【专项练】特殊平行四边形的最值问题-苏科版八年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 特殊平行四边形的最值问题 1．B 【难度】0.94 【知识点】四边形中的线段最值问题 【分析】作点 E关于直线 AC的对称点 E′，连接 E′F，E′B，则 E′F的长即为 PE+PF的最小值， 由图可知，当点 F与点 B重合，BE′⊥AD时 PE PF 的值最小． 【详解】解：∵四边形 ABCD是菱形， ∴AB∥DC， ∵ 120ABC  ， ∴∠DAB=180°-∠ABC=180°-120°=60°， 作点 E关于直线 AC的对称点 E′，连接 E′F，E′B，则 E′F的长即为 PE+PF的最小值，由图可 知，当点 F与点 B重合，BE′⊥AD时 PE PF 的值最小， 在 Rt△ABE′中， ∵AB=2，∠DAB=60°， ∴E′F=BE′=AB•sin∠DAB= 32 3 2   ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的知识点是菱形的性质以及利用点的对称求最值，根据题意判断出当点 F与点 B重合，BE′⊥AD时 PE PF 的值最小，是解此题的关键． 2．A 【难度】0.85 【知识点】四边形中的线段最值问题、用勾股定理解三角形 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，点 B关于 AC的对称点是点 D，连接 ED，EF+BF 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 最小值等于 ED的长，然后解直角三角形即可求解． 【详解】解：如图，连接 BD， ∵菱形 ABCD中，∠DAB=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∵在菱形 ABCD中，AC与 BD互相垂直平分， ∴点 B、D关于 AC对称， 如图，连接 ED，则 ED的长就是所求的 EF+BF的最小值， ∵E为 AB的中点，∠DAB=60°， ∴DE⊥AB， ∴ED= 2 2 2 26 3 3 3AD AE    ， ∴EF+BF的最小值为3 3． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质和解直角三角形，关键是判断出 ED的长就是所求的 EF+BF的最小值． 3．D 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、四边形中的线段最值问题 【分析】由正方形的对称性可知点 B与 D关于直线 AC对称，连接 BM交 AC于 N′，N′即为所 求在 Rt△BCM中利用勾股定理即可求出 BM的长即可． 【详解】∵四边形 ABCD是正方形， ∴点 B与 D关于直线 AC对称， ∴DN=BN， 连接 BD，BM交 AC于 N′，连接 DN′， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 ∴当 B、N、M共线时，DN+MN有最小值，则 BM的长即为 DN+MN的最小值， ∴AC是线段 BD的垂直平分线， 又∵CD=4，DM=1 ∴CM=CD-DM=4-1=3， 在 Rt△BCM中，BM= 2 2 2 23 4 5CM BC    故 DN+MN的最小值是 5． 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出 D关于直线 AC的对称 点，由轴对称及正方形的性质判断出 D的对称点是点 B是解答此题的关键． 4．C 【难度】0.85 【知识点】四边形中的线段最值问题、（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】先找到点 A关于 OB的对称点 C，连结 CD交 OB于点 P′，当点 P运动到 P′时 PA+PD 最短，在 Rt△COD中用勾股定理求出 CD即可． 【详解】正方形 ABCO， A、C两点关于 OB对称， 连接 CD，交 OB于 P， CP AP   ， AP P D CP PD CD       ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 当 C、P、D三点共线时，PA PD 取最小值， 2OD  ， 6AB CO  ， 2 22 6 2 10CD    ， 故选择：C． 【点睛】本题考查动点问题，掌握正方形的性质，与轴对称的性质，三角形三边关系，勾股定 理，会利用对称性找对称点，会利用 P、C、D三点一线最短，会用勾股定理求出最短距离是 解题关键． 5．B 【难度】0.65 【知识点】含 30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、四边形中的线段最值问题 【分析】作点 B关于 AD的对称点 B，过点B作 B G BD  于点G，交 AD于点H ，即可得 到BE EF 的最小值为BG ，再解直角三角形即可解答． 【详解】解：作点 B关于 AD的对称点 B，过点B作 B G BD  于点G，交 AD于点H ，如 图： 由对称性可得 B E BE  ， BE EF B G   ， 当B，E，F 三点共线，且 B F BD  时，即点E在点H 处，点F 在点G处时，BE BF 的值最小． 6AB  ， 6 3BC  ， 12BB  ，  226 6 3 12BD    ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 30ADB  ， 90ABD BB G ABD ADB        ， 30BB G ADB    ， 3 6 3 2 BBB G      ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查矩形的性质和线段和最小值问题，勾股定理，含 30度的直角三角形的 性质，解题的关键在于作出适当的辅助线． 