第三章 函数-【加速度中考】聚焦2025年内蒙古中考数学

7.A【解析】解法一：如答图①，连接AC交BD于点O,连 接NC,MC,MC交BD于点N'.,四边形ABCD是正方 形，O是BD,AC的中点.，M是AB的中点，∴.N是 △ABC的重心，∴N0=子0.∴ND=号Bn“点A.C 关于BD对称，.NA=NC,∴.AN+MN=NC+MN≥ MC.当M,N,C三点共线时，y的值最小，最小即为MC 的长，.MC=25.,MC与BD交于点V',.当点N与 N重合时，将合题意.，N为BD上的定点，∴，ND的距 离为定值，即当a=N'D时，y的值最小，设正方形ABCD 的边长为m,则BM=7m在R△BCM中，由勾胶定理 得MC=BC+Bf,即20=+（号m）,解得m=4 （魔植已会BD=4反a=ND=子BD=8故 选A 解法二：如答图②，作点M关于对角线BD的对称点M', 由正方形的性质可得M为边BC的中点.连接AM交 BD于点N,连接NM.,点N在对称轴BD上，∴，MN= VM..AN+MN=AN+NM≥AM,∴.当A,N,M三 点共线时，y的值最小，即y的最小值就是AM的长， .AM=25,∴ND=a.设正方形ABD的边长为m, 则BM=专m在R△ABM中，由勾股定理得 A=AB+B,即20=m+(m）),解得m=4(负 值已舍).将AM向右平移AD的长度，得到线段DG,连接 CG.则CG=BM,MG=BC.:NM∥DG.∴.△BN'Mo △BG器-受：BM-合AB-古AD-吉MG, 1B=4,.BD=42, 号解择v=号。= “4 3 ND-BD-NB8故选A 3 G 图 图② 第7题答图 第11节 一次函数 1.B1-1.C2.D3.B3-1.B 4y=+1(答案不唯-)5.=2， y=1 6.x>0 第三章函数 7,解：(1)设参加本次实践活动的老师有a名，学生有b名. 第10节平面直角坐标系与函数 根据题意得38十6解得234， 40a-6=b, 答：参加本次实践活动的老师有6名，学生有234名. 1.C2.C3.r2-号且xf14B5.D6.①③④ (2)6 32旺 (3)设租用甲型客车x辆，则租车费用（元）是x的一次函数. 由题意得y=400x+280(6-x)=120x十1680. =是得=1B(21.如 :学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生 答图，过点B分别作BE⊥y轴 返校， 于点E,BH⊥x轴于点H,过，点 120r+1680<2300∴<g C作CFLx轴于点F,则O=2, BH=1,∴Sm=1.:B(2,1). ,x为正整数，x≤5， △OBC为等腰直角三角形， ,要保证240人有车坐，即45x+30(6-x)>≥240， ∴.OB=5,BC=OB,∴.BC= 第4题答图 解得x≥4，.有两种租车方案： 方案一：租4辆甲型客车，2辆乙型客车： 55r-20B.C=景.∠BHD=∠CFD-=0, 方案二：租5辆甲型客车，1辆乙型客车. ∴BH∥CF,∴∠DBH=∠DCF.:D是BC的中点， y随x的增大而增大， I∠DBH=∠DCF. .当x=4时，y取得最小值，最小值为120×4+1680= '.BD=CD.在△BHD和△CFD中， DB=DC. 2160(元). ∠BDH=∠CDF, 答：学校共有两种租车方案，最少租车费用为2160元. .△BHD≌△CFD(ASA),.S△wm=SAm·.SAF= 8.解：(1)，当10x≤16时，y=-20x+320, 3 ,.当x=14时，y=一20×14+320=40， ∴.第14天小颖家草莓的日销售量是40千克 54【解折】：反比例画数y一兰(>0)在第一象限的国象 (2)当4x≤12时，设草莓价格m与x之间的函数关系 上有A(1.6).B(3.b)两点.∴.1×6=3b,.b=2..B(3,2). 式为m=kx十b(k≠0)， 设直线AB的解析式为y=m十n,将点A(1.6),B(3,2)代 :点(4,24)，(12,16)在m=kx十6的图象上 m十一6， Jm=-2, 小他性斯降 k=一1， 入得 ,直线AB的解析式为 3m十n=2, 解得 n=8, 1b=28, 一2十8令y=0,得-2.x十8=0，解得x=4,.C(4,0). ∴.草莓价格m与x之间的函数关系式为m=一x十28 (3)当0≤r≤10时，y=12x, ,AB=√1-3y+(6-2y=25,C-√3-4y+(2-0y .当x=8时，y=12×8=96, 5、4AD·BC=AB·DO,AD·5=25·DO,∴.AD= 当x=10时，y=12×10=120: 2D0..S=2S,S-S=S.''S +S=SAC, 当4≤x≤12时，n=-x十28， S-8=8=5r=××4X6=4 .当x=8时，m=-8+28=20. 当x=10时，m=一10+28=18， 6.D ∴.第8天的销售金额为96×20=1920（元）， 7.解：I)ADLBE于点D,AC√2CD, 第10天的销售金额为120×18=2160（元）. :2160>1920,.第10天的销售金额多. maD是-号ZAD-=45 93y=一2 .△ADC是等腰直角三角形，∴.AD=CD, “点A的横坐标为1，点C(子-) 10.解：(1)y=2.4.x+3.6.理由： 由表中的数据可知y是x的一次函数。 CD=子-1=号A(1,2-)）.即A1,2. 设y=kx十b, 由题意得十b=6, 解得=2.4 “反比例函数为=严的图象过A,B两点， 12k+b=8.4. 