第六章 圆-【加速度中考】聚焦2025年内蒙古中考数学

⑥ CH=H=9.:o0BH=8器-畏品言 .OB=3,.⊙0的半径为3 (2)证明：如答图②，过点O作O水⊥BD于点K,则BK=DK. .BD=20E,..OE=BK. 证法-：：'∠CEO=∠OKB=90°，OC=BO. .R1△OEC≌R△BKOCHI), ∴.∠COE=∠OBK,∴.BD∥OC 证法=：“o∠00E-装∠0BK-850C-0B. ∴.cos∠COE=cos∠OBK, ∴.∠COE=∠OBK,.BD∥OC 0 图①) 图② 第六章圆 第4题答图 5.B6.C7.B 第23节圆的有关性质 85y272 2 【解析】：△ABC内接于⊙O且∠ACB= 1.C2.B 90.∴.AB为⊙O的直径，.∠ADB=90°，∠DAC+ 3.(1)证明：如答图，连接AD, ∠DBC=180.:弦CD平分∠ACB,∴.∠ACD=∠BCD ,AB是⊙O的直径， 45,∴.AD=BD,∴∠DAB=∠DBA=45.AB=5,AC=4, ∴∠ADB=90°，即AD⊥BC AB-=AC,∴.BD=CD <.CB-VAB-AC-3.AD-BD-AB 2知答 (2)解：CD=BD=4, 图，把△DAC绕D点逆时针旋转90 ∴.CB=BD+CD=8. 得到△DBE..∠CDE=90, 第3题答图 ∠DBE=∠DAC,DE=DC, 在Rt△ADC中，tanC= 2 .∠DBC+∠DBE=180..C.B,E 三点共线△[DCE为等腰直角三角 六AD=CD.anC-X =2 形，.CE=BE+BC=AC+BC=7, 第8题答图 ∴.AC=WAD+CD=2②+4平=25. CD-DE-2 2 :AB是⊙O的直径，.∠AEB=90 9.B10.A :∠BEC=∠ADC=90°，∠C=∠C, 11,(1)证法一：如答图①，连接BD △CEn△CDA∴需-票 :AB是⊙O的直径，∴.∠ADB=90° ∠ADC-∠BDC=∠ADB, f2万…E=-165 “CE=8 ∠BDC=∠BAC, 5 ∴.∠ADC-∠BAC=90 AE=CE-AC85AE的长为55 证法二：如答图②，连接BC 5 ,AB是⊙O的直径，.∠ACB=90 4.(1)解：如答图①，过点O作OH⊥BC于点H. ·∠PBC=∠BAC+∠ACB. ,OC=OB,OH⊥BC,.∠COH=∠BOH,CH=BH. ∴.∠PBC-∠BAC=90. ,∠BC=2∠BCE,∴.∠BOH=∠BCE :四边形ABCD为⊙O的内接四边形， :∠OBH=∠CBE,∴.△OBH△CBE, ∴.∠ADC+∠ABC=180. :∠PBC+∠ABC=180°， .∠CEB=∠OHB=90°..BC=VEC+EB=V6, .∠ADC=∠PBC, .∠ADC-∠BAC=90 (2)解：由答图②可得∠ADC=∠PBC :CE=CE,∴∠COE=2∠CGE ,∠ACP=∠ADC, ∠DOE=2∠CGE,∴.∠COE=∠DOE. ∴·∠PBC=∠ACP,即∠PBC=∠PCA. ,AB为⊙O的切线，C为切点， :∠BPC=∠CPA, .0C⊥AB.∴.∠0CB=90. ∴△CAPCA.腮-器 又：DF⊥AB,∴·∠DFB=∠(CB=90°. ∴.OC∥DF,∴.∠COE=∠OED. ∴.PC=PA·PB. ∠DOE=∠OED,∴.OD=DE ,⊙0的半径为3. 又，OD=OE,.△ODE是等边三角形， ∴.AB=6,∴.PA=PB+6. ∴.∠DOE=60°，∴∠CGE=30 CP=4, :⊙0的半径为5，.EG-10. .4=(PB+6)·PB. :EG是⊙O的直径，∴∠GCE=90 解得PB=2或PB=一8（不符合题意，舍去）， 在Rt△GCE中，G=EG·cos∠CGE=5√3. ∴.AP=2+6=8. (2)DE=2EF,证明如下： 证法-：：∠(OE=∠DOE=60, ..CE-DE,..CE=DE,..OC=OE=CE. .△OCE为等边三角形，.∠OCE=60. 剧2 ∠0CB=90°.∴.∠ECF=30, 第11题答图 ∴EF-CE,EDE.即DE-2ER 12.B12-1.C 证法二：如容图，过点O作OH⊥DF交DF于点H,则 第24节点、直线与圆有关的位置关系 ∠OHF=90. 