河南省鹤壁市高中2024-2025学年高一下学期摸底考试数学试卷

1 鹤壁高中高一年级摸底考试数学试卷 命题人：高瑞阳 校对人：马晓彤 一、单选题：（本题共 15 小题，每小题 5 分，共 75 分。在每小题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的。） 1.设�，� ∈ �，则“2� > 4�”是“log2� − log2� > 1”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.已知�，�，� ∈ �，则下列说法中错误的是( ) A. �� > � � , � < 0 ⇒ � < � B. � > � > � ⇒ 1 �−� < 1 �−� C. � > �, �� > 0 ⇒ 1� < 1 � D. � > � ⇒ �� 2 ≥ ��2 3.已知集合� = {�|���3(� − 1 3 ) ≤− 1}，� = {�|10� 2 − 3� − 1 ≤ 0}，则� ∩ � =( ) A. [ − 15 , 1 2 ] B. [ − 1 5 , 2 3 ] C. ( 1 3 , 1 2 ] D. ( 1 3 , 2 3 ] 4.函数�(�) = sin���+�−� cos�的部分图象可能是( ) A. B. C. D. 5.莱洛三角形是以机械学家莱洛的名字命名，在建筑、商品的外包装设计、工业生产中有广泛 的应用，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另 两个顶点之间画一段圆弧，由这三段圆弧围成的曲边三角形．如图，若莱 洛三角形的�� ⌢ 长为 2� 3，则该莱洛三角形的面积为( ) A. 2� − 3 3 B. 2(� − 3) C. 2� − 3 D. � − 3 6.已知 tan� = 2，则 −sin(−�)+2sin �2+� 3sin 3�2 +� +sin(�−�) 的值为( ) A. −4 B. 0 C. 45 D. 4 7.已知函数�(�) = (� + 1)�, � ≤ 1 2�2−��−1, � > 1 在�上单调递增，则实数�的取值范围是( ) A. (0,1] B. (0,2) C. ( − 1,0] D. ( − 1,2) 8.在三角形���中，内角�，�，�满足cos�cos� = 2 1−tan�tan�，则角�的值是( ) A. �6 B. � 3 C. 2� 3 D. 5� 6 9.已知幂函数�(�)的图象过点(2, 12 )，若�(3 − 2�) < 1，则实数�的取值范围为( ) A. ( − ∞,1) B. (1, 32 ) C. ( − ∞,1) ∪ (1, 3 2 ) D. ( − ∞,1) ∪ ( 3 2 , + ∞) 10.若函数�(�) = 2��2 + 8�� + 1 在区间( − 1,1)内恰有一个零点，则实数�的取值范围为( ) A. ( − 110 , 1 6 ) B. ( − 1 10 , 1 6 ) ∪ {0} C. ( −∞, − 110 ) ∪ ( 1 6 , + ∞) D. ( − ∞, − 1 10 ) ∪ ( 1 6 , + ∞) ∪ {0} 11．给出下列命题，其中是正确命题的是（ ） A．两个函数 ， 表示的是同一函数 B．函数 的单调递减区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞） C．若函数 f（x）的定义域为[0，2]，则函数 f（2x）的定义域为[0，1] D．命题“∀x∈[0，+∞），x2+1＞0”的否定是“∃x∈（﹣∞，0），x2+1≤0” 12．已知定义在 R 上的函数 f（x）在（﹣∞，2]上单调递减，且 f（x+2）为偶函数，则不等式 f （x﹣1）＞f（2x）的解集为（ ） A． B． C． D． 13．若函数 f（x）＝sinx+2cos（x+φ）sinφ（0＜φ＜π）在区间[π， ]上为增函数，则φ的取 值范围是（ ） A．（0， ] B．（0， ] C．[ ， ] D．[ ，π） 2 14．函数 y＝sin2x+2cosx在区间[﹣ ，a]上的最小值为﹣ ，则 a的取值为（ ） A．[ ，+∞） B．[0， ] C．（﹣ ， ] D．（﹣ ， ] 15．