【专项练】旋转半角模型-苏科版八年级下册期中、期末专项（初中数学）

旋转半角模型 1．【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之 为半角模型．截长补短法是解决这类问题常用的方法． 如图 1，在正方形 中，以 A为顶点的 ， 与 分别交于 E、 F两点，为了探究 之间的数量关系，小明的思路如下： 如图 2，延长 到点 H，使 ，连接 ，先证明 ，再证明 ．从而得到 之间的数量关系． (1)提出问题： 之间的数量关系为________________． (2)知识应用：如图 3， ， ，以 A为顶点的 ， ， 与 分别交于 E、F两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立， 请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)知识拓展：如图 4，在四边形 中， ， ， ． 与 互补， 与 分别交于 E、F两点，且 ，请直接写出 的 周长 ________________．（用含 a、b、c的式子表示．） 2．如图 1：在四边形 ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝ADC＝90°，E、F 分别是 BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段 BE，EF，FD之间的数量关 系． （1）小王同学探究此问题的方法是：延长 FD到点 G，使 DG＝BE，连接 AG，先 证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，即可得出 BE，EF，FD之间的数量关 系，他的结论应是 ． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的 几何模型称为半角模型． 拓展 （2）如图 2，若在四边形 ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是 BC， CD上的点，且∠EAF＝ ∠BAD，则 BE，EF，FD之间的数量关系是 ．请证明你 的结论． 实际应用 （3）如图 3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西 30°的 A处， 舰艇乙在指挥中心南偏东 70°的 B处，且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指 令后，舰艇甲向正东方向以 60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东 50°的方向以 80海里小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 E，F 处，且两舰艇之间的夹角为 70°，试求此时两舰艇之间的距离是 海里（直接写出 答案）． 3．问题背景：“半角模型”问题．如图 1，在四边形 中， ， ， ，点 E，F分别是 上的点，且 ，连接 ，探究线段 之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长 到点 G．使 ．连结 ，先证明 ，再证明 ，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图 2，在四边形 中， ， ，E、F分别是 边 上的点，且 ，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立， 请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图 3，在四边形 中， ， ，E、F分别是 边 延长线上的点，且 ，请探究线段 具有怎样的数 量关系，并证明． 4．【问题发现】如图 1，正方形 （四边相等，四个内角均为 ）中， 、 分别在边 、 上，且 ，连接 ，这种模型属于“半角模型”中的一类， 在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．大致思路：巧妙地通过辅 助线在 边向外构造 ，使得 ，进而证出 度数，最后证明 ，即可得出结论．请补充辅助线的作法，并写出完整证明过程． （1）延长 到点 G，使 ，连接 ． （2）求证： ． 【问题应用】如图 2，在四边形 中， ，以 A为顶点的 分别交 于 E、F，且 ，求五边形 的周长 5．如图 1，四边形 是正方形，E，F分别在边 和 上，且 （此 时 ），我们把这种模型称为“半角模型”；小明为了解决线段 之间的关系，将 绕点 A顺时针旋转 后（如图 2）解决了这个问题． (1)写出线段 之间的数量关系，并说明理由． (2)如图 3，等腰 中， ， ，点 E，F在边 上，且 ， 请写出 之间的数量关系，并说明理由． 6．半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相 等．通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等或 相似三角形，弱化条件，变更载体，而构建模型，可把握问题的本质． (1)问题背景：如图 1，在四边形 中， ， ， ， E、F分别是 、 上的点，且 ．探究图中线段 ， ， 之间的数 量关系； (2)探索延伸：如图 2，若在四边形 中， ， ．E、F分别 是 、 上的点，且 ，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)结论应用：如图 3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西 的 A处，舰艇乙在指挥中心南偏东 的 B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接 到行动指令后，舰艇甲向正东方向以 60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东 的方向以 80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别 到达 E、F处，且两舰艇与指挥中心 O之间的夹角 ，试求此时两舰艇之 间的距离； (4)能力提高：如图，等腰直角三角形 中， ， ，点 M、N在 边 上，且 ，若 ， ，试求出 的长． 7．如图 1，四边形 是正方形， 分别在边 和 上，且 （此时 ），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋 转是一种常用的方法．小明为了解决线段 之间的关系，将 绕点 A 顺时针旋转 后解决了这个问题． (1)①请直接写出线段 之间的关系___________． ②若正方形 边长为 12，点 E为 中点，则 ________． (2)如图 3，等腰直角三角形 ，点 E、F在边 上，且 ， 请写出 之间的关系，并说明理由． (3)如图 4，在 中， ，点 在边 上，且 ， 当 时，则 的长为_________． 8．综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问 题．若四边形 是正方形，M，N分别在边 上，且 ，我们称 之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图 1，将 绕点A顺时针旋转 ，点D与点 B重合，得到 ， 连接 ．