【专项练】解二元一次方程组-鲁教版五四制七年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 解二元一次方程组 1．古希腊数学家普洛克拉斯指出：“哪里有数，哪里就有美”，“对称美”是数学美的重要组成 部分，在数学史上，人类一直在思考和探索数学的对称问题，图形中的对称性本质就是点的对 称、线的对称．而剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称 美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若点 E的坐标为 (2 , )m n ， 其关于 y轴对称的点 F的坐标为 (1 3 , 8)n m  ，则 3( )m n 的值为（ ） A． 6 B．1 C．8 D． 8 2．若 3 4 1 2 13 5 4m n m nx y     是关于 ,x y的二元一次方程，则 m n 的值等于 ． 3．如图是一个正方体的展开图，标注了字母 a的面是正方体的正面．如果该正方体相对两个 面上的代数式的值相等，那么 x  ， y  ． 4．如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值互为相反数，我们称这个方程组为“和谐方 程组”．若关于 x，y的方程组 3 4 3 x y a x y a       是“和谐方程组”，则 a的值为 ． 5．一个水平放置的正方体容器，从内部量得它的边长是20cm，则这个正方体容器的内部底面 积是 2cm ；若该正方体容器内水深 cmx ，现将三条棱长分别为10cm、10cm、 cmy （ 10y  ） 的长方体铁块放入水中，此时铁块的顶部高出水面2cm，则长方体铁块的棱长 y  （用含 x的代数式表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 6．善于思考的小军在解方程组 3 2 4 6 5 7 x y x y      ① ② 时，采用了一种整体代换的解法． 解：将方程②变形，得6 4 7x y y   ，即  2 3 2 7x y y   ．③把方程①代入③，得2 4 7y   ， 解得 1y  ．把 1y  代入①，得 2,x  方程组的解为 2 1 x y    ． 请你仿照小军的整体代换法解决以下问题： (1)解方程组 2 3 5 5 6 14 x y x y      ① ② (2)已知 ,x y满足方程组 2 2 4 2 7 2 6 x xy x xy       ① ② ，求 xy的值． 7．已知2 1a  的平方根是 3 ，25 b 的立方根是3，m是 a b 的算术平方根． (1)填空： a _______，b _________，m  ________； (2)若m的整数部分是 x，小数部分是 y，求 y x 的值． 8．阅读与思考 下面是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于一些二元二次方程组解法的研究报告 善思小组 研究对象：二元二次方程组 研究思路：先明晰定义，然后探索其解法．类比之前解二元一次方程组、一元 二次方程的思路探究，尝试将其通过消元、降次转化为已学过的方程（或方程 组）． 研究内容： 【明晰定义】满足以下四个条件的方程组叫做二元二次方程组：①共有两个 方程：②含有两个未知数；③含有未知数的项的最高次数为 2；④方程组中 各方程都是整式方程． 如 20, 9, xy x y     22 1, 2, x y x y       或 2 2 2 2 5, 3 2 0 x y x xy y        等． 【解法探究】尝试求解一些特殊的二元二次方程组． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 例如：解方程组： 20, 9. xy x y     ① ② 解：由②，得 9y x  ．③ 运用了___▲___消元法，实现将二元方程转 化为一元方程． 将③代入①，得  9 20x x  ， 解这个方程，得 1 4x  ， 2 5x  ． 将它们分别代入③，得 1 5y  ， 2 4y  ． 所以原方程组的解是 1 1 4, 5; x y    2 2 5, 4. x y    …… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容； (2)请尝试解二元二次方程组： 22 1, 2. x y x y       9．阅读下列材料： 解方程组：   1 0 4 5 x y x y y        ① ② 解：由①得 1x y  ③，将③代入②，得 4 1 5y   ， 解这个一元一次方程，得 1y   ．从而求得 0 1 x y     ． 这种思想被称为“整体思想”．请用“整体思想”解决下面问题： (1)解方程组： 2 2 0 2 5 2 5 7 x y x y y         ； (2)在（1）的条件下，若 x，y是 ABCV 两条边的长，第三边 z的长是奇数，求第三边 z的值． 10．已知关于 x y， 的方程组 2 2 3 3 1 x y k x y k       下列结论错误的是（ ） A．当 0k  时，该方程组的解也是方程 2 4x y   的解 B．存在实数 k，使得 0x y  C．当3 5 3x y  时， 1k   D．