1b=3.6. y与x之间的函数表达式为y=2.4r十36， 六m=1X2=2,·反比例函数的解析式为为=号 (2)设碗的数量有x个， :BE∥x轴点B的纵坐标为-专B(一4，-专) 则2.4.x十3.6≤28.8，解得xr≤10.5， ,x的最大整数解为10. ￥k+b=2, 答：此时碗的数量最多为10个 把A,B两点的坐标代入y1=kx十b,得 一4k+6=-1 2 第12节反比例函数 解得 3 1.D2.>133-1.-1 次函数的解析式为y=乞十立 2 4.一3【解析】由题意得点B的横坐标为2.将x=2代入 (2)由图象得不等式k红十b-”<0的解集是x<-4 33 或0x<1. ∴.AF=EF=AB=2w3,∠AFE=∠BAF=∠ABC=120, 8.解：(1)N和N ∴.∠FAO=∠ABP-∠APF=∠EPF=60°，∠AFO=30°， (2)设点N的横坐标为a, ·△ABP,△AFP,△EFP均为等边三角形， 点N是点M(3,一2)的等和点， ∴.OA=AF·c0s∠F4)=23s60=5,OF=AF· ,点N的纵坐标为3十a一(-2)=a十5， sin∠FAO=23sin60=3, 点V的坐标为(a,a十5). ∴.AW3.0),F0,3).∴B33,0),.P2√3,3)，E3.6). 又，点N在直线y=x十b上， ∴.a+5=a+b,,.b=5. :点P在反比例函数y=的图象上， (3)由题意得0.双曲线分布在第一，三象限 k=23X3=63,.该反比例函数的解析式为 如答图，设直线与双曲线的交点分别为A,B. y<业，x的取值范围是x>4或一2<x<0, y=6v3 ∴点A的横坐标为4，点B的横坐标为一2. 把x=4代入y=r-2,得y=4-2=2,A(4,2) 当x一3时4一。 =6∴点E在该反比例函数的图象上 把A(4,2)代人为=，得k=8,反比例函数的解析式 (2)将P(23,3),E(3,6)分别代人为=a.x+b, 为y=兰.设P(m,品)点Q的横坐标为： 2a+6=3·解得a-5, 得 w3a+b=6, =9, ,点Q是点P的等和点， .直线EP的解析式为=一3x十9 ·点Q的纵坐标为m十n一 8 观察图象可得，在第一象限内，当直线EP:为=一3x十 ∴Q(n,m+ 9位于手双曲线为6上方时，W3<25, :点Q在直线y:=x一2上， ∴不等式ar士>的解集为3<r<25. ÷m十一8=一2，解得m=一4、 1L.解：(1)由题意得一次函数=kx十b(k≠0)的图象与x m2=2. 轴，y轴分别交于A(-2,0),B(0,1)两点. 经检验，m=一4，n=2是方程m 第8题答图 将点A(-2,0),B(0,1)代入M=kx十b, 8+2=0的根， 得 1-2k+b=0, 解得 b=1, 点P的坐标为（一4，一2）或(2,4) b=1. 9.A【解析】如答图，过点B作BD上工轴于点D .一次函数的解析式为立x十1 O0,0).A(23.0),B(3,1),.BD=1,OD-3 (②)根据表格数据可知是反比例函数。设=兰将 AD=0D=尽.m∠0A-8厚.AB-0B （一1.4代人，解得=4-1 VOD+BD=2,∠BOA=∠BAO=30°..∠OBD 根据题意画出函数图象如答图 ∠ABD=60°，∠OBA=120.:△AOB与△A'OB关于 直线OB对称.∴.∠OBA'=120 ∴∠OBA'+∠OBD=180°，.A'.B, D三点共线，.A'B=AB=2 A'C=BC,∴.BC=1,CD=2,.点 C(3,2).点C(3,2)在反比例函0 D 数y=华的图京上.k=5X2= 第9题答图 85 25.故选A 10.解：(1)点E在该反比例函数的图象 上，理由如下： 如答图连接PA.PF "正六边形ABCDEF的边长AB= 第11题答图 23,点P是正六边形ABCDEF的C 对称中心， 第10题答图 (3)联立 解得3=一4，=2， 2x+1 y=-1,为=2， 34F .C(一4，-1) 当二业>0.∴②错误：③：y=mr2-6x一5=m(x ,点C关于坐标原点的对称点为点E,∴以4,1). 一x 如答图，连接OP,过点P作PM⊥，x轴于点M,过点E 3)2一5一9m,,.抛物线的对称轴为直线x=3.当x=3 作EV⊥x轴于点N 时，y=一5-9m:当x=6时，y=-5.若3≤x6,对应 :△PCE的面积为15，Sm6-2 的y的整数值有4个，，若m>0,当3≤≤6时，y随着 :点P,E在反比例函数的图象上， 的增大而增大，剥一9<一5一m-8“弓≤m<告：若 SeE=SE-号 m<0,当3≤x≤6时，y随着x的增大而减小，则一2≤ 设点P(m,告)2(1+4)4-m)= 2 -5-9m<-1…-号<m<-3-音<m<-号 解得m=1或一16（舍去）.P(1,4). 12.110 或号<m<号∴③正痛：④当m>0且≤<3时y随 13.解：(1)当0≤x<12时，药物燃烧时y关于x的函数解 者x的增大而减小，：-14≤y≤n十1.一5一9m= 析武为y号0心<12. -14,解得m=1,∴.n-6n-5=f+1.解得n=一1. (2)当x≥12时，函数为反比例函数. ①错误，综上所述，正确结论有①③，共2个，故选B 设y一冬将点(12.8)代人，解得=96. 5,B【解析】如答图，分别过点A和点C作y轴的垂线，垂 是分别为M,N,将A,C两点的横坐标代入y=一x十4， “药物燃烧后y关于x的函数解析式为y=96(x≥12) 得点A的坐标为(m,一十4)，点 (3)令y号=2，解得=3， C的坐标为(H,一行十4)，.AM= m,MO=-m十4，CN=n,NO= 令y=5=2,解得x=48. 一十4，四边形ABCD是正方 ,∴.从消毒开始第3min到第48min之间消毒人员不能 形，.AD=CD,∠ADC=90°， 停留在教室里. .