第五章 四边形-【加速度中考】聚焦2025年内蒙古中考数学

第五章 四边形 第21节 平行四之形与多运形 命题点7平行四边形性质的相关计算 交于点N.试探究线段AM与线段AN之间 1. 人教八下P47例4改编 如图,在ABCD中 的数量关系,并证明你的结论 E,F分别是AB,CD上的中点,若/ABC 7M 2 /A.CBF-45*,则 EDF= ) ### ① 图② 第1题图 第3题图 B.75* A.85。 C.65* D.45* 2. [2024巴度淳尔期末]如图,在ABCD中,AB 4cm,AD-7cm. ABC的平分线BF交AD于 点E,交CD的延长线于点F,则DF=( 第2题图 A.3cm B.4cm C.3.5cm D.4.5cm 3.[2024包头,22]如图,在/□ABCD中,ABC 为锐角,点E在边AD上,连接BE,CE,目 Sr-Smr. (1)如图①,若F是边BC的中点,连接EF, 对角线AC分别与BE,EF相交于点G,H ①求证:H是AC的中点; ②求AG:GH:HC; (2)如图②,BE的延长线与CD的延长线相 交于点M,连接AM.CE的延长线与AM相 3一1. 变图形 一BE.CE为角平分线如图,在 命题点③多边形的性质及计算 □ABCD中,点E在边AD上,连接BE,CE, 6.[2024赤峰,7如图,是正n边形纸片的一部 已知BE平分/ABC,目CE平分/BCD.求 分,其中l,是正n边形两条边的一部分,若 证:BE |CE .n所在的直线相交形成的锐角为60^{},则 ( 的值是 ### ) 第3-1题图 第6题图 A.5 B.6 C.8 D.10 7.[2024包头,9]如图,在平面直角坐标系中,四 边形OABC各顶点的坐标分别是O(0,0); A(1.2).B(3,3).C(5,0).则四边形QABC 命题点2平行四边形的判定 的面积为 ( ) 4.[2022赤峰,9]如图,剪两张对边平行的纸条, 随意交叉叠放在一起,重合部分构成一个四 2 Cx 边形ABCD,其中一张纸条在转动过程中,下 第7题图 列结论一定成立的是 B.11 C.10 A.14 D.9 A.四边形ABCD周长不变 8. 2024包头,12若一个”边形的内角和是 B.AD-CD 900,则n一. C.四边形ABCD面积不变 9.[2023包头,16]如图,AC,AD,CE是正五边形 D.AD-BC 第4题图 ABCDE的对角线,AD与CE相交于点F 5. [2024巴彦尔校级模拟]如图,在四边形ABCD 下列结论: 中,BE| AC,DF AC,垂足分别为E,F,目 ①CF平分ACD: BE=DF,AF=CE.求证:四边形ABCD为 ②AF-2DF: 平行四边形, ③四边形ABCF是菱形; ④AB-AD·EF 其中正确的结论是 (填写所有正 确结论的序号). 第5题图 第9题图 43 第22节 矩形、菱形、正方形 命题点1与矩形有关的证明与计算 命题点2与菱形有关的证明与计算 1. [2024包头,10]如图,在矩形ABCD中,E,F 4. [2022呼和浩特,9]如 是边BC上两点,目BE三EF三FC,连接 图,四边形ABCD是 DE,AF,DE与AF相交于点G,连接BG.若 菱形,DAB-60。。 AB-4,BC-6,则sinGBF的值为( ) E是DA中点,F是 30 C. A D 对角线AC上一点: 第4题图 且 DEF-45{,则AF:FC的值是( ) D A.3 B5+1 C.2/2+1D.2+/③ 5. 解题策略开旗[2022鄂尔多斯,9]如图,菱形 ABCD中,AB=2 ③,/ABC三60{*,矩形 第1题图 第1-1题图 BEFG的边EF经过点C,且点G在边AD 1一1.