【专项练】矩形的判定性质综合-苏科版八年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 矩形的判定性质综合 1．两个矩形的位置如图所示，若 1 120  ，则 2 的度数为( ) A．30 B．15 C．60 D．45 2．如图，将一矩形纸片 ABCD沿着虚线EF剪成两块全等的四边形纸片，根据图中标示的长 度与角度，则剪得的四边形纸片中较短的边 AE的长是（ ） A．4 B．3 C．5 D． 2 2 3．如图，在 ABC 中， 3AB  ， 4AC  ， 5BC  ， P为边 BC上一动点，PE AB 于E， PF AC 于F ，M 为EF的中点，则 AM 的最小值为（ ） A．2.4 B．2 C．1.6 D．1.2 4．如图，P是线段 AB边上的一动点，CA AB ，DB AB ， 4AB  ， 3AC  ， 2DB  ， M 、N 分别是PC、 PD的中点，随着点 P的运动，线段MN长（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 A．随着点 P的位置变化而变化 B．保持不变，长为 5 2 C．保持不变，长为 5 D．保持不变，长为 17 2 5．如图，在四边形 ABCD中， ABC 为直角，AB CD∥ ，AB CD ，对角线 AC、BD相 交于点 O， 5AB  ， 6.5AO  ，则四边形 ABCD的面积为（ ） A．60 B．30 C．90 D．96 6．如图，D是ΔABC内部一点，AC BD ，且 8AC  ， 6BD  ，依次取 AB，BC，CD， AD的中点，并顺次连接得到四边形MNPQ，则四边形MNPQ的面积是（ ） A．12 B．16 C．24 D．48 7．如图，在矩形 ABCD中， 2AB  ， 4AD 点 E在边 AD上，点 F在边 BC上，且 AE CF ， 连接CE，DF，则CE DF 的最小值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 8．如图，在Rt ABC△ 中， 90BAC  ， 3AB  ， 4AC  ，点D是斜边 BC上的一个动点， DN AC 于点N ，DM AB 于点M ，连接MN，则线段MN的最小值为 ． 9．如图，在四边形 ABCD中， , 90 ,AB CD ADC  ∥ 12cm, 18cm, 23cmAD AB CD   ， 动点 P从点 A出发，以1cm/s的速度向终点 B运动，同时动点 Q从点 B出发，以 2cm/s的速 度沿折线B C D  向终点 D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动， 当点 P运动 秒时，直线 PQ把四边形 ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边 形． 10．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别 平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图 1： AEOM CFONS S矩形 矩形 ）”这一推论， 他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．问题解决：如图 2， 点 M是矩形 ABCD的对角线 AC上一点，过点 M作EF BC∥ 分别交 AB，CD于点 E、F， 连接 BM ，DM ．若 6 4CF EM ， ，则图中阴影部分的面积和为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 11．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别 平行于两邻边的直线，则所容长方形面积相等（如图）”这一推论，他从这一推论出发，利用 “出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，下列说法一定正确的是 ． ① ABC ADCS S△ △ ② AEF ANFS S△ △ ③ NFGD EFMBS S矩形 矩形 ④ AEF NFGDS S 矩形 12．如图，在矩形 ABCD中，E，F 是边 BC上两点（ BF BE ），H ，G是边 AD上两 点，且BE CF AH DG   ，连接 AF ，CH ，BG，DE．若 4AB  ， 6BC  ， 45BAF  ， 则阴影部分的面积为 ． 13．定义：如果平行四边形的一组对边之和等于一条对角线的长时，我们称这个四边形为“沙 漏四边形”． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 (1)当沙漏四边形是矩形时，两条对角线所夹锐角为______度； (2)如图，在沙漏四边形 ABCD中，对角线 AC、BD相交于点 O，满足 AB CD BD  ，且 AB BD ，过点 B、D分别作BE AC ，DF AC ，垂足为 E、F，连接DE、BF，所得 四边形BEDF也是沙漏四边形．若 1BE  ，求 BC的长以及 BFC△ 的面积． 14．【探究发现】如图，矩形 ABCD所在平面内有一点 P．