【专项练】二元一次方程组解的应用-鲁教版五四制七年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 二元一次方程组解的应用 1．C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握使二元一次方程左右两边相等的未知数的值 叫方程的解是解题的关键． 根据方程的解的定义把 3 x a y a    代入二元一次方程 8 0y x   中，再解关于 a的方程，即可求出 a的值． 【详解】解： 3 x a y a    代入二元一次方程 8 0y x   ，得 3 8 0a a   ， 解得： 4a   ， 故选：C． 2． 2 【分析】此题考查了二元一次方程的解和求代数式的值．根据二元一次方程的解得到 2 4m n  ， 再整体代入  2 4 10 2 2 10m n m n     即可得到答案． 【详解】解：将 1 2 x y     代入方程 4mx ny+ = ，得 2 4m n  ，  2 4 10 2 2 10 2 4 10 2m n m n           ． 故答案为： 2 ． 3．1 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，根据题意得出关于 m的方程  3 2 4 1 2 8m       ， 是解题的关键． 将 2 1 x y     代入 x，y的二元一次方程3 4 2 8x y m    ，得出关于 m的方程，解方程即可． 【详解】解：∵ 2 1 x y     是关于 x，y的二元一次方程3 4 2 8x y m    的一个解， ∴  3 2 4 1 2 8m       ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 解得： 1m  ． 故答案为：1． 4． 3 1 x y    【分析】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，理解二元一次次方程组的解是解 题的关键． 令 2x X  ，3y Y ，得到关于 X和 Y的二元一次方程组的解，再代入并求出 x和 y即可求解． 【详解】解：令 2x X  ，3y Y ，则方程组     2 3 2 3 a x by c m x ny d         可变形为： aX bY c mX nY d      ， ∵方程组 ax by c mx ny d      的解为 1 3 x y    ， ∴ 1 3 X Y    ， ∴ 2 1 3 3 x y     ， 解得： 3 1 x y    ， 故答案为： 3 1 x y    ． 5． 4 4 x y    【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据题意令 1, 1a x b y    ，代入方程组即可得到答案． 【详解】解：由于方程组 2 3 3 2 5 a b c a b c      的解是 3 5 a b    ， 令 1, 1a x b y    ， 故方程组 2( 1) ( 1) 3 3( 1) 2( 1) 5 x y c x y c          变为 2 3 3 2 5 a b c a b c      ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 1 3 1 5 x y      ， 故 4 4 x y    ． 故答案为： 4 4 x y    ． 6．-6 【分析】根据加减消元法得出 ( 6) 21a x  ，然后根据方程组无解，得到 a+6=0，求出即可． 【详解】解∶ 2 4 3 9 x y ax y      ① ② ， ①×3+②，得 ( 6) 21a x  ， ∵方程组无解， ∴a+6=0， ∴a=-6． 故答案为：-6． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程等知识点的应用，关键是根据题意得 出一个关于 a的方程（a＋6＝0），题目比较典型，有一点难度，是一道容易出错的题目． 7．2 【分析】此题考查了二元一次方程的解和求代数式的值．根据二元一次方程的解满足方程得到 2 0a b  ，整体代入6 3 2 3(2 ) 2a b a b     即可得到答案． 【详解】解：把 ,x a y b    代入方程 2 0x y  ， 得 2 0a b  ， 6 3 2 3(2 ) 2 2a b a b       ． 8． 2 3 m n     【分析】本题考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程组，利用整体思想求解方程组是解 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 题的关键．根据题意可得关于  m n 、  m n 的二元一次方程组         2 1 3 8 m n a m n b m n m n            的解是 1 5 m n m n       ，解之即可得出结论． 