6．D 【难度】0.65 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、四边 形中的线段最值问题 【分析】过点D作DE AB 于点E，连接BD，根据垂线段最短，此时DE最短，即 MA MB MD  最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长，进而可得结论． 【详解】解：如图，过点D作DE AB 于点E，连接BD， 菱形 ABCD中， 120ABC  ， 60DAB  ， AD AB DC BC   ， ADB 是等边三角形， 30MAE  ， 2AM ME  ， MD MB ， 2 2 2MA MB MD ME DM DE      ， 根据垂线段最短，此时DE最短，即MA MB MD  最小， 菱形 ABCD的边长为 6， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 2 2 2 26 3 3 3DE AD AE      ， 2 6 3DE  ． MA MB MD  的最小值是6 3． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性 质，等边三角形的判定与性质． 7．B 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、四边形中的线段最值问题 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理等知识．确 定和最小值时的情况是解题的关键． 作点 E关于 AC的对称点 E，连接PE ，过 F作FG AD 于点 G，当 E、P、F三点共线时， PE PF PE PF EF    ，此时 PE PF 最小，E F 即为所求，由题意确定 E在边 AD上， 证明四边形CDGF是矩形，则 5GE  ，由勾股定理得， 2 2E F GE GF   ，计算求解即 可． 【详解】解：如图，作点 E关于 AC的对称点 E，连接PE ，过 F作FG AD 于点 G， PE PE  ， AE AE PE PF PE PF   ， 当 E、P、F三点共线时，PE PF PE PF EF    ，此时 PE PF 最小，E F 即为所求， 四边形 ABCD是正方形， 45DAC BAC    ， 点 E在边 AD上， GF AD∵ ， 90D BCD   ， 四边形CDGF是矩形， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 GD CF  ，  7AE CF  ，  7AE GD   12 ( ) 12 7 5GE GD AE       ， 由勾股定理得， 2 2 2 25 12 13E F GE GF      ， PE PF 的最小值是 13 故选：B． 8．C 【难度】0.65 【知识点】四边形中的线段最值问题、与三角形中位线有关的求解问题、利用平行四边形的性 质求解、含 30度角的直角三角形 【分析】如图，取 AD的中点 M，连接 CM、AG、AC，作 AN⊥BC于 N．首先证明∠ACD＝ 90°，求出 AC，AN，利用三角形中位线定理，可知 EF＝ 12 AG，求出 AG的最大值以及最小值 即可解决问题． 【详解】解：如图，取 AD的中点 M，连接 CM、AG、AC，作 AN⊥BC于 N． ∵四边形 ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°， 2 8AD AB  ∴∠D＝180°−∠BCD＝60°，AB＝CD＝4， ∵AM＝DM＝DC＝4， ∴△CDM是等边三角形， ∴∠DMC＝∠MCD＝60°，AM＝MC， ∴∠MAC＝∠MCA＝30°， ∴∠ACD＝90°， ∴AC＝4 3 在 Rt△ACN中，∵AC＝4 3，∠ACN＝∠DAC＝30°， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 ∴AN＝ 12 AC＝2 3 ∵AE＝EH，GF＝FH， ∴EF＝ 12 AG， ∵点 G在 BC上，∴AG的最大值为 AC的长，最小值为 AN的长， ∴AG的最大值为 4 3，最小值为2 3， ∴EF的最大值为2 3，最小值为 3， ∴EF的最大值与最小值的差为： 3 故选 C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角 三角形 30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点 是证明∠ACD＝90°，属于中考选择题中的压轴题． 9．3 5 3 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和 SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线 段长、四边形中的线段最值问题 【分析】根据“边角边”证明 ABE DAF△ ≌△ ，根据全等三角形对应角相等可得 DAF ABE   ，然后求出 90APB  ，取 AB的中点O，连接OP，根据直角三角形斜边 上的中线等于斜边的一半可得点 P到 AD的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得 D、 P、O三点共线时线段DP的值最小，然后根据勾股定理列式求出DO即可． 