连接 , , ,PA PB PC PD． （1）①当点 P与矩形对角线交点重合时（如图 1），显然有PA PB PC PD   ； ②当点 P落在边 AD上时（如图 2），且 2, 4, 61PA PB PC   ，则 PD  ______；通过 计算，发现并猜想 2 2 2 2, , ,PA PB PC PD 的关系：______． （2）当点 P在矩形 ABCD内部（如图 3），是否仍存在你所猜想的结论？ 【直接运用】如图 4，矩形 ABCD外有一点 P，且PA PC ． ①．求证：PB PD ； ②．若 3, 5, 14AB BC PD   ，则 PB  ______． 【拓展应用】如图 5，Rt RtABC BAD△ ≌ △ ，点 P在 AB边上运动，若 2 210, 68AB PC PD   ，求 PA PB 的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 15．在矩形 ABCD中， 3CD  ，连接BD，且 30CBD  ，将三角形 BDC沿BD翻折得 BDC ， BC交 AD于 G，连接 AC． (1)如图（1）判断 AC与 BD的位置关系和数量关系，并证明； (2)如图若 BDC 沿线段BD由 B向 D运动，速度每秒 1个单位，连接 AC． ①如图（2）当 1.5t  时，判断四边形 AB DC 的形状，并证明； ②如图（3）在运动过程中，四边形 AB DC 的面积是否发生变化？若不变，求出面积，若变 化，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 矩形的判定性质综合 1．C 【难度】0.85 【知识点】根据矩形的性质与判定求角度 【分析】由补角的定义可得 3 60  ，由题意可得 4 3 90   ， 2+ 4=90  ，则有 2 3  ，即可得解． 【详解】解：如图， 由题意得： 3 180 1 60    ， ∵ 4 3 90 2 4 90       ， ， ∴ 2 3  ， ∴ 2 60  ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，余角与补角，解答的关键是明确互余的两角之和为 90°， 互补的两角之和为 180° 2．B 【难度】0.85 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、根据矩形的性质与判定求角度、根据等角对等边 证明等腰三角形 【分析】由矩形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=DC=4，AD∥BC，再证四边形 ABFQ 是矩形，得 AB=FQ=DC=4，求出 EQ=FQ=4，即可得出答案． 【详解】解：过 F作 FQ⊥AD于 Q，则∠FQA=∠FQD=90°， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 ∵四边形 ABCD是矩形， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=DC=4，AD∥BC， ∴四边形 ABFQ、四边形 CDQF都是矩形， ∴AB=FQ=DC=4，QD=CF， 由题意得：AE=CF， ∴AE=QD， ∵AD∥BC， ∴∠QEF=∠BFE=45°， ∴△QEF是等腰直角三角形， ∴EQ=FQ=4， ∴AE=QD= 12 ×（10-4）=3， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形 的判定与性质是解此题的关键． 3．D 【难度】0.85 【知识点】垂线段最短、判断三边能否构成直角三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，矩形的性质和判定，直角三角形的性质，先说明 ABCV 是直角三角形，进而得出四边形 AFPE是矩形，可知当 AP BC时， AM 最小，然 后根据面积相等得出答案． 【详解】解：连接 AP，如图． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 在 ABCV 中， 3AB  ， 4AC  ， 5BC  ， ∴ 2 2 2AB AC BC  ， ∴ ABCV 是直角三角形，且 90BAC  ． ∵ ,PE AB PF AC  ， ∴四边形 AFPE是矩形， ∴ AP与EF互相平分， ∵M 为EF的中点， ∴点 M在 AP上，且 1 2 AM AP ， ∴当 AP最小时， AM 最小， 根据直线外一点到直线上任意一点的距离，垂线段最短，即 AP BC时，AP最短，同样 AM 最短． 1 1 2 2ABC S AB AC BC AP   △ ， 即 2.4AB ACAP BC    ， ∴ 1 1.2 2 AM AP  ． 故选：D． 4．D 【难度】0.85 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解 三角形 【分析】本题考查了三角形的中位线性质和勾股定理，矩形的性质与判定，熟记性质以及定理 并求出CD的值是解题的关键．连接CD，根据勾股定理求出CD的长度，再根据三角形的中 位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得 1 17 2 2 MN CD  ，问题得解． 