【专项练】二元一次方程组行程问题-鲁教版五四制七年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 行程问题 1．小颖上坡用了 11分钟，下坡用了 5分钟； 【分析】设小颖上坡用了 x分钟，下坡用了 y分钟，根据“小颖家离学校 1880米，且去学校共 用了 16分钟”，即可得出关于 x， y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：①设小颖上坡用了 x分钟，下坡用了 y分钟， 依题意得： 16 80 200 1880 x y x y      ， 解得： 11 5 x y    ． 答：小颖上坡用了 11分钟，下坡用了 5分钟． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次 方程组． 2．16，61，106． 【分析】设小亮第一次看到的两位数，十位数为 x，个位数为 y，则 1h后，看到里程碑上的两 位数个位数为 x，十位数为 y，再过 lh，看到里程碑上的数，百位数为 x，十位数字为 0，个位 数为 y，从而表示出这个三个里程碑上的数，再根据是匀速行驶，由每个小时的行程相等，列 出方程，便可解答． 【详解】解：设小亮第一次看到的两位数，十位数为 x，个位数为 y， 则 1h后，看到里程碑上的两位数个位数为 x，十位数为 y， 再过 lh，看到里程碑上的数，百位数为 x，十位数字为 0，个位数为 y， ∴第一个里程碑上的数为（10x+y）， 第二个里程碑上的数为（10y+x）， 第三个里程碑上的数为（100x+y）， ∵小亮是匀速行驶， ∴第 1h行驶的路程=第 2h行驶的路程， ∴（10y+x）-（10x+y）=（100x+y）-（10y+x）， 化简得，y-x=11x-y， ∴y=6x， ∵x，y都为整数，且 1≤x≤9，1≤y≤9， ∴x=1，y=6， ∴这 3块里程碑上的数各是 16，61，106． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 答：这 3块里程碑上的数各是 16，61，106． 【点睛】本题考查的是二元一次方程的应用，考查了求不定方程的解，考查了数学在生活中的 运用，及二元一次方程的正整数解．正确理解题意并列出方程是解题的关键． 3．（1）9min；（2）PA＝800m，QB＝400m；（3）0m/min＜V≤100m/min 【分析】（1）根据路程÷速度＝时间列式计算即可； （2）设 PA＝x，QB＝y，根据“爷爷骑电动车沿 P﹣A﹣B﹣Q送显然上学花了 5min，沿 Q﹣B ﹣C﹣D﹣P（在 B处遇堵车立即掉头）回家花了 6min”列方程组，解方程组即可得到结论； （3）设显然步行的速度为 Vm/min，根据题意求得 V≤100m/min，于是得到结论． 【详解】解：（1）（1000+1000）÷400+（1000+1000）÷500＝9min 答：爷爷骑电动车跑一圈需要 9min； （2）设 PA＝x，QB＝y， 则 1000 5 400 500 400 1000 1000 1000 6 400 400 500 400 x y y x            解得 800 400 x y    ， ∴PA＝800m，QB＝400m； （3）设显然步行的速度为 Vm/min， 则爷爷沿 P﹣A﹣B﹣Q骑行要花 800 1000 4 400 500   min， ∴4V≤400， 解得 V≤100m/min ∴显然步行的速度的取值范围为 0m/min＜V≤100m/min． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确的列出方程组是解题的关键． 4．(1)3000m，10min (2)见解析 【分析】（1）设小华家里离学校有 x m，前 1 5 路段小华步行所用时间是 y min．根据“用两种方 式表示出前 1 5 路段的路程“、“小华从家里到学校一共用了 22min”列出方程组并解答即可； （2）小华从家里到学校去上学步行了多少 m？小华骑自行所用时间是多少 min？利用速度、 时间以及路程的关系列出方程组． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 【详解】（1）解：设小华家里离学校有 xm，前 1 5 路段小华步行所用时间是 ymin． 根据题意 得， 1 60 5 60 22 200 x y x yy        解得 3000 10 x y    答：小华家里离学校有 3000m，前 1 5 路段小华步行所用时间是 10min． （2）小华从家里到学校去上学步行了多少 m？小华骑自行所用时间是多少 min？ 