第四章 三角形-【加速度中考】聚焦2025年内蒙古中考数学

第四章三角形 第15节线段、角、相交线与平行线（含命题） 1.A2.B3.23104.B5.B6.C7.C7-1.A 8.C9.A10.B11.C12.B 13.B【解析】如答图①.在y=a.x2十br十c中，a>0, ∴抛物线开口向上.一元二次方程ax2十bx十c一k=0 有两个不相等的实数根，.直线y=k与抛物线y=a.x2+ bx十c有两个交，点.由图象得，当k=1时，m=一4，n=2, ①错误：如答图②，过点O作OM⊥AB于点M,作ONL CD于点N,连接OA,OC,则四边形OMPN是矩形. .OA:=AM +OVF,OC CN +ON,.= (AB)+oM.r=(CD)'+OV.2=AB+ CD+OVF+OV.OP-OVF+ONF=m.2- 子AB+子CD+m,AB+CD=8r-4m,②正 确：如答图③，易得C(5,6)或C2(一5,4)，.k=30或 20,③错误：：矩形的一组邻边长是关于x的一元二次 方程x2一2(a十1).x十2一1=0的两个实数根，∴L十 Lt=2(a十1)，L*·L童=a一1.：矩形的周长值与面积 值相等，∴.4(a十1)=a-1,∴.(a-5)(a十1)=0，.a=5 或a=一1（不符合题意，舍去）.：1时角”=1x”十1这°= (Lx+1t)-2×1g×1,∴.4(a+1)2-2(d2-1)= 2a+8a十6，当a=5时，L时角2=96，∴.L时角线=4V6,④正 40昨 确.综上所递，②④正确.故选B 2AC=32,∠A=∠B=45.:BD=BC=3,∴∠DCE= ZCDB.BD=AC.AD=AB-BD=32-3.DC=DE, ∴.∠DCE=∠CED,∴.∠CED=∠CDB.:∠CDB= ∠CDE+∠BDE,∠CED=∠B+∠BDE,∴.∠CDE ∠B=45,∴.∠ADC+∠BDE=180°-∠CDE=135 ,∠ADC+∠ACD=180°-∠A=135,∴.∠ACD= 图2 ∠EDB. 花 △ADC和 △BED 中， (AC-BD. ∠ACD=∠BDE.,'.△ADC≌△BED(SAS),,.BE= CD-DE, AD=32-3. 54-32-234 第18节全等三角形 图③ 1.B 第13题答图 2.D【解析】如答图，连接BP.在R1△ABC中，∠ABC 第16节。 一般三角形及其性质 90°.AB=BC,P为AC边上的 中点，∴.BP⊥AC,∠CBP= L.A2.C3.A4.A5.16.30°7.6 ∠ABP=2∠ABC=45,∠BCA 第17节特殊三角形及其性质 1.C2.C =45,BP=CP=2AC=22 第2题答图 3.1【解析】如答图，设点P需移动 ∴.∠MBP=∠NCP=180°-45=135.：BP⊥AC ts,点D落在BC边上，则∠AQP PM⊥PN, 180°-∠APQ-∠A=30.:△PQD ∴.∠BPM+∠MPC=90°，∠CPN+∠MPC=90°， 是等边三角形，.∠DPQ=60°， ∴∠BPM=∠CPN.又：BP=CP,∠MBP=∠NCP, ∴.∠BPD=18o°-∠APQ-∠DPQ= B ∴.△BMP≌△CNP(ASA),∴.CN=BM=1,MP=NP. 180°-90°-60°=30°..∠BDP= D 在R△BPC中，BC=BP+CP=4.在Rt△MBN 18O-∠B-∠BPD=90:∠BDP= 第3题答图 ∠APQ=90°，DP=PQ,∠BPD=∠AQP=30°， 中，MN=√BF+BN=√26.在Rt△MPN中，MP ∴.△BDP≌△APQ(ASA),∴BD=AP=2,.BP NP,∴.MP+NP=MV,∴.MP=NP=√I3,.Sw= AB-AD=6-2a.:∠BPD-30.BD-2BP,即21 MP,NP-号故选D 26-2=1. 2一1.C【解析】如答图，过点A作AH⊥AE交BE于点 H.:∠AEB=45, 4.4√2【解析】如答图，在△AC的外部作∠CAE=15,过点 ∴.△AEH为等腰直角三 P作PMLAE于点M过点B作BN⊥AE于点N:AB= 角形，.AH=AE=32 AC,AD LRC,.∠CAD=∠CAB=15=∠CAE, 由勾股定理得EH= ∴.∠EAD=30°，∠EAB=45,∴.PM= AF+A=6,∴.BH= BE-EH=1.∠BAC 第2一1题答图 PA.BN-号BM:PA+2PB= 90,∴.