【详解】解：四边形 ABCD是正方形， AB AD  ， 90BAD ADC   ， 在 ABE 和 DAF△ 中， AB DA BAE ADF AE DF       ， (SAS)ABE DAF△ ≌△ ， ABE DAF   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 90BAP ABP BAP DAF BAD          ， 90APB  ， 取 AB的中点O，连接OP，DP，则 1 1 6 32 2OP AB    ， 2 2 2 23 6 3 5OD AO AD      ， DP OD OP  ， 当D、 P、O三点共线时，DP取最小值为： 3 5 3DP OD OP    ， 故答案为：3 5 3 ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半的性质，勾股定理，确定出点 P到 AB的中点的距离是定值是解题的关键． 10．5 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、四边形中的线段最值问题 【分析】此题考查了正方形的性质，轴对称，两点之间线段最短和勾股定理，连接 BD交 AC 于点 O，连接 ED与 AC交于点 P，连接PB，结合两点之间线段最短，即可求解． 【详解】如图，连接BD交 AC于点O，连接ED与 AC交于点 P，连接 PB， ∵四边形 ABCD是正方形， ∴BD AC ，且OB OD ， ∴BP PD ，则 BP EP ED  ，此时最短， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 ∵ 3AE  ， 1 3 4AD    ， ∴根据勾股定理得 2 2 2 2 2 23 4 25 5ED AE AD      ， ∴ 5ED BP EP   ， 即 BP EP 的最小值为：5， 故答案为：5． 11．17 【难度】0.65 【知识点】根据矩形的性质求线段长、四边形中的线段最值问题、求最短路径(勾股定理的应 用) 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，根据题意找到使所求线段的和最小时点的位置是 解题的关键． 作点D的对称点D¢，作点M 关于CD的对称点M ，连接DM ，D E ，FM ，过点M 作 AD 的垂线，交 AD的延长线于点H，推得当D¢，E， F ，M 在同一条直线上时，所求的 DE EF FM  最小，最小值即为DM 的长，根据矩形的性质可得 8HM   ，求得 15HD  ， 根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 【详解】解：作点D关于 AB的对称点D¢，作点M 关于CD的对称点M ，连接DM ，D E ， FM ， 则DE EF FM D E EF FM      ， ∴当D¢，E，F ，M 在同一条直线上时，所求的DE EF FM  最小，最小值即为DM 的 长． 过点M 作 AD的垂线，交 AD的延长线于点H ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 ∴ 8HM AB   ， ∵M 为 BC的中点， 6AD BC  ， ∴ 3MC CM DH   ， 6AD AD   ， ∴ 15HD HD DA AD     ， ∴ 2 2 2 215 8 17DM DH MH        ． ∴DE EF FM  的最小值是17． 故答案为：17． 12．5 2 【难度】0.65 【知识点】四边形中的线段最值问题、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、全等的 性质和 SAS综合（SAS） 【分析】连接 AE，证明  AED CGD SAS  ，可得 AE CG ，从而可得 DE CF CG FE CF AE     ，即当 A，E，F，C四点共线时，DE CF CG  的值最小， 即可得到结论． 【详解】解：如图，连接 AE， ∵四边形 ABCD和四边形DEFG是正方形， ∴ AD CD ，DG DE EF= = ， 90ADC EDG    ， ∵ 90ADE EDC   ， 90CDG EDC   ， ∴ ADE CDG   ， ∴  AED CGD SAS  ， ∴ AE CG ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 ∴DE CF CG FE CF AE     ， ∴当 A，E，F，C四点共线时，DE CF CG  的值最小，最小值为 AC的值， 如图， 此时， 2 25 5 5 2AC    故答案为：5 2． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及最值问题，作出辅 助线是解题的关键． 13．[问题原型]见解析；[问题应用]（1）7；（2） 4 5 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和 ASA（AAS）综合（ASA或者 AAS）、用勾股定理解三角形、根据 正方形的性质证明、四边形中的线段最值问题 【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、将军饮马问题， 此题综合性强，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． [问题原型]证明 BCE CDF ≌ 即可； [问题应用]（1）先证  SASEBC FCD ≌ ，得 BCE CDF  ，求证 90CGD  ，由 1 1 2 2 FCD DF CG CF CD S     ， 2 5CE DF  ，求得CG，则可得GH，即可由 FCD FHDCDHFS S S  四边形 得解； （2）连接 AF ，可证明 DAE ABF ≌ ，得DE AF ，则DE DF AF DF   ，延长 AB到 点K，使 4KB AB  ，连接KF、KD，则KF AF ，则DE DF KF DF   ，当D、 F 、K共线时最小，求解即可． 