设小华从家里到学校去上学步行了 sm，小华骑自行所用时间是多少 tmin，根据题意得， 4 200 22 60 s t s t      【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出方程组是解题的关键． 5．甲的速度是5.5m / s，乙的速度是4.5m / s或甲的速度是4.5m / s，乙的速度是5.5m / s 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用．设甲的速度是 m / sx ，乙的速度是 m / sy ，根据两 种不同的方式列出方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设甲的速度是 m / sx ，乙的速度是 m / sy ， 根据题意，得 80 80 800 800 800 800 x y x y      或 80 80 800 800 800 800 x y y x      即 10 1 x y x y      或 10   1 x y y x      解得 5.5 4.5 x y    或 4.5 5.5 x y    答：甲的速度是5.5m / s，乙的速度是4.5m / s或甲的速度是4.5m / s，乙的速度是5.5m / s． 6．(1)起步价为 3元，超过 3千米后每千米 1.5元 (2)付费 11.25元 【分析】（1）设出租车的起步价是 x元，超过 3千米后每千米收费 y元．根据他们的对话列 出方程组并解答； （2）8.5千米分两段收费：3千米、  8 5 3.  千米．根据（1）中的单价进行计算． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找 出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中 要给出 2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键． 【详解】（1）解：设出租车的起步价是 x元，超过3千米后每千米收费 y元． 依题意得，     4.5 3 5.25 6 3 7.5 x y x y         ， 解得 3 1.5 x y    ． 答：出租车的起步价是3元，超过3千米后每千米收费1.5元； （2）解：  3 8 5 3 1 5 11 25. . .    （元）． 答：小明乘出租车从学校到汽车站走了8.5km，应付车费11.25元． 7．2196 【分析】设相遇的时间为 t分钟，则甲行驶的路程为52t米；乙行驶的路程为70t米； 设第二次相遇时间为 t，根据题意，得甲行驶的路程为  52 4x  米；乙行驶的路程为90x米；列 方程组，得  52 4 52 70 90 x t t x      ，解方程组即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：设相遇的时间为 t分钟，则甲行驶的路程为52t米；乙行驶的路程为70t米； 设第二次相遇时间为 t，根据题意，得甲行驶的路程为  52 4x  米；乙行驶的路程为90x米； 根据题意，得  52 4 52 70 90 x t t x      ， 解得 18 14 t x    ， 故两地路程为52 70 2196t t  米． 故答案为：2196． 8．(1)甲跑了 6000米后，两人初次在 A点处相遇 (2)乙跑了 1200米后，两人初次在 B点处相遇 【分析】本题考查了相遇问题，二元一次方程的实际应用，以及整除的运用，解题的关键在于 根据题意找出等量关系并求解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 （1）设甲跑了 n圈后，两人初次在 A点处相遇，再设甲、乙两人的速度分别为 1 3v m ， 2 2v m ， 根据路程速度时间得到乙跑步的路程为 800 3 n，再利用 800 3 n应是 250的整数倍，得到 n的最 小值，最后求出甲跑的路程，即可解题； （2）设乙跑了250 200p  米，甲跑了400 200q  米时，两人初次在 B处相遇，结合题意设甲、乙 两人的速度分别为 1 5v m ， 2 6v m ，利用两人跑步的时间相同建立等式，得到48 4 25q p  ，进 而推出 p，q的最小值，以及得到乙跑的路程，即可解题． 【详解】（1）解：设甲跑了 n圈后，两人初次在 A点处相遇，  1 2: 3 : 2v v  ， 设甲、乙两人的速度分别为 1 3v m ， 2 2v m ， 由题意可得在 A处相遇时，乙跑步的路程是 400 8002 3 3 n m n m   因乙跑回到 A点处，所以 800 3 n应是 250的整数倍，从而知 n的最小值是 15， 此时，甲跑过的路程为 400 15 6000  （米）， 故甲跑了 6000米后，两人初次在 A点处相遇； （2）解：设乙跑了 250 200p  米，甲跑了 400 200q  米时，两人初次在 B处相遇，  1 2: 5 : 6v v  ， 设甲、乙两人的速度分别为 1 5v m ， 2 6v m ， 由题意可得 400 200 250 200 5 6 q p m m    ，即 8 4 5 4 5 6 q p   ． 