第二章 方程（组）与不等式（组）-【加速度中考】聚焦2025年内蒙古中考数学

第二章方程（组）与不等式（组） 第6节一次方程（组）及其应用 1.(-5.-4) 2.解：整理方程组，得 4.r+y=5.① 13.x+2y=15,②@ ②-①×2，得-5.x=5, 解得x=一1， 把x=-1代人①，得一4十y=5, 解得y=9. 方程组的解为 r=-1. y=9. 2一1.解：整理方程组，得 4x+y=a+5,① 13x+2y=6a+15,② ①-②，得x-y=-5a-10. x-y=5 .-5a-10=5, a=-3. 3.解：设打折前，A商品每件x元，B商品每件y元. 60x+30y=1080 根据题意得 150.x+10y=840, 解得/16， y=4. 若不打折，买500件A商品和500件B商品需花费500× (16+4)=10000(元). .10000-9600=400(元). 答：打折后买500件A商品和500件B商品比不打折少 花400元 4.解：()设甲种电子产品的销售单价是x元，乙种电子产 品的销售单价是y元 2x=3y. 根据题意得 3r-2y=1500.解得 x=900. y=600. 答：甲种电子产品的销售单价是900元，乙种电子产品的 30正 销售单价是600元. 2.解：去分得，得3=5(x-1)-3.x, (2)设销售甲种电子产品m万件，则销售乙种电子产品 去括号，得3=5x-5-3x, (8-m)万件， 移项、合并同类项，得一2x=一8 根据题意得900m十600(8-m)≥5400， 系数化为1，得x=4. 解得2 检验：当x=4时，x一1=3≠0： .m的最小值为2. ∴原分式方程的解为x=4 答：至少销售甲种电子产品2万件。 3.解：去分母，得3+5(2x一2)=2x 5.解：设甲每小时走xkm,乙每小时走ykm 去括号，得3+10.x-10=2x, 2r++w=48 r=8, 移项，得10.x-2.x=10-3, 根据题意得 解得 合并同类项，得8.x=7, 2y+3(x+y)=48, 答：甲每小时走8km,乙每小时走号km 系数化为1.得一各 6.C 检验：当x=名时x一1≠0， 7.解：(1)产品的质量原料的质量 产品的销售额原料费 ∴-子是原方程的解。 补全甲、乙同学所列方程组如下. 3一1.解：去分母，得3+5(2.x一2)=2a, 11.5(20x+10y)=15000. 去括号，得3+10r-10=2a, 甲： 11.2(110x+120y)=97200, 移项、合并同类项，得10x一7+2a, 1.5(20×g00+10×10 =15000 系数化为1.得 12(110×800+120×0）=9720, 若方程有增根，则x=1, a=10g1_ (2)将x=300代入原方程组，解得y=400, 2 2” ∴.产品的销售额为300×8000=2400000（元），原料费 “当a=子时，方程有增根。 为400×1000=400000（元）， 4.D .运输费为15000+97200=112200（元）. 5.551260【解析】设小号“龙辰辰”的单价为x元，则大 2400000-(400000+112200)=1887800(元). 答：这批产品的销售额比原料费和运输费的和多1887800元 号“龙辰辰"的单价为(x十15)元根据题意得2400=1.5× 第7节一元二次方程及其应用 —1,解得x一4⊙，经检验上40是原方程的解，且符合 1.C2.C3.A3-1.B4.A 题意，.x十15=55，即大号“龙及辰”的单价为55元.设 5解：1)-2-合 该网店购进大号“龙辰辰”m个，则购进小号“龙及及” (2)·一元二次方程2x2十3x-1=0的两个实数根分别 （60-m)个.由题意可知，m≤号(60一m,解得≤20， 为m,n, :小号“龙辰辰”的售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比 3 小号“龙辰辰”的售价多30%，.大号“龙辰辰”的售价为 60×(1十30%)=78（元），设该网店获得的利润为元， ∴m2+r=(m+w-2mm-号+1-是 则w=(78-55)m+(60-40)(60-m)=3m十1200. (3),实数￥，t满足22+3x一1=0,2F+3t-1=0且x≠t, ,m≤20，.当m=20时，0取得最大值为1260，.该网 则，t是一元二次方程2.x2十3x一1=0的两个实数根， 店所获最大利润为1260元. 叶=一2=- 3 6.解：(1)设每台A型机器每天搬运货物x吨，则每台B型 机器每天搬运货物(x十10)吨. ,(t-s)2=(t十s)2-4t 17 2 由短意得90， 上-↓-=±m. 解得x=90. 