函数 f（x）＝x3+x+ ﹣8（a∈R）在区间[m，n]上的最大值为 10，则函数 f（x）在区间[﹣ n，﹣m]上的最小值为（ ） A．﹣10 B．﹣8 C．﹣26 D．与 a有关 二、多选题：（本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。） 16.已知不等式��2 + �� + � > 0 的解集为{�| − 12 < � < 2}，则下列结论正确的是( ) A. � > 0 B. � > 0 C. � > 0 D. � + � + � > 0 17.若�，�均为正实数，满足 2� + � = 1，则以下结论中正确的有( ) A. log2� + log2�的最大值为−3 B. 1 � + 1 �的最小值为 4 2 C. 2�+1 + 9 �+2的最小值为 5 D. � 2 + �2的最小值为15 18.已知函数�(�) = 2cos(�� + �)(� > 0, |�| < �2 )的部分图象如图 所示，下列说法正确的是( ) A. � =− �3 B. 若|�1 − �2| < � 2，则|�(�1)− �(�2)| < 4． C. 将�(�)的图象向右平移�6个单位长度，然后把曲线上的各点的横坐标变为原来的 1 3倍(纵坐标不 变)，得到函数� = 2sin6�的图象 D. �(�)的图象关于直线� =− �6对称 三、填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。） 19．已知集合 A＝{2，0，1，9}，B＝{k|k∈R，k2﹣2∈A，k﹣2∉A}，则集合 B中所有的元素之 和为 ． 20．若实数 a，b满足 ab﹣4a﹣b+1＝0（a＞1），则（a+1）（b+2）的最小值为 ． 21.某摩天轮示意图如下图所示，其半径为100�，最低点�与地面距离为8�，24min 转动一圈.若该摩天轮上一吊箱�(视为质点)从�点出发，按顺时针方向匀速旋转， 则吊箱�第 4次距离地面 158�时，所经历的时长为 (单位：min). 22.函数�(�) = 3|log2�|, 0 < � ≤ 2 �2 − 8� + 15, � > 2 ，若函数� = �(�) −�有四个不同的零点�1，�2，�3，�4(�1 < �2 < �3 < �4)，则 (�3−2)(�4−2) �1�2�3 的取值范围是 ． 四、解答题：（本题共 3 小题，共 37 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 23.(本小题 10 分) 设全集为� = �，已知集合� = {�|� + 1 ≤ � ≤ 3� − 1}，� = {�|1 ≤ 2�−1 ≤ 8}． (1)当� = 2 时，求(∁��) ∪ �; (2)若“� ∈ �”是“� ∈ �”的充分条件，求实数�的取值范围． 24.(本小题 12 分) 已知函数�(�) = sin � + �6 + sin � − � 6 + cos� + �的最大值为 1， (1)求常数�的值； (2)求函数�(�)的单调递减区间； (3)求使�(�) ≥ 0 成立的�的取值集合． 25.(本小题 15分) 悬链线是两端固定的一条粗细与质量分布均匀、柔软而不能伸长的链条，在重力的作用下所具 有的曲线形状.如障碍物上悬挂的铁链和悬挂在空中的电线都是悬链线形状。双曲余弦函数的图 象的形状就是一种特殊的悬链线.定义双曲余弦函数为 cosh� = � �+�−� 2 ，双曲正弦函数为 sinh� = ��−�−� 2 ． (1)求证： cosℎ� 2 − sinℎ� 2为定值． (2)设函数�(�) = sinh�cosh�，  ①判断�(�)的单调性，并用定义证明;  ②若对于∀� ∈ (0, �2 )，�(� ⋅ sin2�) + �(cos(� − � 4 )) > 0 恒成立，求实数�的取值范围． 3 鹤壁高中高一年级摸底考试数学答案和解析 一、单选 1--5BBCDB 6--10ACCDC 11--15CDCCC 二、多选 16.【答案】��� 17.【答案】�� 18.【答案】�� 三、填空 19【答案】﹣2 20【答案】27 21【答案】40 22【答案】(0,1) 四、解答 23.【答案】(1)当� = 2时，A = {�|3 ≤ � ≤ 5}，∁UA = {�|� < 3 或� > 5}， 又因为 B = {�|1 ≤ 2�−1 ≤ 8} = {�|1 ≤ � ≤ 4}，则(∁UA) ∪ B = {�|�⩽4或� > 5}．