1.105 又，∠OCB=∠DFC=90°， 四边形OCFH是矩形， 1-L.2√3【解析】.'∠ADC=120°， ..CF=OH. ∠B=60°.如答图，连接OC,则 :△ODE是等边三角形， ∠A0C=2∠B=120°.∴.∠COP=60. ..DE=OE. CP是⊙O的切线，(C是⊙O的半径， OH⊥DF, ∴.∠OCP=90°，OC=2在R△COP中，第1-1题答图 CP-30C=23. ∴DH-EH-。DE 第3題答图 2.1-1+5 ∠COE=∠DOE.∴.CE=DE 2 【解析】如答图，连接OC.设OD=x,,直 ∴.CE=DE,CE-OE 径AB=2,∴.OA=0C=1,.AD=AC=1十无EC与 .CF-OH. ⊙O相切于点C,∴.OCLEC ,.Rt△CFE≌Rt△OHE(Hl).,.EF=EH. :AELEC..∠AEC=90 AE∥OC,∴.∠AC0 ∴EF=DH=EH=之DEDE=2ER ∠EAC=36°.OA=OC. 4.(1)证明：如答图，连接OE ∴∠OAC=∠ACO=36 ∠ACB=90°，AC=BC, AC=AD,.∠ADC= ∴.∠A=∠ABC=45, ∠ACD=72..∠OCD= 第2題答图 ∴.∠COE=2∠ABC=90. ∠ACD-∠AC0=36.∠COD=2∠CAD=72°， EF∥CD, ∠COD=∠ODC=72,∴.CD=OC=1.:∠CD= ∴.∠COE+∠FEO=180°， 第4题答图 ∠CD,∠0C=∠mA△△A.∴器-0 ∴.∠FEO=90°. ,OE是⊙O的半径，∴.EF是⊙O的切线. 六号解得石少5西=5>0小 (2)解：如答图，连接BD,过点M作MH⊥BC于点H,则 2 2 △BMH是等腰直角三角形. =150D=-15 2 2 BM=4VEBH=MH-号M=A. 3.解：(1)如答图，连接CE. 48F 在R△CHM中，an∠D-别， 在△C0中0E票号 .CH=2HM=8, 即9E=号0E=号 ∴.CM=WCf+MF=4√5， .CB-CH+BH-12. 由勾股定理得CE=V0C-OE=4 3 ,CD是⊙O的直径，.BDLBC, .MH∥BD,△CMH∽△CDB. CDLAB,AB是⊙0的直径，：CD=2CE8 3, 0器”-是D-6, 7.(1)证明：：AC=BC.O为AB的中点， ..COLAB. 0c-2CD=350M=-CM-0c-5. ,DF是AC的垂直平分线， 5.(1)证明：，∠AD=∠CB.∠A=∠BC,∴.△AD∽△DCB ∴.DC=DA,.∠DCA=∠DAC (2)证明：如答图，连接OD. ,∠DCA=∠OCA.∴.∠DAC=∠OCA, :AB为⊙O的直径， .DA∥OC.∴.DA⊥OA .∠ADB=90°，∴.∠A+∠ABD=90 ,OA是⊙O的半径，.AD是⊙O的切线， :OB=OD,∴.∠ABD=∠ODB.:'∠BDC=∠A, ∠DE=∠FCE, ∴.∠BDC+∠ODB=90°，∴.∠ODC=90°，.OD⊥CD. (2)解：在△CDE和△CFE中， CE-CE. OD是⊙O的半径，.CD是⊙O的切线， ∠CED=∠CEF, (3)解：∠ADB=90°，∠A=∠E, .△CDE≌△CFE(ASA), mA-8-mE-是 .CD-CF-6...CO-CF+OF=10. ,DF是AC的垂直平分线， :△BDC∽△DAC. CE=AE=号AC 黑贤册是 ∠CEF=∠COA=90°，∠ECF=∠OCA, :Ac=10.0-是 5 第5题答图 ∴△CERn△OA等-黑 .CD=6, 6=A0AC-=2v0. 10 ·AB=AC-BC=10-18=32 55 在Rc中.“o0C1-是- 6 0A=号AB=号⊙0的半径为9 六m∠DAC=os∠OCA=D 6.(1)证明：如答图，连接OC,OD 8.(1)证明：如答图，连接OD. :'CD⊥AB,AB是⊙O的直径，∴，CB=DB. '∠ADF=∠ACD,∠AOD-2∠ACD, ∴.∠COB=∠DOB.:∠DOB=2∠DAF, ∴.∠AOD=2∠ADF. ∴.∠COB=2∠DAF.∠FCD=2∠DAF, 设∠ADF=x,则∠AOD=2.x .∠FCD=∠COB.,CD⊥AB, .0A=(OD.∴.