【专项练】菱形的判定性质综合-苏科版八年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 菱形的判定性质综合 1．如图，在菨形 ABCD中，过顶点C作CE BC 交对角线BD于E点，已知 134A  ， 则 BEC 的大小为（ ） A．67 B．57 C．33 D．23 2．如图，在平行四边形 ABCD中，以点 A为圆心， AB长为半径画弧交 AD于点 F，再分别 以点 B、F为圆心，大于 1 2 BF的相同长为半径画弧，两弧交于点 P，连接 AP并延长交 BC于 点 E，连接EF．根据以上尺规作图的过程，下列结论不正确的是（ ） A． AE平分 DAB B． ABF△ 是等边三角形 C． EF CD D． AB BE 3．如图，在平行四边形 ABCD中，对角线 AC，BD相交于点 O， AB AD ．若点 E，F分 别为 AD， AO的中点，连接EF， 3EF  ， 2AF  ，则四边形 ABCD的周长为（ ） A．4 13 B．8 13 C．40 D．24 4．如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC BD， 相交于点O，DE AC∥ ，CE BD∥ ，若 8AB  ， 6BC  ，则四边形OCED的周长为（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 A．20 B．40 C． 4 7 D．8 7 5．如图，O是矩形 ABCD对角线的交点，作DE AC∥ ，AE BD∥ ，连结 BE．有下列说法： ①四边形DEAO为菱形；② AE AB ；③ 120BAE  ；④若 90BED  ，则 AD BE ．其 中正确的是（ ） A．①③ B．①④ C．②④ D．③④ 6．一个平行四边形的一条边长为 7，两条对角线的长分别是 10和4 6，则这个平行四边形的 面积为（ ） A．14 6 B．20 6 C．35 D．40 6 7．如图，两张宽为 3的长方形纸条叠放在一起，已知 60ABC  ，则阴影部分的面积是（ ） A． 9 2 B．3 3 C． 9 3 2 D．6 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 8．如图，在ΔABC 中， AB AC ，分别以 C、B为圆心，取 AB的长为半径作弧，两弧交于点 D．连接BD、 AD．若 130ABD  ，则 CAD  ． 9．如图，在 MON 的两边上分别截取OA OB、 ，使OA OB ，分别以点 A、B为圆心，OA 长为半径作弧，两弧交于点 C，连接四边形OACB的面积为 26cm ，且 2cmAB  ，则OC的长 为 ． 10．如图， ABCD是一张矩形纸片， 6AB  厘米， 8BC  厘米．将纸片沿EF折叠，点 B恰 与点 D重合．则折痕EF的长为 厘米． 11．如图 60AOB  ，以 O为圆心，8cm为半径作弧，分别交OA，OB于点 C，D，再分 别以 C，D为圆心OC长为半径作弧，两弧交于点 E，连接OE，则OE的长为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 12．如图，在平行四边形 ABCD中， 2AD  ， 120D  ，AC平分 DAB ，P是对角线 AC 上的一个动点，点Q是 AB边上的一个动点，则 PB PQ 的最小值是 ． 13．如图，将两张长为 8，宽为 3的矩形纸条交叉叠放，使一组对角的顶点重合，其重叠部分 是四边形 AGCH ．则四边形 AGCH 的面积是 ． 14．如图，四边形 ABCD为平行四边形，对角线BD的垂直平分线分别交 BD AD BC、 、 于点 O E F、 、 ， (1)求证：四边形BEDF是菱形； (2)若 62AEB  ，求 BDF 的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 15．如图，已知菱形 ABCD，∠ABC＝60°，点 P是射线 BD上的动点，以 AP为边向右侧作等 边△APE，连接 PC． (1)如图 1，点 P在线段 BD上，求证：PC＝PE． (2)如图 2，当 C，P，E三点共线时，连接 DE，求证：四边形 APDE是菱形． (3)当 CP⊥PE时，求 AB AP 的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 菱形的判定性质综合 1．A 【难度】0.85 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、根据菱形的性质与判定求角度 【分析】根据菱形的性质得出 23CBE  ，再根据直角三角形两个锐角互余，即可求解． 【详解】解：∵四边形 ABCD为菱形， ∴ AD BC∥ ， ∴ 180 46ABC A    ，则 1 23 2 CBE ABC    ， ∵CE BC ， ∴ 90 67BEC CBE    ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的对角线平分菱形内角，直角三 角形两个锐角互余． 2．