【专项练】旋转手拉手模型-苏科版八年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 旋转手拉手模型 1．某数学兴趣小组在探究“手拉手”模型时，等边三角形 和 按如图 1摆放．连接 ， ，延长 交 于点 ，连接 ，保持 不动，将 绕点 旋转． 【初步探究】（1）如图 2，当点 ， 重合时，请写出 ， ， 之间的数量关系并加以 证明： 【深入探究】（2）如图 1，当点 ， 不重合时，（ ）中的结论是否仍然成立？若成立，请 给出推理过程；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】（3）如图 3，当 和 都是等腰直角三角形， ．连接 ， ，延长 交 于点 ，连接 ，试探究 ， ， 之间的数量关系，并说明理由． 【推广应用】（4）如图 ，在 中，若 ．连接 ， 、延长 交 于点 ，连接 ，请直接写出 ， ， 之间的数量关系：________． 2．【提出问题】 如图 1，等腰直角三角形 中， ， ，点 D 为 上一点，将线段 绕 点 D 逆时针旋转 至 ，连接 ， ，探究 ， ， 之间的数量关系． 【分析问题】 小明在思考这道题时，想到了老师讲过的“手拉手”模型，便尝试着过点 D 作 的垂线与 相 交于点 F（如图 2），通过证明 ，最终探究出 ， ， 之间的数量关系． （1）根据小明的思路，补全 的证明过程； （2）直接写出 ， ， 之间的数量关系：______； 【拓展思考】 （3）如图 3，延长 、 相交于点 M，点 N 是 的中点，若 M，D，N 三点共线时，求线 段 的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 3．在 中， ， ， ，将 绕点 B 顺时针旋转一定的角度 得到 ，点 A，C 的对应点分别是 D，E，连接 ． (1)如图 1，当点 E 恰好在 上时，求 的大小； (2)如图 2，若 ，点 F 是 的中点，判断四边形 的形状，并证明你的结论． (3)如图 3，若点 F 为 中点，直接写出 的最大值． 4．如图，将 绕点 A 顺时针旋转得到 ，点 B，C 的对应点分别为 N，M． (1)如图 1，当点 N 落在 的延长线上时，且 ， ，求 的长； (2)如图 2， 绕点 A 顺时针旋转 得到 ，延长 交 于点 D，使得 ，连 接 ，猜想线段 ，CD 之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图 3，连接 ，点 R 为 的中点，连接 ．若 ， ，在旋 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 转过程中，求出 的最小值；若不存在，请说明理由 5．课题学习：三角形旋转问题中的“转化思想” 【阅读理解】 由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来， 则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，是三角形旋转中的一个重要的“基本 图形”，这个模型称为“手拉手模型”． 当发现题目的图形“不完整”时，要通过适当的辅助线将其补完整．将“非基本图形”转化为“基 本图形”． 【方法应用】 (1)如图 1，在等腰 中， ， ，点 D 在 内部，连接 ，将 绕点 A 顺时针旋转 90°得到 ，连接 ， ， ．请直接写出 和 的数量关系：__________， 位置关系：__________； (2)如图 2，在等腰 中， ， ， ，连接 ，将 绕点 A 顺时针 旋转 得到 ，连接 ， ， ，取 中点 M，连接 ． ①当点 D 在 内部，猜想并证明 与 数量关系和位置关系； ②当 B，M，E 三点共线时，请直接写出 的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 旋转手拉手模型 1．（1） ，证明见解析（2）成立，理由见解析（3） ，理由见解 析（4） 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质； （1）证 即可求解； （2）作 交线段 于点 M，证 得 ，再证 得 ， ，即可求解； （3）作 交线段 于点 N，证 得 ，再证 得 ， ，进一步可证 ，即可求解； （4）作 交线段 于点 ，证 得 ，再证 得 ， ，进一步可证 ，即可求解． 【详解】 解：（1） ，理由如下： ∵ 和 都是等边三角形，点 ， 重合 ∴ ， ， ∵ ， ∴ ∴ ∴ ∵ ， ∴ （2）成立，作 交线段 于点 M 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 ∵ 和 都是等边三角形 ∴ ， ， ∴ 即 ∴ ∴ ∵ ∴ 即 ∴ ∴ ， ∵ ， ∴ 是等边三角形 ∴ ， ∴ （3） ，理由如下： 作 交线段 于点 N， ∵ 和 都是等腰直角三角形 ∴ ， ， ∴ 即 ∴ ∴ ∵ ∴ 即 ∴ ∴ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， ∴ ∴ （4） ，理由如下： 作 交线段 于点 ， ∵ 中， ． ∴ ， ∴ 即 ∴ ∴ ∵ ∴ 即 ∴ ∴ ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 ∴ ∴ ∴ 2．（1）见解析（2） （3） 【分析】（1）如图 2中，过点 D作 的垂线与 相交于点 F，根据 证明三角形全等即 可； （2）利用全等三角形的性质证明即可； （3）过点 D作 于点 H，证明 ，设 ，构建方程求解． 【详解】解：（1）证明：如图 2中，过点 D作 的垂线与 相交于点 F． ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ∴ ； （2）结论： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 理由： 是等腰直角三角形， ， ∵ ， ， ． 故答案为： ； （3）如图 3中，过点 D作 于点 H． 