专题强化04：平行四边形题型讲与练【12大题型 培优】-2024-2025学年八年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

专题强化04：平行四边形题型讲与练 【题型归纳】 · 题型一：平行四边形性质求解 · 题型二：平行四边形的判定和性质综合应用 · 题型三：矩形的性质求解 · 题型四：矩形的判定和性质综合应用 · 题型五：菱形的性质求解 · 题型六：菱形的判定和性质综合应用 · 题型七：正方形的性质求解 · 题型八：正方形的判定和性质综合应用 · 题型九：中点四边形 · 题型十：四边形线段最值问题 · 题型十一：四边形动点问题 · 题型十二：四边形压轴问题 【题型探究】 题型一：平行四边形性质求解 1．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，垂直平分于点E， ，，则的对角线的长为（    ） A．5 B．10 C． D． 2．（24-25八年级上·全国·期末）如图，的对角线交于点O，平分交于点E，且连接．下列结论：①；②；③，④，成立的个数有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在平行四边形中，，过的中点E作 于点 F，延长交的延长线于点 G，则的长为（     ）． A． B． C．8 D． 题型二：平行四边形的判定和性质综合应用 4．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，已知中，O是的中点，过点O作，交于点E，交于点F．求证：四边形是平行四边形． 5．（23-24八年级下·全国·期中）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，点E、F在上，点G、H在上，且，． (1)若，，求的度数． (2)试判断与 的位置关系与数量关系，并说明理由． 6．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，在菱形中，点，分别是，的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，求的长． 题型三：矩形的性质求解 7．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在矩形中，点在上，，，作于点G，交于F，则的长是（    ） A． B． C．3 D．2 8．（23-24八年级下·山西长治·期末）如图，点F是矩形的边上一点，连结，作于点E，且满足，则下列结论中①，②，③，④，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（23-24八年级下·山东东营·期末）如图，矩形中，平分，交于点E，将一块三角板的直角顶点放在点E处，并使它的一条直角边过点A，另一条直角边交于M点，若，，则的长为（　　） A．2 B． C． D．3 题型四：矩形的判定和性质综合应用 10．（24-25八年级下·全国·期末）如图：在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长至点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求菱形的面积． 11．（23-24八年级下·全国·期末）如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 12．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在四边形中，， (1)求证：四边形为矩形； (2)E 是 边的中点，F 为边上一点，延长、交于点 G． ①若F为的中点， ，求的长； ②若 求的长． 题型五：菱形的性质求解 13．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）如图，四边形是菱形，对角线交于点，过点作交对角线于点．若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 14．（23-24八年级下·湖南永州·期中）如图，在菱形中，，P是对角线，的交点，点在的延长线上，且．则（　　）度． A．52 B．56 C．62 D．68 15．（23-24八年级下·重庆江北·期末）如图，菱形的面积为，，点O为的中点，过点C作交的延长线于点E，连接，则线段的长度是（    ） A． B． C．4 D．6 题型六：菱形的判定和性质综合应用 16．（23-24八年级下·江西南昌·期中）已知，如图，在中，是的中线，F是的中点，连接并延长到E，使，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若求菱形的面积． 17．（23-24八年级下·湖南益阳·期中）如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交于点， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 18．（23-24八年级下·河北唐山·期末）在矩形中，，，分别是，中点，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)当，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外），说明理由． (2)若四边形为矩形，t的值为 ； (3)若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，则t的值为 ． 题型七：正方形的性质求解 19．（24-25八年级下·山东聊城·期中）如图所示，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，过点作的垂线，垂足为点，与交于点．若，，则的长为（  ） A． B． C．4 D． 20．（24-25八年级上·重庆巴南·期末）如图，先将正方形对折，折痕为，再沿折叠，使点C落在折痕上，记为点F，连接，已知正方形边长为2，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 21．（23-24八年级下·陕西安康·期中）如图，在正方形中，点O是对角线的交点，过点O作，分别交于点E，F．若，，则的长为（    ） A． B． C．5 D． 题型八：正方形的判定和性质综合应用 22．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，正方形中， ，点E是对角线上一点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)求的值． 23．（23-24八年级下·福建厦门·期末）已知，正方形的边长为6，菱形的三个顶点E，G，H分别在正方形边，，上，． (1)如图1，当，且点F在边上时，求证： ①； ②菱形是正方形； (2)如图2，当点F在正方形的外部时，连接．探究：点F到直线的距离是否发生变化？并说明理由． 24．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在正方形中，，E是对角线上一动点，连接，作交边或边的延长线于点F，以和为邻边构造矩形，连接 (1)若点E到边的距离为3，则它到边的距离为______； (2)求证：矩形是正方形； (3)线段和线段的数量关系是______，位置关系是______. 题型九：中点四边形 25．（23-24八年级下·山东东营·期末）如图，依次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为菱形，添加的条件正确的是（　　） A． B． C． D． 26．（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，在四边形中，分别是的中点．下列结论： ①四边形是平行四边形； ②当时，四边形是菱形； ③当时，四边形是矩形． 其中所有正确结论的序号是（   ）． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 27．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，已知菱形的边长为2，，进行如下操作：第一次，顺次连接菱形各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 题型十：四边形线段最值问题 28．（22-23八年级下·湖南湘西·期中）如上图所示，矩形，，，点是边上的一个动点，点是对角线上一个动点，连接，，则的最小值是（    ）    A．6 B． C．12 D． 29．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，在正方形中，点E、F、G分别在、、上，，，，，与交于点P．连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 30．（21-22八年级下·浙江金华·期中）如图 ，在平行四边形中 ， ，AB=4 ，AD=8 ， 点、分别是边CD、上的动点．连接、 ，点为的中点 ，点为的中点 ，连接．则的最大值与最小值的差为（       ） A．2 B． C． D． 题型十一：四边形动点问题 31．（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，，，．