∠CDN+∠ADM=∠ADM+ 第5题答图 第13节二次函数的图象与性质 ∠DAM=90°.∴.∠CDN=∠DAM.在△CDN和△DAM ∠CND=∠DMA. 1.D2.D 中，∠CDN=∠DM.∴△CD≌△DAMCAAS).∴.DM= 3.C【解析】，抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，且与 y轴交于正半轴，∴.a>0,b<0,c>0,.a<0,①正确 CD-DA. :当x=1时，y<0,∴a+b+c0,∴②错误物线过点■CV=n.DN=AM=m,.MN=DM+DN=m十又 (2.0).a++c-0.:b-2a .MN=NO-O广nd-f,∴.一f=m十n,即(m十n)· (m一n=m十n.,'m>n>0.,∴，m十n≠0，，∴，m一n=1.故 a+h什c<0,a-2a2+c<0, 选B ∴2a-c>0.4-b-2c->0, 1 5-1.D6.2 .-2h-3c>0,∴.2h+3c<0,∴.③正 7.(侣，)或(-）【解析】知答图，根据点D坐 确.如答图，设y=a.x2十hx十c,为= 第3题答图 标，得m=2-6×2+5=-3,.D点坐标(2，-3).设BC 一乞1十c,由图象可知，当功<为 所在直线解析式为y=kx十b,其过点C(0.5).B(5,0), 时，0<r<2..④正确.故选C b=5, 解得一1， BC所在直线的解析式为 4.B【解析】①二次函数y=m.x-6mx一5的对称轴为直 5k+b=0. b=5, 线r=-,6m=3.:6=3十a和=3-a关于直线x=3 y=一x+5.当点E在线段BC上时，设E(a,一a十5). 2m 对称，.对于任意实数a,都有西=3十a对应的函数值与 ,'∠DEB=∠DCE+∠CDE,且∠DEB=2∠DCB. 2=3一4对应的西数值相等，.①正确：②将点C(2, ∴.∠DCE=∠CTDE∴.CE-DEE(a,-a+5,C(0,5),D2. -13)代入y=m.2-6m.x-5,得4m-12m-5=一13，解 3).,∴.V0+(-a+5-57=√(a-2y+一4+5-(-3)j, 得m=1,.函数的解析式为y=x2一6x一5，.当x>3 解得a=号-a十5=号E点的坐标为（得号人当 时y随x的增大而增大“当>>号时功>， 点E在CB的延长线上时，在△BDC中，，BD=(5-2) 5 +[0-(-3)]=18,BC=(5-0)￥+(0-5)=50，D= (0-2)+[5-(-3)F=68.∴.BD+BC=DC,∴.BD1 为卫.当x=受时，y=一号，记对应点为Q,设抛物线M BC如答图，延长EB,取BE=BE,连接DE,∴△DEE 的表达式为y=2r-8十m,对于)y=2-8,当x=号 为等腰三角形，DE=DE, ∴∠DEE=∠DEE.又：∠DEB= 时y=一 时，y=一 2 2∠DCB.∴.∠DEE=2∠DCB,则 E为符合题意的点.，OC=(OB, ”-吾-(-)-5，-是-(2)=65<6当 ∴∠OBC=45°，E的横坐标为5+ 物线M向上移动且经过点P时有一个交点，经过，点Q (6一号)=器纵坐标为-号.综 时有两个交点.当抛物线M与直线AE只有一个公共点 上所述，点E的坐标为 时，联立》28r+m整理得2x-9x+m十4=0. 第7题答图 y=x-4, (,)(-) 4=(一9)-个X2(m+4)=0,解得m-智m的取值 8m=3或-1<m≤-是 【解析】由题意得抛物线的对称 范国为6Cm<想 轴为直线工=一-1.当=0时y=2抛物线与 10.A10-1.B 11,解：(1)1.①该函数图象关于y轴对称：②该函数图象 y轴的交点坐标为(0,2)，顶点坐标为(1,2一m),线段CD 与x轴有2个交点： 所在直线的表达式为y=一1.当m>0且抛物线过点D(4 ,方程一(x一1)2=一1的解为x1=一2，x=0, -D时.16m一8m十2=-1，解得m=一音（不特合道意，台 6=2: 去)：当抛物线经过点（一1，一1）时，m十2m十2=一1.解 m.若方程-(x一1)=a有四个实数根，则a的取值 得m=一1（不符合题意，舍去）：当m>0且抛物线的顷点 范围是一1<a<0. 在线段CD上时，2一m=一1，解得m=3:当m0且抛物 (2)如答图，将函数y=一(x一1)2的图象向右平移2 线过点DX4,-1)时，16m一8m十2=-1，解得m=一号，当 个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到函数y= 一(1x-2一1)2+3的图象. 抛物线经过，点（一1，一1）时，m十2m十2=一1，解得m=一1 当2<”≤3时，自变量x的取值范围是0<x<4 综上所速，m的取值范国为m=3浅-一1≤一 3 且x≠2. 9.解：(1)如答图，设直线AB交y轴于点M 点A坐标为(4,0)，.OA=4. m∠0B-8-2oM20A-8 .点M的坐标为(0，一8) 设直线AB的表达式为y=+c 将点A,M的坐标代入y=kx十c, 得+(。0·解得=2 1c=-8, 1c=-8. .直线AB的表达式为y=2x-8. 6 把y=-6代入y=2x-8,解得x=1, 点B的坐标为(1，一6). 第11题答图 M:y=a.x2+hx(a≠0)过点A(4,0), 12.D13.A B(1,-6), 第9题答困 第14节二次函数的综合应用 金得2 1b=-8, L.解：(1)当1≤≤10时，设每台的销售价格y与月份x之 .