所以 48 24 25 20q p   ，即 48 4 25q p  （p，q均为正整数）， p，q的最小值为 4与 2． 此时，乙跑过的路程为 250 4 200 1200   （米）， 故乙跑了 1200米后，两人初次在 B点处相遇． 9．公交车总站发车间隔的时间是 4min 【分析】本题考查了路程问题和二元一次方程组的应用．是一个既含有相遇又含有追及的综合 性行程问题，准确的找到相等关系列出方程组是解题的关键．有下列隐含的等量关系：①迎 面驶来的两车距离 3 （车速+人速）；②背后开来的两车距离 6 （车速—人速）；③迎面 驶来的两车距离=背后开来的两车距离；④同向的两车距离=车速×发车间隔时间． 【详解】解：方法一：设公交车的速度为 m/minx ，小王行走的速度为 m/miny ，发车间隔的时间 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 为 mint ，则       3 6 6 x y x y x y xt        ① ② 化简①得 2 2x y x y   ， 即 3x y③ ． 把③代入①，得  6 3 3y y yt  即12 3y yt 解得 4t  ． 所以公交车总站发车间隔的时间是 4min． 方法二：设同向行驶的相邻两车的间距为 ms ，发车间隔的时间为 mint ，小王行走相邻两车间 距 ms 所用的时间为 minm ，则 3 6 s s s t m s s s t m                化简得 1 1 1 3 1 1 1 6 t m t m         ① ② ① ②，得 2 3 6t  解得 4t  ． 所以公交车总站发车间隔的时间是 4min． 10．(1)小贵每小时走6km，小港每小时走 4km (2)2h后两人相距17km 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题 的关键． （1）设小贵每小时走 kmx ，小港每小时走 kmy ，根据“若小贵比小港先走 2h，则他们在小港出 发 2.5h后相遇；若小港比小贵先走5.5h，则他们在小贵出发1.5h后相遇”，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据 2h后两人间的距离 37 两人的速度之和运动时间，即可求出结论． 【详解】（1）解：设小贵每小时走 kmx ，小港每小时走 kmy ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 依题意，得： (2 2.5) 2.5 37 1.5 (5.5 1.5) 37 x y x y        ， 解得： 6 4 x y    ； 答：小贵每小时走6km，小港每小时走 4km． （2）解：37 (6 4) 2 17(km)    ， 答： 2h后两人相距17km． 11．(1)水流速度是每小时 5千米； (2)救生圈从 A港口漂流到 B港口所需时间为 48小时； (3)救生圈于上午 12时掉入水中． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意； （1）设小船在静水中的速度为 x千米/小时，水流速度为 y千米/小时，然后根据题意可列方程 组为     240 8 240 12 x y x y       ，可进行求解； （2）设小船在静水中的速度为 a千米/小时，水流速度为 b千米/小时，A港口到 B港口的距离 为 s千米，然后根据题意可列方程为     8 12 s a b s a b       ，然后根据行船问题可进行求解； （3）设救生圈在出发 t小时掉入水中，小船需 8小时到 B港口，则救生圈从掉入水中到被找到 共在水中漂流了  8 4t  小时，然后根据题意可列方程为  1 1 48 4 8 48 12 st t s s s     ，进而问题 可求解． 【详解】（1）解：设小船在静水中的速度为 x千米/小时，水流速度为 y千米/小时， 由题意得：     240 8 240 12 x y x y       ， 解得： 25 5 x y    ， 答：水流速度是每小时 5千米； （2）解：设小船在静水中的速度为 a千米/小时，水流速度为 b千米/小时，A港口到 B港口的 距离为 s千米，由题意得： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8     8 12 s a b s a b       ， 解得： 5 48 1 48 a s b s       ， ∴救生圈按水流速度由 A港口漂流到 B港口需要的时间为 48 48 s s sb   （小时）； 答：救生圈从 A港口漂流到 B港口所需时间为 48小时； （3）解：设救生圈在出发 t小时掉入水中，小船需 8小时到 B港口，则救生圈从掉入水中到被 找到共在水中漂流了  8 4t  小时，由题意得：  1 1 48 4 8 48 12 st t s s s     ， 解得： 4t  ， ∴8 4 12  ； 答：救生圈于上午 12时掉入水中． 