∠BAC=∠HAE=90,即∠BAH+∠HAC= 2(2PA+PB)=2(PM+PB)≥ ∠HAC+∠CAE,∴·∠BAH=∠CAE在△ABH和△ACE 第4题答图 (AB-AC, 2BN=2,号AB=4反，PA+2PB 中，∠BAH=∠CAE,∴.△ABH≌△ACE(SAS),.BH= AH-AE. 的最小值为42. CE-1.在R△BCE中，∠BEC-90°，由勾股定理得BC 555-1.26647.3号 √BECE正=52.，F是R△I仪CE斜边BC的中点， 8.3√2-3【解析】：∠ACB=90°，AC=BC=3,∴AB “F=号要战选C 3.124.(1)6-2t(2)1 6.解：设路灯高CD为xm 5.解：方法可行.证明如下： ,AM⊥EC,CD⊥EC,BN⊥EC, AB⊥BF,DE⊥BF, .AM∥CD∥BN ∴.∠B=∠EDC=90 EA=MA,∴.∠AEM=45,∴.EC=CD=x. ∠B=∠EDC. .∠BAN=∠CAD,∠ABN=∠ACD, 在△ABC和△EDC中，BC=DC. △ABNACD,-是.即25=2 xx-1.751 ∠ACB=∠ECD, 解得x=6.125≈6.1(m). .△ABC≌△EDC(ASA),.AB=ED. 经检验，x=6.125是原方程的根，且符合题意. 6解：(1)证明：DE⊥AB,DF⊥AC, 答：路灯的高CD约6.1m. ∴.∠E=∠DFC=90°. BD=CD. 第20节解直角三角形及其应用 在R△BED和Rt△CFD中， .R△BED≌ BE-CF. 1.D2.D3.11.5 Rt△CFD(Hl),∴.DE=DF 4.解：如答图，过点C作CE⊥AB,垂 :DE⊥AB,DF⊥AC,.AD平分∠BAC 足为E, (2)解：∠AED=∠AFD=90°，AD=AD,DE=DF, 则BE=CD=1. 1事0 ,.Rt△ADE≌Rt△ADF(HI).,.AE=AF 在Rt△CBE中，∠BCE=10°， .AC=20,CF=BE=4, ..CE= BE 1 D ,∴.AE=AF=AC-CF=16, tan10°tan10· 第4题答图 ∴.AB=AE-BE=12. 在R△ACE中，∠ACE-30°， 7.解：(1)AE=CF,AELCF .AE=CE·tan30 3tan 10"' :AB=AC,∠BAC=90°，AD是△ABC的角平分线 ∴.AD=BD=CD,∠ADE=∠CDF=90 ∴.AB=BE+AE= +)m AD=CD. 3 在△ADE和△CDF中， ∠ADE=∠CDF, 答：雕像AB的高为1+3n0m DE-DF. 5.解：由题意得BE=DH=CG=1.5,DC=GH=5,DE= ∴.△ADE≌△CDF(SAS), HB,∠AED=90 .AE=CF,∠DAE=∠DCF 设CE=x,则BH=DE=DC+CE=x+5. '∠DAE+∠DEA=90°，∠DCF+∠DEA=90, 在R1△ACE中，∠ACE=45, ∠EMC=90°，.AE⊥CF ∴.AE=CE·tan45=x. (2)a(1)中的结论仍然成立.证明如下： 在Rt△ADE中，∠ADE=a, 同(1)可证△ADE≌△CDF(SAS), AE tama=d元=x5=gx=17.5. ∴AE=CF,∠E=∠F.∠F+∠ECF=90, 经检验，x=17.5是原分式方程的解，且符合题意 ∴.∠E+∠ECF=90°， ∴.AB=AE+BE=19(m). ∴.∠EMC=9O°，.AE⊥CF 答：建筑物AB的高度为19m b.如答图，过点D作DG⊥AE 6.解：如答图，点E,P,F在平面内同一 E 于点G,DH⊥CF于点H, 直线上 72 在△DEG和△DFH中， 由题意得PCLAB,EF∥AB. ∠IDGE=∠DHF, 第7题答图 ∴.∠A=∠EPA=72,∠B=∠BPF=40 40 ∠E=∠F, 在R△APC中，AP=100. DE=DF, .PC=AP·sin72≈95.在Rt△BCP F ∴.△DE≌△DFH(AAS),.DG=DH.又DG⊥AE. 中，BP sin40≈148(nmile). PC 第6题答图 DH⊥CF,∴.MD平分∠EMC.又：∠EMC=90°， 答：B处距离灯塔P约148 n mile. ∴∠EMD-2∠BMC=45 7.解：(1)由题意得∠NAC=80°，∠BAS=25, ∴.∠CAB=180°-∠NAC-∠BAS=75 第19节相似三角形（含位似） :∠ABC=45 1.D2.D3.C4.B5.17 .∠BCA=180°-∠CAB-∠ABC=60°， 2 '.