不论 k取什么实数， 3x y 的值始终不变 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 11．【阅读理解】数学课上，何老师在讲解教材第 125页“温过而知新”第 5题“如果关于 x，y 的二元一次程组 3 16 2 15 x ay x by      解为 7 1 x y    ，那么关于 x，y的二元一次方程组 3( ) ( ) 16 2( ) ( ) 15 x y a x y x y b x y          的 解是什么？”时，小超和小字同学的做法如下： （1）小超：先把 7 1 x y    代入第一个方程组中求出 a，b；再把 a，b的值代入第二个方程组中求 出它的解．请你按照小超的思路写出详细的解题过程． （2）小字：通过观察可以发现把第一个方程组中的未知数 x换成 ( )x y ，未知数 y换成 ( )x y 就是第二个方程组了，因此可知第二个方程组中的 ( )x y 的值就等于第一个方程组中的 x的值， 第二个方程组中的 ( )x y 的值就等于第一个方程组中的 y的值，所以 7 1 x y x y      ，再求出它们的 解就是第二个方程组的解． 【解决问题】何老师对两位同学的讲解进行点评和表扬，并指出“小宇”同学的思路体现了数学 中“整体思想”、“代换思想”、“转化思想”的运用． 请你参考小超或小宇同学的做法，解决下面的问题： ①若方程组 2 6 3 28 x ay x by      的解是 6 2 x y    ，则方程组         2 2 1 6 3 2 1 28 x a y x b y           的解是（ ） A. 6 2 x y    B. 8 1 x y    C. 4 1 x y    D. 4 3 x y    ②已知关于 x，y的方程组 1 1 2 2 a x y c a x y c      的解是 5 10 x y    ，求关于 x，y的方程组 1 1 1 2 2 2 2 2 a x y a c a x y a c        的 解．（其中 1a 、 1c 、 2a 、 2c 都为常数） 12．在解方程组 2 3 4 3 7 3 2 2 3 4 3 5 4 3 x y x y x y x y           时，某同学发现：如果直接用代入消元法或加减消元法求 解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的 2 3x y 、4 3x y 分别看作一个整体，通过 换元：设 2 3m x y  、 4 3n x y  ，可以将原方程组化为 7 3 2 5 4 3 m n m n         ，解得 12 6 m n    ，把 12 6 m n    代入 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 2 3m x y  、 4 3n x y  ，得 2 3 12 4 3 6 x y x y      ，解得 3 2 x y    ，所以原方程组解为 3 2 x y    ． (1)若方程组 3 1 6 x by ax y      的解为 1 1 x y    ，则方程组         3 2 2 1 2 2 6 x b y a x y           的解为_____； (2)若方程组 1 1 1 2 2 2 a x b y c a x b y c      的解为 2 x k y k     ，其中 k为常数．求方程组         1 1 1 2 2 2 1 11 2 3 2 1 11 2 3 2 a x b y c a x b y c             的 解． 13．阅读探索 （1）知识累计 解方程组         1 2 2 6 2 1 2 6 a b a b           解：设 1a x  ， 2b y  ，原方程组可变为 2 6 2 6 x y x y      解方程组得： 2 2 x y    ，即 1 2 2 2 a b      所以 3 0 a b    此种解方程组的方法叫换元法． （2）拓展提高 运用上述方法解下列方程组： 1 2 2 4 3 5 2 1 2 5 3 5 a b a b                              （3）能力运用 已知关于 x，y的方程组 1 1 1 2 2 2 a x b y c a x b y c      的解为 5 3 x y    ，直接写出关于 m、n的方程组         1 1 1 2 2 2 5 3 3 2 5 3 3 2 a m b n c a m b n c           的解为 m n    ． 14．阅读理解： 已知实数 x， y满足3 5x y  ①， 2 3 7x y  ②，求 4x y 和7 5x y 的值．仔细观察两个方程未知 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由 可得 4 2x y   ， 由 2 ① ② 可得7 5 19x y  ．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”， 解决下列问题： (1)已知二元一次方程组 3 2 7 2 3 8 x y x y      ，则 x y  ________， x y  _______； (2)对于实数 x， y，定义新运算： *x y ax by c   ，其中 a，b， c是常数，等式右边是实数运 算．