【详解】解：如图所示，连接CD，过点 C作CE BD ，交BD延长线于E， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 ∵CA AB ，DB AB ，CE BD ， ∴ 90A B E    ， ∴四边形 ABEC是矩形， ∴ 3BE AC  ， 4CE AB  ， ∴ 3 2 1DE BE BD     ， ∴ 2 24 1 17CD    ， ∵M ，N 分别是PC、 PD的中点， ∴MN是 CDP△ 的中位线， ∴ 1 17 2 2 MN CD  ． 故选：D． 5．A 【难度】0.85 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查平行四边形的判定、矩形的判定与性质、勾股定理，先证明四边形 ABCD是 矩形，再利用矩形的性质和勾股定理求得 BC即可．证明四边形 ABCD是矩形是解答的关键． 【详解】解：∵ AB CD∥ ， AB CD ， ∴四边形 ABCD是平行四边形， ∵ ABC 为直角， ∴四边形 ABCD是矩形， ∵ 5AB  ， 6.5AO  ， ∴ 2 13AC AO  ，则 2 2 12BC AC AB= - = ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 ∴四边形 ABCD的面积为 5 12 60AB BC    ． 故选：A． 6．A 【难度】0.85 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，矩形的性质与判定，先根据三角形中位线定理可 得 1, 3 2 MQ BD MQ BD ∥ ， 1, 3 2 PN BD PN BD ∥ ， 1, 4 2 MN AC MN AC ∥ ， 从而可得 ,MQ PN MQ PN∥ ，再根据平行四边形的判定可得四边形MNPQ是平行四边形， 然后根据平行线的性质可得MQ MN ，根据矩形的判定可得平行四边形MNPQ是矩形，最 后利用矩形的面积公式求解即可得． 【详解】解：点 ,M Q分别是 AB， AD的中点，且 6BD  ， 1, 3 2 MQ BD MQ BD  ∥ ， 同理可得： 1, 3 2 PN BD PN BD ∥ ， 1, 4 2 MN AC MN AC ∥ ， ,MQ PN MQ PN ∥ ， 四边形MNPQ是平行四边形， AC BD ， MQ AC  ， 又 MN AC ∥ ， MQ MN  ， 平行四边形MNPQ是矩形， ∴四边形MNPQ的面积是 3 4 12MQ MN    ， 故选：A． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 7．4 2 【难度】0.65 【知识点】线段问题(轴对称综合题)、根据矩形的性质与判定求角度、用勾股定理解三角形、 全等的性质和 SAS综合（SAS） 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、将军饮马问题全等三角形的判定与性质等内容，综 合性较强，将CE DF 转化为CE BE 是解题的关键． 先连接BE，将CE DF 转化为CE BE ，再利用将军饮马解决问题即可． 【详解】 AIAI 如图，连接 BE 四边形 ABCD是矩形 AB CD  ， 90BAE DCF    ∵ AE CF  SASABE CDF ≌ BE DF  CE DF CE BE   如图，作 B点关于 A点的对称点B，连接CB 2AB  ， 4AD 4BB   4BC  2 2 4 2CB BB BC     原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 CE DF  的最小值为4 2 故答案为：4 2 ． 8． 12 5 【难度】0.65 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、垂线段最短 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，连接 AD，即可证明四边形 AMDN是矩形；由矩形 AMDN得出MN AD ，再由三角形的面积关系求出 AD的最小值， 即可得出结果，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接 AD， ∵ 90BAC  ， 3AB  ， 4AC  ， ∴ 2 2 2 23 4 5BC AB AC     ， ∵DM AB ，DN AC ， ∴ 90DMA DNA BAC      ， ∴四边形DMAN是矩形， ∴MN AD ， ∴当 AD BC 时， AD的值最小， 此时， ABCV 的面积 1 1 2 2 AB AC BC AD    ， ∴ 3 4 12 5 5 AB ACAD BC      ， ∴MN的最小值为 12 5 ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 故答案为： 12 5 ． 9． 31 3 或12 【难度】0.65 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、利用平行四边形的判定与性质求解、用勾股定理 解三角形 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理熟练掌握相关性 质和判定和解题的关键．