行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数 为60° 是矩形，在R△BGE中，m12-是. (2)如答图，过点A作AD⊥BC于点D ∴，EG=8sin12.,四边形DNHG是矩形， 在R△ABD中，AB=32. 北 ∴.NH=DG=DE-EG=-28-8sin12°， N ∠ABC=45. 东 ∴.HM=NH-MN=20-8sin12° L80 ∴.AD=AB·sin45=3, :∠ABG=12,∠ABM=147°， BD=B·cos45=3. ∴.∠FBG=135.∴.∠MBH=45 D 在R1△ADC中，∠ACD=60, ∴.BH=HM=20-8sin12, 45 CD0清-6 ∴.DN=GH=BG+BH=8cos12°-8sim12°+20(cm). 答：线段DN的长度为(8cos12°-8sin12+20)am. 第7题答图 ∴.BC=BD+CD=3+√3(km), E .检查点B和C之间的距离为3十√km. G 8.解：如答图，设PQ为竖直立在坡面DN上的1m高的标 杆，PE为标杆影子，长为0.25m,过点D作DF⊥CD交 AE于点F,过点F作FH⊥AB于点H,则HF=BD, DF=BH. 第12题答图 DF/Po∴祭=器 六亦-要iDf=点6H 1 DF=5.6.在R1△AHF中，∠AFH 05,t∠AFH=-=品 D m805i-设≈6AH-.2 MZ ∴.BH+AH=12.8(m). 第8题答图 答：旗杆AB的高度约12.8m 9.9.9 10.解：(1)如答图，在地面上取点C, 测得BC=m,测得∠ACB=a, 根据tana= 能得出AB 的高度 (2),∠ABC=90. ana-瓷， AB ■及 777 ∴.AB=BC·tana=tana. 第10题答图 1L,解：如答图，过点C作CH⊥AB于点H 在R△ACH中，∠A=45,AC=50, .AH=AC·c0sA=252,CH AC·snA=25√2.在Rt△BCHA45 40>B 中，∠B=40°，CH=25√2， 第11题答图 ∴BH=CH=25E tan40°tan40 六AB=AH+BH=252+25E tan 40 (m). 答：两地间距离AB的长为25反+25三 tan 40 m 2解：1)AB=24.BE=子AB.BE-8 在R△BcG中.as1r-0BG=8aos12'am 答：BG的长度为8cos12cm (2)如答图，延长GB,NM交于点H,则四边形DNHG 43第四章三角形 第15节 线段、角、相交线与平行线（会命题） 命题点刀角的简单计算 5.[2024赤峰，3]将一副三角尺（厚度不计）按如 1.[2024包头青山区期中]如图，∠AOC=∠BOD= 图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则 90°，∠BOC=32°，那么∠AOD= ( 图中∠1的度数为 ( ) A.148° B.132 C.128 D.90 A.100 B.105 C.115 D.120° P C G E B 第5题图 第6题图 第1题图 第2题图 6.[2024包头，4]如图，直线AB∥CD,点E在直 2.[2024通辽校级模拟]如图，∠AOB=68°，OC平 线AB上，射线EF交直线CD于点G,则图 分∠AOD且∠COD=15°，则∠BOD的度数 中与∠AEF互补的角有 () 为 ( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 A.28 B.38 C.48 D.53 7.[2023呼和浩特，2如图，直角三角板的直角顶 3.[湘教七（上）P139第18题改编]如图，将三个形 点落在矩形纸片的一边上.若∠1=68°，则 状、大小完全一样的正方形的一个顶点重合 ∠2的度数是 () 放置，若∠GAF=41°26，∠BAC=2524',则 ∠DAE 第7题图 A.30° B.32 C.22 D.68 第3题图 7一1.变图形一增加三角形将一把直尺与一副 命题点2平行线的性质及判定 三角尺按如图方式摆放，则∠1的度数是( 4.[2024呼和浩特，2]如图，直线11和l2被直线 A.105° B.115° C.120° D.125 l3和1，所截，∠1=∠2=130°，∠3=75°，则 ∠4的度数为 B 第7一1题图 第8题图 8.[2023包头，4]如图，直线a∥b,直线1与直线 a,b分别相交于点A,B,点C在直线b上，且 第4题图 CA=CB.