已知3*5 15 ，4*7 28 ，求6*11的值． 15．阅读材料，回答问题． 解方程组         3 2 4 3 11 5 3 6 2 25 x y x y x y x y           时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大， 也容易出错，如果把方程组中的  2x y 和  3x y 分别看作一个整体，设 2x y m  ， 3x y n  ， 原方程组可化为 3 4 11 5 6 25 m n n m      ，解得 5 1 m n     ，即 2 5 3 1 x y x y       ，所以原方程组的解为 2 1 x y     ，这种 解方程组的方法叫做整体换元法． (1)已知关于 x、 y的二元一次方程组 17 28 mx ny nx my       的解为 1 10 x y     ，那么关于 a、b的二元一次方 程组         2 17 2 28 m a b n a b n a b m a b            的解为 ； (2)用材料中的方法解二元一次方程组   2 11 3 4 4 2 2 3 2 x y x y x yx y           ； (3)关于 x、 y的二元一次方程组 1 1 1 2 2 2 a x b y c a x b y c      的解为 4 3 x y     ，求关于 x、 y的方程组 1 1 1 2 2 2 2 3 5 2 3 5 a x b y c a x b y c      的解． 16．我们规定：一个四位数 1000 100 10M a b c d    （1 a ，b，c， 9d  ， a、b、 c、d均为 整数），若其千位数字与十位数字之和是 6的倍数，且个位数字与百位数字之差为 6，则称这 个数为“顺顺利利数”．若一个“顺顺利利数”的各个数位上的数字之和为 22，则b的值为 ， 若设   1P M a b   ，   7Q M d  ，且     25 66 5bP M aQ M a   ，则所有满足条件的“顺顺利利 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 数”的和为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 解二元一次方程组 1．D 【分析】本题考查坐标与图形变化，二元一次方程组等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的 性质，属于中考常考题型．利用轴对称的性质构建方程组，求出m，n，再代入计算可得结论． 【详解】解： (2 , )E m n ， (1 3 , 8)F n m  关于 y轴对称，  8 2 3 1 n m m n       ， 解得， 5 3 m n      ， 3 3( ) ( 5 3) 8m n       ， 故选：D． 2．2 【分析】本题考查了二元一次方程的概念，解二元一次方程组，理解二元一次方程的概念是解 题的关键．根据二元一次方程的概念列出方程组求解即可解答． 【详解】解：∵ 3 4 1 2 13 5 4m n m nx y     是关于 x y、 的二元一次方程， ∴ 3 4 1 1 2 1 1 m n m n        ，即 3 4 2 2 m n m n     ① ② ， 解得： 1 2 n m    ， ∴ 2 21 m n   ， 故答案为：2． 3． 3 1 【分析】本题考查正方体相对面上的字，解二元一次方程组，根据正方体相对面上的代数式的 值相等得出二元一次方程组是解题的关键． 根据正方体相对面上的代数式的值相等得出二元一次方程组 2 5 5 1 x y x y       ， ， 再用代入法求解即可． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 【详解】解：根据题意，得 2 5 5 1 x y x y       ， ， 解得 3 1 x y    ， ． 故答案为：3；1． 4． 1 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，相反数的定义，熟练运用整 体法解方程组是解题的关键． 把两个方程相加可得 2 2x y a   ，再根据相反数的定义可得2 2 0a  ，据此即可求解， 【详解】解： 3 4 3 x y a x y a       ① ② ， ① ② 得： 2 2 4 4x y a   ， 2 2x y a   ， x，y互为相反数， 0x y   ，  2 2 0a  ，  1a   ， 故答案为： 1 ． 5． 400 4 3 x＋2或 40−5x 【分析】利用正方体体积公式即可求得，根据体积关系确定 y与 x之间的关系． 【详解】解：这个正方体容器的内部底面积为：20×20＝400（cm2）， 放入铁块后水深为：（y−2）cm或 10−2＝8cm． ∴10×10（y−2）＋400x＝400（y−2）或 10y×8＋400x＝400×8． ∴y＝ 4 3 x＋2或 y＝40−5x． 故答案为：400， 4 3 x＋2或 40−5x． 【点睛】本题考查认识立体图形，代入法求二元一次方程组，通过体积关系确定 x与 y的关系 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 是求解本题的关键． 6．