B 【难度】0.85 【知识点】作角平分线(尺规作图)、证明四边形是菱形、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】由作图可知， AE平分 BAD ，证明四边形 ABCD是菱形，可得结论．本题考查作 图复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图象信息， 灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：由作图可知， 则 AE平分 BAD ，故 A选项正确， BAE EAD  ， 四边形 ABCD是平行四边形， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 CB AD  ， AB CD ， AEB EAD   ， BAE BEA  ， AB BE  ，故 D选项正确， AF AB ， BE AF  ， BE AF ∥ ， 四边形 ABEF是平行四边形， AB AF ， 四边形 ABEF是菱形， AB EF  ， EF CD  ，故 C选项正确． 无法判断 ABF△ 是等边三角形， 故选：B． 3．B 【难度】0.85 【知识点】化为最简二次根式、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据 菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理，中位线的性质．证明 ABCD 是菱形，可得EF是 AOD△ 的中位线，根据勾股定理求得 AD，根据菱形的性质求 得周长． 【详解】解：∵四边形 ABCD是平行四边形， AB AD ， ∴ ABCD 是菱形， ∴ AC BD ； ∵点E F， 分别为 AD AO， 的中点， ∴EF是 AOD△ 的中位线， 2 4AO AF  ， ∴ 2 6OD EF  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 由（1）可知，四边形 ABCD是菱形， ∴ AB BC CD AD   ， 在Rt AOD 中，由勾股定理得： 2 2 2 24 6 2 13AD AO OD     ， ∴菱形 ABCD的周长 4 8 13AD  ． 故选：B． 4．A 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，由矩形的性质可得 5OC OD  ，进 而由DE AC∥ ，CE BD∥ 可得四边形OCED是菱形，即可求解，掌握矩形的性质、菱形的 判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形 ABCD为矩形， ∴ 90ABC  ， AC BD ， 1 2 OC AC ， 1 2 OD BD ， ∴ 1 2 OC OD AC  ， ∵ 8AB  ， 6BC  ， ∴ 2 2 2 28 6 10AC AB BC     ， ∴ 5OC OD  ， ∵DE AC∥ ，CE BD∥ ， ∴四边形OCED是平行四边形， ∵ 5OC OD  ， ∴四边形OCED是菱形， ∴四边形OCED的周长为5 4 20  ， 故选：A． 5．B 【难度】0.85 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 【知识点】全等的性质和 HL综合（HL）、等边三角形的判定和性质、利用矩形的性质证明、 根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】①先证明四边形DEAO是平行四边形，再根据四边形 ABCD是矩形，可得OA OD ， 进而即可解决问题； ②由 AE AO ， AB AO ， AE AB ，进而可以判断； ③由 30EAD  ，得到 120BAE  ，进而可以进行判断； ④设 AC与 BE交于点F ，证明 AF 是 BE的垂直平分线，可得 AB AE ，然后证明 Rt RtBDE BDC ≌ ，进而可以解决问题． 【详解】解：① DE AC  ， AE BD ， 四边形DEAO是平行四边形， 四边形 ABCD是矩形， OA OD  ， 四边形DEAO为菱形；故①正确； ②∵四边形DEAO为菱形 ∴ AE AO ∵ AB AO ∴ AE AB ，故②错误； ③∵四边形 ABCD是矩形 ∵ 30EAD   ∴ 120BAE  ，故③错误； ④如图，设 AC与 BE交于点F ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 90BED   ， DE BE  ， DE AC  ， AC BE  ， O 是矩形 ABCD对角线BD的中点， F 是 BE的中点， AF 是 BE的垂直平分线， AB AE∴ ， 四边形DEAO为菱形， DE AE  ， 四边形 ABCD是矩形， AB DC  ， 90BCD  ， AD BC ， DE DC  ， 在Rt BDE△ 和Rt BDC 中， BD BD DE DC    ， Rt Rt (HL)BDE BDC  ≌ ， BE BC  ， AD BE  ． 说法正确的是①④． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的 关键是得到Rt RtBDE BDC ≌ ． 6．