变设问 一求面积则如图,在矩形ABCD 上.若BG一4,则BE的长为 () 中,E,F是边BC上两点,且BE=EF一FC. C.6 连接DE,AF,DE与AF相交于点G,连接 D.3 2. [2023呼和浩特,7如图,矩形ABCD中,对角线 BD的垂直平分线MN分别交AD.BC于点M N.若AM-1,BN-2,则BD的长为 第5题图 A 、M 第6题图 11 6. [2024包头,16]如图,在菱形ABCD中,/ABC 60{},AB-6,AC是一条对角线,E是AC上一 第2题图 点,过点E作EF |AB,垂足为F,连接DE C.25 A.2/③ D.3/2 B.3 若CE一AF,则DE的长为 7. [2023呼和浩特,20]如图,四 3. [2022包头,12如图,在矩形ABCD中,AD AB,点E,F分别在AD,BC边上,EF//AB 边形ABCD是平行四边 形,连接AC,BD交于点 AE-AB,AF与BE相交于点O,连接OC 若BF-2CF,则OC与EF之间的数量关系 O.DE平分/ADB交AC 第7题图 ( ) 正确的是 于点E,BF平分CBD交AC于点F,连接 #. BE,DF. (1求证:1-2; 第3题图 A.2OC-/5EF B.5OC-2EF C.2OC-、/3EF D.OC-EF (2)若四边形ABCD是菱形且AB=2; (2)如图②,若 APB-90{*},且/BAP- ADB /ABC=120{*,求四边形BEDF的面积 ①求证:AE-2EP; ②当OQ=OE时,设EP=a,求PQ的长(用 含a的代数式表示) 8. [2023包头,23]如图,在菱形ABCD中,对角 线AC,BD相交于点O.P,Q分别是边BC. 线段OD上的点,连接AP,QP,AP与OB相 交于点E. 图① 图② 第8题图 (1)如图①,连接QA.当QA=QP时,试判断 点Q是否在线段PC的垂直平分线上,并说 明理由: 命题点③与正方形有关的证明与计算。 (1)如图①,当点M在EF上时, EMB= 9. [2024呼和浩特,16]如图,正方形ABCD的面 度; 积为50,以AB为腰作等腰三角形ABF. (2)如图②,改变点P在AD上的位置(点P AB=AE,AE平分 DAF交DC干点G.交 不与点A:D重合),判断 MBQ与/CBQ BF的延长线于点E,连接DE.若BF=2,则 的数量关系,并说明理由 DG- 第9题图 10.[2023呼和浩特,16]如图,正方形ABCD的 边长为2/5,E是CD的中点,BE与AC交 12. [2024呼和浩特,18]如图,ACB- AED 于点M,F是AD上一点,连接BF分别交 90{$AC=FE,AB平分 CAE,AB/DF AC.AE干点G,H,目BF |AE,连接MH. 则AH-,MH-。 (1)求证:四边形ABDF是平行四边形; 行。# (2)过点B作BG | AE于点G,若CB=AF, 请直接写出四边形BGED的形状 # 第10题图 11. [2023通辽,22]综合与实践课上,老师让同学 第12题图 们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动, 有一位同学操作过程如下: 操作一:对折正方形纸片ABCD,使AD与 BC重合,得到折痕EF,把纸片展平; 操作二:在AD上选一点P,沿BP折叠,使 点A落在正方形内部点M处,把纸片展平 连接PM,BM,延长PM交CD于点Q,连 接BQ. 图① 图② 第11题图 46 13.