过点D作，垂足为E，动点P从点D出发沿方向以的速度向点A运动，动点Q同时从点B出发，以的速度沿射线运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为． (1)当时，求t的值； (2)连接，设四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式； (3)当点P关于直线的对称点恰好在直线上时，请直接写出t的值． 32．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，在四边形中，，，，动点P从A点开始沿边以的速度向点D运动，动点Q从C点开始沿边以的速度向点B运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为． (1)当t为何值时，四边形是矩形； (2)当t为何值时，四边形是平行四边形； (3)问：四边形是否能成菱形？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由． 33．（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）如图，四边形中，，，，，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作于点P，连接交于点Q，连接．设运动时间为t秒． (1)________，________．（用含t的代数式表示） (2)当四边形为平行四边形时，求t的值． (3)如图，当M和N在运动的过程中，是否存在某时刻t，使为直角三角形，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 题型十二：四边形压轴问题 34．（23-24八年级下·全国·期中）如图1，在正方形中，E是边上一动点（与C，D不重合），连接，将沿所在的直线折叠得到，延长交于点G，连接，作，交的延长线于点H，连接． (1)求证：平分； (2)如图2，过点H作交于点P；在点E运动过程中，四边形能否为菱形？若能，请求出的度数；若不能，无需证明． (3)连接，若，请直接写出长度的最小值． 35．（23-24八年级下·全国·期中）问题解决：如图，在矩形 中，点， 分别在， 边上，， 于点． (1)求证：四边形是正方形； (2)延长 到点，使得，判断 的形状，并说明理由． (3)类比迁移：如图，在菱形 中，点， 分别在， 边上， 与 相交于点，，，，，求 的长． 36．（23-24八年级下·山东济南·期末）有公共顶点的正方形与正方形按如图所示放置，点分别在边和上，连接，点是的中点，连接交于点． 【观察猜想】 （1）线段与之间的数量关系是_____，位置关系是______； 【探究证明】 （2）将图中的正方形绕点顺时针旋转，线段与之间的数量关系和位置关系是否仍然成立?并说明理由. （3）若正方形的边长为，将其沿翻折，点的对应点恰好落在边上，有最小值吗?有的话求出最小值，没有的话请说明理由． 【专题强化】 一、单选题 37．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，是平行四边形内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A．3 B． C．4 D． 38．（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，在中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，在如图所示的甲，乙，丙三种方案中，正确的方案是（   ） 甲方案：在上取，连接，，，； 乙方案：作，分别平分，，连接，； 丙方案：作于点，于点，连接，．       A．甲，乙，丙都是B．只有甲，乙是 C．只有甲，丙D．只有乙，丙是 39．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点运动，当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为（秒．以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时值为（   ）秒． A．2或 B． C．或 D． 40．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接．若，，则（   ） A．5 B．4 C． D． 41．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，，，．、分别是、上的动点，连接、，、分别为、的中点，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C． D． 42．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，、分别是的边、上的点，，，将四边形沿翻折，得到，交于点，则的高是（　　） A． B． C． D． 43．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 44．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在正方形中，是对角线与的交点，是边上的动点（点不与，重合），连接，作交于，连接，．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 45．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，四边形是菱形，对角线、相交于点，于点，连接，，则的度数是 ． 46．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，过平行四边形对角线的交点O，交于点M，交于点N，若平行四边形的周长为20，，则四边形的周长为 ． 47．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最小值为 ． 48．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，是正方形的一条对角线，是上一点，是延长线上一点，连接，，．若，，则的长为 ． 49．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为 ． 50．（24-25八年级下·吉林长春）如图，在正方形中，、、分别是边、、上的点，，垂足为，下列结论中：①为线段的中点；②；③；④，正确的结论有 ． 三、解答题 51．（24-25八年级上·广西来宾·期末）如图，将面积为8的正方形和面积为2的正方形拼在一起，点E在边的延长线上，点G 在边上，连接． (1)求的长． (2)求的面积． (3)在直线上是否存在点P，使最小？若存在，请作出点P，并直接写出最小值． 52．（24-25八年级下·江苏南通）如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒（）．过点作于点，连接、．    (1)求证：； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，说明理由． (3)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 53．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 54．（24-25八年级下·江苏镇江·阶段练习）【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，P为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． 【分析探究】 （1）如图1，若，当点恰好落在边上时，的形状为 ． 【问题解决】 （2）如图2，当P，Q为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点E．若的面积为18，，请直接写出线段的长． 55．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且，连接、． (1)求证：； (2)在图1中，若在上，且，连接，求证：； (3)根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题： ①如图2，在四边形中，，，，是的中点，且，求的长； ②如图3，在菱形中，，、分别在和上，且，连接．若，，请直接写出的长度________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化04：平行四边形题型讲与练 【题型归纳】 · 题型一：平行四边形性质求解 · 题型二：平行四边形的判定和性质综合应用 · 题型三：矩形的性质求解 · 题型四：矩形的判定和性质综合应用 · 题型五：菱形的性质求解 · 题型六：菱形的判定和性质综合应用 · 题型七：正方形的性质求解 · 题型八：正方形的判定和性质综合应用 · 题型九：中点四边形 · 题型十：四边形线段最值问题 · 题型十一：四边形动点问题 · 题型十二：四边形压轴问题 【题型探究】 题型一：平行四边形性质求解 1．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，垂直平分于点E， ，，则的对角线的长为（    ） A．5 B．10 C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点F，根据平行四边形和线段垂直平分线的性质可以推出，即可推出，先利用勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：如图，连接交于点F． ∵垂直平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得，， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 2．