用等式写出线段 的数量关系，并说明理由； (2)【类比探究】小启改变点的位置后，进一步探究：如图 2，点 M，N分别在正方 形 的边 的延长线上， ，连接 ，用等式写出线段 的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】李老师提出新的探究方向：如图 3，在四边形 中， ， ， ，点 N，M分别在边 上， ，用等式 写出线段 的数量关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 旋转半角模型 1．(1) (2)（1）中的结论还成立，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，正确作出辅助线是解决此题的 关键． （1）延长 到点 H，使 ，连接 ，先证明 ，再证明 ， 即可解答； （2）延长 到点 M，使 ，连接 ，先证明 ，再证明 ，即 可解答； （3）延长 到点 P，使 ，连接 ，先证明 ，再证明 ，可得 ，从而得到 的周长 ，即可解答． 【详解】（1）解：延长 到点 H，使 ，连接 ， ∵四边形 是正方形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 ∵ ， ∴ ； 故答案为： （2）解：（1）中的结论还成立，证明如下： 延长 到点 M，使 ，连接 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ； （3）解：如图，延长 到点 P，使 ，连接 ， ， ∴ ， ∵ ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ 的周长 ． 故答案为： 2．（1）EF＝BE+FD；（2）EF＝BE+FD，证明见解析；（3）168海里 【分析】如图 1，延长 FD到点 G．使 DG＝BE．连结 AG，证明△ABE≌△ADG，根据全等三 角形的性质得到 AE＝AG，证明△AEF≌△AGF，得 EF＝FG，证明结论； 如图 2，延长 FD到点 G．使 DG＝BE．连结 AG，证明△ABE≌△ADG，根据全等三角形的性 质得到 AE＝AG，证明△AEF≌△AGF，得 EF＝FG，证明结论； 如图 3，连接 EF，延长 AE、BF 相交于点 C，根据题意得到∠EOF＝ ∠AOB，OA＝OB， ∠OAC+∠OBC＝180°，根据图 2的结论计算． 【详解】解：如图 1，EF＝BE+DF， 理由如下：在△ABE和△ADG中， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∵∠EAF＝ ∠BAD， ∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF， ∴∠EAF＝∠GAF， 在△AEF和△GAF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝FG， ∵FG＝DG+DF＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF； 故答案为 EF＝BE+DF； 如图 2，EF＝BE+DF， 理由：延长 FD到点 G．使 DG＝BE．连结 AG， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 ∵∠EAF＝ ∠BAD， ∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF， ∴∠EAF＝∠GAF， 在△AEF和△GAF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝FG， ∵FG＝DG+DF＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF； 如图 3，连接 EF，延长 AE、BF相交于点 C， ∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF＝70°， ∴∠EOF＝ ∠AOB， ∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论 EF＝AE+BF成立， 即 EF＝1.2×（60+80）＝168（海里）． 故答案为：168． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证 △AEF≌△AGF是解题的关键． 3．(1) (2)成立，理由见解析 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 (3) ，证明见解析 【分析】（1）延长 到点 G．使 ．连接 ，利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）延长 至 M，使 ，连接 ．证明 ，由全等三角形的性质得出 ． ，由全等三角形的性质得出 ，即 ，则可 得出结论； （3）在 上截取 ，使 ，连接 ．证明 ．由全等三角形的性质得 出 ．证明 ，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）解： ． 延长 到点 G．使 ．连接 ， ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∴ ． 又∵ ， ∴ ． ∴ ． ∵ ． ∴ ． 故答案为： ； （2）解：（1）中的结论 仍然成立． 证明：如图②中，延长 至 M，使 ，连接 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 ∵ ， ∴ ， 在 与 中， ， ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ，即 ． 在 与 中， ， ∴ ． ∴ ，即 ， ∴ ； （3）解：结论： ． 证明：如图③中，在 上截取 ，使 ，连接 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 ∵ ， ∴ ． 在 与 中， ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅 助线，构造全等三角形解决问题． 4．（1）DF；（2）见解析；问题应用： 【分析】[问题发现]（1）根据“巧妙地通过辅助线在 边向外构造 ，使得 ”可 知，我们要做辅助线，使得 ，则可得出答案； （2）结合正方形的性质，证明 即可； [问题应用]根据旋转的性质得到 ， ， ， ， ，推出 、 、 三点共线，根据全等三角形的性质即可得到 ，据此求 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 解即可． 本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各 性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 【详解】解：[问题发现]（1）依题意，延长 到点 ，使 ，连接 ， 故答案为： ； （2）证明：由（1）得 ， 四边形 是正方形， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ． [问题应用]依题意，将 绕点 顺时针旋转 得到 ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 ， ， ， ， ， ， 、 、 三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴五边形 的周长为 故答案为： ． 