----4 分 (2)因为“� ∈ �”是“� ∈ �”成立的充分条件，则� ⊆ �， 集合� = {�|� + 1 ≤ � ≤ 3�− 1}，� = {�|1 ≤ � ≤ 4}， 当� = ⌀时，� + 1 > 3�− 1，即� < 1.符合题意； 当� ≠ ⌀时， � + 1⩽3�− 1 � + 1⩾1 3�− 1⩽4 ，解得：1⩽�⩽ 53．综上所述，实数�的范围是{�|�⩽ 5 3 }. ---10分 24.【答案】(1) ∵函数�(�) = sin � + �6 + sin � − � 6 + cos� + �， 化简得：�(�) = �������  �6 + �������  � 6 + �������  � 6 − �������  � 6 + ���� + � = 3sin � + cos � + � = 2sin (� + �6 ) + �． ∵ sin (� + �6 )的最大值为 1，∴ 2 + � = 1，解得：� =− 1．---------4 分 (2)由(1)可得� � = 2sin (� + �6 ) − 1， 根据三角函数的性质可得：2�� + �2⩽� + � 6⩽2�� + 3� 2 , (� ∈ �)， 解得：2�� + �3⩽�⩽2�� + 4� 3 , (� ∈ �) ∴ �(�)的单调递减区间为[ �3 + 2��, 4� 3 + 2��]，� ∈ �．--------8 分 (3)由题意�(�) ≥ 0，即 2sin (� + �6 ) − 1 ≥ 0，可得：sin (� + � 6 ) ≥ 1 2， ∴ 2�� + �6⩽� + � 6⩽2�� + 5� 6 , (� ∈ �)，解得：2��⩽�⩽ 2� 3 + 2��, � ∈ � ∴ �(�) ≥ 0 成立的�的取值范 围是{�|2��⩽�⩽ 2�3 + 2��, � ∈ �}．------12分 25. 【答案】解：(1)证明：因为 cosℎ� 2 − sinℎ� 2 = ( � �+�−� 2 ) 2 − ( � �−�−� 2 ) 2 = � 2�+2+�−2� 4 − �2�−2+�−2� 4 = 1， 所以 cosℎ� 2 − sinℎ� 2是定值 1．-------------3 分 (2)�(�) = sinh�cosh� = ��−�−� ��+�−�．  ①函数�(�)在�上单调递增． 证明如下：任取�1，�2 ∈ ( −∞, +∞)，且�1 < �2， 则�(�1) − �(�2) = ��1−�−�1 ��1+�−�1 − ��2−�−�2 ��2+�−�2 = �2�1−1 �2�1+1 − � 2�2−1 �2�2+1 = �2�1 −1 �2�2 +1 − �2�2 − 1 �2�1 +1 �2�1 +1 �2�2 +1 = 2 �2�1 − �2�2 �2�1 +1 �2�2 +1 因为�1 < �2，所以�2�1 < �2�2，即�2�1 − �2�2 < 0．又因为�2�1 + 1 > 0，�2�2 + 1 > 0，， 所以�(�1) − �(�2) < 0，即�(�1) < �(�2).所以函数�(�)在�上单调递增．-------------------7 分  ②函数�(�)的定义域为�，因为∀� ∈ �，都有−� ∈ �，且�( − �) = � −�−�� �−�+�� =− �(�)，所以函数�(�) 为奇函数．因为�(� ⋅ sin2�) + �(cos(� − �4 )) > 0，所以�(� ⋅ sin2�) >− �(cos(� − � 4 ))，因为�(�)为奇函 数，所以�(� ⋅ sin2�) > �( − cos(� − �4 ))．由 ①知，函数� = �(�)在�上单调递增， 所以� ⋅ sin2� >− cos(� − �4 )，--------------------10 分 因为 0 < � < �2，所以 0 < 2� < �，所以 sin2� > 0． 