抛物线M的表达式为y=2x一8 间的函数关系式为y=kx十(k≠0). :图象过A(1,2850),B(10,1500)两点 (2)6≤m<碧【解法提示】设直线AE的表达式为y (k+b=2850, 1k=-150, k1x十6，直线AE过点A(4,0),E(0,-4), 110k+b=1500, 解得b3000: ÷收释释你 .当1≤≤10时，每台扫地机器人的销售价格y与月份x 1a=-4,1 .直线AE的表达式为 之间的函数关系式为y=-150x+3000. y=一4对于y=一4，当x=是时y=一号记对应点 (2)设销售收入为万元 当1≤x≤10时， 36 w=(-150r+300)(6r+1） 直线EF的解析式为=一，过原点，即点F与O重 =-15(x-5)+3375. -15<0,.当x=5时，0大=3375（万元）. 合：令x=-8,得y=-=2EN=2.0N=8 当10<x≤12时， 又，∠ENO=90° w-1500(6r+1)=150r+150. .EF=EO=ENFON=2 17 (m). 答：这条钢架的长度为217m 记随x的增大而增大， 3.解：(1)2 ∴.当x=12时，大=3300（万元）.，3375>3300， 画出函数图象如答图①. .第5个月的销售收入最多，最多为3375万元 由图象可得该函数的性质：①该函数关于y轴对称：②当 2.解：1Dy=g+3)+日 x<一1或0≤x<1时，y随x的增大而增大，当一1≤r< (2)I,:抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中 0或x≥1时，y随x的增大而减小。 心对称， (2)当x<0时，y=-2x2-4x ∴抛物线BD的顶点与抛物线ACB的顶点C关于点B 当x≥0时，y=一22+4x A(2,0),B(-2,0),.AB=4. 对称.C(-3,8),B0,2), 5a他-3×4m=3%=士 ∴BD段抛物线的顶点为(3，罗)】 当=时若x<0,则-2-4r=是， ∴此人腾空后的最大高度为受m 解得x=-是或-之 此时可设抛物线BD为y=a(-3+ 81 若0，则-2+-受，解得r=受或分 将点B0,2代人上式，得a(0-3)+要-2， (是，曼)或（是）减（受，）减（侵）月 当=-是时若<0，则一22-4=-是 抛物线BD的解析式为y=一 (a-3+ 8 解得x=一1-号或=-1+号（合去）： ,由①得y=名一3y+客 若>0.则-2+4r=-是 令y=- -3r+要=0. 解得=8，=-2（舍去），.OD8。 又，OE=12,∴.DE=12-8=4>3 落点D在安全范围内. (3)如答图，EF即为所求钢架， 综上所述，所有满足条件的点下的坐标为（一三，2）或 由(1)得A(CB所在抛物线的解析式为y一8(T+3P+8 （,2)或（受，）或 (分，)或 令y=+3)+=4. (-1-.-多)减(1+.-)月 解得x=一8，=2（会去），∴.M一8,4). (3)PM与PV的和是定值. 又：B(0,2),∴.直线BM的解析式为y=一 x+2. 如答图②，连接直线PQ. ,EF∥BM,∴.设直线EF的解析式为 :抛物线=一2x2十4x交x轴于O,A两点， 1 .00,0),A(2,0). y=- x十m 1/n A代 ,y=-2x2+4x=-2(x-1)°+2， = 抛物线y=一2x+4x的顶点为(1,2)。 联立 点P是点Q(1,0)关于抛物线顶点(1,2)的对称点， y=8 (x+3)2+ 8 (F)x/m ∴点P的坐标为(1,4). 第2题答图 由点P,O的坐标可得，直线OP的表达式为y=4x.① g(+3+ 同理可得直线AP的表达式为y=一4x十8.② 子+mr+8r-8m+16=0. 1 设直线（的表达式为y一tx十n(1≠0）， 联立y=ta十n和y=-2xr十4.x, .△=64-4×(-8m+16)=0,.m=0. 整理得2x2十(1一4).x十n=0. 37 ,直线1与抛物线只有一个公共点， 设点P(m,一之m+受m+2, 4=(-4)2-8=0,解得m=名（1-4， 则M(m,-2m+2) “直线1的表达式为y=江+日1-4，③ 当∠PCM=2∠OBC时， 联立①③：解得w=一名一0， 如答图，过点C作CF⊥PM于点F. ,CF⊥PM,PM∥y轴， 同理可得=一名-12.。 ∴.CF∥OB,∴.∠FCM=∠OBC,F(m,2). 又，∠PCM=2∠OBC, :射线PO,PA关于直线PQx=1对称，则∠APQ∠OPQ. ∴.∠PCF=∠FCM=∠OBC, 设∠APQ=∠OPQ-a,则sin/APQ-sn∠OPQ-8品 ∴F是线段PM的中点， 1 1 +平-市 =sin a. +号m+2+(m+2 =2 2 .PM+PN-1-/T7(N-M)=/7, 整理得m-2m=0,解得m=2,=0. sin a sin a 点P是第一象限内抛物线上的动点，m2 ∴.PM与PN的和是定值，值为√7. 当∠CMP=2∠OBC时，∠CMP=∠BMN, ,.∠BMN=2∠(OBC,即∠BMN=2∠NBM PN⊥x轴，'.∠BMN+∠VBM=90°， 即3∠NBM=90°，∴.∠NBM=30, .20C=BC0C=2,OB=4, .BC=0+OB=√4+16=25≠4， .BC≠2(C,.此种情况不存在； 图② 当∠CPM=2∠OBC时， 第3题答图 ∠CMP-∠NMB=90°-∠OBC, 4.解：(1)将点B(4.0)和点C(0,2)代入抛物线 .∠PCM=180°-∠CPM-∠CMP y=- 之c+batc中. =180°-2∠OBC(90°-∠0BC) =90°-∠OBC. ×42+4b+c=0, 3 得 2 解得 =2 .∠PCM=∠CMP,∴.PC=PM, c=2, c=2, ∴(m-0+(-m+m+2-2） .