[2022呼和浩特,23下面图片是八年级教科书中的一道题 如图,四边形ABCD是正方形,E是边BC的中点, AEF一90{,且EF交正方形外角的平 分线CF于点F,求证:AE一EF(提示:取AB的中点G,连接EG). (1)请你思考题中“提示”,这样添加辅助线的意图是得到条件: (2)如图,若点E是BC边上任意一点(不与B,C重合),其他条件不变.求证;AE一EF; ECFP是平行四边形?并给予证明 D 第13题图 备用图第五章 四边形 第21节平行四边形与多边形 1.B2.A 3.(1)①证明：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AD=BC. ∴AD和BC之间是等距的，∠EAH=∠FCH :SE=SAE=DE=合AD F是边BC的中点∴CF=BF=2BC, ..CF=AE. ∠EHA=∠FHC. 在△AEH和△CFH中， ∠EAH=∠FCH. AE-CF. .△AEH≌△CFH(AAS),AH=CH, ∴.H是AC的中点. ②解：∠EAG=∠CG,∠AGE=∠CGB. △ABCGB.瓷器= 设AG=2a,则CG=4a, .AC=6a...AH=CH=3a. ∴.GH=AH-AG=a, .AG:GH:HC-2a:a:3a=2:1:3. (2)AM=34N. 证明：如答图，过M作MQ∥BC交CN延长线于点Q. ,ED∥BC,.△EMD∽△BMC, 微畏=女M Q 专BM=BEMQ/BC ∴.∠MQE=∠BCE. ∠MEQ=∠BEC,EM=EB, .△MQE≌△BCE(AAS), 第3题答图 ∴.MQ=BC.MQ∥AD, ∴.∠MQN=∠AEN. ,∠MNQ=∠ANE,∴.△MQN∽△AEN, 3 器-提=2.MN=2AN HF=号EF=1.∴BH=3.BG=VBH+HG- ..AM-MN+AN-3AN. 3一1.证明：，四边形ABCD是平行四边形， 而∴m∠GBF--e故选A ,∴.AB∥CD,,.∠ABC+∠DCB=180 1-1.9 【解析】如答图，过点G作 ,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD. GH⊥BC于点H,GILAD于点L,则GH ∴∠EBC-2∠ABC,∠ECB=∠DCB. 和GI分别是△(GEF和△GDA的高. .∠EBC+∠ECB=90°， ,四边形ABCD是矩形，BC=6,BE= B EH F ,∴.∠BFC=180-(∠EBC+∠CB)=90°，∴.BE⊥EC EF=FC. 第1一1题答图 4.D ∴.BE=EF=CF=2.,'AD∥BC,∴.△AGP△FEG, 5.证明：BE⊥AC,DFAC (BGH 2 .∠BEC=∠DFA=90°. SAcA AD.GI 91 BE-DF. 在△BCE和△DAF中， ∠BEC=∠DFA, 2.A CE=AF, 3.A【解析】如答图，过点O作 ,.△BCE2△DAF(SAS), (OH⊥BC于点H.,在矩形ABCD .BC=AD,∠BCE=∠DAF, 中，EF∥AB,AE=AB.∴.四边形 .BC∥AD,.四边形ABCD是平行四边形 ABFE是正方影，OH=合EF- H 6.B7.D8.7 9.①③④【解析】：五边形ABCDE是正五边形，AB= 2BF=B丽=R:BF=20F 第3题答图 BC=CD=DE=EA,∠ABC=∠BCD=∠CDE ∴.CH=BF=EF=2OH.∴.OC=5OH.即2OC=5EF ∠DEA=∠EAB=5-2)X180=108.在△ADC中. 故选A 5 4.D【解析】如答因，连接DB ∠ABC=108,AB=BC∴∠BAC=∠BCA=180108° 2 交AC于点O连接OE,四 36°，同理可得∠DCE=∠DEC=∠EAD=∠EDA=36 边形ABCD是菱形，∠DAB= ∴.