所以� > −cos(�−�4) sin2� = − 22 (cos�+sin�) 2sin�⋅cos� =− 2 4 ( sin�+cos� sin�⋅cos� )，设� = sin� + cos�，� ∈ (0, � 2 )， 则� = 2sin(� + �4 ) ∈ (1, 2]，sin� ⋅ cos� = (sin�+cos�)2−1 2 = �2−1 2 ， 4 所以� >− 24 ⋅ � �2−1 2 =− 22 ⋅ � �2−1，设�(�) =− 2 2 ⋅ � �2−1 =− 2 2 ⋅ 1 �−1� ， 则�(�)在(1, 2]上单调递增，�(�)max =− 2 2 ⋅ 2 ( 2)2−1 = 2 ⋅ ( − 2 2 ) =− 1，所以� >− 1． 所以实数�的取值范围是{�|� >− 1}． -------------------------15分 鹤壁高中高一年级摸底考试数学试卷 一、单选题：（本题共15小题，每小题5分，共75分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.设，，则“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.已知，，，则下列说法中错误的是(    ) A. B. C. D. 3.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 4.函数的部分图象可能是(    ) A. B. C. D. 5.莱洛三角形是以机械学家莱洛的名字命名，在建筑、商品的外包装设计、工业生产中有广泛的应用，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点之间画一段圆弧，由这三段圆弧围成的曲边三角形．如图，若莱洛三角形的长为，则该莱洛三角形的面积为(    ) A. B. C. D. 6.已知，则的值为(    ) A. B. C. D. 7.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.在三角形中，内角，，满足，则角的值是(    ) A. B. C. D. 9.已知幂函数的图象过点，若，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 10.若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 11．给出下列命题，其中是正确命题的是（　　） A．两个函数，表示的是同一函数 B．函数的单调递减区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞） C．若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，1] D．命题“∀x∈[0，+∞），x2+1＞0”的否定是“∃x∈（﹣∞，0），x2+1≤0” 12．已知定义在R上的函数f（x）在（﹣∞，2]上单调递减，且f（x+2）为偶函数，则不等式f（x﹣1）＞f（2x）的解集为（　　） A． B． C． D． 13．若函数f（x）＝sinx+2cos（x+φ）sinφ（0＜φ＜π）在区间[π，]上为增函数，则φ的取值范围是（　　） A．（0，] B．（0，] C．[，] D．[，π） 14．函数y＝sin2x+2cosx在区间[﹣，a]上的最小值为﹣，则a的取值为（　　） A．[，+∞） B．[0，] C．（﹣，] D．（﹣，] 15．函数f（x）＝x3+x+﹣8（a∈R）在区间[m，n]上的最大值为10，则函数f（x）在区间[﹣n，﹣m]上的最小值为（　　） A．﹣10 B．﹣8 C．﹣26 D．与a有关 二、多选题：（本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。） 16.已知不等式的解集为，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 17.若，均为正实数，满足，则以下结论中正确的有(    ) A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 18.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是(    ) A. B. 若，则． C. 将的图象向右平移个单位长度，然后把曲线上的各点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象 D. 