抛物线的解析式为y= 2 1 21+2. mm+[+号2-（←-m+2)订 在y一++2中， 令=-r++2=0 3 解得两=之，m=0(舍去)。 解得x=-1,=4,A(-1,0). (2)存在 综上所述，满足条件的点P的横坐标为2或受。 D是线段AC的中点，A(-1,0),C(0,2), D(-克1).设E0. .B(4,0)./BED=90,..BE+DE=BD, 即[(4-0)+(0-)]+[(-号-0)'+1-]= (4针3）广+0-1y,解得1=-16=2. 第4题答图 5.(1D解：令x=0,得y=2,∴.D(0.2), .点E的坐标为(0，一1)或(0,2) 令y=0,得x=6,∴.E(6,0). (3)由题意得B(4,0),C(0,2). 设直线BC的解析式为y=kx+2(k≠0). :直线y=一弓+2交抛物线于B,C两点（点B在点C 把点B(4,0)代入y=kx十2.得4k十2=0， 的左侧)， 解得一子 方程-上+3+1=一子+2有两个不相等的实根。 直线BC的解析式为y=一之1十2 整理得3-10+3=0，解得4=号6=3 38F 点B在点C的左侧， 当t=√7时，-+31+1=37-6， 点C的横坐标为3.当x=3时，y=1C(3.1). ∴.P(W7,37-6). (2)①证明：，抛物线y=-x+3x十1交y轴于点A, 当x=0时，y=1..A(0,1),.OA=1. ∴.点P的坐标为(1,3)或(W7,3v7-6). 在Rt△AOF中，∠AOF=90°， AF=0A+OF 设F(m,0),∴.OF=m,.AF=1十m E(6,0),∴.OE=6..EF=(OE-OF=6-m AF十EF=21, .1十m十(6-m)2=21,.m=2,m:=4. 第5题答困 OF<EF,∴m=2,∴.OF=2,.F(2,0) 6.【解析】1)解：顶点为M(2,d), D(0.2),OD=2..OD=OF b 2x-②=2， .△DOF是等腰直角三角形，.∠OFD=45. ∴.b=8,∴.y=-2+8.x+c,B(3,0). 如答图，过点C作CG⊥x轴于点G. 将点A(1,0)代入y=-2x+8x十c C(3,1)..CG=1,0G=3. 得-2十8十c=0,解得c=-6, GF=OG-OF=1. 抛物线的函数表达式为y=一2x十&x一6. .CG=GF,∴△CGF是等腰直角三角形， (2)证明：，y=-22+8.x-6 ∴.∠GFC=45,∠DFC=90. =-2(x-2)2+2, ∴△DFC是直角三角形. .2,2). ②解：，FK平分∠DFC,∠DFC-90. ∴.∠DFK=∠CFK=45, 如答图①，过点M作MN⊥x轴于点N,则V(2,0). .∠OFK=∠OFD+∠DFK=90°， A.0.C(o, .FK∥y轴. '3tan∠PFK=l,.tan∠PFK= ·4C 2 .AM-/5.CM- .CM=AC+AM. 设点P的坐标为1，一f+31+1),根据题意得号<13 .△ACM是直角三角形，且∠CAM=90°， a当点P在直线KF左侧抛物线上时，tan∠PFK= ÷an∠ACM=A兴=2. AC A(1.0).V(2,0).M2,2),.MN=2.AV=1 此时号<≤2. 如答图，过点P作P,H⊥x轴于点H 在R△AMN车，m∠AB-米-2， ∴PH∥KF,∴∠HPF=∠PFK, ∴.∠ACM=∠BAM itan∠HRF= (3)解：3Sm=2S4.理由如下： 由折叠得M坐标为(2，=2. HF=OF-OH.∴.HF=2-. 如答图②，过点D作DH⊥x轴于点H. 在R△P证中，aDF一， 0E/DH8開2-等 ..P H=3HF. :PH=-+31+1, :B(3,03=号解得w=子 ∴.-+3+1=3(2-t),.f-61+5=0, 设直线AM的解析式为y=飞x十m, .=1,4=5(舍去)， +m=0 k=-2, 当1=1时，-+31+1=3，.P(1,3). 12k+m=-2, 解得 m=2, b.当点P在直线KF右侧抛物线上时，tm∠P:FK=3: ∴.直线AM的解析式为y=一2x十2， 此时2<t<3. D(3.-告)AD=25.DM=35 5 5 过点P作PMLx轴于点M, 设点B到AM'的距离为h, ∴.PM∥KF,.∠MPF-∠PFK, ta∠PF温-寸PM=aMR 35m-35,256Mm=35h. 5 5 ∴，3SuD=2 SEMI 'PM=-+3+1,MF=OM-OF=t-2, (4)解：存在. .-+31+1=3(1-2)..-7=0. 如答图③，设点P的坐标为(t,一2F十81一6). ∴.3=√7，=一7（舍去）， 抛物线y=-2x2+8.x-6=-2(x一2)2+2. 39 .抛物线的对称轴为直线x=2. _+1一k+互 :点Q在直线x=2上，点P在x轴下方，且以A,B,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形， ∴.PQ∥AB且PQ=AB..PQ∥x轴. =√画)+（画可 点Q的坐标为(2，一2+8一6)，∴PQ一2. +1-+五 由(1)可得B(3,0),.AB=2, .1-2=2,解得1=0，t4=4. 当1=0时，-2r+81-6=-6,.P(0,-6), .CF-7CE 当1=4时，-2r+81-6=-6,.P(4,-6). 若款A的坐标为（仕五，士五）片 综上所述，满足题意的点P的坐标为(0，一6)或(4，一6). 2. 2 :E(仕五，+百+). 4 FL辅F(仕五o小 根据两点间距离公式得 CF=(种五)+(}) 4 第7题答图 图① 图② 图③ ER十工十十1 第6题答图 7.