B 【难度】0.85 【知识点】根据菱形的性质与判定求面积、利用平行四边形的性质求解、利用勾股定理的逆定 理求解 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 【分析】根据勾股定理逆定理可以说明平行四边形的对角线互相垂直，进而可以判断这个平行 四边形是菱形，据此即可求解． 【详解】解：设平行四边形 ABCD的对角线交于点 O，且 10AC  ， 4 6BD  ， 7AB  ， ∴ 1 5 2 AO OC AC   ， 1 2 6 2 BO OD BD   ， ∵  22 25 462 25 2 49 7     ， ∴ 2 2 2AO BO AB  ， ∴ 90AOB  ， ∴平行四边形 ABCD是菱形． ∴平行四边形 ABCD的面积为 1 1 10 4 6 20 6 2 2 AC BD     ， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理的逆定理，菱形的判定与性质，解决本题的 关键是掌握菱形的判定． 7．D 【难度】0.85 【知识点】含 30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求 解、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】首先过点 B作BE AD 于点 E，BF CD⊥ 于点F ，由题意可得四边形 ABCD是平 行四边形，继而求得 AB BC 的长，判定四边形 ABCD是菱形，则可求得答案． 【详解】过点 B作BE AD 于点 E，BF CD⊥ 于点F ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 根据题意得： AD BC∥ ， AB CD∥ ， 3BE BF  ， ∴四边形 ABCD是平行四边形， ∵ 60ABC ADC   ， ∴ 30ABE CBF    ， ∴ 2AB AE ， 2BC CF ， ∵ 2 2 2AB AE BE  ， 3BE  ， ∴ 2 3AB  ， 同理： 2 3BC  ， ∴ AB BC ， ∴四边形 ABCD是菱形， ∴ 2 3AD  ， ∴ 6 3ABCDS AD BE  菱形 ． 故选：D． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，含30角的直 角三角形的性质等知识，解题关键在于掌握菱形判定定理和作辅助线． 8． 25 /25度 【难度】0.65 【知识点】根据菱形的性质与判定求角度、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】由题意和作法可知： AB AC BD CD   ，可得四边形 ABDC是菱形，再根据菱 形及等腰三角形的性质，即可求解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 【详解】解：如图：连接CD， 由题意和作法可知： AB AC BD CD   ， 四边形 ABDC是菱形，    1 1180 180 130 25 2 2 BAD ABD        ， 25CAD BAD   ， 故答案为： 25． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，证得四边形 ABDC是菱形是解 决本题的关键． 9．6 【难度】0.65 【知识点】作角平分线(尺规作图)、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了尺规作角平分线，菱形的判定与性质，菱形的面积等于对角线乘积的一半， 判断出四边形OACB是菱形，是解题的关键．根据作法判定出四边形OACB是菱形，再根据菱 形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：根据作图得： AC BC OA  ， OA OB ， OA OB BC AC    ， 四边形OACB是菱形，  2cmAB  ，四边形OACB的面积为 26cm ， 1 1 2 6 2 2 AB OC OC      ， 6cmOC  ， 故答案为：6． 10．7.5 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查的是翻转变换的性质、矩形的性质，翻转变换是一种对称变换，折叠前后图 形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．根据折叠的性质得到FD FB ，根 据勾股定理求出 BF，证明平行四边形 BFDE是菱形，根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接DF BD EB、 、 ， 由折叠的性质可知，FD FB ， 6cmAB DC  ， 8cmBC AD  ， 在Rt DCF 中，  22 28 6DF DF   ， 解得， 25 cm 4 DF  ， 由折叠的性质可得， BFE DFE  ，OB OD ， ∵ AD BC∥ ， ∴ BFE DEF  ， DOE BOF   DOE BOF△ ≌△ DE BF  四边形 BFDE是平行四边形， ∴ DFE DEF  ， ∴DE DF ， ∴平行四边形 BFDE是菱形， 25 cm 4 BF DF   原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 在Rt BCD△ 中， 2 2 10BD BC CD   ， ∵ 1 2BFDE S EF BD BF CD    菱形 ， ∴ 1 2510 6 2 4 EF    ， 解得 7.5cmEF  ， 故答案为：7.5． 