ y1与x-1成正比例,y2 与x+1成反比例, ∴ 设y1=k1(x-1),y2= k2 x+1. ∵ y=y1+y2,当x=0时,y=-3; 当x=1时,y=-1, ∴ -3=-k1+k2, -1=12k2 , 解得k1=1,k2=-2. ∴ y=x-1- 2 x+1. (2) 当x=- 12 时,y=x-1- 2 x+1=- 1 2-1- 2 -12+1 =-112. 第2课时 反比例函数的图象 和性质 1. C 2. B 3. A 4. k<1 5. < 6. A [解析] ∵ 反比例函数y= k x (k≠0)的图象在第二、第四象限, ∴ k<0.∵ 一次函数y=-x+b的 图象与y 轴交于正半轴,∴ b>0. ∴ 二次函数y=kx2+bx+k+2的 图象的对称轴为直线x=-b2k>0. 对 于反比例函数y= k x (k≠0),当x= -12 时,y=-2k,对于一次函数 y=-x+b,当x=- 1 2 时,y= 1 2+ b.又∵ 反比例函数y= k x (k≠0)与 一次函数y=-x+b的图象的一个 交点的横坐标为-12 ,∴ -2k= 1 2+b.∴ b=-2k-12.∴ -b2k= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1 2k+12 2k =1+ 1 4k.∵ k<0,∴ 1+ 1 4k<1.∴ 0<-b2k<1 ,即抛物线y= kx2+bx+k+2的对称轴与x轴的 交点的横坐标在0与1之间,结合选 项可知,A符合题意. 7. B [解析] ∵ 在反比例函数y= k x (k≠0)中,当-2≤x≤-1时,y的 最大值是6,∴ 此函数图象的一个分 支在第二象限,y随x的增大而增大. ∴ 当x=-1时,y=6.∴ 反比例函 数的解析式为y=- 6 x.∵ 当x≥2 时,函数图象位于第四象限,y随x的 增大而增大,∴ 当x≥2时,y有最小 值,y最小=- 6 2=-3. 8. -12 [解析] ∵ a≤x≤b(a,b 为常数,且b>a>0),∴ 当k>0时, 函数y1= k x 的图象在第一象限,y1 随x的增大而减小,函数y2=- 2k x 的 图象在第四象限,y2随x的增大而增 大.∴ m=kb ,n=-2kb.∴ m n = -12. 当k<0时,函数y1= k x 的图 象在第四象限,y1 随x 的增大而增 大,函数y2=- 2k x 的图象在第一象 限,y2 随x 的增大而减小.∴ m= k a ,n=-2ka.∴ m n =- 1 2. 综上所 述,m n 的值为-12. 9. 答案不唯一,如4 [解析] 由题 图,可知k>0.∵ 反比例函数y= k x (k>0)的图象与线段AB 有交点, ∴ 把B(3,1)代入y= k x ,得k=3× 1=3;把A(3,3)代入y= k x ,得k= 3×3=9.∴ 满足条件的k的取值范 围是3≤k≤9.∴ k的值可以是4. 10. ∵ 点P(x1,y1),Q(x2,y2)在反 比例函数y= 6 x 的图象上, ∴ y1= 6 x1 ,y2= 6 x2 . ∵ y1=3y2, ∴ 6 x1 =3×6x2. ∴ x2=3x1. ∵ x1=x2+2, ∴ x1=3x1+2. ∴ x1=-1,x2=-3. ∴ x1+x2=-4,当x=-4时,y= 6 -4=- 3 2. ∵ 反比例函数y= 6 x 中k>0, ∴ 当x<0时,y随x的增大而减小. ∴ 当x>x1+x2时,y的取值范围是 y<- 3 2 或y>0. 求反比例函数的解析式 及比较函数值的大小 (1) 求反比例函数的解析式 时,我们通常选用待定系数法. (2) 对于反比例函数图象上的 几个点,比较函数值大小的常见做 法:① 先判断这几个点是否在同一 个象限内,若不在,则判断其正负, 然后进行判断;② 若在同一个象限 内,则可以根据反比例函数的性质 来进行解答,当然,也可代入求值 比较大小或取特殊值进行比较. 11. (1) x≠-2. (2) 2. (3) 函数图象如图所示. (4) 观察图象,可知图象是轴对称图 形,对称轴为直线x=-2. ∵ P(a,t),Q(b,t)是函数y= 4 |x+2| 图象上的两点, ∴ 点P,Q关于直线x=-2对称. ∴ a+b=-4. (第11题) 12. (1) ∵ CE=2, ∴ DE=2CE=4. 把x=-4代入y=- 12 x ,得y=3. ∴ D(-4,3). ∵ CD∥x轴, ∴ C(2,3). 将C(2,3)代入y= k x ,解得 k=6. (2) 点A'的对应点A″在反比例函数 y=- 12 x 的图象上. 