(1)2y=(x-2)-8 (2)解：将（一1，m)代入y=x2一26a4 47 得m=1+2b-4=2b-3. +十及+1 8 “m=2h-3>0.b>是 y=x-2bx-4. :.CF-2CE. 抛物线开口向上，对称轴为直线x=一 -> 2 2m+2≤54十2≤5<3 242 抛物线开口向上，且<x2,> (3)证明：如答图.当b=0时，原抛物线的解析式为y一4 向上平移4个单位长度得到的新抛物线的解析式为一。 :直线y=k+十与y轴交于点CC(o, 度碧 y=r, 联立 r+.解 2 -五+ 2 n十F+豆 2 生+五+ 2 ,E为AC的中点， 若点A的坐标为（五，五）】 2 则E(F五，-k百+1)片 :EFLx轴.F(-F五，0）片 根据两点间距离公式得 =五)+()》 40第三章 团数 第10节 平面直角坐标系与函数 命题点1坐标系中点的几何变化 反映这则寓言故事的大致图象是 ) 1.[2022赤峰,6]如图,点A(2,1),将线段OA先 ## # # 向上平移2个单位长度,再向左平移3个单 位长度,得到线段OA,则点A的对应点A B C D 的坐标是 考向2 由函数图象判断相关结论 A.(-3,2) 6. [2022赤峰,16已知王强家、体育场、学校在同 B.(0,4) 一直线上,下面的图象反映的过程是:某天早 C.(-1,3) 晨,王强从家跑步去体育场锻炼,锻炼结束 第1题图. D.(3,-1) 后,步行回家吃早餐,饭后骑自行车到学校 图中:表示时间,y表示王强离家的距离,则 命题点2函数自变量的取值范围 下列结论正确的是 (填写所有正 2.[人教八下P82第4题改编]函数y-x-1自 确结论的序号). 变量的取值范围是 ①体育场离王强家2.5km A.x>1 B.21 ②王强在体育场锻炼了30min C.x>1 D.x<1 ③王强吃早餐用了20min ④王强骑自行车的平均速度是0.2km/min .y/m 3---...-.-... 自变量的取值范围是 2.5 - 命题点3函数图象的分析与判断 考向1 由实际问题判断函数图象 0 1530 67 87102 x/min 第6题图 4. [人教八下P108第8题改编]小明匀 考向3 结合动点判断函数图象 速地向如图所示的容器内注水,最 7.解题策略开放[2022鄂尔多斯,10]如图①,在正 后把容器注满.下面哪一个图象可以 第4题图 方形ABCD中,M是AB的中点,N是对角 大致刻画水面高度h与时间/的关系( ) 线BD上一动点,设DN=x,AN+MN=y #_#}# 已知y与x之间的函数图象如图②所示,E(a; 2/5)是图象的最低点,那么a的值为( C ) B A D 5. [2024赤峰松山区二模]有一天,兔子和乌龟赛 ## 跑.比赛开始后,免子飞快地奔跑,乌龟缓慢 ### 地爬行.不一会儿,乌龟就被远远地用在了后 C 图① 图② 面,兔子想:“这比赛也太轻松了,不如先睡一 第7题图 会儿,”而乌龟一刻不停地爬行,当兔子醒来 C.# .4## B.2/2 跑到终点时,发现乌龟已经到达了终点,正确 第11节 一次函数 命题点1一次函数的图象与性质 (y-x-1. 1. [2022包头,8]在一次函数y=-5ax+b(子 #2-1的解是 0)中,y的值随x值的增大而增大,且ab>0, 3 6. [北师八上P101第18题改编]如 ### 则点A(a,)在 , ) B.第三象限 A.第四象限 图,直线y=-x+2与直线y C.第二象限 D.第一象限 bx十b相交于点A(0,n),则关 1-1.变设问-一判断大小关系在一次函数y= 于x的不等式一x十2<x十 第6题图 的解集为 一5ax十b(a去0)中,y的值随x值的增大而增 命题点④一次函数的实际应用 大,且ab>0,则关于a,6与0的大小关系,下 列结论正确的是 ( 考向1 方案设计 B.a>0.b0 A.a>0,b>0 7. [2023呼和浩特,22]学校通过劳动教育促进学 C.a<0,b0 D.a<0,b>0 生树德、增智、强体、育美全面发展,计划组织 2.[2023通辽,4]在平面直角坐标系中,一次函 八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活 # 数y-2x-3的图象是 动,到达农场后分组进行劳动,若每位老师带 38名学生,则还剩6名学生没老师带;若每位 老师带40名学生,则有一位老师少带6名学 生.劳动实践结束后,学校在租车总费用 2300元的限额内,相用汽车送师生返校,每 & 辆车上至少要有1名老师,现有甲、乙两种大 命题点2一次函数解析式的确定 型客车,它们的载客量和租金如表所示: 3. [2023包头,8在平面直角坐标系中,将正比 甲型客车 乙型客车 例函数y三一2x的图象向右平移3个单位长 2 载客量/(人/辆) 度得到一次函数v一hx十b(云0)的图象,则 30 该一次函数的解析式为 400 相金/(元/辆) 280 A.y--2x+3 B.- (1)参加本次实践活动的老师和学生各有多 C.y--2x-3 D. 少名? 3一1.变条件 一增加对称变换在平面直角坐标 (2)租车返校时,既要保证所有师生都有车 系中,将正比例函数一一2x的图象向右平 移3个单位长度,再将得到的一次函数图象沿 坐,又要保证每辆车上至少有1名老师,则共 需相车 辆; x轴作对称变换,则对称变换后的一次函数的 (3)学校共有几种租车方案?最少租车费用 解析式为 ) 是多少? A.y--2x十3 By-2v-6 C.y-2x+3 D.y--2x-6 4.结论开前[2024包头,13在平面直角坐标系 中,若一次函数的图象经过第一、二、三象限 请写出一个符合该条件的一次函数的表达 式: 命题点③一次函数与方程(组)、不等式 的关系 5.