过点 B作 BH CD 于 H，证明四边形 ADHB是矩形，结合勾股定 理求得 2 2 13BC BH CH   ，只有 Q点在CD上时，方能满足条件，分两种情况：①四 边形 PQCB是平行四边形，②四边形 ADQP是平行四边形，进行解答即可． 【详解】解：如图所示，过点 B作 BH CD 于 H，  AB CD∥ ， 90ADC  ，  90A  ，  四边形 ADHB是矩形，  12BH AD  ， 18DH AB  ，  5CH  ， 在Rt BHC△ 中，由勾股定理得， 2 2 13BC BH CH   ，  Q在 BC上运动时间为 13 6.5s 2  ，  13 23 36BC CD    ，  Q运动时间最长为 36 18s 2  ， 当点 Q在 BC上时，直线 PQ把四边形 ABCD分成两个部分，不可能存在其中的一部分是平行 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 四边形， 当6.5s 18st  时，Q在CD边上， 此时，直线 PQ把四边形 ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况： ①四边形 PQCB是平行四边形，如图所示：  AB CD∥ 即PB CQ∥ ，  只需 PB CQ ， 由题意得， AP t ， 2 13CQ t  ， 18PB t  ，  18 2 13t t   ， 解得 31 3 t  ， ②四边形 ADQP是平行四边形，如图所示：  AP DQ∥ ，  只需 AP DQ ，四边形 ADQP是平行四边形，  2 36 2DQ CD CB t t     ，  36 2t t  ， 解得 12t  ． 综上所述：当 31 3 t  或 12t  时，直线 PQ把四边形 ABCD分成两个部分，且其中的一部分是 平行四边形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 故答案为： 31 3 或12． 10．24 【难度】0.65 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积 【分析】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，明确题意、根据已知结论入手进行分析 成为解答本题的关键．如图，过点 P作 PM AD 于M ，交 BC于N ，由 DNFG FEBMS S矩形 矩形 可得 AEP AMP CFP CNPS S S S    ， ，即可求解． 【详解】解：如图，过点 M作GH BC 于 H，交 AD于 G， ∵四边形 ABCD是矩形，EF BC∥ ， ∴四边形 AEMG、四边形MGDF 、四边形 BEMH 、四边形MHCF都是矩形， ∴ 6BE CF  ， ∴ 1 1 4 6 12 2 2BEM S BE ME       ， BEM BHMS S  ， AEM AGMS S  ， MHC MFCS S  ， DMG DMFS S  ， ABC ADCS S△ △ ， ∵ MGDFS S矩形MEBH 矩形 ， ∴ 12BEM DMFS S   ， ∴ 24AEP PCFS S   ，即图中阴影部分的面积和为 24， 故填： 24． 11．①②③ 【难度】0.65 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积 【分析】本题考查矩形的性质，由题意可得四边形 AEFN 和四边形CMFG均为矩形，矩形的 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 对角线将矩形平分为两个面积相等的三角形，由此逐项论证即可． 【详解】解：由矩形的性质可知 ABC ADCS S△ △ ，①正确； 由题意知，矩形 ABCD中， EG AD BC∥ ∥ ，MN AB CD∥ ∥ ， 四边形 AEFN 和四边形CMFG均为矩形，  AEF ANFS S△ △ ， CGF CMFS S△ △ ，②正确；  AEF CMF A FDABC ANFC CGS SS SS S   △ △ △△△ △ ，  NFGD EFMBS S矩形 矩形 ，③正确；  1 2AEF ANF AN NFS S    ， NFGD ND NFS  矩形 ， 现有条件无法得出 1 2 AN ND ，  AEF NFGDS S 矩形 ，④错误； 故答案为：①②③． 12．14 【难度】0.65 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、用勾股定理解三角形 【分析】有矩形的性质和勾股定理分别求出 2EJ FJ  ， 2 2AK BK= = ，进而可得阴影 部分的面积； 【详解】解：在矩形 ABCD中， ∵ 45 90BAF ABF     ， ， ∴ 45 45 4ABG AFB AB BF       ， ， ， ∵ 6BC  ， ∴ 2BE CF AH DG    ， ∴ 2HG EF  ， ∴ 2 1 2 2 2 EJ FJ    ， ∵ 4AB  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 ∴ 2 1 4 2 2 2 AK BK    ， ∴  2 24 6 2 2 2 14S        阴影 ． 故答案为：14． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、勾股定理，掌握相关知识并理解题意是解题的关键． 13．(1)60 (2) 10BC  ， 1 2BFC S △ 【难度】0.65 【知识点】根据矩形的性质与判定求角度、利用平行四边形性质和判定证明、用勾股定理解三 角形 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握平行 四边形的性质是解题的关键． （1）根据沙漏四边形即平行四边形的特征得出 AB CD ， AB CD∥ ， 1 2 OA OC AC  ， 1 2 OB OD BD  ，在根据矩形的性质得出 AC BD ，得出ΔAOB 为等边三角形，即可得出夹 角的度数； （2）根据四边形 ABCD是沙漏四边形，得 AB OB OD CD   ，在证 90ABO CDO   ， 根据BE AO ，DF OC ， AB OB OD CD   得 45EBO EOB FDO FOD     ，利用四边形 BEDF是沙漏四边形，得 3 3EC BE  ，利用勾股定理得出 10BC  ，根据三角形面积计算公式即可得出结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 【详解】（1）四边形 ABCD是沙漏四边形，  AB CD ， AB CD∥ ， 1 2 OA OC AC  ， 1 2 OB OD BD  四边形 ABCD是矩形，  AC BD ，  AB CD BD OB OD    ，  AB OB OD CD   ΔAOB 为等边三角形，  60AOB   故答案为：60． （2） AB BD ，  90  ABO ， 四边形 ABCD是沙漏四边形，  AB CD ， AB CD∥ ，OA OC ，OB OD  AB CD BD OB OD    ，  AB OB OD CD    AB CD∥ ， 90  ABO ，  90ABO CDO     BE AO ，DF OC ， AB OB OD CD    90BEO DFO   ， 45EBO FDO   ， 1 2 OE AO ， 1 2 OF CO  45EBO EOB FDO FOD      ∵四边形 BEDF是沙漏四边形， OE OF BE  ，  1BE EO OF CF    ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14  3 3EC BE  ， 在Rt BEC 中， 2 2 2 2 21 3 10BC BE EC     ，  10BC  1 1 11 1 2 2 2BFC S FC BE     △ 14．【探究发现】（1）②7， 2 2 2 2PA PC PB PB   ；（2）见解析；【直接运用】①．见 解析；②． 2 5；【拓展应用】16 【难度】0.4 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、二次根式的乘法 【分析】（1）②直接利用矩形的性质与勾股定理计算即可得到答案； （2）如图 3中，过点 P作 AD的垂线，交 AD于点E，交 BC于点F ，则四边形 ABFE 和CDEF 为矩形， ,AE BF DE CF  ，再利用勾股定理可得结论； 【直接运用】①当点 P在矩形外部时，如图 4中，由（2）同法可证： 2 2 2 2PA PC PB PD   ； 如图 5中，连接 ,AC BD．证明 2 2 2PA PC AC  ，结合 2 2 2 2PA PC PB PD   ，从而可得结 论；②直接利用①的结论计算即可； 【拓展应用】如图 6中，将 ABD△ 沿 AB翻折得到 ABE ，连接PE，证明四边形 ACBE是 矩形，再利用前面的结论可得答案． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 【详解】解：（1）②如图 2中， 四边形 ABCD是矩形， 90 ,A D AB CD     ， 2, 4, 61PA PB PC   ， 2 2 2 24 2 2 3AB CD PB AP       ， 2 2 2 2( 61) (2 3) 7PD PC CD      ， 2 2 2 24 61 65, 16 49 65PA PC PB PD        ， 2 2 2 2PA PC PB PB    ． （2）如图 3中，过点 P作 AD的垂线，交 AD于点E，交 BC于点F ， 则四边形 ABFE 和CDEF为矩形， ,AE BF DE CF   ， 由勾股定理得：则 2 2 2 2 2 2,AP AE PE PC PF CF    ， 2 2 2 2 2 2,BP BF PF PD DE PE    ， 2 2 2 2 2 2PA PC AE PE PF CF      ， 2 2 2 2 2 2PB PD BF PF DE PE     ， 2 2 2 2   PA PC PB PD ． 