若∠1=32°，则∠2的度数为() A.75° B.105 C.115 D.130 A.32 B.58 C.74° D.75 31 命题点③命题 五折调整为打九折，则会员购买一个面包比 9.[2023通辽，8]下列命题： 涨价前多花了0.14a元； ①a3·a2=a5; ②等边三角形ABC中，D是BC边上一点，E ②-π>-3.14； 是AC边上一点，若AD=AE,则∠BAD= ③圆周角等于圆心角的一半： 3∠EDC: ④将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面 ③两边及第三边上的中线对应相等的两个 朝上是必然事件； 三角形全等： ⑤在一组数据中，如果每个数据都增加4，那 ④一列自然数0,1,2,3，…，55，依次将该列 么方差也增加4. 数中的每一个数平方后除以100，得到一列 其中真命题的个数是 新数，则原数与对应新数的差，随着原数的 A.1 B.2 C.3 D.4 增大而增大， 10.[2022鄂尔多斯，7]下列说法正确的是( 其中真命题的个数有 ①若二次根式√1一x有意义，则x的取值范 A.1个B.2个 C.3个 D.4个 围是x≥1： 13.[2024呼和浩特，10]下列说法中，正确的个数 () ②7<√65<8： 有 ①二次函数y=ax2+b.x十c(a>0)的图象经 ③若一个多边形的内角和是540°，则它的边 数是5： 过(2,1)，（一4,1）两点，m,n是关于x的一 元二次方程a.x2+bx十c一k=0(0<k≤1)的 ④√16的平方根是士4： 两个实数根，且m<n,则一4<m<n<2恒 ⑤一元二次方程x一x一4=0有两个不相 成立 等的实数根。 ②在半径为r的⊙O中，弦AB,CD互相垂 A.①③⑤ B.③⑤ 直于点P,当OP=m时，则AB+CD= C.③④⑤ D.①②④ 8r2-4m2 11.[2023呼伦贝尔，6]下列命题正确的是( ③△ABC为平面直角坐标系中的等腰直角 A.“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯” 三角形且∠ABC=90°，点A的坐标为(1， 是必然事件 0),点B的坐标为(0,5)，点C是反比例函数 B.3.14精确到十分位 C.点（一2，一3）关于x轴的对称点坐标是 y=(k≠0)的图象上一点，则=士30. (-2,3) ④已知矩形的一组邻边长是关于x的一元 D.甲、乙两人参加环保知识竞赛，他们的平 二次方程x2-2(a+1)x+a2一1=0的两个 均成绩相同，方差分别是通=2.25，号= 实数根，且矩形的周长值与面积值相等，则 1.81,则甲成绩比乙的稳定 矩形的对角线长是4√6. 12.[2022呼和浩特，10]以下命题： A.1个 B.2个 ①面包店某种面包售价a元/个，因原材料 C.3个 D.4个 涨价，面包价格上涨10%，会员优惠从打八 32 第16节 一般三角形及其性质 命题点三角形的性质 4.[2024呼伦贝尔期末]在联欢会上，有A,B,C三 1.[2024鄂尔多斯一中三模]生命中总有些节点， 名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他 如同一条线段的中点，它既是过去与未来的 们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木 交汇，也是静默与喧嚣的界碑.如图，AD是 凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子 △ABC的边BC上的中线，AB=6,AD=4, 应放的最适当的位置是在△ABC的() 则AC的取值范围为 A.三边垂直平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条高所在直线的交点 B D 5.[浙教八上P9第5题改编]如图，在△ABC中， 第1题图 AD是BC边上的中线，已知AB=7cm,AC= A.2<AC14 B.2<AC<12 6cm,则△ABD和△ACD的周长差 C.1<AC<4 D.1<AC<8 为 cm. 2.[2022鄂尔多斯，6]如图，∠AOE=15°，OE平 分∠AOB,DE∥OB交OA于点D,EC⊥OB, 垂足为C.若EC=2,则OD的长为 D 第5题图 B 6.[2024通辽校级模拟]如图，BP是∠ABC的平分 第2题图 线，CP是△ABC的一个外角的平分线，如果 A.2 B.23 C.4D.4+2 ∠ABP=20°，∠ACP=50°，那么∠P= 3.