[浙教八上P166第3题改编]直线:y-x-1 3 15 考向2 阶梯费用 考向3 购买问题 8. [2022包头,22]由于精准扶贫的措施科学得 9. [2022呼和浩特,14]某超市糯米的价格为 当,贫困户小颖家今年种植的草喜获丰收 5元/kg,端午节推出促销活动:一次购买的数 采摘上市16天全部销售完,小颖对销售情况 量不超过2kg时,按原价售出;超过2kg时. 进行统计后发现,在该草毒上市第x天(x取 超过的部分打八折,若某人付款14元,则他账 买了 整数)时,日销售量y(单位:千克)与x之间的 _kg糯米;设某人的付款金额为 (12x.010. x元,购买量为vk,则购买量v关干付款夺 函数关系式为y一 -20r+320.1016 额x(x>10)的函数解析式为 草蒋价格n(单位:元/千克)与x之间的函数关 考向4 其他问题 系如图所示. 10. [2024包头,20]如图是1个碗和4个整齐叠 (1)求第14天小颖家草荐的日销售量 放成一擦的碗的示意图,碗的规格都是相同 (2)求当4<x12时,草价格n与x之间 的,小亮尝试结合学习函数的经验,探究整 的函数关系式; 齐叠放成一累的这种规格的碗的总高度y (3)试比较第8天与第10天的销售金额哪 (单位:cm)随着碗的数量x(单位:个)的变 天多? 化规律,下表是小亮经过测量得到的y与。 ,m/(元/千克) 之间的对应数据 。 /个 3 / 8.4 10.8 y/cm 6 13.2 (1)依据小亮测量的数据,写出y与x之间 第8题图 的函数表达式,并说明理由 # (2)若整齐叠放成一累的这种规格的碗的总 高度不超过28.8cm.求此时碗的数量最多 为多少个? 第10题图 第12节 反例丽数 命题点1反比例函数的图象与性质命题点3反比例函数与一次函数结合 1.[2023通辽,6]已知点A(x,y),B(x,y)在 6.[2023呼和浩特,6]在同一直角坐标系中,函数 反比例函数y--2的图象上,且x<0<x. y_-kx十与y-(k≠0)的大致图象可能 - 为 则下列结论一定正确的是 ) B.y十y0 A.y十y<0 ######## C.y-<0 D.y-y>0 2.[2022呼和浩特,12]点(2a-1,y),(a,y)在 7. [2022呼和浩特,21]如图, y<y,则a的取值范围是 在平面直角坐标系中,一 3.[2024包头,15]若反比例函数y= 次函数y一x十b的图 象与反比例函数y:- 第7题图 的图象交于A,B两点, 函数y的最大值是6,则a*一 且A点的横坐标为1,过点B作BE/x轴; 3一1.座条件 一解析式未知若反比例函数y AD1 BE于点D#,点C(,)是直线BE# m(m0),y-”(n≠0)当1<x<3时,函 上一点,且AC-2CD. 数的最大值是2,函数v;的最大值是一1. (1D求一次函数与反比例函数的解析式; 则n十n一 题点2反比例函数中比例系数的 (2)根据图象,请直接写出不等式kx十b-<0 几何意义 的解集. 4. [2024包头,15改编]如图,等腰直角三角形 过二 与y-”(n-0)的图象上,OBC-90,点B的 7 横坐标为2,D为BC的中点,则n的值为. # 0 第4题图 第5题图 在第一象限的图象上有A(1,6),B(3,)两 点,直线AB与x轴相交于点C,D是线段 OA上一点.若AD·BC=AB·DO,连接 CD.记△ADC,△DOC的面积分别为S.S. 则S一S。的值为. 17 8.断定义[2024赤峰,23]在平面直角坐标系中, 命题点4反比例函数与几何图形结合。 对于点M(x.y),给出如下定义:当点 9.[2023包头,10]如图,在平面直角坐标系中, N(x,y)满足x.十x=y十y时,称点N △OAB三个顶点的坐标分别为O(0,0). 是点M的等和点 A(23,0),B(3,1),/\OAB与/OAB关 (1)已知点M(1,3),在N.(4,2),N(3.-1). N。(0.一2)中,是点M等和点的有 (2)若点M(3,-2)的等和点N在直线y x>0)的图象与A'B交于点C.若A'C=BC. 则的值为 x十上,求的值; ) # 7 (3)已知双曲线y-和直线y-x-2,满足 y y的x的取值范围是x>4或一2<x0. 若点P在双曲线y,-上,点P的等和点Q A) 第9题图 在直线y一x-2上,求点P的坐标 ## D# A.2/③ C.③ 10.[2023呼和浩特,21]如图, 在平面直角坐标系中,正 六边形ABCDEF的对 称中心P在反比例函数 -(0>o)的图 第10题图 3 象上,边AB在x轴上,点F在y轴上,已知 AB-2/3. (1)判断点E是否在该反比例函数的图象 上,请说明理由; (2)求出直线EP:y=ax+b(a关0)的解析 11. [2024呼和浩特,22]如图,在平面直角坐标系 式,并根据图象直接写出当x>0时,不等式 中,一次函数y=kx十b(去0)的图象与 轴,v轴分别交于A(-2.0),B(0,1)两点 第11题图 (1)求一次函数的解析式; 加 10 (2)已知变量x,v的对应关系如下表,已知 命题点5反比例函数的实际应用 值呈现的对应规律 12.[人教九下P15例4改编]一个用电器的电阻 1234. 是可调节的,其范围为4400~10000.已 知电压220V,这个用电器的电路图如图所 示,则这个用电器功率的最大值为 写出v与x的函数关系式,并在本题所给 (电率P-).# 的平面直角坐标系中画出函数y;的大致 图象; (3)一次函数y的图象与函数v的图象相 交于C,D两点(点C在点D的左侧),点C 关干坐标原点的对称点为点E,点P是第一 象限内函数y。