(1) 4 1 x y    (2) 54 xy  【分析】本题主要考查了解方程组，掌握代入消元法和整体思想成为解题的关键． （1）由②可得  2 2 3 14x y x   ③，然后将①整体代入③可求得 4x  ，进而求得方程组的解； （2）由①得  22 2 4 7x xy xy   ③，然后将②整体代入③可求解即可． 【详解】（1）解： 2 3 5 5 6 14 x y x y      ① ② 由②可得  2 2 3 14x y x   ③， 把①代入③，得2 5 14x   ，解得： 4x  ． 把 4x  代入①，得8 3 5y  ，解得 1y  ， 方程组的解为 4 1 x y    ． （2）解： 2 2 4 2 7 2 6 x xy x xy       ① ② ， 由①得  22 2 4 7x xy xy   ③， 把②代入③，得12 4 7xy  ，解得 54 xy  ． 7．(1)5，2， 7； (2) 7 4 ． 【分析】本题考查了估算无理数的大小，求代数式的值，立方根的定义，算术平方根的定义， 解二元一次方程组等知识点，能得出关于 a，b的方程组是解（1）的关键，能估算出 7 的范 围是解（2）的关键． （1）根据平方根和立方根的定义得出方程组，求出方程组的解，再根据算术平方根求出m即 可； （2）先估算出 7的范围，再求出 x， y的值，最后求出答案即可． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 【详解】（1）解： 2 1a  的平方根是 3 ，25 b 的立方根是3， 2 1 9 25 27 a b      ， 解得： 5a  ， 2b  ， 2 5 7a b     ， 7m  ， （2）解： 2 7 3  ， 7m  ，m的整数部分是 x，小数部分是 y， 2x  ， 7 2y   ， 7 2 2 7 4y x       ． 8．(1)代入 (2) 1 1 1 1 x y    或 2 2 3 2 7 2 x y        ． 【分析】本题考查解二元二次方程组，解一元二次方程． （1）根据题意观察题干解法即可得到本题答案； （2）先将②代入①中得到关于 x的一元二次方程，解出即可． 【详解】（1）解：∵变形得到③，再将其代入①求解， ∴利用代入消元法求解方程， ∴研究报告中“▲”处空缺的内容为：代入； （2）解： 22 1 2 x y x y       ① ② 由②得， 2y x  ③， 将③代入①中，得  22 2 1x x   ， 解得 1 1x  ， 2 3 2 x   ． 将它们分别代入③，得 1 1y  ， 2 7 2 y  ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 所以，原方程组的解是 1 1 1 1 x y    或 2 2 3 2 7 2 x y        ． 9．(1) 6 2 x y    (2)第三边长是 5或 7 【分析】此题考查了解二元一次方程组和三角形的三边关系，解决本题的关键是解二元一次方 程组． （1）由第一个方程求出 2y 2x   ③的值，代入第二个方程求出 y的值，进而求出 x的值，即可 确定出方程组的解． （2）根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，从而确定第三边的值，即可解答． 【详解】（1）解： 2 2 0 2 5 2 5 7 x y x y y          ① ② 由①得： 2 2x y  ③， 将③代入②得：1 2 5y  ，即 2y  ， 将 2y  代入③得： 6x  ， 则方程组的解为 6 2 x y    ． （2）解：∵ ABCV 两条边长是 6和 2， ∴第三边长小于 8并且大于 4， ∵第三边的长是奇数， ∴第三边长是 5或 7． 10．C 【分析】本题考查了二元一次方程的解与参数，加减消元法，代入消元法求解的运用，根据题 意，分别代入计算验证即可求解． 【详解】解：A、当 0k  时，代入二元一次方程组得， 2 0 2 3 1 x y x y       ① ② ， 2 ① ②得，  2 4 2 3 1x y x y    ， 解得， 1y  ， 把 1y  代入①得， 2 0x   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 解得， 2x   ， ∴ 2 2 2 1 4x y       ，故原选项正确，不符合题意； B、 2 2 3 3 1 x y k x y k       ① ② ， 2 ① ②得，  2 4 2 3 2 3 1x y x y k k      ，整理得， 1y k  ， 把 1y k  代入①得，  2 1x k k   ，整理得， 3 2x k  ， 若 0x y  ，则有3 2 1 0k k    ， 解得， 1 2 k  ，是实数，故原选项正确，不符合题意； C、 2 2 3 3 1 x y k x y k       ① ② ， ① ②得，3 5 4 1x y k   ， 当3 5 3x y  时，则有 4 1 3k   ， 解得， 1k  ，故原选项错误，符合题意； D、由 B选项可得， 3 2 1x k y k   ， ， ∴  3 3 2 3 1 1x y k k      ， ∴不论 k取什么实数， 3x y 的值始终不变，故原选项正确，不符合题意； 故选：C ． 11．