[2024通辽校级模拟]在如图的网格中，小正方 形的边长均为1，A,B,C三点均在正方形格点 上，则下列结论错误的是 ( 20 50 第6题图 7.[2022鄂尔多斯，12]如图，在△ABC中，边BC 的垂直平分线DE交AB于点D,连接DC若 AB=3.7,AC=2.3,则△ADC的周长是 第3题图 A.S△Ax=10 B.∠BAC=90 C.AB-2/5 D.点A到直线BC的距离是2 第7题图 33 第17节 特殊三角形及其性质 命题点刀等腰三角形的相关计算 5一1.变图形一旋转中心变为直角顶点如图，在 1.[2024呼和浩特校级模拟]如图，在△ABC中， Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=6,OB=8, AB=AC=6,三角形面积为27，O是边BC 将△AOB绕点O顺时针旋转得到△COD,取 上任意一点，则点O分别到AB,AC边的距 OA的中点E,CD的中点F,连接EF,则在旋 离之和等于 ( 转过程中，线段EF的最小值为 A.5 B.7.5 C.9 D.10 第1题图 第3题图 第5-1题图 2.[2024赤峰，9]等腰三角形的两边长分别是方6.[浙教九下P22课堂练习第1题改编]如图，一 程x2一10x十21=0的两个根，则这个三角形 个零件的轴截面为梯形，且关于直线m成轴 的周长为 对称.已知倾角a=5.2°.零件的长度1= A.17或13 B.13或21 20cm,大头直径D=10cm.则小头直径d= C.17 D.13 (结果精确到0.1cm.参考数据： 3.[2023通辽，16]如图，等边三角形ABC的边长 tan5.2≈0.09) 为6cm,动点P从点A出发以2cm/s的速 度沿AB向点B匀速运动，过点P作 PQ⊥AB,交边AC于点Q,以PQ为边作等 边三角形PQD,使点A,D在PQ异侧，当点 第6题图 D落在BC边上时，点P需移动 命题点③等腰直角三角形的相关计算 命题点见直角三角形的相关计算 7.[浙教九下P23第5题改编]一个长方体木箱沿 4.[2022鄂尔多斯，16]如图，在△ABC中，AB= 斜面下滑，当木箱滑至如图所示位置时，AB AC=4,∠CAB=30°，AD⊥BC,垂足为D,P 2m.已知木箱高BE-1m,斜面坡角为45°.木 为线段AD上的一动点，连接PB,PC.则 箱端点E距地面AC的高度为 m PA十2PB的最小值为 第7题图 第8题图 第4题图 第5题图 8.[2022包头，18]如图，在Rt△ABC中，∠ACB 5.[2023包头，15]如图，在Rt△ABC中，∠ACB 90°，AC=BC=3,D为AB边上一点，且BD 90°，AC=3,BC=1,将△ABC绕点A按逆时 BC,连接CD,以点D为圆心，DC的长为半径作 针方向旋转90°，得到△ABC'.连接BB,交 弧，交BC于点E(异于点C),连接DE,则BE的 AC于点D,则C的值为 长为 34 第18节 全等三角形 命题点全等三角形的性质与判定 4.[2024呼伦贝尔期末]如图，已知△ABC中， 1.[2024呼和浩特期末]如图，已知△ABC≌ ∠B=∠C,AB=8cm,BC=6cm,D为AB △DCB,∠A=75°，∠DBC=40°，则∠DCB 的中点，如果点P在线段BC上以每秒2cm 的度数为 的速度由点B向点C运动；同时，点Q在线 段CA上以每秒acm的速度由点C向点A 运动，设运动时间为t(s)(0≤13). (1)PC的长度为 cm(用含t的代数 式表示)： 第1题图 (2)若点P,Q的运动速度相等，经过 A.75° B.65 C.40° D.30° 后，△BPD与△CQP全等. 2.[2023呼和浩特，9]如图，在Rt△ABC中， ∠ABC=90°，AB=BC,AC=4V2,P为AC 边上的中点，PM交AB的延长线于点M, PN交BC的延长线于点N,且PM⊥PN. 若BM=1,则△PMN的面积为 第4题图 5.[人教八上P41第2题改编]如图，要测量池塘 两岸相对的两点A,B的距离，可以在池塘外 第2题图 取AB的垂线BF上的两点C,D,使BC= A.13 B.√13 C.8 D号 CD,再作出BF的垂线DE,使点E与点A,C 2一1.变设问一已知角度求线段如图，△ABC 在一条直线上，此时测得DE的长就是AB 为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC, 的长.