的图象关于直线对称 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。） 19．已知集合A＝{2，0，1，9}，B＝{k|k∈R，k2﹣2∈A，k﹣2∉A}，则集合B中所有的元素之和为 　 　． 20．若实数a，b满足ab﹣4a﹣b+1＝0（a＞1），则（a+1）（b+2）的最小值为　 　． 21.某摩天轮示意图如下图所示，其半径为，最低点与地面距离为，转动一圈若该摩天轮上一吊箱视为质点从点出发，按顺时针方向匀速旋转，则吊箱第次距离地面时，所经历的时长为          单位： 22.函数，若函数有四个不同的零点，，，，则的取值范围是          ． 四、解答题：（本题共3小题，共37分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 23.本小题0分 设全集为，已知集合，． (1) 当时，求 (2) 若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 24.本小题分 已知函数的最大值为， 求常数的值； 求函数的单调递减区间； 求使成立的的取值集合． 25.本小题分 悬链线是两端固定的一条粗细与质量分布均匀、柔软而不能伸长的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状如障碍物上悬挂的铁链和悬挂在空中的电线都是悬链线形状。双曲余弦函数的图象的形状就是一种特殊的悬链线定义双曲余弦函数为，双曲正弦函数为． 求证：为定值． 设函数， 判断的单调性，并用定义证明 若对于，恒成立，求实数的取值范围． 鹤壁高中高一年级摸底考试数学答案和解析 1、 单选 1--5BBCDB 6--10ACCDC 11--15CDCCC 2、 多选 16.【答案】 17.【答案】  18.【答案】  3、 填空 19【答案】﹣2 20【答案】27 21【答案】40 22【答案】  4、 解答 23.【答案】当时，，或， 又因为，则或．----4分 因为“”是“”成立的充分条件，则， 集合，， 当时，，即符合题意； 当时，，解得：．综上所述，实数的范围是 ---10分 24.【答案】函数， 化简得： ． 的最大值为，，解得：．---------4分 由可得， 根据三角函数的性质可得：， 解得： 的单调递减区间为，．--------8分 由题意，即，可得：， ，解得：成立的的取值范围是．------12分 25. 【答案】解：证明：因为 ， 所以是定值．-------------3分 ． 函数在上单调递增． 证明如下：任取，，且， 则 因为，所以，即．又因为，，， 所以，即所以函数在上单调递增．-------------------7分 函数的定义域为，因为，都有，且，所以函数为奇函数．因为，所以，因为为奇函数，所以．由知，函数在上单调递增， 所以，--------------------10分 因为，所以，所以． 所以，设，， 则，， 所以，设， 则在上单调递增，，所以． 所以实数的取值范围是． -------------------------15分 学科网（北京）股份有限公司 $$■ 鹤壁高中高一年级摸底考试数学 鲜答题：（本题共归小愿。共3分） 答题卷 23.10分3 姓名： 班饭： 考垢/麻位号： 号 生意事项 1西调将老名.销面.考场、程与回 号请可清楚 0 10 工青残通养延.多观使用口地请块，能 1L1111 安时博棒支擦干净。 11 21 21 1,多修在通可对应程答道也域内作香，模西 t3 作脑人城不写尤骑 正城州边■ 镜老榕记口 [ 客规愿(115为单选愿：16-13为多速题) 141 [81 ICE DE Ah】1【ID1 II CAI 18](CI 19] 1ELAf®1IC2D 21目t1ICY(Dl 71h】t111L I2GA11B]1C】1B月 1LAl [81 ICi (D 3 [AJ EN]ED] MI]I][c】[D LA (n)fc】 4aIt[口D 9 LI IN][6]LP] 1ttA1B】c1a [4间ICo aA】I](c]I 1s1)C0 满空愿：《本丽共4小愿。每小丽5分，共0分) I ■ 因囚■ 囚囚■ 第1美其4夷 第2到其4则 ■ ■ 24.12分1 ▣ 25.15分1 I I I I 1 ■ 日■囚 囚■回 ■ 前谢其4实 算4到其4士