图象上的一点,且点P位于 第12题图 点D的左侧,连接PC,PE,CE.若△PCE 13.[浙教八下P157第16题改编]为预防传染病; 某校定期对教室进行“药熏消毒”,已知药物 的面积为15,求点P的坐标. 燃烧阶段,室内每立方米空气中的含药量 y(mg)与药物在空气中的持续时间x(min) 成正比例关系;燃烧后,v与x成反比例(如 图所示).现测得药物12min燃完,此时教 室内每立方米空气含药量为8mg.根据以 上信息解答下列问题: (1)求药物燃烧时y关于x的函数解析式; # (1)求药物燃烧后y关于x的函数解析式 (3)当每立方米空气中的含药量低于2mg 时,对人体方能无毒害作用,那么从消毒开 始,在哪个时段消毒人员不能停留在教室里? y/mg 0 x/min 第13题图 20 第13节 二次函数的图象与性质 命题点1二次函数的图象与性质 ###<-### 1. [2024呼和浩特,8在同一平面直角坐标系中, ④当m>0且nx<3时,-14<y<n*}+1. 函数y=ax-b(a-0)和y--f(c0)的图 则n-1. ## 其中正确的结论有 象大致如图所示,则函数y=ar②}十bx十c(a C ) A.1个 B.2个 C.3个 ) D.4个 0)的图象大致为 5.[2024赤峰,14]如图,正方形ABCD的顶点 A,C在抛物线y=一x^{}+4上,点D在y轴 上.若A,C两点的横坐标分别为n,n(m # n>0),则下列结论正确的是 - A.m十n-1 Bm-n-1 ### C.n-1 D."1 77 第1题图 一第3题图 2. [2024呼伦贝尔模拟]对于抛物线y # 3.下列说法错误的是 第5题图 第5-1题图 A.对称轴是直线x一5 5一1. 变图形 一改变正方形位置如图,正方形 B. 函数的最大值是3 OABC的顶点A,C在抛物线y=ax*十b上.若正 C.开口向下,顶点坐标(5,3) 方形QABC的边长为2,则a,b的值为 ( D.当x>5时,y随x的增大而增大 B.-1,1 x.<1,下列四个结论:①abc 0;②a+b十c>0; 6.[2023包头,14]已知二次函数y=-a.*}十 2ax+3(a>0).若点P(m,3)在该函数的图 象上,且m去0,则n的值为 的解集为0<x<2.其中正确结论的个数是 7.[2023赤峰,18]如图,抛物线y=x②-6x+5 ) 与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,点D A.1 B.2 C.3 D.4 (2.n)在抛物线上,点E在直线BC上,若 4.[2023呼和浩特,10]关于x的二次函数y DEB-2 DCB,则点E的坐标是 mx2-6mx-5(m+0)的结论; ①对于任意实数a,都有x一3十a对应的函 数值与x。一3一a对应的函数值相等; ②若图象过点A(x,y),点B(x,y),点C 0 .1-2 ③若3 x6,对应的y的整数值有4个,则 第7题图 2 8. [2022呼和浩特,16在平面直角坐标系中,点 (2)如图②,点E(0,一4),连接AE,将抛物线 C和点D的坐标分别为(一1,一1)和(4 M.向上平移m(m>1)个单位长度得到抛物 -1),抛物线y=mx^{}-2mx+2(m:0)与线 线M。.当3<<时,抛物线#M与直线# 段CD只有一个公共点,则的取值范围 是。 AE有两个交点,直接写出n的取值范围 9.[2024呼伦贝尔赛罕区二模]如图①,点A的坐 标为(4,0),抛物线M :y=ax*}+bx(a去0)过 点A,过点A的直线与第四象限的抛物线交 于点B,点B的纵坐标为-6,tan/OAB-2. (1)求抛物线M的表达式; 图① 图② 第9题图 1度 22 命题点2二次函数图象的几何变化 (2)延伸思考; 10. [2024包头,6]将抛物线y=x{+2x向下平 将函数y三一(x 一1)*的图象经过怎样的 平移可得到函数y=-(x-2-1)*+3 移2个单位长度后,所得新抛物线的顶点式 的图象?画出平移后的函数图象,写出平移 为 ) 过程,并直接写出当2<v<3时,自变量 A.-(x十1)?-3 B.y-(x十1)?-2 的取值范围 C.y-(x-1)?-3 D.y-(r-1)*-2 10-1.变条件-平移变为对称抛物线y一+ ( 2x关于x轴对称后的图象解析式是 ) A.y-x2-2x By--2-2x C.y--r*+2x D.y-2+2x 11.[2024赤峰一模]小爱同学学习二次函数后, 对函数一一(x一1)*}进行了探究,在经 历列表、描点、连线的步骤后,得到如图所示 命题点③二次函数与一元二次方程、 的函数图象 不等式的关系 12. [2024鄂尔多斯二模]著名数学家华罗庚说 过,“数缺形时少直觉,形缺数时难人微,数 形结合百般好,隔离分家万事休,”寥寥数 语,把图形之妙趣说的淋漓尽致,如图是函 数yarx十c的图象,那么无论x为何 ( 值,函数值y恒为负的条件是 ) 第11题图 请根据函数图象,回答下列问题 (1)观察探究: 第12题图 1. 至少写出该函数的两条性质 A.a>0,b-4ac0 B.a>0,b-4acC$ II.直接写出方程一(x一1)三一1的解 C.0,b-4ac>0 D.a0,b2-4ac0 III.直接写出方程一(x一1){一a有四个 13. [北师九下P59第8题改编]已知二次函数 实数根时a的取值范围; -2x一x-m与y轴的交点为(0,-1). 则关于x的一元二次方程2x-x-m= C 的两个实数根是 ) 。 2-1 Bx--1,x。- C.x--1,x-2 D.x--2.x。-1 23