∠ACE=∠BCD-∠BCA-∠DCE=108°-36-36 0:∠D4C=2∠DAB= =36,∴.∠ACE=∠DCE.即CF平分∠ACD,①正确： :∠ACE=∠DEC=36,∠AFC=∠DFE.∴.△CFAO 30,ACLBD.0D=号BD, 第4题答图 △D景瓷“瓷篇2，部南A AC=2AO,AB=AD,·△ABD是等边三角形，∴.BD 2DF,②错误：·∠BAC=∠ACE=36,.AB∥FC AD.∠AOD=90,E是DA中点，.OE=AE=DE :∠EAB=108,∠EAD=36,∠DAB=∠EAB AD.设OE=AE=DE=a,则AD-BD=2a,OD= ∠EAD=108-36°=72°.∠ABC=108°，.∠ABC ∠DAB=108°+72°=180，∴.AF月BC,.四边形ABCF 2BD=a.在R△AOD中，A0=VAD-DO 是平行四边形.又：AB=BC,.四边形ABCF是菱形，③ 正确：：∠DEF=∠DAE=36,∠EDF=∠ADE (2a)-=3a..AC=2AO=23a.AE=OE, ·∠EOA=∠EAO=30°，.∠DEO=∠EAO+∠EOA= ∴△DEFO△DAE,需-=票ED=AE=AB 60°.，∠DEF=45,∴.∠OEF=∠DEO-∠DEF=15, “铝需即A5=AD~R,④正晚蜂上所送，正确的 ∴∠EFO=∠EA-∠OEF=15°，.∠OEF=∠EFO. ∴.OF=OE=a.∴.AF=AO+OF-3a+a,.FC=AC 结论是①③④. AF=5a-a能-a+e=士1-2+5.故选D 第22节矩形、菱形、正方形 "F℃3a-aV3-1 L.A【解析】如答图，过点G作GH⊥BC于点H,:四边形 5.B【解析】解法一：如答图①，过点G作GM⊥BC于点 ABD是矩形，∴.AB=CD=4,AD∥BC:BC=6,BE= M,过点C作CN⊥AD于，点N.:四边形ABCD为菱形， EF=FC.∴.BE=EF=CF=2.∴.BF= A 0 .BC=AD=CD=AB=23,∠D=∠ABC=60°，AD∥ CE=4...AB=BF=CE=DC=4. BC,.∠MGN=∠GMC=90°.又∠CNG=90°，.四边 ∴.△ABF和△DCE是等腰直角三角 形GMCN为矩形，，GM=CV.在Rt△CDN中，∠D= 形.∴.∠AFE=∠DE=45..△EGF 是等腰直角三角形.GH=EH= B EH F 60.cD=2原，CN=CD·m6m=25×9=3 第1题答图 ∴.GM=3.四边形BEFG为矩形，∴∠E=90°，BG∥ EF,∴∠BCE=∠GBM又'∠E=∠BMG,.△GBM∽8.(1)解：点Q在线段PC的垂直平分线上.理由如下：如答 △E慢欲清武E要放法B 图①，连接Q℃C 四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O, 解法二：如答图②，连接CG,同解法一求出C边上的高为 ..BD LAC.OA=OC...QA=QC. QA=QP...QC=QP. 3,.Sm=25X3=65.S,= ∴.点Q在线段PC的垂直平分线上 5m心EX4=×6BE-故 (2)①证明：，四边形ABCD是菱形， 21 :.AB=BC=CD=DA, 选B ∴.∠ABD=∠ADB,∠CBD=∠CDB. AG ,BD⊥AC,∴.∠ADO)=∠CDO. ∴.∠ABD=∠CBD=∠ADO ∠BAP=∠ADB, ∴∠BAP=∠ABD=∠CBD,AE=BE. ∠APB=90°，.∠BAP+∠ABP=90°， ∴.∠BAP=∠ABD=∠CBD=30°. 