11．8 3cm 【难度】0.65 【知识点】作角平分线(尺规作图)、含 30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据菱 形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查了菱形的性质和判定，以及勾股定理，灵活运用菱形的性质和判定是解 题的关键． 先判定出四边形OCED是菱形，借助菱形的性质推出CD OE ， 30COF  ，进而得出 4cmCF  ，最后再利用勾股定理和菱形性质即可求出． 【详解】解：连接CD，交OE于点 F， 由题可知，OC OD CE DE   ， ∴四边形OCED是菱形， ∴CD OE ， 1 30 2 COF DOF COD      ， ∵ 8cmOC  ， ∴ 1 4cm 2 CF OC  ， 在Rt COF△ 中， 2 2 4 3cmOF OC CF   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 ∵四边形OCED是菱形， ∴ 2 8 3cmOE OF  故答案为：8 3cm． 12． 3 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、根据菱形的性质与判定求线段 长、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查轴对称最短路线问题，解答中涉及平行四边形的性质，菱形的判定和性质， 含30角直角三角形的性质，勾股定理，两边之和大于第三边，垂线段最短，能够将两线段和 的最小值用一条线段表示是解题的关键．先证明平行四边形 ABCD是菱形，则 B点关于 AC的 对称点D，连接 PD，DQ，过点D作DE AB 于点E，可推出DE就是 PB PE 的最小 值，再根据含30角直角三角形的性质和勾股定理可求出DE的长，从而解决问题． 【详解】解：四边形 ABCD是平行四边形， AB CD ∥ ， DCA BAC   ， AC 平分 DAB ， DAC BAC  ， DCA DCA   ， DA DC  ， 平行四边形 ABCD是菱形， 连接 PD，DQ，过点D作DE AB 于点E， 由菱形的对角线互相垂直平分，可得 B、D关于 AC对称，则 PD PB ， PB PQ PD PQ DQ DE      ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 即DE就是 PB PQ 的最小值， 120ADC   ， 60BAD  ， 在Rt ADE 中， 2AD  ， 90 30ADE BAD      ， 1 1 2 AE AD   ， 由勾股定理，得 2 2 2 22 1 3DE AD AE     ． PB PQ  的最小值为 3． 故答案为： 3． 13． 219 16 【难度】0.65 【知识点】根据菱形的性质与判定求面积、利用矩形的性质证明、用勾股定理解三角形、用 ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者 AAS） 【分析】根据矩形的性质可得四边形 AHCG是平行四边形，通过证明  AASADH CFH ≌ 可得四边形 AHCG是菱形，设 AH CH x  ，则 8DH CD CH x    ，在Rt ADH 中， 2 2 2AH AD DH  ，即  22 23 8x x   ，求出 x的值，再用菱形的面积公式进行计算即可 得到答案． 【详解】解：四边形 ABCD、 AECF都是矩形，且两个矩形全等， CH AG AH CG ∥ ， ∥ ， AD CF ， 90D F   ， 四边形 AHCG是平行四边形， 在 ADH 和 CFH△ 中， D F AHD CHF AD CF         ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13  AASADH CFH ≌ , AH CH  ， 四边形 AHCG是菱形， 设 AH CH x  ，则 8DH CD CH x    ， 在Rt ADH 中， 2 2 2AH AD DH  ，  22 23 8x x    ， 解得： 73 16 x  ， 73 2193 16 16AHCG S    菱形 ， 故答案为： 219 16 ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、三角形全等的 判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、三角 形全等的判定与性质，是解题的关键． 14．(1)证明见解析； (2) 31BDF  ． 