经检验，x=90是分式方程的解，且符合题意， 6.C .x+10=100 答：每台A型机器每天搬运货物90吨，每台B型机器每 第8节分式方程及其应用 天搬运货物100吨. L.x=4 (2)设采购A型机器m台，采购总金额为w万元 31 190m+100(30一m)≥2880， 由题意得 1.5m+2(30-m)≤55， 解得10≤m≤12. .e=1.5m+2(30-m) =-0.5m+60, 且-0.5<0， 心随m的增大而减小， .当m=12时，w最小， 此时30-m=18,=-0.5×12+60=54(万元). 答：采购A型机器12台，B型机器18台时，采购总金额 最低是54万元. 7.6 8.解：(1)设甲队平均每天修复公路xkm,则乙队平均每天 修复公路(x+3)km 由题意得9黑解得一6 经检验x=6是原方程的解，且符合题意， .x+3=9. 答：甲队平均每天修复公路6km,乙队平均每天修复公路 9 km. (2)设甲队工作时问为m天，则乙队的工作时问为(15 m)天，15天的工期，两队共修复公路okm. 由题意得心=6m十9(15一m) =一3m+135. ,m≥2(15-m), ,.m≥10 -3<0, e随的增大而城小， ,.当m=10时，取得最大值，最大值为 xe=-3×10+135=105(km). 答：15天的工期，两队最多能修复公路105km 第9节一次不等式（组） 度 1.D2.B3.C3-1.C4.B 5.解：解不等式①得r3, 解不等式②得x≥-3， ∴.原不等式组的解集为一3≤x<3. 6.解：解不等式①得.x≤1， 解不等式②得x<4, ∴.原不等式组的解集为≤1. 7.解：解不等式①得x<1, 解不等式②得x≥一2， .原不等式组的解集为一2≤x<1, …该不等式组的最小整数解为x=一2. 8.x>8m≤7 2第二章方程（组）与不等式（组） 第6节 一次方程（组）及其应用 命题点刀解二元一次方程组 命题点②一次方程（组）的实际应用 1.[2023通辽，15]点Q的横坐标为一元一次方 考向1销售问题 程3x十7=32一2x的解，纵坐标为a十b的 3.[人教七下P102第8题改编]打折前，买60件 值，其中a,b满足二元一次方程组 A商品和30件B商品用了1080元，买50件 [2a-b=4, 则点Q关于y轴对称点Q A商品和10件B商品用了840元.打折后， -a+2b=-8, 买500件A商品和500件B商品用了9600元， 的坐标为 比不打折少花多少钱？ 4x十y=5, 2.[2022呼和浩特，17(2)]解方程组： 1+2 2 ↓.[2023赤峰，22]某集团有限公司生产甲、乙两 种电子产品共8万件，准备销往东南亚国家 和地区.已知2件甲种电子产品与3件乙种 2一1.变条件一增加参数已知关于x的方程组 电子产品的销售额相同；3件甲种电子产品 4r+y=a+5, 比2件乙种电子产品的销售额多1500元. 2+-a+2 解满足x一y一5，求a (1)求甲种电子产品与乙种电子产品销售单 的值。 价各多少元？ (2)若使甲、乙两种电子产品的销售总收入不 低于5400万元，则至少销售甲种电子产品 多少件？ 8 考向2行程问题 (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不 5.[浙教七下P46课内练习第2题改编]甲、乙两 完整的方程组如下： 人从相距48km的两地匀速相向而行.如果 1.5(20x+10y)= 甲比乙先走2h,那么他们在乙出发后经号h 甲： 1.2(110x+120y)= 相遇：如果乙比甲先走2h,那么他们在甲出 发后经3h相遇.请问甲、乙两人每小时各走 1.520×g00+10x1）= 多少千米？ 乙： 12u0×g00+120×0 根据甲，乙两名同学所列方程组，请你分别指 出未知数x,y表示的意义，然后在等式右边 补全甲、乙两名同学所列方程组. 考向3实际问题抽象方程组 6.[2024赤峰，11]用1块A型钢板可制成3块C 甲：x表示 ,y表示 型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可 乙：x表示 y表示 制成5块C型钢板和2块D型钢板.现在需 (2)甲同学根据他所列方程组解得x=300, 要58块C型钢板、40块D型钢板，问恰好用 A型钢板、B型钢板各多少块？如果设用A 请你帮他解出y的值，并解决该实际问题 型钢板x块，用B型钢板y块，则可列方程组 为 ( 3.x+2y=40 (3x+5y=40 A. B. 4.x+5y=58 4x+2y=58 (3x+5y=58 3.x+4y=58 C. D. 4x+2y=40 5.x+2y=40 7.