5．(1) ，理由见解析 (2) ，理由见解析 【分析】（1）证明 即可得线段 之间的数量关系； （2）将 绕点 A顺时针旋转 得到 ，连接 ，则 ，则由勾股定理得 ；证明 ，得 ，即可得线段 之间的数量关系． 【详解】（1）解： ；理由如下： 四边形 是正方形， ； 绕点 A顺时针旋转 后得到 ， ， ； ， 即点 G在 的延长线上； ， ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 ， 即 ； ， ， ， 即 ； 故线段 之间的数量关系为： ； （2）解： ；理由如下： ， ， ； 把 绕点 A顺时针旋转 后得到 ，如图， 则 ， ； ， 即 ， ； ， ， ， 即 ； ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定 与性质及勾股定理，旋转三角形是解题的关键． 6．(1) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 (2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析 (3)210海里 (4) 【分析】（1）延长 到点 G，使 ．连接 ，证明 ，根据全等三角形 的性质得到 ，证明 ，得 ，证明结论； （2）延长 到点 G．使 ．连接 ，证明 ，根据全等三角形的性质得 到 ，证明 ，得 ，证明结论； （3）连接 ，延长 、 相交于点 C，根据题意得到 ， ， ，根据图 2的结论计算； （ 4）作 ，使 ，连接 ， ，先证明 ，再证明 ，再运用勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）解： ；理由如下： 如图 1，延长 到点 G，使 ．连接 ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， 即 ， 在 和 中， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ； （2）解：（1）中的结论仍然成立，即 ．理由： 如图 2，延长 到点 G，使 ．连接 ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， 即 ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 ∵ ， ∴ ； （3）解：如图 3，连接 ，延长 、 相交于点 C， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论 成立， 即 （海里）． ∴此时两舰艇之间的距离为 210海里． （4）解：如图 4，作 ，使 ，连接 ， ， ∵等腰直角三角形 中， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 ∴ ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， 在 中， ， ∴ ． 【点睛】本题是三角形与四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性 质，直角三角形性质，勾股定理等，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 7．(1)① ；② ①② (2) ，理由见解析； (3) 【分析】（1）①利用旋转的性质，证明 ，得到 ，等量代换即可证明 ；②利用①中的结论，结合勾股定理即可求解； （2）把 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，根据旋转的性质，可知 ， ， ， ，在 中， ，可求得 ，所以 ，证 ，利用 得到 ； （3）同(2)方法，把 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ．可证明∶ ．在 中， ， ， ，过点 作 ，垂足为 ，利用 直角三角形性 质和勾股定理求出 即可． 【详解】（1）解：① ， 理由如下：由旋转可得 ， ， ， ， 四边形 为正方形， ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 ， 三点共线， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ； 故答案为： ； ② 正方形 边长为 12，点 E为 中点， ， 设 ， 则 ， 在 中， ， ， 解得 ， 在 中， ， 故答案为： ； （2）解：猜想∶ ， 理由如下： 把 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ， 如图 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 ， ， ， ， ， ， ，即 ， ， 又 ， ， ， 即 ， 在 和 中， ， ， ， ； （3）解：把 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ， 如图 4 ， ， ， ， ， ， ， ，即 ， 又 ， ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 18 在 和 中， ， ， ， 过点 作 ，垂足为 ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是∶ 利用旋转转化线段关系，将分散的条件集中到同一个三角形求解． 8．(1) ；理由见解析 (2) ；理由见解析 (3) ；理由见解析 【分析】（1）由旋转的性质和正方形的性质，先证 E，B，C三线共线．再证 ， 进而证明 ，推出 ，可得 ． （2）在 上取 ，连接 ．依次证明 ， ，可得 ． （3）将 绕点 A逆时针旋转 得 ，先证 E，D，C三点共线，由（1）同理可得 ，进而可得 ． 【详解】（1）解： ．理由如下： 由旋转的性质，可知 ， ， ， ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 19 ∴ ， ∴E，B，C三线共线． ∵ ， ∴ ． 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． （2）解： ．理由如下： 如图，在 上取 ，连接 ． ∵ ， ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 20 ∵ ， ∴ ． （3）解： ．理由如下： 如图，将 绕点 A逆时针旋转 得 ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴E，D，C三点共线． 由（1）同理可得 ， ∴ ． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用“半角模 型”，正确作出辅助线是解题的关键．