判断以上方法是否可行？如果可行，请 D是AC上一点.CE⊥BD交BD的延长线于 证明：如果不可行，请说明理由. 点E,且∠AEB=45°，BE=7,AE=3√2，F 为BC的中点，连接EF,则EF的长为( 4.92 C5@ D3 2 B72 2 2 第5题图 第2一1题图 第3题图 3.[2022鄂尔多斯，14]如图，AB⊥BC于点B, AB⊥AD于点A,E是CD中点.若BC=5, AD=10,BE=号.则AB的长是 35 6.[2024包头青山区期中]如图，DE⊥AB于点7.[2022鄂尔多斯，24节选]在△ABC中，AB= E,DF⊥AC于点F,BD=CD,BE=CF. AC,∠BAC=90°，AD是△ABC的角平分线. (1)求证：AD平分∠BAC: (1)如图①，E,F分别是线段BD,AD上的 (2)已知AC=20,BE=4,求AB的长 点，且DE=DF,AE与CF的延长线交于点 M,判断AE与CF的数量关系及位置关系； (2)如图②，E,F分别在DB和DA的延长线 A 上，且DE=DF,EA的延长线交CF于 点M. 第6题图 a.(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请 给出证明：如果不成立，请说明理由： b.连接DM,求∠EMD的度数， BE D 图① 图② 第7题图 度 36 第19节 相似三角形（舍位似）】 命题点刀相似三角形的相关计算 命题点②相似图形的实际应用 1.[2022包头，9]如图，在边长为1的小正方形组 5.[2022赤峰，17]如图，为了则 成的网格中，A,B,C,D四个点均在格点上， 量校园内旗杆AB的高度， AC与BD相交于点E,连接AB,CD,则 九年级数学应用实践小组， △ABE与△CDE的周长比为 () 根据光的反射定律，利用镜 A.1:4B.4:1C.1:2 D.2:1 子、皮尺和测角仪等工具，C☑ DO 按以下方式进行测量：把镜 第5题图 子放在O处，然后观测者沿着水平直线BO 后退到点D,这时恰好能在镜子里看到旗杆 顶点A,此时测得观测者观看镜子的俯角α= 60°，观测者眼睛与地面的距离CD=1.7m, BD=11m,则旗杆AB的高度约 m 第1题图 第2题图 (结果取整数，W3≈1.7). 2.[人教九下P58第9题改编]如图，三角板在手6.[苏科九下P84例题改编]李明和张龙利用灯光 电筒光源的照射下形成了投影.三角板与其 下的影子长来测量一路灯CD的高度.如图， 投影是位似图形，其相似比是2：5，若三角 当李明走到A处时，张龙测得李明直立时身 板的面积是6cm,则其投影的面积是() 高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿 A.15 cm2 B.30 cm2 AC方向继续向前走，走到B处时，李明直立 D.cne 时身高BN的影子恰好是线段AB,并测得 C.8.5 cm2 AB=1.25m,已知李明直立时的身高为 3.[北师九上P104第7题改编]如图，在△ABC 1.75m,求路灯的高CD(结果精确到0.1m). 中，D,E分别是边AB,AC的中点.若 △ADE的面积为2，则四边形DBCE的面 积为 A B.1 . D.2 E B 第6题图 第3题图 第4题图 4.[2024赤峰松山区二模]如图，AD是△ABC的 中线，点E在AC上，BE交AD于点F,若 部-则能为 A.日 B日 c品 D 37 第20节 解直角三角形及其应用 命题点刀锐角三角函数 俯角为10°.已知测角仪CD与水平地面垂 1.[2024包头校级模拟]如图，在6×6的正方形 直且高度为1m,求雕像AB的高（用非特殊 网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点 角的三角函数及根式表示即可). 上，则sin∠BAC的值是 A.1 c D. 130 第4题图 第1题图 第2题图 2.数学文化[2023包头，7]如图源于我国汉代数学 家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与 一个小正方形拼成的一个大正方形.若小正方 形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三5.