【详解】解：关于 x、y的二元一次方程组 2 1 3 8 x ay bx y       的解为 1 5 x y     ， 关于  m n 、  m n 的二元一次方程组         2 1 3 8 m n a m n b m n m n            的解是 1 5 m n m n       ， 解得 2 3 m n     ， 关于 m，n的二元一次方程组         2 1 3 8 m n a m n b m n m n            的解为 2 3 m n     ， 故答案为： 2 3 m n     ． 9．(1) 27 4 1x y  (2)见详解 【分析】（1）根据题意和整式的化简可以求出结果； （2）根据二元一次方程的解的定义取一组简单的解，代入 A B 即可，求出答案； 【详解】（1）解：∵ 2 2 1B xA y  ， 24 3A x y  ， ∴  2 2 2 2 24 3 2 1 4 3 2 1 3 1B x y x y x y x y x y             , ∴ 2 2 24 3 3 1 7 4 1A B x y x y x y         ； （2）由（1）可知 27 4 1A B x y    ， ∵2 3 8x y  ， ∴取 4 0 x y      ， ∴ 27 4 4 0 1 111A B       【点睛】本题主要考查了整式的化简，二元一次方程的解等知识点，解决此题的关键是整式化 简的时候不要抄错字母和符号 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 10．存在 15 n  ，“完美值”为 2 5 x   ． 【分析】本题考查二元一次方程的解，理解新定义，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关 键． 根据“雅系二元一次方程”的“完美值”的定义得 1x x n    ，解得 12 nx  ； 1 2 x x n  ，解得 2x n  ； 再根据两方程的“完美值”相同，得出 1 2 2 n n   ，再求解即可． 【详解】解：存在． 根据题意，把 y x 代入“雅系二元一次方程” 1y x n    ，得 1x x n    ，解得 12 nx  ． 把 y x 代入“雅系二元一次方程” 1 2 y x n  ，得 1 2 x x n  ，解得 2x n  ． 又∵这两个方程的“完美值”相同， 1 2 2 n n   ，解得 1 5 n  ． 把 1 5 n  代入 2x n  ，得 2 5 x   ． 综上所述，存在 1 5 n  ，使得“雅系二元一次方程” 1y x n    与 1 2 y x n  的“完美值”相同，此时 的“完美值”为 2 5 x   ． 11．(1)a的值为2，b的值为1； (2) 6m   ． 【分析】（1）根据新定义，列出二元一次方程组，求出方程组的解即得到 a，b的值； （2）将 2 1 a b    代入原方程组得 2 3 2 2 x y m x y m       ，然后根据二元一次方程组组的解法即可求解； 本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，理解新定义，掌握二元一次方程组的解法是解题 的关键． 【详解】（1）根据题意得： 3 1 a b a b       ， 解得： 2 1 a b    ， ∴a的值为2，b的值为1； （2）将 2 1 a b    代入原方程组得： 2 3 2 2 x y m x y m       ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 ① ②得： 2 2x y m    ， 又∵ 10x y  ， ∴ 10 2 2m   ， 解得： 6m   ， ∴m的值为 6 ． 12．D 【分析】将 1a  ， 2b  ， 3c  ， 4d  代入到四元方程中看等式两边是否相等即可判断①；设 1 2 3a k b k c k d k      ， ， ， ，然后代入四元方程即可判断②；先证明  2 2 0d c d c    ，同 理得到  2 2 0b a a b    ，即可推出 1 0 1 0d c b a     ， 得到 1 1b a d c   ， ，据此即可判断 ③；根据③所求可以推出 1010a c  ，由此即可判断④． 