精品解析：上海外国语大学附属外国语学校松江云间中学2024-2025学年高一下学期三月月考数学试卷

2024—2025学年第二学期第一次学情调研 高一数学试卷 考试时长：120分钟 分值：150分 考生注意： 1.本试卷共4页,共21题. 2.本考试分设试卷和答题纸,试卷包括试题与答题要求,作答必涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分. 3.答卷前,务必用黑色水笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号. 一、填空题（本大题共有12题,满分54分、第1题至第6题每题4分,第7题至第12题每题5分.） 1. 已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为______________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据扇形弧长公式求值即可. 【详解】由扇形弧长公式可得：. 所以扇形圆心角为：弧度. 故答案为： 2. 设角终边上一点，则的值为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据任意角三角函数定义计算即可. 【详解】当时，； 当时，． 故答案为：或. 3. 若是函数两个相邻的零点，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据周期的计算公式即可求解. 【详解】由题意得函数的最小正周期 ，解得． 故答案为： 4. 函数的值域为_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据角所在的象限讨论，即可去掉绝对值，得出值域. 【详解】当在第一象限时，， 当在第二象限时，， 当在第三象限时，， 当在第四象限时，， 当在坐标轴上时，函数无意义， 综上，函数的值域为. 故答案为：. 5. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正切函数的和差公式求得，再利用正余弦函数的齐次式法即可得解. 【详解】因为， 所以， 则 故答案为：. 6. 在中，角所对的边分别为，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理、正弦定理角化边求解即得. 【详解】在中，由及余弦定理，得， 由正弦定理得. 故答案为： 7. 已知，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，切化弦，再利用和差角的余弦公式求解. 【详解】依题意，，则， 由，得，解得， 所以. 故答案为： 8. 已知函数，则函数在上的单调递增区间为：________________. 【答案】 【解析】 【分析】化简得，再根据正弦函数性质即可求出其增区间. 【详解】 ， 由，， 可得，，令，则， 又因为，则其在上单调增区间为. 故答案为：. 9. 函数的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两角差的正弦公式，化简得到，即可求解. 【详解】由 当时，即 所以最大值为： 故答案为： 10. 已知的内角的对边分别为，且，若的面积等于，则的周长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理可得，求出，再由余弦定理结合三角形面积公式可得，最后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以由正弦定理得，因为， 所以，即， 因为，所以，解得 因为的面积等于，则，得， 在中，由余弦定理得 的周长为， 当且仅当时等号成立， 综上所述，当且仅当是以为顶角的等腰三角形时， 的周长取到最小值，且最小值为． 故答案为：. 11. 某数学建模小组模拟“月距法”测量经度的一个步骤．如图所示，点均在同一个竖直平面内，点分别代表“月球”与“轩辕十四”（恒星名）．组员在地面处测得轩辕十四的仰角，随后向着两“天体”方向前进4米至处，测得两“天体”的仰角分别为、．若“月球”距离地衣的高度为3米，则“轩辕十四”到“月球”的距离约为_________（精确到）. 【答案】 【解析】 【分析】利用两角一边结合正弦定理求边，再利用余弦定理求边即可. 【详解】在Rt中，，则 因为，所以 因为，所以， 在中，由正弦定理得，， 所以， 在中， 由余弦定理得 所以米． 故答案为：4.25米． 12. 在中，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用正、余弦定理求出，再利用同角三角函数的基本关系可推出各边之间的关系，最后利用余弦定理即可求得答案. 【详解】设的内角的对边分别为，根据以及正弦定理， 得，即． 根据以及正弦定理，得， 所以，． 又，所以，化简得， 所以，于是． 由余弦定理，得． 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题,满分18分,题有且只有一个正确答案,第13、14题每题4分,第15、16题每题5分.） 13. 函数的图象在区间上的对称轴方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用整体思想，结合正弦函数的对称轴，建立方程，可得答案. 【详解】令，解得，当时，， 故函数在区间上的对称轴方程为． 故选：D. 14. 已知均为第二象限角，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知角所在象限，分析余弦值大小关系与正弦值大小关系之间的逻辑联系 【详解】在第二象限，余弦函数值是负数且单调递减，正弦函数值是正数且单调递减. 已知α，β均为第二象限角，当时，根据余弦函数在第二象限的单调性可知 .  因为正弦函数在第二象限单调递减，当时，可得. 这说明由可以推出.  当时，根据正弦函数在第二象限单调递减可知，再根据余弦函数在第二象限单调递减，可得. 说明由也可以推出. 所以“”是“”的充分必要条件.  故选：C 15. 在中，（分别为角的对边），则的形状为（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用倍角公式得到，再利用正弦定理角转边即可得出结果. 【详解】因为，所以，整理得到， 又由正弦定理，得到， 所以，得到， 又，所以，得到，又，所以， 故选：B. 16. 已知函数是图象的一条对称轴，且在上单调，则为（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】利用的对称轴和在区间上的单调性，求得的值. 【详解】因为函数在上单调， 所以，得. 又直线为的图象的对称轴， 所以， 得，当时，. 故选：B. 三、解答题（本大题共有5题,满分78分,第17-19题每题14分,第20-21题每题18分） 17. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点． （1）求和的值； （2）求的值． 【答案】（1）2， （2）1 【解析】 【分析】（1）由三角函数的定义和正弦二倍角公式即可求解； （2）由诱导公式及同角商的关系即可求解； 【小问1详解】 因为角的终边经过点．由三角函数定义知 ，． ∴．∴． 【小问2详解】 由诱导公式得 18. 设函数． （1）求函数最小正周期和对称轴方程； （2）求函数在上的最大值与最小值及相对应的的值． 【答案】（1）， （2）最大值是2， 的最小值是， 【解析】 【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式可求最小正周期，利用整体法可求对称轴方程； （2）由已知可得的范围，进而结合正弦曲线的性质可求得函数的最值及此时的值. 