理由:∵ AB=4,F为AB的中点, ∴ AF=2. 在函数y= 6 x 中,令y=2,得 6 x=2 , 解得x=3. ∴ OA=3. 由(1),知C(2,3). 又∵ 点C的对应点C'落在y轴上, ∴ CC'=2. 由平移,知AA'=CC'=2, ∴ OA'=OA-AA'=1. ∵ A'B'=AB=4, ∴ B'(1,4). 由旋转,知A″(-3,4). ∵ -3×4=-12, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 ∴ 点A'的对应点A″在反比例函数 y=- 12 x 的图象上. 第3课时 反比例函数图象 和性质的应用 1. A 2. 答案不唯一,如-2 3. (1) 6. (2) ① ∵ A(2,0),B(0,2),四边形 ABCD是正方形, ∴ C(2,4),D(4,2). ∵ 反比例函数y= k x (k≠0)的图象 经过点C, ∴ 4=k2. ∴ k=8. ② ∵ k=8, ∴ 反比例函数的解析式为y= 8 x. ∴ 当x=4时,y= 8 4=2. ∴ 点D在该反比例函数的图象上. (3) 设 A (a,0),则 C (a,2a), D(2a,a). ∵ C,D 两点都在函数y= 2 x 的图 象上, ∴ 2a=2a ,a=22a. ∴ a=1或a=-1(不合题意,舍去). ∴ C(1,2). 4. D [解析] ∵ y1=x,y2= 2 x , ∴ y=y1-y2=x- 2 x. 当y=0时, x-2x=0 ,解得x=± 2,∴ 图象与 x轴有交点.故①正确.当x=0时,分 式无意义,∴ 图象与y轴没有交点. 故②正确.当点(a,b)在函数y=y1- y2 的图象上时,b=a- 2 a. 当点 (-a,-b)在函数y=y1-y2的图象 上时,-b=-a- 2-a=- a- 2 a , 即b=a-2a. 故③正确.综上所述,正 确的是①②③. 5. D [解析] 当x=2时,y1=4, ∴ 二次函数与反比例函数图象的交 点坐标为(2,4).当点(2,4)在一次函 数的图象上时,4=2+b,解得b=2. 当一次函数y2=x+b的图象与二次 函数的图象相切时,x2-x-b=0, Δ=1+4b=0,解得b=-14.∴ 易得 b的取值范围是-14<b<2. 6. 24 [解析] 如图,过点A作AE⊥ y 轴于点E.设☉A 的半径为r. ∵ ☉A与x轴相切于点B,∴ AC= AB=r,BC=2r.设AE=a,则点C 的坐 标 为 (a,2r),∴ k =2ar. ∵ S△ACD= 1 2AC ·AE=6,∴ 1 2 · r·a=6,即ar=12.∴ k=2ar=24. (第6题) 7. 2 [解析] 如图,延长CA 交y轴 于点E,延长CB交x轴于点F,过点 A作AD⊥x轴于点D,则易得CE⊥ y轴,CF⊥x轴,四边形OEAD、四边 形OECF为矩形.∵ x2=2x1,∴ A 为CE 的中点.∵ 点A,B 在反比例 函数的图象上,∴ S△OAE=S△OBF= 1 2S矩形OEAD.∴ 易得B为CF的中点. ∴ CB=BF=12CF.∵ S五边形OEABF= S△OAE+S△OBF+S△OAB=S矩形OEAD+ S△OAB = S矩形OEAD + S梯形ABFD, ∴ S梯形ABFD=S△OAB.∵ △OAB的面 积为6,∴ S梯形ABFD=6.∵ S梯形ABFD= 1 2 (BF+AD)·DF,CB=BF= 1 2CF ,易得AD=CF,∴ S梯形ABFD= 1 2×3BF ·DF=32BF ·DF=6. ∴ BF·DF=4.∵ S△ABC= 1 2BC · AC,易得 AC =DF,∴ S△ABC = 1 2BF ·DF=12×4=2. (第7题) 8. (1) 2;8. (2) ∵ M(2,2),点N 与点M 关于 y轴对称, ∴ N(-2,2). ∴ MN=4. 设线段MN 与反比例函数y= k x 图 象的交点为D. ① 当DN DM= 1 3 时,DN MN= 1 4 , ∴ DN=14MN= 1 4×4=1. ∴ D(-1,2). ∴ k=-1×2=-2. ② 当DN DM=3 时,DM MN= 1 4 , ∴ DM=14MN= 1 4×4=1. ∴ D(1,2). ∴ k=1×2=2. 综上所述,k的值为-2或2. 9. (1) 当m=3时,∵ 点M 的横坐标 为m,点M 在反比例函数y= 3 x 的图 象上, ∴ M(3,1). 又∵ MP⊥y轴, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3