（24-25八年级上·全国·期末）如图，的对角线交于点O，平分交于点E，且连接．下列结论：①；②；③，④，成立的个数有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、中位线的性质，解本题的关键在证得是等边三角形． 利用平行四边形的性质可得，利用角平分线的性质证明是等边三角形，然后推出，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， 平分， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ∴，故①正确； ， ， ， ∴，故②正确； ， ∴是的中点， ，故③错误； ， ， ， ，故④正确， 故正确的个数有3个， 故选：C． 3．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在平行四边形中，，过的中点E作 于点 F，延长交的延长线于点 G，则的长为（     ）． A． B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用平行四边形的性质成为解题的关键． 由平行四边形的性质可得，进而得到；再根据中点的定义可得；然后说明，易得；再运用勾股定理求得，最后再运用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形, ∴, ∴, ∵E是的中点, ∴, ∵, ∴, ∴， ， ∴， ． 故选 B． 题型二：平行四边形的判定和性质综合应用 4．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，已知中，O是的中点，过点O作，交于点E，交于点F．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，先证明，，可得，可得，再进一步可得结论． 【详解】证明：∵点O为对角线的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形． 5．（23-24八年级下·全国·期中）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，点E、F在上，点G、H在上，且，． (1)若，，求的度数． (2)试判断与 的位置关系与数量关系，并说明理由． 【答案】(1)65° (2)，．理由见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形内角和定理和等边对等角等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）首先根据三角形内角和定理和等边对等角得到，然后根据平行四边形的性质求解即可； （2）根据题意证明，，得出四边形是平行四边形，即可解决问题． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵ 四边形是平行四边形， ∴； （2），． 理由如下： ∵ 四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，． ∴四边形 是平行四边形． ∴，． 6．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，在菱形中，点，分别是，的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，再根据菱形的性质得出，根据对边分别平行证明是平行四边形即可． （2）过点作，再根据直角三角形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：点，分别是，的中点， 是的中位线， ，则， 四边形是菱形， ，则， 四边形是平行四边形； （2）解：取的中点，连接， ， ， 四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， ． 四边形是平行四边形， ， ， 在中，根据勾股定理得，． 【点睛】本题考查了菱形性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，关键是根据菱形的性质和平行四边形的判定以及直角三角形的性质解题． 题型三：矩形的性质求解 7．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在矩形中，点在上，，，作于点G，交于F，则的长是（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据题意，，，可得，这样得，设，则，利用勾股定理计算即可． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质，熟练掌握勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵矩形 ，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 设，则， 则， 解得， 故选：B． 8．（23-24八年级下·山西长治·期末）如图，点F是矩形的边上一点，连结，作于点E，且满足，则下列结论中①，②，③，④，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，证明可得，可证②；证明，推出，，可证③，④． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， 在和中，， ， 故②正确； ，， ， 在和中，， ， ，， ， 故③，④正确； 现有条件不能证明，故①错误， 综上可知，正确的有②，③，④，共3个， 故选C． 9．（23-24八年级下·山东东营·期末）如图，矩形中，平分，交于点E，将一块三角板的直角顶点放在点E处，并使它的一条直角边过点A，另一条直角边交于M点，若，，则的长为（　　） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．根据矩形的性质可得，由平分，可得，然后证明可得，进而可得结果． 【详解】解：在矩形中，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 题型四：矩形的判定和性质综合应用 10．（24-25八年级下·全国·期末）如图：在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长至点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)80 【分析】本题主要考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证四边形是平行四边形，再证，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明结论； （2）由矩形的性质得，然后在中，由勾股定理得，求出，然后根据菱形的面积公式即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴． 11．（23-24八年级下·全国·期末）如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为2 【分析】（1）根据菱形的性质得，，再由三角形中位线定理得，得四边形是平行四边形，然后证明即可得出结论． （2）由三角形的中位线定理得，再由矩形的性质得，，，然后由勾股定理求出的长，即可得出的长． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ，， 是的中点， 是的中位线， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． （2）四边形是菱形， ， 由（1）得：，四边形是矩形， ，，， 是的中点， ， 在中，由勾股定理得： ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理．熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理，证明四边形为矩形是解题的关键． 12．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在四边形中，， (1)求证：四边形为矩形； (2)E 是 边的中点，F 为边上一点，延长、交于点 G． ①若F为的中点， ，求的长； ②若 求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①6；②12 【分析】（1）先利用已知条件得出四边形为平行四边形，再得出，即可得出四边形为矩形． （2）①由矩形的性质得出，，再由线段中点的定义得出，进而证明，由全等三角形的性质可得出，，最后再得出，根据等角对等边即可得出答案． ②由①知可得出，设，根据勾股定理得代入数值求出x的值，进而可求出． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴ 又∵， ∴． ∴四边形为矩形． （2）①∵四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∵E是边的中点， ∴． 在和中， ∴ ∴， ∵，F为的中点， ∴，． ∴． ∴， ∵， ∴，． ∵， ∴． ∴， ∴． ②由①知， ∴， ∴， 设， 根据勾股定理得： 即 【点睛】本题主要考查了矩形的判定以及性质，全等三角形的判定以及性质，等角对等边，勾股定理等知识，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键． 