【详解】解：当 1a  ， 2b  ， 3c  ， 4d  时，方程左边=1 2 3 4=10   ，方程右边 2 2 2 2=4 3 2 1 =10   ， ∴方程左右两边相等， ∴ 1a  ， 2b  ， 3c  ， 4d  是四元方程的一组解，故①正确； 设 1 2 3a k b k c k d k      ， ， ， ， ∴ 1 2 3 4 6a b c d k k k k k            ，      2 2 22 2 2 2 23 2 1d c b a k k k k          2 2 2 26 9 4 4 2 1k k k k k k k          4 6k  ， ∴当 1 2 3a k b k c k d k      ， ， ， ，四元方程左右两边相等， ∴连续的四个正整数一定是该四元方程的解，故②正确； ∵            2 2 1d c d c d c d c d c d c d c            ， d c ，且 c、d均为正整数， ∴ 1 0 0d c d c    ， ， ∴  2 2 0d c d c    ， 同理  2 2 0b a a b    ， ∴ 2 2 2 2d c b a a b c d       ， 又∵ 2 2 2 2a b c d d c b a       ， ∴ 1 0 1 0d c b a     ， ， ∴ 1 1b a d c   ， ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 ∴ 1 2a b ， 时， 3 4c d ， 或 4 5c d ， 或 5 6c d ， 或 6 7c d ， 或 7 8c d ， 或 8 9c d ， ， 同理 2 3a b ， 时， 4 5c d ， 或 5 6c d ， 或 6 7c d ， 或 7 8c d ， 或 8 9c d ， ， 3 4a b ， 时， 5 6c d ， 或 6 7c d ， 或 7 8c d ， 或 8 9c d ， ， L ， 6 7a b ， 时， 8 9c d ， ， ∴当 10a b c d    ，该四元方程一共有6 5 4 3 2 1=21     组解，故③正确； 由③得 1 1b a d c   ， ， ∵ 2022a b c d    ， ∴ 1 1 2022a a c c      ， ∴ 1010a c  ， ∵a，c都是正整数，且 a c ， ∴当 1a  时， 1009c  ， 当 2a  时， 1008c  ， L ， 当 504a  时， 506c  ， ∴满足题意的 a、b、c、d的值有 504组， ∴若 2022a b c d    ，则该四元方程有 504组解，故④正确； 故选 D． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，二元一次方程的解，解题的关键在于能够正确理解 题意，以及方程的解得含义． 13．(1) 1 6 x y    ， 2 3 x y    ； (2) 2 0 x y    (3) 1m  或 3或 1 或 5 【分析】此题考查了解二元一次方程的整数解，二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟 练掌握求方程组的解是本题的关键． （1）用含 x的代数式表示 y，即可确定出方程的正整数解； （2）由固定的解与m无关，可得 0y  ，代入可得固定的解； （3）求出方程组中 y的值，根据 y恰为整数，m也为整数，可确定m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 【详解】（1）解：方程3 9 0x y   ， 9 3y x   ， 当 1x  时， 6y  ； 当 2x  时， 3y  ， 方程3 9 0x y   的所有正整数解为： 1 2 , 6 3 x x y y       ． （2）解：3 6 0x y my    ，  3 1 6x m y    ， 当 0y  时， 2x  ， 即固定的解为： 2 0 x y    ． （3）解： 3 9 0 3 6 0 x y x y my         ① ② ， ① ②得：2 3 0y my   ，  2 3m y   ， 3 2 y m    ， y 恰为整数，m也为整数， 2 m  是 3的约数， 2 1m   或 1 ，或 3，或 3 ． 故 1m  或 3或 1 ，或 5. 14．(1)是 (2) 4k  (3)5 【分析】本题考查二元一次方程的解，解二元一次方程组，掌握“友好方程”的定义是解题的关 键． （1）根据“友好方程”的定义进行判断即可； （2）根据“友好方程”的定义，进行求解即可； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 （3）先根据“友好”方程组的定义求出 m，n的值，再根据方程组的解的定义，得到关于 p，q 的方程组，进行求解即可． 【详解】（1）解： 3 6 9x y  中，3 6 9  ， 方程是最佳方程， 故答案为：是； （2）解：关于 ,x y的二元一次方程  2 1 11kx k y   是“最佳”方程， 2 1 11k k    ， 解得 4k  ； （3）解：方程组     3 2 1 2 3 nx m y m mx n y m           是“最佳”方程组，  3 2n m m     ，  1 2 3m n m    ， 1m  ， 3n  ， 原方程组为 3 2 1 4 5 x y x y      ， x p y q     是方程组 3 2 1 4 5 x y x y      的解， 3 2 1 4 5 p q p q      ① ② 解得 1 1 p q    ， 2 3 5p q   原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 二元一次方程组解的应用 1．