12．A， B两地间国道和高速公路分别是90千米，200千米 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关 系，列出方程组； 首先设A，B两地间国道和高速公路分别是 x、y千米，根据题意可得等量关系：国道路程高 速路程 290 ，在国道上行驶的时间在高速公路上行驶的时间 3.5 ，根据等量关系列出方程组， 再解即可． 【详解】解：设A， B两地间国道和高速公路分别是 x千米， y千米， 根据题意，得 290 3.5 60 100 x y x y       ， 解得 90 200 x y    ， 答：A， B两地间国道和高速公路分别是90千米，200千米． 13． 42 5 4 60 x y   【分析】本题考查了二元一次方程组知识，掌握以上知识是解题关键；根据二元一次方程组知 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 识，找到题目中等量关系，列出方程即可求解，注意题目中上坡和下坡的区别； 【详解】解：∵从乙地到甲地需42min， ∴乙地到甲地需 42 h 60 ， ∵下坡有 kmx ，下坡每小时走5km， ∴下坡时间为 h5 x ， ∵平路有 kmy ，平路每小时走 4km， ∴平坡时间为 h4 y ， ∴列方程为： 425 4 60 x y   ， 故答案为： 42 5 4 60 x y   ； 14．3373.2 【分析】先求出小智修好车之前用的时间，再设小智再次登顶用了 t分，则可列出小雅走的距 离．设 t中有 m个 5分钟，除 t中的 6m分钟外还余 x分钟（ 5x  ）．则可知小智再次登顶有 m个休息，又可知 6t m x  ，即可求出小智登顶的距离．最后利用小雅和小智登顶的距离相同， 可列出关于 m和 x的二元一次方程．利用 m为整数， 5x  即可求解．即可得出答案． 【详解】小智前 10分钟走了 (5 4) 120 1080   米， 下山修车用了1080 50 21.6  分钟， 设小智再次登顶用了 t分，t不一定是 6的倍数． 则小雅走了 4545(10 21.6 15 ) 60 t    米，即 (2063.25 45 )t 米． 设 t中有 m个 5分钟，除 t中的 6m分钟外还余 x分钟（ 5x  ），则小智再次登顶有 m个休息． ∴ 5 6t m m x m x     ． ∵小智登顶的距离为5 120 120m x  ， ∴5 120 12 2063.25 50 4m x t    ，即 2063.5 12 250 120 45(6 )m xm x    ， 整理得：330 75 2063.25m x  ． ∵m为整数， 5x  ， ∴ 6m  ， 1.11x  则山脚到山顶的距离为5 6 120 120 1.11 3733.2     米． 故答案为：3733.2． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 行程问题 1．列二元一次方程组解应用题： 小颖家离学校 1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她跑步去学校共用了 16分钟， 已知小颖在上坡路上的平均速度是 80米/分钟，在下坡路上的平均速度是 200米/分钟．求小颖 上坡、下坡各用了多长时间？ 2．小亮在匀速行驶的汽车里，注意到公路里程碑上的数字是一个两位数；1h后，看到里程碑 上的两位数与第一次看到的两位数恰好互换了两个数字的位置；再过 1h，看到里程碑上的数 是第一次看到的两位数的两个数字之间添加一个 0的三位数．这 3块里程碑上的数各是多少？ 3．如图，四条街围成边长为 1000m的正方形 ABCD，显然家住在东西方向 DA街道的点 P处， 他的学校在东西方向 CB街道的点 Q处．已知显然爷爷骑电动车在东西方向的街道的速度是 400m/min，在南北方向的街道的速度是 500m/min．已知爷爷骑电动车沿 P﹣A﹣B﹣Q送显然 上学花了 5min，沿 Q﹣B﹣C﹣D﹣P（在 B处遇堵车立即掉头）回家花了 6min． （1）爷爷骑电动车跑一圈需要多少 min？ （2）求 PA，QB的长度； （3）如果爷爷和显然同时出发，爷爷骑电动车沿 P﹣A﹣B﹣Q骑行，显然沿 Q﹣B步行，且 在 BQ上互相看见，求显然步行的速度的取值范围． 