[人教七下P100探究3改编]如图，化工厂与 A,B两地有公路和铁路相连，这家化工厂从 A地购买一批每吨1000元的原料运回化工 厂，制成每吨8000元的产品运到B地.已知 公路运价为1.5元/(t·km),铁路运价为 1.2元/(t·km),这两次运输共支出公路运 费15000元，铁路运费97200元，请计算这批 产品的销售额比原料费和运输费的和多多 少元？ A 铁路120km 公路0km 化工厂 B 公路20km 铁路110km 第7题图 第7节一元二次方程及其应用 命题点刀一元二次方程及其解法 两个实数根， 1.[2024赤峰，9]等腰三角形的两边长分别是方 ∴.m十=1，mn=1, 程x2一10x十21=0的两个根，则这个三角形 则m2n十mn2=m(m十n)=一1×1=一1. 的周长为 ( 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列 A.17或13 B.13或21 问题： C.17 D.13 (1)应用：一元二次方程2x2十3x一1=0的两 命题点②一元二次方程根的判别式 个实数根为x1,x2,则x1十x2= 2.[浙教八下P38作业题第1题改编]下列方程 x1T2= 中，有两个相等的实数根的是 ( (2)类比：已知一元二次方程2x2十3.x一1=0 的两个实数根为m,n,求m2十n的值： A.-x2-3x+1=0 B2r2-x+1 =0 (3)提升：已知实数s,t满足2s2+3s一1=0， C.4x2+5=4V5.x n- 2x-6 =0 2r+3-1=0且s,求}-}的值. 命题点③一元二次方程根与系数的关系 3.[2022呼和浩特，8]已知x1,x2是方程x2一x 2022=0的两个实数根，则代数式x 2022.x1十x的值是 A.4045 B.4044 C.2022 D.1 3一1.变设问一改变代数式结构已知x1,x2是 方程x2一x一2022=0的两个实数根，则代数 式马+的值是 1 A.一2022 B.- 4045 2022 c體 D.2022 4.[2022包头，6]若x1,x2是方程x2一2x一3=0 的两个实数根，则x1·x的值为 命题点④一元二次方程的实际应用 A.3或-9 B.-3或9 6.[2024呼和浩特，5改编]我国南宋数学家杨辉 C.3或-6 D.-3或6 在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问 5.[2023通辽，25]阅读材料： 题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六 材料1：关于x的一元二次方程a.x2十bx十 十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积 c=0(a≠0)的两个实数根x1,x2和系数a,b, 是864平方步，其中宽与长的和为60步，问 c有如下关系：十=一名a=号 宽和长各几步.若设长为x步，则下列符合题 意的方程是 () 材料2：已知一元二次方程x2一x一1=0的两 个实数根分别为m,n,求m2n十mm的值. A.x.60I=864 B.x(60+x)=864 2 解：，m,n是一元二次方程x2一x一1=0的 C.x(60-x)=864 D.x(30-x)=864 0 第8节 分式方程及其应用 命题点刀解分式方程 3一1.变条件一增加参数并求值当a为何值时， 1.[2023赤峰.16]方程十2十生 =1的解 方程2,32+5=有增根。 为 2.[2023包头，18解方程：3-5十产 命题点②分式方程的实际应用 考向1销售（购买问题 4.[2024呼伦贝尔，10]A,B两种机器人都被用 来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人 每小时多搬运30千克，A型机器人搬运 900千克所用时间与B型机器人搬运600千 克所用时间相等.A,B两种机器人每小时分 3.[2024呼和浩特，17(2)]解方程： 别搬运多少千克化工原料？ 2a-2+52 3 x- A.60,30 B.90,120 C.60,90 D.90,60 5.[2024呼和浩特，15]2024年春晚吉祥物“龙辰 辰”以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名.某 家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰 辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用 2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元 购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙 辰辰”的单价为元.