①D；② 6 5 x y    【分析】本题考查了二元一次方程组的解、整式的加减以及解二元一次方程组， ①仿照例题，通过观察可以发现把第一个方程组中的未知数 x换成 ( 2)x  ，未知数 y换成  1y  就是第二个方程组了，因此可知第二个方程组中的 ( 2)x  的值就等于第一个方程组中的 x的值， 第二个方程组中的  1y  的值就等于第一个方程组中的 y的值，所以 2 6 1 2 x y      ，再求出它们的 解就是第二个方程组的解． ②将方程变形为     1 1 2 2 1 2 1 2 a x y c a x y c         ，同①的方法即可求解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 【详解】解：①依题意， 2 6 1 2 x y      解得： 4 3 x y    故选：D． ② 1 1 1 2 2 2 2 2 a x y a c a x y a c        即     1 1 2 2 1 2 1 2 a x y c a x y c         ∵ 1 1 2 2 a x y c a x y c      的解是 5 10 x y    ∴ 1 5 2 10 x y     解得： 6 5 x y     12．(1) 3 1 x y     (2) 3 1 2 2 x k y k      ． 【分析】本题考查的是利用整体法解二元一次方程组； （1）设 2x m  ， 2y n  ，则方程组可化为 3 1 6 m bn am n      ，再进一步解方程组即可； （2）设  1 1 3 x e  ，  1 2 2 y f  ，则方程组可化为 1 1 1 2 2 2 a e b f c a e b f c      ，再进一步求解即可． 【详解】（1）解： 3 1 6 x by ax y       的解为 1 1 x y    ， 3 1 6 m bn am n      的解为 1 1 m n    ， 设 2x m  ， 2y n  ， 则方程组         3 2 2 1 2 2 6 x b y a x y           可变为： 3 1 6 m bn am n      ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 2 1 2 1 x y      ，解得： 3 1 x y     ． （2）解：设  1 1 3 x e  ，  1 2 2 y f  ， 则         1 1 1 2 2 2 1 11 2 3 2 1 11 2 3 2 a x b y c a x b y c             可变为： 1 1 1 2 2 2 a e b f c a e b f c      ， 1 1 1 2 2 2 a x b y c a x b y c       的解为 2 x k y k     ， 1 1 1 2 2 2 a e b f c a e b f c      的解为 2 e k f k     ， 即     1 1 3 1 2 2 2 x k y k          ， 解得： 3 1 2 2 x k y k      ． 13．（2） 9 5 a b     （3） 2 3 m n     【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握换元法解方程组，是解题的关键． （2）利用换元法解方程组即可； （3）设    5 3 3 2m x n y   ， ，进而得到 5( 3) 5 3( 2) 3 m n      ，求解即可． 【详解】（2）设 1 3 a x  ， 25 b y  ， 原方程可变为： 2 4 2 5 x y x y      ， 解方程组得 2 1 x y    ，即 1 2 3 2 1 5 a b         ， 解得： 9 5 a b     ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 （3）原方程化为         1 1 1 2 2 2 5 3 3 2 5 3 3 2 a m b n c a m b n c               ， 设    5 3 3 2m x n y   ， ，则方程可化为 1 1 1 2 2 2 a x b y c a x b y c      ， 则方程的解为 5 3 x y    ，即 5( 3) 5 3( 2) 3 m n      ， 解得： 2 3 m n     ． 14．(1) 1 ，3． (2)54 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握整体思想是解题的关键． （1）利用①②可求出 x y 的值，利用① ②进行计算可求出 x y 的值； （2）根据题意可得 3 5 15 4 7 28 a b c a b c        ③ ④ ，然后由3④- 2③可得6 11 54a b c   利用整体的思想求 出6*11 6 11 54a b c    ． 【详解】（1）解： 3 2 7 2 3 8 x y x y      ① ② 由①②得： 1x y   ， 由① ②得：5 5 15x y  ， ∴  5 15x y  ， ∴ 3x y  ． 故答案为： 1 ，3． （2）∵ *x y ax by c   ，3*5 15 ，4*7 28 ， 则 3 5 15 4 7 28 a b c a b c        ③ ④ 由3④- 2③可得：    3 4 7 2 3 5 3 28 2 15a b c a b c          即6 11 54a b c   ∴6*11 6 11 54a b c    ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 15．