∠OAD=∠(ODA=90°-x, ∴∠CE0=90°..∠COB+∠0CE=90°， ∴.∠ODF-∠ODA+∠ADF-90. .∠FD+∠CE=90°，即∠OF=90°， ,OD是⊙O的半径，∴DF是⊙O的 ∴(OC⊥CF.又，OC为⊙O的半径，.C℉是⊙O的切线. 切线. 2解：由1知0 CLCF.:n F-8茶-号 (2)解：①如答图，连接BD, -31 ,BE=3CE=3,∴.CE=1. 第8题答图 设OC=2x,则OF=3.x,.OA=OC ,BE是⊙O的切线， 2.x.AF=10, ∴.∠ABE-90°=∠CBE+∠ABC .OA十OF=10,即2x+3.x=10,解 ,AB是⊙O的直径，∠ACB=90°， 得x=2,.OC=4. ∴.∠ABC+∠BAC=90 ,OC⊥CF,∴.∠OCE+∠FCE=90. 第6题答图 ,∠BAC=∠BDC, CDLAB,.∠F+∠FCE=90°， ∴.∠CBE=∠BDC .∠F=∠OCE,'.sinF=sin∠OCE. ∠E=∠E,△BCE∽△DBE, 49 -是DE-9, 设BP=m,则AP=g严n ②.DE-9,.CD=DE-CE=8. 在Rt△ACP中，AC+CP=AP, CD=80G.0G=3∴DG=5, 即+(m+6=(任严m广 5 ∴.GE=CG+CE=4 在Rt△BGE中，BG=GE-BE=√7. m=一号（含去）BP 解得m-0 9 ,∠DAG=∠BCG,∠DGA=∠BGC, 综上所述，BP的长为或碧 ∴△ADGn△CG.∴瓷-% ②如答图④，设CP=,则AP=,√AC十C严=√64+开. AC是⊙O的直径.∴CQ⊥AP 7 CQ·AP=AC·CP, M8=G+-y.04=支AB CQ-AC.CP8n 8 7 AP √6M+r ...Q AP64十 00的半径为平 1>0..(-8)≥0，∴.64十m≥16 9.(1)证明：如答图①，连接OD,CD 得≤品之得的最大值为宁 ,AC是⊙O的直径， ∴.∠ADC=90°，∴.∠BDC=180°-∠ADC=90 ,M为边BC的中点，.MC=MD,∠MD=∠MCD OC=OD.∴.∠ODC=∠OCD. ,∠ACB=90°，即∠MCD+∠OCD=90 ∴.∠MDC+∠(ODC=∠MD+∠CD=90°， 图① 图② 即∠ODM=90°，∴.DM LOD. ,OD是⊙O的半径，.DM是⊙O的切线。 (2)解：①当点P在线段BC上时.如答图②，过点P作 B PT⊥AB于点T.在R△ABC中，AB=√AC+BC=10. 设Pm=m吉需打-T网 ..BT=AB-AT-10-3r.'tan/ABC-BT-BC 图3 10解得号PT- 图④ 第9题答图 8 'si∠ABC= 品品即部-品∴P-号 第25节与圆有关的计算 当点P在CB的延长线上时，如答图③，过点B作BK⊥ 1.B1-1.C2.π3.B4.1203π5.4026.C AP于点K. 7.x7-1.42-2-x am∠BAP-方-3 3 设BK=a,则AK=3a, 在Rt△ABK中，AK”+BK=AB, 即(3a)2+a2=10, 解得a=0,a=一√10（不符合题意，舍去）， ∴.AK=310,BK=√0. 5m专AP:K-专即AC部条后 50作第广章 同 第23节 圆的有天性质 命题点1圆周角定理及其推论的相关计算 1.[2022包头,7如图,AB,CD是O的两条直 径,E是劣孤BC的中点,连接BC,DE.若 ABC-22*,则 CDE的度数为 ) A.22* C.34* B.32{ D.44{ 第1题图 第2题图 2. [2024赤峰,10]如图,AD是⊙O的直径,AB是 O的弦,半径OC|AB,连接CD.交OB于点 4.[2024包头,21]如图,AB是⊙O的直径,BC, E. BOC-42{*},则/OED的度数是 BD是⊙O的两条弦,点C与点D在AB的 A.61* B.63* C.65{* D.67* 两侧,E是OB上一点(OE>BE),连接OC. 3.[2022呼和浩特,20]如图,在△ABC中,AB CE,且/BOC-2/BCE AC.以AB为直径的⊙O交BC于点D,交线 (1)如图①,若BE=1.CE=5,求O的 段CA的延长线于点E,连接BE. 