题型五：菱形的性质求解 13．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）如图，四边形是菱形，对角线交于点，过点作交对角线于点．若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质、用勾股定理解三角形，先根据勾股定理求得的长，然后利用等面积法可求得的长，再结合菱形的性质即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 故选：A． 14．（23-24八年级下·湖南永州·期中）如图，在菱形中，，P是对角线，的交点，点在的延长线上，且．则（　　）度． A．52 B．56 C．62 D．68 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握菱形的性质、等腰三角形的性质是解本题的关键． 根据菱形的性质易得，是的角平分线，且，所以由等腰三角形的判定与性质和三角形外角性质求解即可． 【详解】解：四边形是菱形，P是对角线，的交点， ，，是的角平分线， ， 又， ， ， 又， ， ． ． 故选：A． 15．（23-24八年级下·重庆江北·期末）如图，菱形的面积为，，点O为的中点，过点C作交的延长线于点E，连接，则线段的长度是（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．连接，由菱形的性质可得，，得出是等边三角形，可得，，再由点O为的中点，与互相平分，可得点O是线段的中点，从而得出，再由菱形的面积为，求得，最后由直角三角形斜边中线的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形，， ，， 是等边三角形， ， ， 点O为的中点，与互相平分， 点O是线段的中点， ， ∴， ∵，即， ， ∵， ，即， 菱形的面积为， ， ， ， 中，是斜边上的中线， ， 故选：D 题型六：菱形的判定和性质综合应用 16．（23-24八年级下·江西南昌·期中）已知，如图，在中，是的中线，F是的中点，连接并延长到E，使，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)24 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识点，熟悉掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据三角形中线性质可得，再由已知条件可证得；根据直角三角形斜边中线性质得，可证，进而可求解； （2）通过证明四边形是平行四边形，求得，利用勾股定理求得的长，再利用菱形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：连接， ， ∴四边形是平行四边形， ， 是中线， ， ， ， ∵四边形是菱形， ∴菱形的面积=． 17．（23-24八年级下·湖南益阳·期中）如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交于点， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）先证得再证四边形是平行四边形，然后由即可得出结论； （2）由菱形的性质得则即可求解． 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识， 熟练掌握菱形的判定与性质，证明是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∵垂直平分， 在和中， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形； （2）解：由（1）可知， 四边形是菱形， 18．（23-24八年级下·河北唐山·期末）在矩形中，，，分别是，中点，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)当，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外），说明理由． (2)若四边形为矩形，t的值为 ； (3)若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，则t的值为 ． 【答案】(1)四边形是平行四边形 (2)四边形为矩形时或 (3)当时，四边形为菱形 【分析】（1）利用三角形全等可得，，则，即可证明； （2）分为两种情况，一种是四边形为矩形，另一种是为矩形，利用即可求解； （3）根据菱形对角线平分且垂直可证明四边形为菱形，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由题意得：， 四边形是矩形， ∴，， ， ，分别是，中点， ，， ， ， ，， ， ∴， 四边形是平行四边形； （2）解：如图1，连接， 由（1）得，，， 四边形是矩形， ， ①如图1，当四边形是矩形时， ， ， ， ； ②如图2，当四边形是矩形时， ，， ， ； 综上，四边形为矩形时或； （3）解：如图3，和分别是和的中点，连接，，，与交于， 四边形为菱形， ，，， ，， 四边形为菱形， ， 设，则， 由勾股定理可得：， 即：， 解得：， ，即， 当时，四边形为菱形． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的判定与性质，在解题中灵活运用． 题型七：正方形的性质求解 19．（24-25八年级下·山东聊城·期中）如图所示，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，过点作的垂线，垂足为点，与交于点．若，，则的长为（  ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，连接，根据垂直平分，即可得出，设，则，，再根据中，，即可得到的长，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 【详解】解：如图所示，连接， 由旋转可得，， ，， ， 为的中点， 垂直平分， ， ∵四边形是正方形， ∴， 设，则，， ， ， 中，，即， 解得， 的长为， 故选：B． 20．（24-25八年级上·重庆巴南·期末）如图，先将正方形对折，折痕为，再沿折叠，使点C落在折痕上，记为点F，连接，已知正方形边长为2，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形与折叠问题．由正方形可得，由折叠的性质可得是线段的垂直平分线，推出，再由折叠的性质可得，即可得到． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得是线段的垂直平分线， ∴， 再由折叠的性质可得， ∴， 故选：C． 21．（23-24八年级下·陕西安康·期中）如图，在正方形中，点O是对角线的交点，过点O作，分别交于点E，F．若，，则的长为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】由正方形的性质可知，，， ，即得出，从而可证明，得出，进而得出，最后由勾股定理即可求出的长． 【详解】∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴． ∵， ∴, ∴， ∴在和中 ∴， ∴， ∴，即， ∴在中，． 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理．根据正方形的性质找出使三角形全等的条件是解题关键． 题型八：正方形的判定和性质综合应用 22．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，正方形中， ，点E是对角线上一点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)求的值． 【答案】(1)见解析； (2)6． 【分析】（1）如图，作于，于．只要证明即可解决问题； （2）只要证明，可得即可解决问题． 【详解】（1）如图，作于，于． ∵四边形是正方形， ， ∵于，于， ， ∵， ， ， ∵， ， ， ∵四边形是矩形， 四边形是正方形． （2）∵四边形是正方形，四边形是正方形， ，，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质和判定、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 23．（23-24八年级下·福建厦门·期末）已知，正方形的边长为6，菱形的三个顶点E，G，H分别在正方形边，，上，． (1)如图1，当，且点F在边上时，求证： ①； ②菱形是正方形； (2)如图2，当点F在正方形的外部时，连接．探究：点F到直线的距离是否发生变化？并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)点到直线的距离不发生变化，理由见解析 【分析】（1）①由于四边形为正方形，四边形为菱形，那么，，而，利用证明≌； ②由全等三角形的性质得出，等量代换可得，即可证四边形为正方形； （2）过点作，根据平行公理可得，根据平行线的性质可以得到，，再根据菱形的邻角互补以及平角等于可以求出，然后证明与全等，即可得到是定值． 【详解】（1）证明：①∵四边形是正方形， ， ，， ， 四边形是菱形， ， ； ≌， ， ， ， ， 菱形为正方形； （2）解：点到直线的距离不发生变化． 