【详解】解：[问题原型]证明：如图，设CE与DF交于点 L， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 四边形 ABCD是正方形， 90EBC FCD    ，BC CD ， CE DF ， 90CLD  ， 90BCE DCE CDF      ， 在 BCE 和 中， EBC FCD BC CD BCE CDF         ，  ASABCE CDF ≌ ， CE DF  ． [问题应用]（1）解：四边形 ABCD是正方形， 4AB  ， 4BC CD AB    ， 90B FCD   ， AE BF ，E为 AB的中点， 1 2 2 BF AE BE AB     ， 2BE CF   ， 在 EBC 和 FCD 中， BE CF B FCD BC CD       ，  SASEBC FCD ≌ ， BCE CDF   ， 90DCE CDF DCE BCE BCD         ， 90CGD  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 CE DF  ，  1 1 2 2 FCD DF CG CF CD S     ， 2 2 2 22 4 2 5CE DF CF CD      ，  1 12 5 2 4 2 2 CG     ， 解得： 4 5 5 CG  ， H 为GE的中点， 1 1 4 5 3 52 5 2 2 5 5 GH EH GE              ， 1 1 3 52 4 2 5 7 2 2 5FCD FHDCDHF S S S         △ △四边形 ， 故答案为：7． （2）解：如图，连接 AF ， 4DA AB  ， 90DAE ABF   ， AE BF ， 在 DAE 和 ABF△ 中， DA AB DAE ABF AE BF       ，  SASDAE ABF ≌ ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 DE AF  ， DE DF AF DF    ， 延长 AB到点K，使 4KB AB  ，则 8AK  ， BC垂直平分 AK ， 连接KF、KD，则KF AF ， DE DF KF DF    ， 2 2 2 24 8 4 5DK AD AK     ， KF DF DK  ， 4 5DE DF   ， DE DF  的最小值是 4 5， 故答案为： 4 5． 14．(1)①详见解析；②1 (2) PEC 周长的最小值： 65 3 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、利用菱形的性质证明、根据正方形的性质与判定证明、四边 形中的线段最值问题 【分析】（1）①由正方形的性质和菱形的性质可得ND NC ， 90DNC  ， 180DMC DNC   ，即可解答； ②过点 N 作NQ CM 于点Q，NP MD 交MD的延长线于点 P，“AAS”可证 NPD NQC≌  ，所以 NPD NQCS S  ，即 MPNQDMCNS S 正方形四边形 ，由正方形的面积公式，即 可解答； （2）先证四边形 BEDE是正方形，利用勾股定理求出CE，CE，即可解答． 【详解】（1）证明：①如图 1中， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 四边形 ABCD是菱形， AC BD  ， 90DMC  ， 四边形CDEF是正方形， DF CE  ，DF CE ， 90DNC  ，ND NC ， 又 180DMC DNC    ， 四边形DMCN是“直等补”四边形； ②如图 1中，过点 N 作NQ CM 于点Q，NP MD 交MD的延长线于点 P， 90NQM NPD PMQ     ， 四边形MPNQ是矩形， 90PNQ DNC   ， 即 DNP DNQ CNQ DNQ    ， DNP CNQ  ， 在 NPD 和 NQC 中， NPD NQC PND QNC ND NC         ， (AAS)NPD NQC ≌△ △ ， NPD NQCS S △ △ ， NP NQ ， 四边形MPNQ是正方形， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17  2 21 1122 2MPNQDMCNS S MN    正方形四边形 ； （2） PEC 周长的最小值： 65 3 ； 延长DA到点F ，过 B作 BE AF  于点 E， 四边形 ABCD是“直等补”四边形， AB BC ，CD AB ， 90ABC  ， 180ABC ADC   ，即 90ADC  ， BE CD ， BE AF  ， 90BED  ， 90AE B  ， 四边形 BEDE是矩形， 90E BE  ， 又 90ABE ABE E BE       ， 90CBE ABE   ， ABE CBE  ， 在 ABE△ 和 CBE△ 中， 90AE B BEC ABE CBE AB BC              ， (AAS)ABE CBE ≌△ △ ， 4BE BE   ， 矩形 BEDE是正方形， PE PE  ， 4DE DE BE    ； ∵ PE PC PE PC CE     ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 18 即当点 C、P、 E三点共线时，PE PC 的最小值是CE， 在Rt BEC 中， 5BC  ， 4BE  ， 2 2 3CE BE CE    ， 7CD CE DE    ； 在Rt CDE 中， 7CD  ， 4DE  ， 2 2 2 27 4 65CE CD DE       ， PEC△ 周长的最小值为： 65 3CE CE    ； 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质， 勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 15．