如图 2中，由（1）可知 ， ， 如图 3中， ， ， ， ， ， ， ∵M，D，N三点共线， 垂直平分线段 ， ， ， ， ， ， 设 ，则 ， ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 ， ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定 和性质，角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用 辅助线，构造全等三角形解决问题． 3．(1) (2)四边形 是平行四边形，证明见解析 (3)4 【分析】（1）由旋转的性质可得 ， ， ，由等腰三角 形的性质可求 ，即可求解； （2）由旋转的性质可得 ，由“ ”可证 ，可得 ，即可求解； （3）连接 ，通过证明点 A、点 C、点 B、点 F四点共圆，点 B，点 D，点 F，点 E 四点共圆，可得 ， ，推导出点 A、点 C、点 B、点 F 四点共圆，由直角三角形的性质可求 ，由圆中直径最大可求解． 【详解】（1）解：∵ 是由 旋转得到， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ ； （2）解：四边形 是平行四边形，理由如下： ∵F是 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 是由 旋转 得到， ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 ， 为等边三角形， ， 在 和 中， ， ， ， ∵ ， ∴四边形 是平行四边形； （3）解：如图 3，连接 ， ∵将 绕点 B顺时针旋转一定的角度α得到 ， ， ∵F为 中点， ， ， 而 ， ∴点 A、点 C、点 B、点 F四点共圆， 在 中， ， ， ∵点 A、点 C、点 B、点 F四点共圆， ， 是直径， 最大值为 4． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，圆的有关知识， 平行四边形的判定，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 4．(1)16 (2) ，证明见解答过程 (3)在旋转过程中， 存在最小值 2 【分析】（1）根据旋转的性质得到 ，利用勾股定理求得 ，故 的长 为 16； （2）在 上取点 Q，使 ，连接 ，由旋转的性质得到： ，得 是等边三角形，证明 ，可得 ，即可得 ， 由 ，可得 ，从而可证 ，得 ，故 ； （3）过 B作 交MC延长线于 P，连接 ，由旋转的性质得到 ，证得 ，得 ，从而 ，即可证 ，可知 G是 中点， ，要使 GR最小，只需 最小，此时 N、 C、A共线， 的最小值为 ，故 最小为 ． 【详解】（1）解：∵将 绕点 A顺时针旋转得到 ， ， ， ， ， ， ； （2）解： ，证明如下： 在 上取点 Q，使 ，连接 ，如图： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 由 绕点 A顺时针旋转 得到 得： ， 是等边三角形， ， ， 在 中， ， 由旋转性质知 ， ， ， ， ， ，即 ， 由旋转性质知 ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：在旋转过程中， 存在最小值 2，理由如下： 过 B作 交MC延长线于 P，连接 ，如图： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 绕点 A顺时针旋转得到 ， ， ， 而 ， ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ，即 G是 中点， ∵点 R为 的中点， ∴ 是 的中位线， ， 要使 最小，只需 最小， 而 ， ∴N、C、A共线， 的最小值为 ， ∴ 最小为 ． 【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及全等三角形判定与性质，勾股定理及应用，三角形 中位线定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 5．(1) ， (2)① ， ；② 或 【分析】（1）证明 得 ， ，再延长 交 于 F，证明 即可得 ． （2）①过点 A作 交 延长线于 N，连接 ，证明 是 的中位线，根据中位 线性质得 ， ，再由（1）可得， ， ，即可得出结论． ②分两种情况：当点 E在 延长线上，B，M，E三点共线时，当点 E在线段 上，B，M， E三点共线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：由旋转可得 ， ∴ ∵ ∴ 在 和 中， ， ∴ ∴ ， ， 延长 交 于 F，如图， ∵ ∴ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 ∴ ∴ ， ∴ ． （2）解：① ， 过点 A作 交 延长线于 N，连接 ，如图， ∵等腰 中， ， ， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵∠ACB＝90°， ∴ ∴ ∵点 M是 和中点， ∴ ， ， 由（1）可得， ， ， ∴ ， ． ②当点 E在 延长线上，B，M，E三点共线时，如图，过点 A作 于 F， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 ∵等腰 中， ， ， ∴ 由旋转可得 ， ∴ ， ∵ ∴ ∴ ， ∴ ， ∴ ， 由①知 ， ∴ ； 当点 E在线段 上，B，M，E三点共线时，如图，过点 A作 于 F， 同法可得 ， ， ， ∴ 由①知 ， ∴ ； 综上，当 B，M，E三点共线时， 的长度为 或 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三位线定理，勾股定理，旋转性质．本 题属旋转综合探究题目，熟练掌握相差性质与判定是解题的关键．