理由：作交的延长线于，如图，过点作， 在正方形中，， ∴， ，， 四边形是菱形， ∴，， 即， 又， ， 在与中， ， ≌， ， 即，是定值不变． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质和判定，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、灵活运用相关的性质定理和判定定理是解题的关键． 24．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在正方形中，，E是对角线上一动点，连接，作交边或边的延长线于点F，以和为邻边构造矩形，连接 (1)若点E到边的距离为3，则它到边的距离为______； (2)求证：矩形是正方形； (3)线段和线段的数量关系是______，位置关系是______. 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)相等，互相垂直 【分析】此题考查了正方形的性质和判定、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）作于点Q，则，于点P，根据角平分线的性质即可得答案； （2）证明四边形是矩形．再证明．则，即可证明矩形是正方形； （3）证明，则，，得到，则，即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图所示，作于点Q，则，于点P， ∵四边形是正方形， ． ∵，， ． ∴点E到边的距离为； 故答案为：3； （2）∵， ∴四边形是矩形． ． ∵四边形是矩形， ． ． ∵，由（1）可知，， ． ∴ ∴矩形是正方形； （3）∵四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 综上可知，线段和线段的数量关系是相等，位置关系是互相垂直， 故答案为：相等，互相垂直． 题型九：中点四边形 25．（23-24八年级下·山东东营·期末）如图，依次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为菱形，添加的条件正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的判定，矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 根据中点四边形可得四边形是平行四边形，进而添加一个直角或者对角先线相等，可得矩形，而添加邻边相等得出四边形为菱形，据此即可求解． 【详解】解：如图，连接， 依题意，． ∴， ∴四边形是平行四边形， A．添加，则四边形为矩形，故该选不符合题意； B．添加，可得四边形为菱形，符合题意；     C．添加，可得四边形为矩形，故该选不符合题意； D．添加，则，可得四边形为矩形，故该选不符合题意； 故选：B． 26．（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，在四边形中，分别是的中点．下列结论： ①四边形是平行四边形； ②当时，四边形是菱形； ③当时，四边形是矩形． 其中所有正确结论的序号是（   ）． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形、菱形的判定定理是解题的关键．①根据三角形中位线定理得到，，，，根据平行四边形的判定定理证明结论；②根据邻边相等的平行四边形是菱形解答；③根据矩形的判定定理解答． 【详解】解：①，分别是，的中点， 是的中位线， ，， 同理，，， ，， 四边形是平行四边形； 故①正确，符合题意； ②，分别是，的中点， 是的中位线， ，， 当时，， 四边形是菱形； 当与满足条件时，四边形是菱形， 故②正确，符合题意； ③， ， ， ， 当时， ， ， ， 平行四边形是矩形， 当时，四边形不一定是矩形， 故③错误，不符合题意； 故选：A． 27．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，已知菱形的边长为2，，进行如下操作：第一次，顺次连接菱形各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形类规律探究，涉及矩形和菱形的判定与性质，三角形的中位线性质，通过推导计算得到面积的变化规律是解答的关键．根据矩形和菱形的判定与性质，结合三角形的中位线性质得到每一次得到的四边形的面积与矩形的关系，进而得到变化规律即可． 【详解】解：连接，，，，    ∵四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵第一次，顺次连接菱形各边的中点，得到四边形， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形， ∴，，， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， 依次可得，， 故选：B． 题型十：四边形线段最值问题 28．（22-23八年级下·湖南湘西·期中）如上图所示，矩形，，，点是边上的一个动点，点是对角线上一个动点，连接，，则的最小值是（    ）    A．6 B． C．12 D． 【答案】B 【分析】作点关于的对称点，过点作于点，交于点，即可得到的最小值为，再解直角三角形即可解答． 【详解】解：作点关于的对称点，过点作于点，交于点，如图：    由对称性可得， ， 当，，三点共线，且时，即点在点处，点在点处时，的值最小． ，， ，， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查矩形的性质和线段和最小值问题，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，解题的关键在于作出适当的辅助线． 29．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，在正方形中，点E、F、G分别在、、上，，，，，与交于点P．连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，取的中点，连接、，根据正方形的性质证明≌，然后根据直角三角形性质可得，当、、共线时，有最小值，根据勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点，取的中点，连接、，      四边形是正方形， ，，， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形，是的中点， ， ，， ， ， ， 当、、共线时，有最小值， ，， ， ， 的最小值为． 故选A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的三边关系，在几何证明中常利用三角形的三边关系解决线段的最值问题，解题的关键是得到≌． 30．（21-22八年级下·浙江金华·期中）如图 ，在平行四边形中 ， ，AB=4 ，AD=8 ， 点、分别是边CD、上的动点．连接、 ，点为的中点 ，点为的中点 ，连接．则的最大值与最小值的差为（       ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．首先证明∠ACD＝90°，求出AC，AN，利用三角形中位线定理，可知EF＝AG，求出AG的最大值以及最小值即可解决问题． 【详解】解：如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N． ∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°， ∴∠D＝180°−∠BCD＝60°，AB＝CD＝4， ∵AM＝DM＝DC＝4， ∴△CDM是等边三角形， ∴∠DMC＝∠MCD＝60°，AM＝MC， ∴∠MAC＝∠MCA＝30°， ∴∠ACD＝90°， ∴AC＝ 在Rt△ACN中，∵AC＝，∠ACN＝∠DAC＝30°， ∴AN＝AC＝ ∵AE＝EH，GF＝FH， ∴EF＝AG， ∵点G在BC上，∴AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长， ∴AG的最大值为，最小值为， ∴EF的最大值为，最小值为， ∴EF的最大值与最小值的差为： 故选C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明∠ACD＝90°，属于中考选择题中的压轴题． 题型十一：四边形动点问题 31．（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，，，．过点D作，垂足为E，动点P从点D出发沿方向以的速度向点A运动，动点Q同时从点B出发，以的速度沿射线运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为． (1)当时，求t的值； (2)连接，设四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式； (3)当点P关于直线的对称点恰好在直线上时，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)2或6 【分析】（1）根据平行四边形的性质和判定可知：，列方程可解答； （2）根据梯形面积公式可解答； （3）分两种情况讨论，由轴对称的性质和等边三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， 当时，四边形是平行四边形， ， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：四边形是平行四边形， ， ， ， 如图2，当点的对称点在线段上时， ， ， 是等边三角形， ， ， ； 如图3，当点的对称点在线段的延长线上时， ， ， 点的对称点在线段的延长线上， ， ， ， ， ， ， ， 综上，的值是2或6． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 32．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，在四边形中，，，，动点P从A点开始沿边以的速度向点D运动，动点Q从C点开始沿边以的速度向点B运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为． (1)当t为何值时，四边形是矩形； (2)当t为何值时，四边形是平行四边形； (3)问：四边形是否能成菱形？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由． 【答案】(1)当时，四边形是矩形； (2)当时，四边形是平行四边形； (3)四边形不能成菱形，理由见解析 【分析】（1）由题意可知，，，则，根据矩形的性质列方程，求出t的值即可； （2）由题意可知，，，则，根据平行四边形的性质列方程，求出t的值即可； （3）过点作于点，则四边形是矩形，由勾股定理求得，若四边形是菱形，则四边形是平行四边形，结合（2）的结果可知，，即四边形不能成菱形． 【详解】（1）解：设运动的时间为 由题意可知，，， ， ， 四边形是矩形， ， ， 解得：， 即当时，四边形是矩形； （2）解：由题意可知，，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 解得：， 即当时，四边形是平行四边形； （3）解：四边形不能成菱形，理由如下： 如图，过点作于点， 则四边形是矩形， ，， ， 在中，， 若四边形是菱形，则四边形是平行四边形， 由（2）可知，当时，四边形是平行四边形； 此时， ， 四边形不能成菱形． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，一元一次方程的应用、动点问题、勾股定理，掌握特殊的四边形的性质是解题关键． 33．（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）如图，四边形中，，，，，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作于点P，连接交于点Q，连接．设运动时间为t秒． (1)________，________．（用含t的代数式表示） (2)当四边形为平行四边形时，求t的值． (3)如图，当M和N在运动的过程中，是否存在某时刻t，使为直角三角形，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或2 【分析】本题主要考查了四边形综合题，矩形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，运用数形结合、方程思想是解题的关键． （1）由，根据，即可求出；先证明四边形为矩形，得出，则； （2）根据四边形为平行四边形时，可得，解方程即可； （3）分两种情况：①当时，②当时，进行讨论即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， ， ， ∴四边形为矩形， ， 故答案为：； （2）∵当四边形为平行四边形时，， 根据（1）可算出， ∴， 解得． （3）由其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动可知，， ∵， ∴为等腰直角三角形，即：， 则也是等腰直角三角形， ， ∵此种情况不存在； ①当时，∵， ∴，为等腰直角三角形， 则， ∴， 解得； ②当时，∵， ∴，为等腰直角三角形， 则， ∴， 解得：； 综上，当或2时，为直角三角形． 题型十二：四边形压轴问题 34．（23-24八年级下·全国·期中）如图1，在正方形中，E是边上一动点（与C，D不重合），连接，将沿所在的直线折叠得到，延长交于点G，连接，作，交的延长线于点H，连接． (1)求证：平分； (2)如图2，过点H作交于点P；在点E运动过程中，四边形能否为菱形？若能，请求出的度数；若不能，无需证明． (3)连接，若，请直接写出长度的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)能， (3) 【分析】（1）在上截取，连接，根据正方形的性质可证得是等腰直角三角形，有，由折叠的性质得，则，可证明，有和，即，则为等腰直角三角形，进一步证明，有，求得，结合即可； （2）当时，，则四边形为平行四边形，，由（1）得和，则有，即可证明四边形为菱形，有，则，即可得； （3）根据题意得，当A、F、C三点共线时，最短，则长度的最小值 ． 【详解】（1）证明：在上截取，连接，如图1所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：四边形能为菱形，理由如下： 当时，， ∵， ∴四边形为平行四边形，， 由（1）得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图2所示，连接： ∵，， ∴， 由（1）得：， 当A、F、C三点共线时，最短， 则长度的最小值 ． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质和菱形的判定，解题的关键是熟悉等腰三角形的性质和特殊四边形的相互转化． 35．（23-24八年级下·全国·期中）问题解决：如图，在矩形 中，点， 分别在， 边上，， 于点． (1)求证：四边形是正方形； (2)延长 到点，使得，判断 的形状，并说明理由． (3)类比迁移：如图，在菱形 中，点， 分别在， 边上， 与 相交于点，，，，，求 的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析； (3)类比迁移： 【分析】(1)根据矩形的性质得，由等角的余角相等可得，利用可得，由全等三角形的性质得，即可得四边形是正方形; (2)利用可得，由全等三角形的性质得，由已知可得，根据线段垂直平分线的性质可得即可得，是等腰三角形； (3)延长到点H，使 ，连接，利用可得，由全等三角形的性质得，.由已知可得，可得是等边三角形，则，，等量代换可得 【详解】（1）证明：如图中， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形； （2）解：结论：是等腰三角形， 理由：四边形是正方形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （3）解：延长到点，使，连接， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题 36．（23-24八年级下·山东济南·期末）有公共顶点的正方形与正方形按如图所示放置，点分别在边和上，连接，点是的中点，连接交于点． 【观察猜想】 （1）线段与之间的数量关系是_____，位置关系是______； 【探究证明】 （2）将图中的正方形绕点顺时针旋转，线段与之间的数量关系和位置关系是否仍然成立?并说明理由. （3）若正方形的边长为，将其沿翻折，点的对应点恰好落在边上，有最小值吗?有的话求出最小值，没有的话请说明理由． 【答案】（1），；（2）成立，理由见解析；（3）有最小值，最小值为 【分析】（1）先证明，得出，，再根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，则，根据再根据等腰三角形的性质可得，故，即可求出． （2）延长到点，使，连接，则，先证明，，类比（1）中所用的方法可证得结论． （3）延长到点，使，连接交于点，连接、，将转化为，可求出的最小值． 【详解】解：（1）∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∵， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴.， ∵, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为，． （2）成立． 理由如下：如图，延长到点，使，连接，则， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，，正方形绕点顺时针旋转， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段与之间的数量关系和位置关系仍然成立． （3）如图，延长到点，使，连接交于点，连接、， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∵在线段上， ∴， 由翻折的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点与点重合时，，此时的值最小， ∴的值也最小， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、旋转的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线构造全等三角形、直角三角形． 【专题强化】 一、单选题 37．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，是平行四边形内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的面积公式和平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于平行四边形面积的一半，即可得到答案． 