（1）；（2）GE BF ，理由见解析；（3）①是，理由见解析；②2 17 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质与判定证明、 四边形中的线段最值问题 【分析】（1）证明 ABE BCF△ △≌ 即可得出结论； （2）过点A作 AN GE∥ ，证明 (AAS)ABN BCF≌  ，由此可得 AN GE BF  ； （3）①如图 3，连接CH ，证明 (SAS)ABH CBH≌△ △ ，所以 BAH BCH  ，AH CH ； 由折叠可知， AH AH  ，NH NH  ，由四边形内角和和平角的定义可得 HNC NCH   ， 所以NH CH ，则NH CH AH AH NH     ，所以四边形 AHNH 是菱形，再由“有一 个角是直角的菱形是正方形”可得结论； ②作H Q BC  交CB的延长线于点Q，作 HF BC于点M ，可证明 (AAS)H QN NFH ≌  ， 由此可得H Q NF  ；易证 BHF 是等腰直角三角形，所以HF BF NF BN   ，则 NF QB QH   ，可得 45H BQ ABH     ，则 90H BD  ；作 P关于 BH 的对称点 P，则 PH P H   ，可得 2 2 PH AN PH AH P H AH AP            ，求出 AP 的值 即可得出结论． 【详解】解：（1） AE BF ， 90EMB  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 19 90FBC BEM   ， 四边形 ABCD是正方形， AB BC  ， 90ABC C    ， 90FBC BFC   ， BEM BFC  ， 在 ABE 和 中， ABC C BEM BFC AB BC         ， (AAS)ABE BCF ≌ ， AE BF  ． 故答案为：； （2）GE BF ，理由如下： 如图 2，过点A作 AN GE∥ ，交 BF于点H ，交 BC于点 N ， 90EMB NHB   ， 90FBC BNH   ， 四边形 ABCD是正方形， AD BC ∥ ， AB BC ， 90BAD ABC C      ， AD BC∥ ， AN GE∥ ， 四边形 ANEG是平行四边形， AN EG  ， 90C   ， 90FBC BFC   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 20 BNH BFC  ， (AAS)ABN BCF ≌  ， AN BF  ， AN EG ， GE BF  ． （3）①如图 3，连接CH ， 由（2）的结论可知， AE MN ， 四边形 ABCD是正方形， BD是正方形的对角线， 45ABD CBD   ， AB BC ， BH BH ， (SAS)ABH CBH ≌  ， BAH BCH  ， AH CH ， 由折叠可知， AH AH  ，NH NH  ， 180ABN AHN    ， 180BAH BNH   ， 180BNH HNC    ， BAH HNC  ， HNC NCH  ， NH CH  ， NH CH AH AH NH      ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 21 四边形 AHNH 是菱形， 90AHN  Q ， 菱形 AHNH 是正方形； ②如图 4，作H Q BC  交CB的延长线于点Q，作 HF BC于点M ， 90H QN HFB    ， 由上知四边形 AHNH 是正方形， H N HN  ， 90HNH  ， 2 2 AH AN  ， 90H NQ HNF HNF NHF      ， H NQ NHF   ，  (AAS)H QN NFH ≌  ， H Q NF  ，QN HF ； 45HBF   ， 90HFB  ， BHF 是等腰直角三角形， HF BF NF BN    ， QN QB BN  ， NF QB QH    ， 45H BQ ABH     ， 90H BD  ； 如图 4，作 P关于 BH 的对称点 P，则 PH P H   ，过点P作 PK AB 交 AB延长线于点 K， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 22 则 PBK△ 是等腰直角三角形， 2 2 PH AN PH AH P H AH AP             ，即当A，H ，P三点共线时， 2 2 PH AN  最小，最小值为 AP 的长． =6AB ， 6 2BD  ， 3BD BP ， 2 2BP BP   ， 2PK BK   ， 8AK  ， 2 22 8 2 17AP    ，即 2 2 PH AN  的最小值为 2 17 ． 故答案为： 2 17． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角 形的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握正方形 的性质和等腰直角三角 形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 特殊平行四边形的最值问题 1．如图，在菱形 ABCD中， 2AB  ， 120ABC  ，点 P，E，F 分别是线段 AC， AB， BC上的任意一点，则 PE PF 的最小值是（ ） A．1 B． 3 C．2 D．1 3 2．如图，在边长为 6的菱形 ABCD中， 60DAB  ，E为 AB的中点，F是 AC上的一动 点，则 EF BF 的最小值为（ ） A．3 3 B．6 C．3 D．3 2 3．如图，正方形 ABCD的边长为 4，点 M在 DC上，且 DM=1，N是 AC上一动点，则 DN+MN 的最小值为（ ） A．4 B．4 2 C． 2 5 D．5 4．如图，正方形OABC的两边在坐标轴上， 6AB  ， 2OD  ，点 P为 OB上一动点，PA PD 的最小值是（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 A．8 B．10 C． 2 10 D．3 5 5．如上图所示，矩形 ABCD， 6AB  ， 6 3BC  ，点E是边 AD上的一个动点，点F 是 对角线BD上一个动点，连接 BE，EF，则BE EF 的最小值是（ ） A．6 B．6 3 C．12 D．12 3 6．如图，已知菱形 ABCD的边长为 6，点M 是对角线 AC上的一动点，且 120ABC  ， 则MA MB MD  的最小值是（ ） A．3 3 B．3 3 3 C．6 3 D．6 3 7．如图，正方形 ABCD的边长为 12，点 E、F分别为 AB、BC上动点（E、F均不与端点重 合），且 7AE CF  ，P是对角线 AC上的一个动点，则 PE PF 的最小值是（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 ， A．12 B．13 C． 189 D．12 2 8．如图 ，在平行四边形 ABCD中 ， 120C   ，AB=4 ，AD=8 ， 点H、G分别是边 CD、BC上的动点．连接 AH 、HG ，点E为 AH 的中点 ，点F 为GH的中点 ，连接EF．则 EF的最大值与最小值的差为（ ） A．2 B． 2 3 2 C． 3 D． 4 3 9．如图，在边长为 6的正方形 ABCD中，若E，F 分别是 AD，DC边上的动点，AE DF ， AF 与 BE交于点 P，连接DP．则DP的最小值为 ． 10．正方形 ABCD中，点E在 AB上， 3AE  ， 1BE  ，点 P在 AC上， EP BP 的最小 值 ． 11．如图，在矩形 ABCD中， 8AB  ， 6AD  ，E，F 分别是 AB和DC上的两个动点，M 为 BC的中点，则DE EF FM  的最小值是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 12．如图，正方形 ABCD的边长为 5，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG， 连接CF、CG，当DE CF CG  的值最小时 ． 13．【问题原型】 如图 1，在正方形 ABCD中，CE DF ．求证：CE DF ． 【问题应用】 如图，在正方形 ABCD中， 4AB  ， E、F 分别是边 AB、 BC上的点，且 AE BF ． （1）如图 2，连接CE、DF交于点G，H 为GE的中点，连接DH ，FH ．当E为 AB的中 点时，四边形CDHF 的面积为 ； （2）如图 3，连接DE、DF，当点E在边 AB上运动时，DE DF 的最小值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 14．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图 形称为“角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题： (1)如图 1，以菱形 ABCD的一边CD为边向外作正方形CDEF，M 、 N 分别是菱形和正方 形的对角线交点，连接MN． 求证：四边形DMCN是“直等补”四边形． ②若 2MN  ，求四边形DMCN的面积． (2)如图 2，已知四边形 ABCD是“直等补”四边形，其中 5AB BC  ，CD AB ，过点 B作 BE CD 于点E且 4BE  ，连接BD，若点 P是线段BD上的动点，请你直接写出 PEC 周 长的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 15．问题情境：苏科版八年级下册数学教材第 94页第 19题第（1）题是这样一个问题： 如图 1，在正方形 ABCD中，点E、F 分别在边 BC、CD上，且 AE BF ，垂足为M ．那 么 AE与 BF相等吗？ （1）直接判断： AE BF（填“”或“ ” )； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 问题探究： （2）如图 2，在正方形 ABCD中，点E、F 、G分别在边 BC、CD和DA上，且GE BF ， 垂足为M ．那么GE与 BF相等吗？证明你的结论； 问题拓展： （3）如图 3，点E在边CD上，且MN AE ，垂足为H ，当H 在正方形 ABCD的对角线 BD 上时，连接 AN，将 AHN 沿着 AN翻折，点H 落在点H 处． ①四边形 AHNH 是正方形吗？请说明理由； ②若 6AB  ，点 P在 BD上， 3BD BP ，直接写出 2 2 PH AN  的最小值为 ．