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和 ASA（AAS）综合（ASA或者 AAS）、利用平行四边形性质和判定 证明、证明四边形是菱形、根据菱形的性质与判定求角度 【分析】（1）先证  ASA ,DOE BOF ≌ 得 ,EO FO 再证四边形BEDF是平行四边形， 然后由 ,EF BD 即可得出结论； （2）由菱形的性质得 ,BE DF∥ 1 , 2 BDF EDF   则 62 ,EDF AEB    即可求解． 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识， 熟练掌握菱形的判定与性质，证明△ ≌△DOE BOF是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形 ABCD是平行四边形， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 ,AD BC ∥ ,ODE OBF  ∵EF垂直平分BD， ,BO DO∴ 在 DOE 和 BOF 中， , ODE OBF OD OB DOE BOF         ASA ,DOE BOF ≌ ,EO FO  ∴四边形BEDF是平行四边形， ,EF BD ∴平行四边形BEDF是菱形； （2）解：由（1）可知， 四边形BEDF是菱形， 1, , 2 BE DF BDF EDF    62EDF AEB     1 31 2 BDF EDF     15．(1)见解析 (2)见解析 (3) 6 2 2  或 6 2 2  【难度】0.4 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、根据菱形的性质与判定求角度、等边三角形的判 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 定和性质、全等的性质和 SAS综合（SAS） 【分析】（1）首先证明△BPA≌△BPC，可推导 PC=PA，再结合等边三角形的性质可证明 PC ＝PE； （2）结合（1）可知，△BPA≌△BPC，C，P，E三点一直线，易得 60BPC BPA   ， 60EPD  ，在结合菱形的性质，推导△PDE是等边三角形，进一步证明四边形 APDE是 菱形即可； （3）分两种情况讨论：点 P在线段 BD上时或点 P在线段 BD的延长线上时，过点 P作 PH⊥AB （或 AB的延长线）于点 H．依次计算∠ABP=30°、 PAB 45  ，在Rt BPH 和Rt APH 中 利用勾股定理计算 BH、AH、AP与 PH的长度关系，再计算 AB AP 的值即可． 【详解】（1）解：（1）∵四边形 ABCD是菱形， ∴BA BC ， ABP CBP   ， 又∵ BP BP ， ∴△BPA≌△BPC（SAS）， ∴PC=PA， ∵△APE是等边三角形， ∴PA＝PE， ∴PC＝PE； （2）∵等边△APE， ∴AP=AE=PE，∠APE＝60°， 结合（1）可知，△BPA≌△BPC， 又∵C，P，E三点一直线， ∴ 1 (180 ) 60 2 BPC BPA APE      ， ∴ 180 60EPD BPA APE     ， ∵四边形 ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴∠PDC＝30°， ∴ 30PCD BPC PDC    ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 ∴PC=PD， 由（1）可知，PC=PE， ∴PE=PD， ∴△PDE是等边三角形， ∴PD=DE=PE， ∴AP=AE=PD=DE， ∴四边形 APDE是菱形； （3）当 CP⊥PE时，分两种情况： ①如图 4，点 P在线段 BD上时，过点 P作 PH⊥AB ． ∵CP⊥PE，∠APE=60°， ∴ 360 210APB BPC APE CPE      ， ∵BD是菱形 ABCD的对称轴， ∴∠APB=∠CPB=105°． ∵∠ABP=30°， ∴ 180 45PAB ABP APB     ， ∴BH= 3 PH，AP= 2 PH，PH=AH． ∴ ( 3 1) 6 2 22 AB BH AH PH AP AP PH       ； ②如图 5，点 P在线段 BD的延长线上时，过点 P作 PH⊥AB 交 BA延长线于点 H． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 ∵CP⊥PE，∠APE=60°， ∴∠APB+∠BPC=30°， ∵BD是菱形 ABCD的对称轴， ∴∠APB=∠BPC=15°， ∵∠ABP=30°，∴∠PAH=45°， ∴BH= 3 PH，AP= 2 PH，PH=AH， ∴ ( 3 1) 6 2 22 AB BH AH PH AP AP PH       ． 综上所述， AB AP 的值为 6 2 2  或 6 2 2  ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、菱形的判定与性质、含 30°角的直角三角形 的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质、全等三角形的判定与 性质等知识，综合性强，读懂题意并灵活运用所学知识是解题关键，还要注意用分类讨论 的思想分析问题．