【详解】解：设两个阴影部分三角形的高为， 则为平行四边形的高， ． 故选D． 38．（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，在中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，在如图所示的甲，乙，丙三种方案中，正确的方案是（   ） 甲方案：在上取，连接，，，； 乙方案：作，分别平分，，连接，； 丙方案：作于点，于点，连接，．       A．甲，乙，丙都是 B．只有甲，乙是 C．只有甲，丙是 D．只有乙，丙是 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答的关键． 对于甲方案：连接交于O，利用平行四边形的性质结合已知证明，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论；对于乙方案：根据平行四边形的性质和角平分线的性质证明，，再根据角平分线的定义证得，进而证明得到，，则，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；对于丙方案：先根据平行线的判定证明，再证明得到，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；． 【详解】解：甲方案：连接交于O，如图， 在中，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故甲方案正确； 乙方案： 在中，，，， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故乙方案正确， 丙方案： 在中，，， ∴， ∵，， ∴，， 在和中， ∴， ∴，又， ∴四边形为平行四边形，故丙方案正确； 故选：A． 39．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点运动，当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为（秒．以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时值为（   ）秒． A．2或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，一元一次方程的应用等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．由题意已知，，要使、、、为顶点的四边形为平行四边形，则只需要让即可，列出等式可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 当从运动到时，且在上， ，， ， 解得， 当秒时，四边形是平行四边形； 当点在延长线上时， ， 解得， 秒或秒时，、、、为顶点的四边形为平行四边形． 故选：C． 40．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接．若，，则（   ） A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质；利用全等三角形的性质得到，再根据正方形和勾股定理的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵，，，是四个全等的直角三角形，，， ∴，， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 故选：D． 41．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，，，．、分别是、上的动点，连接、，、分别为、的中点，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】如图，连接，过点作于，由勾股定理得，由三角形中位线定理可得，当时，有最小值，即有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于，   四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ∴由勾股定理得， 、分别为、的中点， ， 当时，有最小值，即有最小值， 当点与点重合时，的最小值为， 的最小值为， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 42．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，、分别是的边、上的点，，，将四边形沿翻折，得到，交于点，则的高是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠的性质得，再利用平行四边形的性质得到，则可判断为等边三角形，作于，利用含度的直角三角形的性质可得，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形沿翻折，得到， ， 四边形为平行四边形， ， ， 为等边三角形， 如图，作于， 在中，， ， ， 即的高是． 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． 43．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当时，的值最小， 此时， ∴， ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是掌握矩形的性质并理解垂线段最短的意义． 44．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在正方形中，是对角线与的交点，是边上的动点（点不与，重合），连接，作交于，连接，．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判断与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 先根据正方形的性质和已知条件可证可得可判断①；由可得，进而证明可得，再结合可得，即可判断②；根据线段的和差可得，然后分别在和中运用勾股定理可判断③．当点接近点时，点接近点，接近，此时，即④错误． 【详解】解：∵正方形， ∴, ∴, ∵交于， ∴， ∴, ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴, ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即②正确； ∵， ∴，即， ∵中，， ∴， ∵中，， ∴， ∴，即③正确； 当点接近点时，点接近点，接近，此时，故④错误． 综上，正确的有3个． 故选：C． 二、填空题 45．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，四边形是菱形，对角线、相交于点，于点，连接，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． 由菱形的性质可得、，由三角形内角和定理结合等边对等角得出，求出，由直角三角形的性质可得，再根据等边对等角即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 46．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，过平行四边形对角线的交点O，交于点M，交于点N，若平行四边形的周长为20，，则四边形的周长为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 先利用平行四边形的性质求出，，可利用全等的性质得到，求出，即可求出四边形的周长． 【详解】∵四边形是平行四边形，周长为20， ， ， 在和中， ， ， ， 则四边形的周长， ， 故答案为：14． 47．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，过点A作交于点M．即可得，结合图形可得当时最小，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，，过点A作交于点M． ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵点E为的中点，点F为的中点， ∴是的中位线， ∵要使线段最小， ∴最小即可， 则当时最小， ∵， ∴， ∴， ， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，勾股定理，含的直角三角形的性质，平行四边形的性质等知识点，添加辅助线构造中位线是解题的关键． 48．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，是正方形的一条对角线，是上一点，是延长线上一点，连接，，．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接，先证明，得出，从而得出，根据三角形的内角和定理得出，则有为等腰直角三角形，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形内角和定理，掌握知识点的应用及正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 49．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质和平行四边形的性质证出，而，进而得到四边形是平行四边形，由折叠可得，垂直平分，即可得出是直角三角形，再证明，得到，即，最后在中，运用勾股定理进行计算即可得到的长． 