某网店在该厂家购 进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号 “龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的 一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰 辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%.若 两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所 获最大利润为 元 6.[2023通辽，24]某搬运公司计划购买A,B两 考向2行程问题 种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每 7.[2023呼和浩特，15]甲、乙两船从相距150km 台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A 的A,B两地同时匀速沿江出发相向而行，甲 型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运 船从A地顺流航行90km时与从B地逆流 航行的乙船相遇.甲、乙两船在静水中的航速 500吨货物所需天数相同. 均为30km/h,则江水的流速为 km/h. (1)求每台A型机器，B型机器每天分别搬运 8.[2024赤峰，22]一段高速公路需要修复，现有 货物多少吨： 甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每 (2)每台A型机器售价1.5万元，每台B型机 天修复公路比甲队平均每天修复公路多 器售价2万元，该公司计划采购两种型号机 3km,且甲队单独修复60km公路所需要的 器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨， 时间与乙队单独修复90km公路所需要的时 购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最 间相等 省钱的采购方案， (1)求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多 少千米： (2)为了保证交通安全，两队不能同时施工， 要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的 2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路 多少千米？ 度 12 第9节 一次不等式（组》 命题点解一元一次不等式（组】 2x-6<0,① 5.[2023赤峰，19(2)]解不等式组： 考问1解不等式（组）及其解集表示 1-3x<5.② 2 1.[2022包头，3]若m>n,则下列不等式中正确 的是 A.m-2<n-2 B. C.n-m>0 D.1-2m<1-2m 6.[2023呼和浩特，17(2)]解不等式组： 2.[2023包头，2]关于x的一元一次不等式x一 3(x-2)≥4-x,① 1≤m的解集在数轴上的表示如图所示，则m 1+2江>x-1.② 3 的值为 第2题图 A.3 B.2 C.1 D.0 3x-22x,① 3.[2024赤峰，6解不等式组 不等 2(x+1)≥x-1,② 考向2不等式（组）的特殊解 式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是 7.[2022鄂尔多斯，17(1)]解不等式组： x-3(x-2)>4,① 2x-13x+2-1,② 并写出该不等式组 326 的最小整数解 D 3c-22x, 3一1.变条件一增加参数若不等式组 2(x+1)≥a-1 无解，则a的取值范围是 A.a≥9 B.a≥8 C.a≥7 D.a≥6 考向3解含参数的不等式（组】 4.[2024包头，7]若2m一1,1,4一m这三个实数 在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则 8[2024呼和浩特，14]关于x的不等式2,1 3 m的取值范围是 ( 1>号的解集是 ,这个不等式的任意 A.m<2 B.m<1 一个解都比关于x的不等式2x一1≤x十m C.1<m<2 D1<m< 3 的解大，则m的取值范围是 13