半径; ### 第3题图 第4题图① (1求证:BD-CD; (2)解题策略开放如图②,若BD一2OE,求证: 命题点2垂径定理的相关计算 BD/OC(请用两种证法解答) 5. [浙教九上P87第4题改编]如图①,在一根轴 的正中位置打一个等边三角形孔,画出示意 图如图②.若等边三角形的边长为6cm,AB ( 长为2cm,则这根轴的半径为 ) 第4题图② 图① 图② 第5题图 A.23-2cm B.23+2cm C.33-2cm D.33+2cm 6.[2024赤峰,10改编]如图,AD是⊙O的直径; AB是O的弦,半径OC |AB,交AB于点 E.CE=2,连接CD, CDO=22.5{*,则 AE ) 第6题图 A.2 B.4 C.22+2D.22-2 命题点③三角形的外接圆 7. 2023包头,9如图,O是锐角三角形 ABC的外接圆,OD AB,OE 1BC,OF AC,垂足分别为D,E,F,连接DE,EF. FD.若DE十DF=6.5,ABC的周长为 21,则EF的长为 ( 一 A.8 B.4 C.3.5 D.3 7 第7题图 第8题图 8. [2023呼和浩特,14]如图,△ABC内接于 O且 ACB=90{*,弦CD平分 ACB. 连接AD,BD.若AB=5.AC三4.则 BD- ,CD 49 命题点4圆内接四边形 (2)若ACP-ADC,O的半径为3, 9.[人教九上P88第5题改编]如图,四边形ABCD CP一4,求AP的长. 内接于O,E为CD延长线上一点,OB是 ABC的平分线,AC是 BCD的平分线 若 ADE=104{*},/CAD的度数为 ( ) 备用图 第9题图 A.52* B.66{ C.76° D.88* 10. [2023赤峰,10]如图,圆内接四边形ABCL 中,/BCD=105*,连接OB.OC.OD.BD. BOC一2/COD.则CBD的度数是( 第10题图 A.25* C.35* B.300 D.40{ 11. [2023包头,22]如图,AB是⊙O的直径,AC 是弦,D是AC上一点,P是AB延长线上 点,连接AD.DC,CP 命题与引圆内接正多边形 (1)解题策略开放求证: ADC- BAC三 12. [2024呼和浩特,7如图,正四边形ABCD和 90{(请用两种证法解答): 正五边形CEFGH内接于O.AD和EF 相交于点M,则 AMF的度数为 ) C.28{ B.27” A.26{ D.30d 2_ 第11题图 M .0. 第12题图 第12-1题图 12一1.座图形一一改变正方形位置如图,正五边 形ABCDE内接于O,以CD为边作正方 形CDFH,连接BE,BH,则 HBE的度数 为 () A.6{ B.8{ C.g{ D.18{ 500 第24节 点、直线与圆有天的远置天系 命题点1与切线性质有关的证明与计算 (2)解题策略开放试探究DE与EF之间的数 1.[2024包头,14]如图,四边形ABCD是⊙O的 量关系,写出并证明你的结论(请用两种证法 内接四边形,点O在四边形ABCD内部,过 解答). 点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P, 连接OA,OB.若AOB=140*,BCP 35{},则 ADC的度数为 f CB 备用图 第1题图 1一1.变图形一改变切线端点位置如图,四边形 ABCD是O的内接四边形,点O在四边形 ABCD内部,过点C作O的切线交AO的延 长线于点P.若/ADC-120,O的半径为2. 则CP的长为 第1-1题图 2.[2022呼和浩特,15]已知AB为⊙O的直径目 AB-2,点C是O上一点(不与A,B重合),点 D在半径OB上,且AD-AC,AE与过点C的 Q的切线垂直,垂足为E.若/EAC一36{*,则 CD-,OD- 3.[2022包头,23]如图,AB为⊙O的切线,C为 切点,D是O上一点,过点D作DF |AB. 垂足为F,DF交O于点E,连接EO并延 长交O于点G,连接CG,OC,OD,已知 DOE-2/CGE 第3题图 (1)若⊙O的半径为5,求CG的长 51 题2与切线判定有关的证明与计算 5.[2023通辽,23]如图,AB为。O的直径,D.E 4. [2024赤峰,24]如图,△ABC中,ACB 是。