(1) 3 4 a b     (2) 3 3 x y     (3) 10 5 x y     【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，结合题目给出的示例，合理换元是解题的关 键． （1）设a b c  ，2a b d  ，则原方程组可化为 17 28 mc nd nc md       ，根据 17 28 mx ny nx my       的解为 1 10 x y     ， 即可求解； （2）设 x y e  ， 2x y f  ，则原方程组可化为 11 3 4 4 2 3 2 e f ef         ，解得 6 3 e f    ，即 6 2 3 x y x y      ，即可求 解； （3）原方程组可化为 1 1 1 2 2 2 2 3 5 5 2 3 5 5 a x b y c a x b y c                            ，设 2 5 x g ， 3 5 y h ，则原方程组可化为 1 1 1 2 2 2 a g b h c a g b h c      ， 根据 1 1 1 2 2 2 a x b y c a x b y c      的解为 4 3 x y     ，得 4 3 g h     ，即可求解． 【详解】（1）解：设 a b c  ， 2a b d  ，则原方程组可化为 17 28 mc nd nc md       ， 根据题意，得 1 10 c d     ，即 1 2 10 a b a b       ， 解得 3 4 a b     ． 故答案为： 3 4 a b     ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 （2）解：设 x y e  ， 2x y f  ，则原方程组可化为 11 3 4 4 2 3 2 e f ef         ， 解得 6 3 e f    ，即 6 2 3 x y x y      ， 解得 3 3 x y     ． （3）解：原方程组可化为 1 1 1 2 2 2 2 3 5 5 2 3 5 5 a x b y c a x b y c                            ， 设 2 5 x g ， 3 5 y h ，则原方程组可化为 1 1 1 2 2 2 a g b h c a g b h c      ， 根据题意，得 4 3 g h     ，即 2 4 5 3 3 5 x y        ， 解得 10 5 x y     ． 16． 2 8516 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，实数的新定义，正确掌握相关性质内容是解题的 关键．先得出 6a c k  （ k为正整数）， 6d b  ，再结合 22a b c d    ，进行分类讨论，则 2b  ； 先得出     21 5 7 66 5b a b a d a      ，再根据 6d b  ，且1 9d  ，1 9b  ，进行分类讨论，即 可作答． 【详解】解：依题意， 6a c k  （ k为正整数）， 6d b  ， ∴ 6d b  ， ∵一个“顺顺利利数”的各个数位上的数字之和为 22， ∴ 22a b c d    ， 当 1k  时， 6a c  ，则 22 6 16b d    ， ∵ 6d b  ， ∴解得 5b  ， 11 9d   （舍去）； 当 2k  时， 12a c  ，则 22 12 10b d    ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 ∵ 6d b  ， ∴解得 2b  ， 8d  ； 当 3k  时， 18a c  ，则 22 18 4b d    ， ∵ 6d b  ， ∴解得 1b   （舍去）， 综上： 2b  ， ∵设   1P M a b   ，   7Q M d  ，且     25 66 5bP M aQ M a   ， ∴     21 5 7 66 5b a b a d a      ， ∵ 6d b  ，且1 9d  ，1 9b  ， ∴当 1,b  则 7d  , 则 266 5a a  ， ∵1 9,a  且 a为正整数， ∴ 266 5a a  无解， ∴当 2,b  则 8d  , 则     22 2 1 5 8 7 66 5a a a        ， 即 2 3 685a a  ， ∵1 9,a  且 a为正整数， ∴解得 4a  ， ∵ 6a c k  （ k为正整数）， ∴当 1k  时，则 2c  ， 此时这个“顺顺利利数”为 4228， ∴当 2k  时，则 8c  ， 此时这个“顺顺利利数”为 4288， 当 3,b  则 9d  , 则     23 3 1 5 9 7 66 5a a a        ， ∴ 2 275 7a a  ∵1 9,a  且 a为正整数， ∴ 2 275 7a a  无解， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 ∴4288 4228 8516  ， 故答案为： 2 8516, ．