图 图：2 在Ri△BPE中，∠EPB=90°，∠PBE=30, 第5题答图 ..EP- BE 6.2√7【解析】如答图，连接BD交AC于点O.:四边彩 ABCD是菱形，∴.AC⊥BD,∠ADC-∠ABC=60°，AB AE-BE∴EP=AE,AE-2EP BC=CD=AD=6.∴.△ABC,D ②解：如答图②，连接QC △ADC都是等边三角形， AB=BC,∠ABC=60°，∴.△ABC是等边三角形 ·∠CAB=60°.EF⊥AF ∠APB=90,∴BP=CP. ∠AFE=90,∠AEF=30, .'EP=u..AE=24,AP=3a. ..AE-2AF.'CE-AF. ∴.AC=3EC,∴.EC=2,AE=4. 第6题答图 在R△APB中，∠APB=90,an∠ABP=部=5， .01=0C=3,.CD=3A0= .BP=3a,∴.CP=BP=√3a 33.∴.OE=AE-OA=1.∴.DE=VOD+OE=2W7 AO=CO∠AOE=∠CQ,OE=OQ. 7.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .△AOE2△CQ(SAS). .AD∥BC,OD=OB,.∠AD)=∠CBO ∴.CQ-AE-2a,∠EAO=∠QCO..AE∥CQ. :DE平分∠ADB,BF平分∠(CBD, ∠APC-90',∠PGQ=180-∠APC=90. ∴∠ODE=∠AD0.ZOBF 在Ri△PCQ中，由勾股定理得PQ=PC+CQ, ∠CBO ∴PQ=(wa)*+(2a),∴.PQ=√7a(负值已舍). ∴.∠ODE=∠OBF,∴.DE∥BF OD=OB.∠DOE=∠BOF, ∴.△(ODE≌△OBF(ASA),.DE=BF, ∴.四边形DEBF是平行四边形， ∴.BE∥DF,∴.∠1=∠2. (2)解：由(1)知△ODE≌△OBF,.OE-OF 图 ,四边形ABCD是菱形， 第8题答图 ∴.BD⊥EF,AD=AB,OD=(OB,AD∥BC, .四边形DEBF是菱形. 9.152 【解析】设∠CBE-x,则∠AFB=∠ABF=9O° AD∥BC.∴∠BAD+∠ABC=180, x,∠AFE=90+x,∠BAF=180°-2(90°-x)=2x,,AF= :∠ABC=120°，.∠BAD=60. AB=AD.∠EAF=∠E4D=45-x,AE=AE.∴.△AEF≌ AD=AB,∴△ABD是等边三角形， △AED(SAS),∴.∠AFE=∠ADE=90+x,.∠CDE= .BD=AB=2,∠ADO)=60, x,∴∠DEB=90°，∴.∠AED=∠AEB=45°.如答图，过 ∴0D=号BD=1.:∠ODE=号∠AD0-30. 点A作AM⊥BE于，点M,过点D作DN⊥AE于点N, .B孙M=FM=1,∠EAM=45-x+x=45°'四边形 0E-OD 号iEF=20E-23】 ABCD是而积为50的正方形，∴.AB=52,∴，△AEM是 3 FzBD·EF=2E 等腰直角三角形.：AM=VAB一BM=7,∴EM= 31 AM=7.∴.EF=EM-FM=6,∴.DE=EF=6,∴.DN= 5 号DE=E.∴AN=VA0-N=2.:∠AG= .AB=BM,∠A=∠BMP=90°， .BC=AB=BM,∠BMQ=∠C=90. ∠DG=90°.∴.∠DAN+∠DGN= BQ=BQ,∴.R△BMQ≌R△BCQ(HL), ∠NDG+∠DGN=90. D ∴.∠MBQ-∠CBQ ∴.∠DAN=∠NDG.∴.tn∠DAN 12.(1)证明：：AB平分∠CAE, m∠NG,甲袋-=杀.iG= ∠CAB=∠BAE.,AB∥DF, ∴.