[2022包头，21如图①，AB是底部B不可到 角形中较小的锐角为a,则cosa的值为( 达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，测角 A B c D青 仪器的高DH=CG=1.5m.某数学兴趣小 组为测量建筑物AB的高度，先在H处用测 命题点☑解直角三角形的实际应用 角仪器测得建筑物顶端A处的仰角∠ADE 考向1仰角、俯角 为a,再向前走5m到达G处，又测得建筑物 3.[2024赤峰，17]综合实践课上，航D 顶端A处的仰角∠ACE为45°，图②是它的 模小组用无人机测量古树AB的 7 高度.如图，C处与古树底部A B 示意图，已知tana=g,AB⊥BH,H,G,B 处在同一水平面上，且AC= 三点在同一水平线上，求建筑物AB的高度. 10m,无人机从C处竖直上升到 达D处，测得古树顶部B的俯角第3题图 为45°，古树底部A的俯角为65°，则古树AB H H 的高度约 m(结果精确到0.1m参考数 图① 图② 据：sin65≈0.906，cos65°≈0.423，tan65°≈ 第5题图 2.145). 4.[2022呼和浩特，18]“一去紫台连朔漠，独留 青冢向黄昏”，美丽的昭君博物院作为著名 景区现已成为外地游客到呼和浩特市旅游 的打卡地.如图，为测量景区中一座雕像AB 的高度，某数学兴趣小组在D处用测角仪测 得雕像顶部A的仰角为30°，测得底部B的 38 考向2方向角 7.[2023包头，20]为了增强学生体质、锤炼学生 6.[2023通辽，20]如图，一艘海轮位于灯塔P的 意志，某校组织一次定向越野拉练活动.如 北偏东72°方向，距离灯塔100 n mile的A 图，A为出发点，途中设置两个检查点，分别 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于 为B点和C点，行进路线为A·BC→A. 灯塔P的南偏东40方向上的B处.这时，B 其中B点在A点的南偏东25°方向3√2km 处距离灯塔P有多远（结果取整数.参考数 处，C点在A点的北偏东80°方向，行进路线 据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈ AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°. 3.08,sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈ (1)求行进路线BC和CA所在直线的夹角 0.84)? ∠BCA的度数： (2)求检查点B和C之间的距离（结果保留根号）】 ◆东 40 25 B 第6题图 B 第7题图 度 39 考向3坡度坡角 10.[2024包头，19如图，学校数学兴趣小组开展 8.[2022鄂尔多斯，19]旗杆及升旗台的剖面如图 “实地测量教学楼AB的高度”的实践活动. 所示，MN,CD为水平线，旗杆AB⊥CD于 教学楼周围是开阔平整的地面，可供使用的 点B.某一时刻，旗杆AB的一部分影子BD 测量工具有皮尺、测角仪（皮尺的功能是直 接测量任意可到达的两点间的距离：测角仪 落在CD上，另一部分影子DE落在坡面DN 的功能是测量角的大小). 上，已知BD=1.2m,DE=1.4m.同一时 (1)请你设计测量教学楼AB的高度的方 刻，测得竖直立在坡面DN上的1m高的标杆 案，方案包括画出测量平面图，把应测数据 影长为0.25m(标杆影子在坡面DN上)，此 标在所画的图形上（测出的距离用m,n等 时光线AE与水平线的夹角为80.5°，求旗杆AB 表示，测出的角用a,3等表示)，并对设计进 的高度（参考数据：sin80.5≈0.98，c0s80.5≈ 行说明； 0.17,tan80.56). (2)根据你测量的数据，计算教学楼AB的 高度（用字母表示） ■□B 777777777777777777777777 皮尺测角仪 第10题图 第8题图 考向4其他测量问题 9.[2023赤峰，17]为发展城乡 经济，建设美丽乡村，某乡 对A地和B地之间的一处 垃圾填埋场进行改造，把原 第9题图 来A地去往B地需要绕行到C地的路线，改 造成可以直线通行的公路AB.如图，经勘测， AC=6km,∠CAB=60°，∠CBA=37°，则改 造后公路AB的长是 km(精确到 0.1km.参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈ 0.80,tan37≈0.75,3≈1.73). 40