【小问1详解】 函数的最小正周期为， 由，可得， 所以函数的图象对称轴方程为． 【小问2详解】 由（1）知，在上，， 故当，即时，取得最大值为2， 当，即时，取得最小值为， 故最大值是2，此时的最小值是，此时． 19. 与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔的高度，该小组同学在塔底的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在、两处测得塔顶的仰角分别为，（如图），已知. （1）请计算天宁宝塔的高度（四舍五入保留整数）； （2）为庆祝某重大节日，在塔上A到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，塔高直接取（1）的整数结果，市民在塔底B的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大?（结果保留根式） 【答案】（1）159米 （2）米 【解析】 【分析】（1）分别在和中，利用正切函数表示出，结合图形列方程可求出结果. （2）由图，将表示为，设米，对取正切并化简，结合均值不等式可求得最大值. 【小问1详解】 在中，，得， 在中，，得， 因为， 所以， 解得米. 【小问2详解】 由图可知，设米， 则，， ， 当且仅当，即时等号成立. 根据题意，对于锐角越大，则越大，反之亦然， 显然，可得最大时最大. 答：当为米时，欣赏“灯光秀”的视角最大. 20. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积； （3）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式得到，即可得解； （2）利用余弦定理求出，再由面积公式计算可得； （3）利用正弦定理将转化为关于的三角函数，结合三角形为锐角三角形求出的范围，即可求出的取值范围. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， ∴， ∵，则，∴，又，∴； 【小问2详解】 因为，， 由余弦定理，即， ∴，解得， ∴； 【小问3详解】 在中，由正弦定理， ∴， ∴ ， 又为锐角三角形，∴， ∴，∴， ∴，∴，∴， 故周长的取值范围为 21. 已知函数的最小正周期为． （1）求的解析式； （2）设函数,若对任意的,总存在,使得成立,求的取值范围； （3）若函数在上有3个零点,求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简得，再由最小正周期为，求得，即可得到的解析式； （2）利用指数函数和正弦函数的性质可得，的值域，再根据值域的包含关系列不等式组求解即可； （3）由题意，令，则函数有两个零点，且的图象与直线，共有3个公共点，结合的图象求的取值范围即可. 【小问1详解】 因为 ， 函数的最小正周期为，又，则，所以， 所以. 【小问2详解】 因为是增函数，当时， 当时，，则， 所以， 由题意可知， 则解得，即的取值范围为． 【小问3详解】 （3）令，由（2）知当时，，即， 则函数有两个零点， 且的图象与直线，共有3个公共点， 由的图象可知，当，时，，得， 由，得，，符合题意． 当，时，，解得， 综上，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第二学期第一次学情调研 高一数学试卷 考试时长：120分钟 分值：150分 考生注意： 1.本试卷共4页,共21题. 2.本考试分设试卷和答题纸,试卷包括试题与答题要求,作答必涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分. 3.答卷前,务必用黑色水笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号. 一、填空题（本大题共有12题,满分54分、第1题至第6题每题4分,第7题至第12题每题5分.） 1. 已知扇形半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为______________. 2. 设角终边上一点，则的值为_______． 3. 若是函数两个相邻零点，则的值为_______． 4. 函数值域为_________ 5. 已知，则__________. 6. 在中，角所对的边分别为，且，则__________． 7. 已知，，则________． 8. 已知函数，则函数在上的单调递增区间为：________________. 9. 函数的最大值为________. 10. 已知的内角的对边分别为，且，若的面积等于，则的周长的最小值为______． 11. 某数学建模小组模拟“月距法”测量经度的一个步骤．如图所示，点均在同一个竖直平面内，点分别代表“月球”与“轩辕十四”（恒星名）．组员在地面处测得轩辕十四的仰角，随后向着两“天体”方向前进4米至处，测得两“天体”的仰角分别为、．若“月球”距离地衣的高度为3米，则“轩辕十四”到“月球”的距离约为_________（精确到）. 12. 在中，，，则______． 二、选择题（本大题共有4题,满分18分,题有且只有一个正确答案,第13、14题每题4分,第15、16题每题5分.） 13. 函数图象在区间上的对称轴方程为（ ） A. B. C. D. 14. 已知均为第二象限角，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 在中，（分别为角的对边），则的形状为（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 16. 已知函数是图象的一条对称轴，且在上单调，则为（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 11 三、解答题（本大题共有5题,满分78分,第17-19题每题14分,第20-21题每题18分） 17. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点． （1）求和的值； （2）求的值． 18. 设函数． （1）求函数的最小正周期和对称轴方程； （2）求函数在上的最大值与最小值及相对应的的值． 19. 与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔的高度，该小组同学在塔底的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在、两处测得塔顶的仰角分别为，（如图），已知. （1）请计算天宁宝塔的高度（四舍五入保留整数）； （2）为庆祝某重大节日，在塔上A到处设计特殊“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，塔高直接取（1）的整数结果，市民在塔底B的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大?（结果保留根式） 20. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积； （3）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 21. 已知函数的最小正周期为． （1）求的解析式； （2）设函数,若对任意的,总存在,使得成立,求的取值范围； （3）若函数在上有3个零点,求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$