直接运用： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 ①证明：当点 P在矩形外部时，如图 4中，由（2）同法可证： 2 2 2 2PA PC PB PD   ； 如图 5中，连接 ,AC BD． PA PC ， 2 2 2PA PC AC   ， 四边形 ABCD是矩形， AC BD  ， 2 2 2 2PA PC PB PD   ， 2 2 2PB PD BD   ， 90BPD  ， BP PD  ． ② 3, 5, 90AB BC ABC     ， 2 2 2 23 5 34AC BD AB BC       ， ∵ 14PD  ， ∴ 2 2 2 2( 34) ( 14) 2 5PB BD PD     ， 拓展应用： 如图 6中，将 ABD△ 沿 AB翻折得到 ABE ，连接PE， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 ∵ ABC BAD BAE  ≌ ≌ ， ∴ 90ACB AEB    ， ABC BAE  ， ∵ 90CAB ABC   ， ∴ 90CAB BAE    ， ∴ 90CAE  ， ∴四边形 ACBE是矩形， ∴ 2 2 2 2 2 2 68PA PB PC PE PC PD      ， ∵ 10PA PB  ， ∴ 2 22 100PA PA PB PB    ， ∴ 2 100 68 32PA PB    ， ∴ 16PA PB  ． 【点睛】本题考查矩形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质，二次根式的乘法运算等 知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会构建模 型解决问题，属于中考压轴题． 15．(1) 2BD AC ，BD AC∥ ，理由见解析 (2)①结论：四边形 AB DC 是矩形，理由见解析；②四边形 AB DC 的面积不变，四边形 AB DC 的面积 27 3 4  ，理由见解析 【难度】0.4 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、矩形与折叠问题、等边三角形的判定和性质、含 30度角的直角三角形 【分析】（1）根据矩形的性质，折叠的性质，以及含 30度角的直角三角形的性质，进行判断 即可； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 18 （2）①取 AB的中点 J，连接B J ，先证明 JBB△ 是等边三角形，推出 90AB B  ，同理 推出 90C DD   ，进而得到 AB CD ∥ ，结合 AC DB ∥ ，即可得出结论； ②过点 D作DJ AC 于点 J， AK BD 于点 K，易得四边形 AKDJ 是矩形，求出四边形 AKDJ 的面积，证明 (SAS)AKB DJC ≌△△ ，推出四边形 AB DC 的面积等于四边形 AKDJ 的面积即可． 【详解】（1）解： 2BD AC ，BD AC∥ ． 理由：四边形 ABCD是矩形， , , 90 ,AD BC AD BC ABC BAD     ∥ 30ADB DBC    ， 由翻折变换的性质可知 30 ,DBC DBC BC BC       ， 30 ,GBD GDB    , 120GB DG BGD AGC      ， ,AD BC BC  ,GA GC  30GAC GC A    ， 30 ,GAC ADB     AC BD ∥ ， 30 ,ABG ABC CBD BDC       30 ,ABG AC B     AB AC  ， 90 , 30 ,BAD ADB      2 2BD AB AC   ； （2）①结论：四边形 AB DC 是矩形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 19 理由：取 AB的中点 J ，连接B J ． 1.5,t  1.5,BB DD    1.5,AJ JB  JB JB  ， 60JBB   ， JBB△ 是等边三角形， 1.5, 60 ,JB JB JA BJB        JAB JB A    ， 60BJB JAB JB A        ， 30 ,JAB JB A      90AB B   同法可得 90C DD   ， 90 ,AB D C DD       AB C D  ∥ ， AC DB  ∥ ， 四边形 AB DC 是平行四边形， 90 ,AB D   四边形 AB DC 是矩形； ②四边形 AB DC 的面积不变． 理由：如图过点 D作DJ AC 于点 J， AK BD 于点 K， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 20 , , ,AK BD DJ AC AN DK  ∥ 90AKD AJD KAJ    ， ∴四边形 AKDJ 是矩形， 3 3 2 AK DJ   ， 1 32 6, , 2 2 BD AB BK AB    3 96 2 2 DK    ， 矩形 AKDJ 的面积 3 3 9 27 3 2 2 4    ， 由平移变换的性质可知KB JC  ， 90 , ,AKB DJC AK DJ       (SAS)AKB DJC  ≌△△ ， AKB△ 的面积 DJC △ 的面积， ∴四边形 AB DC 的面积矩形 AKDJ 的面积 27 3 4  ． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，折叠问题，平移的性质，等边三角形的判定和性质，含 30度角的直角三角形，掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．