∠BAE=∠EFD,∠CAB=∠EFD. G= 92 ∠C=∠E 第9题答图 在△CAB和△EFD中， AC=FE. VDN +NG_15/2 ∠CAB=∠EFD 4 .△CAB≌△EFD(ASA).AB=FD 10.223 3 【解析】，四边形ABCD为正方形，且边长 又，AB∥FD, .四边形ABDF是平行四边形 为25，∴.AB=BC=CD=DA=25,∠BAD=∠D= (2)解：四边形BGED是正方形. 90°，AB∥CD.E为CD的中点，.DE=CE=5.在 由(1)可知，BC=DE,四边形ABDF是平行四边形， Rt△ADE中，AD=25,DE=5, .'.BD=AF. C ∴.AE=,AD+DE=5. 如答图，过点B作BG⊥AE于点G :∠BAD=90°，BF⊥AE于点H, AB平分∠CAE,BC⊥ .∠BAH+∠DAE=90°，∠ABF+ AC,BG⊥AE, G ∠BAH=90°，∠DAE=∠ABF .BC-BG..BC=AF, 第12题答图 在△DAE和△ABF中， ∴.BD=BG 第10题答图 ∠D=∠BAF, :∠BGE=-∠GED=90°，∴.BG∥DE. AD-BA. BD∥AC,EBG=DE, ∠DAE=∠ABF, ,四边形BGED是平行四边形. ∴.△DAE≌△ABF(ASA),∴.AF=DE=5,BF BD=DE,.四边形BGED是菱形.：∠BGE= AE=5.'BF⊥AE.∠D=90°，∴.∠AHF=∠D=90 GED=90°， 又：∠HAF=∠DAE∴△MHF△ADE.÷A8 .四边形BGED是正方形. 13.(1)解：AG=CE 能停AH=2知参国，过点M作MN士 25 5 (2)证明：如答图①，取AG=EC,连接EG. (AD-BC. 四边形ABCD是正方形， AE于点N.在△ADE和△BCE中，∠D=∠BCE, ∴.AB=BC,∠B=∠BCD=90. DE-CE. AG=EC,∴.BG=BE, ∴△ADE≌△BCE(SAS),∴BE=AE=5,.EH ∴△BGE是等腰直角三角形， AE-AH=3.在R:△AHB中，AB=2√5，AH=2. .∠BGE=∠BEG=45°.∴.∠AGE-135. ∴.BH=AB-AF=4:AB∥CD.∴.△ME△MBA. C℉为正方形外角的平分线， "-器-渠MB-E"- ∴.∠DCF=45,∴.∠ECF=135°， ∴.∠AGE=∠ECF :BF⊥AE,MN⊥AE,.MN∥BH,.△MNEO ,AE⊥EF,∴∠AEB+∠FEC=90 △BHE霈=器=器：=學=吉 3 3 ,∠BAE+∠AEB=90°，'.∠FEC=∠EAB ∴MN=等，EN=1,HN=EH-EN=2.在 ∠EAG=∠FEC, 在△GAE和△CEF中， AG=EC. R△MHN中，MN=亭，HN=2,由勾股定理得MH ∠AGE-∠ECF, ∴.△GAE≌△CEF(ASA),.AE=EF VMN+HN=名3 3 (3)解：当=了时，四边形ECFP是平行四边形.证明 11.解：(1)30 (2)∠MBQ-∠CBQ.理由如下： 如下：如答图②，，△GAE2△CEF,∴.GE-CF. ,在AD上选一点P,沿BP折叠，使点A落在正方形内 设BC=x,则BE=kx,EC=(1一k)x 部点M处， 由(2)知，△BGE是等腰直角三角形， 6 ∴.CF=GE=2kx ,·四边形ABCD是正方形，AC是对角线， .∠ACB=45°.又，EP⊥AC, ∴△PEC是等腰直角三角形， ∠PBC45,PE-号BC- 2(1-)x 由(2)知，∠ECF=135°， ∴∠PEC+∠ECF=180°，.PE∥CF. ∴.当PE=CF时，四边形CFP是平行四边形， 号1-=E红解得长=子 图1 图2 第13题答图 加速度碧 0