【详解】解：由折叠可得，，， 平行四边形中，， ， ， ， ，而， 四边形是平行四边形， ， 由折叠可得，垂直平分， ， 又， ， 是直角三角形， ， ， 又，， ， ， ， 又是的中点，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，平行四边形的判定与性质，等角对等边以及勾股定理的运用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 50．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在正方形中，、、分别是边、、上的点，，垂足为，下列结论中：①为线段的中点；②；③；④，正确的结论有 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质，取特殊点即可判断①；利用直角三角形两锐角互余即可判断②；过点作于点M，则四边形是矩形，证明，即可判断③④． 【详解】解：①如图，当点重合，重合时， 则点与点重合， 此时，，故①错误； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ③过点作于点M，则四边形是矩形， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； ④由③知，四边形是矩形， ∴，， ∵在正方形中，， ∴ ∴，故④正确； 故答案为：②③④． 三、解答题 51．（24-25八年级上·广西来宾·期末）如图，将面积为8的正方形和面积为2的正方形拼在一起，点E在边的延长线上，点G 在边上，连接． (1)求的长． (2)求的面积． (3)在直线上是否存在点P，使最小？若存在，请作出点P，并直接写出最小值． 【答案】(1) (2)4 (3)作图见解析，的最小值为4 【分析】本题主要考查了正方形的性质、三角形的面积、轴对称、勾股定理等知识点，掌握运用轴对称的性质求最值成为解题的关键． （1）由正方形的性质以及已知条件可得，再根据线段的和差即可解答； （2）根据求解即可； （3）先说明直线是的垂直平分线，如图：连接，延长交于，然后说明当三点共线时，最小，最后运用勾股定理求得的长即可． 【详解】（1）解：∵面积为8的正方形和面积为2的正方形， ∴， ∴ （2）解∶ ∵，，， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∴直线是的垂直平分线， 如图：连接，延长交于， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，且最小值为． 52．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒（）．过点作于点，连接、．    (1)求证：； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，说明理由． (3)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形能够成为菱形， (3)当或时，为直角三角形，理由见解析 【分析】（1）利用已知用未知数表示出的长，进而得出； （2）首先得出四边形为平行四边形，进而利用菱形的判定与性质得出时，求出的值，进而得出答案； （3）分三种情况讨论：当时；当时；当时，分别分析得出即可． 【详解】（1）证明：在中，，，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：四边形能够成为菱形．理由如下： ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴， 若使平行四边形为菱形，则需， 即， 解得， 即当时，四边形为菱形； （3）解：分情况讨论： 当时， 则， ∴， 即， ∴； 当时， 则， ∴， 即， ∴； 当时，此种情况不存在； 综上所述，当或时，为直角三角形． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、一元一次方程的应用、直角三角形的性质等知识，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 53．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，作于，于，根据正方形的性质可得，进而说明，再证明可得，再结合四边形是矩形即可证明结论； （2）同（1）的方法判断出得到，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：如图，作于，于，则，   点是正方形对角线上的点， ， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ， ∴， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形． （2）解：的值是定值，定值为，理由如下： 正方形和正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 是定值． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、矩形的性质、矩形的判定、三角形的全等的性质和判定、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． 54．（24-25八年级下·江苏镇江·阶段练习）【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，P为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． 【分析探究】 （1）如图1，若，当点恰好落在边上时，的形状为 ． 【问题解决】 （2）如图2，当P，Q为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点E．若的面积为18，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）等边三角形；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得，，再证明四边形是菱形，可知，即可求解； （2）利用四边形是平行四边形，可得，，再由，为边的三等分点，可得，由折叠可知：，，则，可得，再由三角形外角性质可得，则，可得，可证明四边形是平行四边形，则有，再证明可得结论； （3）延长交于，过点A作，先求得，由折叠可得，，得到，则为等腰直角三角形，从而得出，则，再由四边形是平行四边形，可得，得到，，即，得出，再由的面积为18，，即：，求出，再求解可得结果． 【详解】解：（1）四边形是平行四边形， ，，， 由折叠可知：，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，， 是等边三角形， 故答案为：等边三角形； （2），理由如下： 四边形是平行四边形， ，， 又，为边的三等分点， ， 由折叠可知：，， 则， ， 由三角形外角性质可知：， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ； （3）延长交于，过点A作， 的面积为18，， ， ， 设则， ， ， （负值舍去）， ， ， ， ， ， 由折叠可知：，， ，则为等腰直角三角形， ， 则， 四边形是平行四边形， ， ，，即， ， 的面积为18，，即：， ， 则， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，菱形的判定，翻折的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 55．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且，连接、． (1)求证：； (2)在图1中，若在上，且，连接，求证：； (3)根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题： ①如图2，在四边形中，，，，是的中点，且，求的长； ②如图3，在菱形中，，、分别在和上，且，连接．若，，请直接写出的长度________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①；② 【分析】（1）因为为正方形，所以，，又因为，则，即可求证； （2）因为，，则有，又因为，所以，，则，故成立； （3）①过点作交的延长线于点，利用勾股定理即可求得的长；②把旋转得到，过作于，根据旋转的性质和全等三角形的判定和性质可得到，，根据直角三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：在正方形中，，， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：，， ， （已证）， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：①如图，过点C作，交的延长线于点， 由（2）和题设知：， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， ； ②如图，把旋转得到，过作于， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，解决问题的关键是在直角三角形中运用勾股定理列方程求解． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$