4．小华从家里出发到学校去上学，前 1 5 路段小华步行，其余路段小华骑自行车． 已知小华步 行的平均速度为 60m/min，骑自行车的平均速度为 200m/min，小华从家里到学校一共用了 22min． (1)小红同学提出问题：小华家里离学校有多少 m？ 前 1 5 路段小华步行所用时间是多少 min？ 请你就小红同学提出的问题直接设出未知数列方程组进行解答． (2)请你再根据题目的信息，就小华走的“路程”或“时间”，提出一个能用二元一次方程组解答但 与第（1）问不完全相同的问题，并设出未知数、列出方程组． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 5．甲、乙两人骑自行车绕800m圆形跑道行驶，从同一地点同时出发，如果方向相反，每过80s 相遇一次；如果方向相同，每过800s相遇一次．求甲、乙两人的速度． 6．某市的出租车是这样收费的：起步价所包含路程为0 3km～ ，超过3km的部分按每 km另行收 费．小刘说：“我乘出租车从家到汽车站走了4.5km，付车费5.25元．”小李说：“我从我家乘出 租车到汽车站走了6km，付车费7.5元．” (1)出租车的起步价是多少元？超过3公里后每 km收费多少元？ (2)小明乘出租车从学校到汽车站走了8.5km，应付车费多少元？ 7．甲、乙两人从两地同时出发相向而行，甲每分钟走 52米，乙每分钟走 70米，在 A点相遇； 如果甲先走 4分钟，然后甲的速度仍为每分钟 52米，乙的速度变为每分钟 90米，恰好还在 A 点相遇，则两地相距 米． 8．如图是一个长为 400米的环形跑道，其中 A，B为跑道对称轴上的两点，且 A，B之间有一 条 50米的直线通道．甲乙两人同时从 A点出发，甲按逆时针方向以速度 1v 沿跑道跑步，当跑 到 B时继续沿跑道前进，乙按顺时针方向以速度 2v 沿跑道跑步，当跑到 B时沿直线通道跑回 A 点处，假设两人跑步的时间足够长求： (1)假如 1 2: 3 : 2v v  ，那么甲跑了多少路程后，两人初次在 A点处相遇； (2)假如 1 2: 5 : 6v v  ，那么乙跑了多少路程后，两人初次在 B点处相遇． 9．小王沿街匀速行走，发现每隔6min从背后驶过一辆公交车，每隔3min迎面驶来一辆公交 车．假设每辆公交车行驶速度相同，且公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时 间是多少分钟？ 10．小贵、小港两人从相距37km的两地相向而行． (1)若小贵比小港先走 2h，则他们在小港出发 2.5h后相遇；若小港比小贵先走5.5h，则他们在小 贵出发1.5h后相遇，求小贵、小港两人每小时各走多少千米？ (2)如果他们同时出发，并保持（1）中的速度，那么 2h后两人还相距多少千米？ 11．一只小船从A港口顺水航行到 B港口需 8小时，而从 B港口逆水返回到A港口需 12小时．某 日，该小船在早晨 8点出发，由A港口顺水航行到 B港口时，发现船上一个救生圈在途中掉入 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 水中，于是立即返回寻找救生圈，4小时后找到救生圈． (1)若A港口到 B港口的航程为 240千米，求水流速度是每小时多少千米？ (2)若救生圈从A港口漂流到 B港口，需要多长时间？ (3)救生圈于何时掉入水中？ 12．从 A地到 B地全程290km，前一路段为国道，其余路段为高速公路．一辆汽车从 A地开往 B地一共行驶了3.5h．已知汽车在国道上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为 100km/h，则 A，B两地间国道和高速公路各多少千米？ 13．从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走 4km， 下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min．甲地到乙地全程是多 少？小李将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设上坡有 kmx ，平路有 kmy ，已经列出 一个方程 54 3 4 60 x y   ，则另一个方程是 ． 14．小雅和小智约好周末一起登缙云山，两人同时从山脚出发，沿同一路线上山．小雅以每分 钟 45米的速度匀速上山，途中不休息；小智以每分钟 120米的速度骑自行车匀速上山，每骑 车 5分钟休息 1分钟．10分钟后小智自行车出现故障，立即以每分钟 50米的速度推着自行车 到山脚出发点维修．15分钟后小智修好了自行车，立即以出发时的速度骑车追赶小雅，仍然 骑车 5分钟休息 1分钟，最后小雅还是比小智早到山顶 45秒，则山脚到山顶的距离为 米．