已知 3 x a y a    是二元一次方程 8 0y x   的一个解，那么 a的值是（ ） A． 2 B．2 C． 4 D．4 2．若 1 2 x y     是关于 ,x y的二元一次方程 4mx ny+ = 的一组解，则 2 4 10m n  的值为 ． 3．若 2 1 x y     是关于 x， y的二元一次方程3 4 2 8x y m    的解，则m  ． 4．若关于 x，y的方程组 ax by c mx ny d      的解为 1 3 x y    ，则方程组     2 3 2 3 a x by c m x ny d         的解为 ． 5．若方程组 2 3 3 2 5 a b c a b c      的解是 3 5 a b    ，则方程组 2( 1) ( 1) 3 3( 1) 2( 1) 5 x y c x y c          的解为 ． 6．若方程组 2 4 3 9 x y ax y      无解，则 a的值为 7．已知 x a y b    是方程 2 0x y  的解，求6 3 2a b  的值． 8．关于 x、y的二元一次方程组 2 1 3 8 x ay bx y       的解为 1 5 x y     ，则关于 m，n的二元一次方程组         2 1 3 8 m n a m n b m n m n            的解为 ． 9．已知多项式A、 B， 2 2 1B xA y  ，已知 24 3A x y  ． (1)求 A B ． (2)若 x与 y的关系符合方程 2 3 8x y  ，请你给出一组 x、 y的值，求 A B 的值． 10．运算能力 我们把 y ax b  （a，b为常数，x，y为未知数）这样的方程称为“雅系二元一次 方程”．当 y x 时，“雅系二元一次方程” y ax b  中的 x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美 值”．例如：当 y x 时，“雅系二元一次方程” 3 4y x  化为 3 4x x  ，其“完美值”为 2x  ．请你 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 判断是否存在常数 n，使得“雅系二元一次方程” 1y x n    与 1 2 y x n  的“完美值”相同．若存 在，求出 n的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由． 11．对于 x， y定义一种新运算 ，规定： x y ax by  （其中 a，b均为非零常数）． 例如：1 2 2a b  ，已知1 1 3 ， 1 1 1   ． (1)求 a，b的值． (2)在（1）的条件下，若关于 x， y的二元一次方程组  5 2 2 ax by m a x by m        的解满足 10x y  ， 求m的值． 12．已知正整数 a，b，c，d满足 a b c d   ，且 2 2 2 2a b c d d c b a       ，关于这个四元方程 下列说法正确的个数是（ ） ① 1a  ， 2b  ， 3c  ， 4d  是该四元方程的一组解； ②连续的四个正整数一定是该四元方程的解； ③若 10a b c d    ，则该四元方程有 21组解； ④若 2022a b c d    ，则该四元方程有 504组解． A．1 B．2 C．3 D．4 13．已知关于 ,x y的方程组 3 9 0 3 6 0 x y x y my         (1)请直接写出方程3 9 0x y   的所有正整数解； (2)无论数m取何值，方程3 6 0x y my    总有一个固定的解，请求出这个解； (3)若方程组的解中 y恰为整数，m也为整数，求m的值． 14．我们规定，关于 x y， 的二元一次方程 ax by c  ，若满足 a b c  ，则称这个方程为“最佳” 方程．例如：方程3 4 7x y  ，其中 3a  ， 4b  ， 7c  ，满足a b c  ，则方程3 4 7x y  是“最佳” 方程，把两个“最佳”方程合在一起叫“最佳”方程组．根据上述规定，回答下列问题： (1)判断方程3 6 9x y  ______“最佳”方程（填“是”或“不是”）； (2)若关于 x y， 的二元一次方程  2 1 11kx k y   是“最佳”方程，求 k的值． (3)若 x p y q    是关于 x y， 的“最佳”方程组     3 2 1 2 3 nx m y m mx n y m           的解，求 2 3p q 的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3