O上的两点,延长AB至点C,连接CD 90{*},AC-BC,O经过B,C两点,与斜边 BDC-A. AB交于点E,连接CO并延长交AB于点 (1)求证:△ACDo△DCB; M.交O于点D,过点E作EF//CD,交AC (2)求证:CD是O的切线; 于点F. (1)求证:EF是O的切线; (2)若BM-4/2,tan BCD- 的长. D 第5题图 第4题图 1 2 6.[2023赤峰,24]如图,AB是⊙O的直径,C是 7.[2022赤峰,24]如图,已知AB为⊙O的直径, Q上一点,过点C作CD AB于点E,交 C为O外一点,AC=BC,连接OC,DF是 O于点D,F是AB延长线上一点,连接 AC的垂直平分线,交OC于点F,垂足为E CF,AD,FCD-2 DAF. 连接AD.CD,且DCA=OCA. (1)求证:CF是⊙O的切线; (1)求证:AD是⊙O的切线; (2)若CD-6,OF=4,求cos DAC的值 D 第6题图 第7题图 53 8. [2024呼和浩特,23]如图,△ACD内接于O,直径AB交CD于点G,过点D作射线DF,使得 /ADF一/ACD,延长DC交过点B的切线于点E,连接BC. (D求证:DF是⊙O的切线 ①求DE的长; ②求⊙O的半径 第8题图 5 9. [2023呼和浩特,23]已知在Rt△ABC中,ACB=90*,BC=6,AC=8,以边AC为直径作。O. 与AB边交于点D,M为边BC的中点,连接DM (1求证:DM是。O的切线; (2)点P为直线BC上任意一动点,连接AP交。O于点Q,连接CQ ①思想当tan/BAP-时,求BP的长; ②题大值。 第9题图 5 第25节 与圆有天的计算 命题点1狐长、扇形面积的相关计算 形)的圆心角是 度,该圆锥的侧面积 是 1. [2024包头,8]如图,在扇形AOB中,AOB (结果用含n的式子表示). 8 0{*,半径OA=3,C是AB上一点,连接OC,D 5. [2024呼和浩特,13]如图是平行四边形纸片 是OC上一点,且OD=DC,连接BD.若BD ABCD.BC=36 cm.$A=110{,$BDC$$ ( ) 50{},点M为BC的中点,若以M为圆心,MC为 OC,则AC的长为 半径画狐交对角线BD于点N,则 NMC *;将扇形MCN纸片剪下来围成一个 无底盖的圆锥(接缝处忽略不计),则这个圆 锥的底面圆半径为 cm. 第1题图 D #A.n B. }C. D. 1一1.度数据 一改变角度如图,在扇形AOB 第5题图 中,AOB-90*,C是AB上一点,连接OC,D 命题点3阴影部分面积的计算 是OC上一点,连接BD,且OD=BD=2.若 6.[2022赤峰,14]如图,AB是O的直径,将弦 BD]OC,则AC的长为 AC绕点A顺时针旋转30得到AD,此时点C C. 的对应点D落在AB上,延长CD,交O于点 A. B. D.r. E.若CE一4,则图中阴影部分的面积为( - A.2r {# B.2/2 C.2π-4 D.2n-2/② D 第1一1题图 第2题图 2.[2022包头,16]如图,已知⊙0的半径为2. AB是O的弦,若AB-2/2,则劣狐AB的 E 第6题图 长为__: 第7题图 命题点2圆锥的相关计算 7.[2023包头,13]如图,正方形ABCD的边长为 2,对角线AC,BD相交于点O,以点B为圆 3. [2023赤峰,13]某班学生表演课本剧,要制作 心,对角线BD的长为半径画孤,交BC的延长 一顶圆锥形的小丑帽,如图,这个圆锥的底面 线于点E,则图中阴影部分的面积为 圆周长为20ncm,母线AB长为30cm.为了 7一1.变图形 一改变条件如图,正方形ABCD的 使帽子更美观,要粘贴彩带进行装饰,其中需 边长为2,以点B为圆心,对角线BD的长为半径 要粘贴一条从点A处开始,绕 画孤,交BC的延长线于点F,过点F作EF 侧面一周又回到点A的彩带 AD交AD的延长线于点E,则图中阴影部分的 (彩带宽度忽略不计),这条彩 面积为 带的最短长度是 ) A A.30 cm B.30/3cm C.60 cm 第3题图 D. 20r cm 4.[2023呼和浩特,12]圆锥的高为22,母线长 为3,沿一条母线将其侧面展开,展开图(扇 第7-1题图 56