【专项练】一元一次不等式工程问题-北京版七年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 工程问题 1．某项道路修建工程原计划在 14天内修路 2120米，前 4天由甲工程队单独完成，之后乙工 程队与甲工程队合作完成剩余工程．已知甲工程队平均每天可修建 100米，为了按期或提前完 成，乙工程队平均每天至少要修建 米． 2．某校绿色行动小组组织一批人参加植树活动，完成任务的时间  ht 是参加植树人数 n（人） 的反比例函数，已知当 60n  时， 2t  ． (1)求完成任务的时间 t 关于参加植树人数 n 的反比例函数关系式； (2)为了能在1.5h内完成任务，至少需要多少人参加植树． 3．甲、乙两个工程队参与修建一小段长600m的高速公路，甲、乙两队一起修建 12天可以完 工．若甲队单独修建 5天后乙队加入，两队再一起修建 4天，刚好能够完成该工程的一半． (1)甲、乙两队每天各能修建多少米？ (2)若乙队参与修建该工程的时间不超过 10天，则甲队至少需要修建多少天才能完成该工程？ 4．某市政府计划对该市博物馆进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队的工作效 率是乙队工作效率的 1.5倍，甲队单独完成该改造计划比乙队单独完成该计划少用 4天． (1)甲、乙两队单独完成该计划分别需要多少天？ (2)若甲队工作一天需付费用 8万元，乙队工作一天需付费用 6万元，由于项目原因，甲队先 做了几天后，由乙队接着将改造计划完成，最后改造费用不超过 67万元，甲队至少做了多少 天？ 5．中国•哈尔滨冰雪大世界，始创于 1999年，展示了哈尔滨冰雪文化魅力．2024年冰雪大世 界建造取冰时，安排甲、乙两个采冰队共同完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的 1.5 倍，甲队取 360立方米的冰比乙队取同样体积的冰少用 3天． (1)甲、乙两个采冰队每天能采冰的体积分别是多少立方米？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 (2)如需 30天采冰 1560立方米．甲乙队共同工作若干天后，甲另有任务，剩下由乙队独立完 成为了能在规定时间内完成任务，至少安排甲队工作多少天？ 6．中国交通科技领跑世界一流水平，公路网络“四通八达”，公路养护效能高，让人们对“美好 出行”的需要得到很好的满足．某一段公路的维修养护工程，有甲、乙两个工程队可供选择， 承包单位发现：①若由乙队单独完成全部工程所需天数是甲队单独完成全部工程所需天数的 1.5倍；②若由甲队单独施工 5天后，再由甲、乙两队共同施工 21天可完成剩余工程； ③若 由两队同时进场施工完成全部工程，共需要工程费用 384000，且每天的工程费用甲队比乙队 多 2000元． (1)求甲、乙两个工程队单独施工完成全部工程各需要多少天？ (2)从节省工程费用的角度考虑，请你从甲，乙单独施工完成与甲、乙同时进场施工完成这三 种施工方案中选择一种合适的方案？并说明理由； (3)若要使两个工程队完成全部工程施工总费用不超过 378000元，则甲工程队至少要施工多少 天？ 7．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工 30天完成总工程的 13，这时增加了乙队， 两队又共同工作了 15天，完成全部工程． (1)求乙队单独施工多少天完成全部工程？ (2)若甲队工作 4天，乙队工作 3天共需支付工程劳务费 42000元，甲队工作 5天，乙队工作 6 天共需支付工程劳务费 75000元，求甲、乙两队工作一天的劳务费分别为多少元？ (3)在（2）的条件下，若两个工程队不同时施工，在总劳务费不超过 28万元的情况下，则最 快______天能完成总工程． 8．某工厂有甲、乙、丙、丁四个不同的车间生产电子元件，由于生产设备不同，工人在不同 车间日生产量也不一定相同，但皆为整数．某日，该工厂接到一批生产订单，工厂老板想将工 人合理分配到不同车间，已知甲车间的工人数与乙车间相同，丙车间的工人数是丁车间的 3倍 且比甲车间工人数多，甲车间与丁车间的工人数之和不少于 40人且不超过 48人；甲车间与丁 车间每个工人的日生产量相同，乙车间每个工人的日生产量为丙车间每个工人日生产量的 3倍， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 甲车间与丙车间每个工人的日生产量之和为 450件，甲车间每个工人的日生产量不低于丙车间 的 2 3 ，且甲车间每个工人日生产量不超过 230件；甲车间、丙车间的日生产量之和比乙车间、 丁车间的日生产量之和少 1650件．则甲、丙两车间当日生产量之和最多为 ． 9．综合与应用 【问题情境】 为迎接新春佳节的购物高峰，某品牌服装店准备购进甲、乙两种服装，已知甲服装每件进价比 乙服装每件进价多 20元，用 3200元购进甲服装与用 2800元购进乙服装的件数相同． 【问题解决】 （1）甲、乙两种服装每件进价分别是多少元？ 【拓展应用】 （2）该品牌服装店计划购进两种服装共 100件，其中甲种服装不少于 60件，且购进 100件服 装的费用不超过 15250元，问有哪几种符合条件的进货方案？ （3）在（2）的条件下，该品牌服装店在进价的基础上提高50%作为甲、乙两种服装的售价， 甲服装再以每件优惠  0 10a a  元的价格进行促销活动，乙种服装价格不变，那么该品牌服装 店应选择哪种进货方案才能获得最大利润？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 工程问题 1．72 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，乙工程队平均每天至少要修建 x米，根据“14天 内修路 2120米，前 4天由甲工程队单独完成，之后乙工程队与甲工程队合作完成剩余工程”， 列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：乙工程队平均每天至少要修建 x米，根据题意得  14 100 14 4 2120x    ， 解得 72x  ． 即乙工程队平均每天至少要修建 72米． 故答案为：72 ． 2．(1) 120t n  (2)至少需要80人参加植树 【分析】本题考查了反比例函数的应用、一元一次不等式的应用，正确求出反比例函数解析式 是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）由题意可得120 1.5n  ，解不等式即可得解． 【详解】（1）解：∵完成任务的时间  ht 是参加植树人数 n（人）的反比例函数， ∴设  0kt k n   ， ∵当 60n  时， 2t  ， ∴2 60 k  ， ∴ 120k  ， ∴完成任务的时间 t关于参加植树人数 n的反比例函数关系式为 120t n  （2）解：由题意可得：120 1.5n  ， 解得： 80n  ， ∴至少需要80人参加植树． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 3．(1)20m，30m (2)15天 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用． （1）根据题意列出二元一次方程组，解方程即可； （2）设甲队需要修建 m天才能完成该工程，根据乙队参与修建该工程时间不超过 10天列出 不等式，可求解． 【详解】（1）解：设甲队每天修建 mx ，乙队每天修建 my ． 依题意，得     12 600 5 4 300 x y x x y        ， 解得 20 30 x y    ， 故甲队每天能修建 20m，乙队每天能修建30m； （2）解：设甲队需要修建m天才能完成该工程． 依题意，得 600 20 10 30 m  ， 解得 15m  ． 故甲队至少需要修建 15天才能完成该工程． 4．(1)甲队单独完成该计划需要 8天，乙队单独完成该计划需要 12天 (2)甲队至少做了 5天 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，理解题意，找出数量关 系，列出等式或不等式是解题关键． （1）设乙队单独完成该计划需要 x天，则甲队单独完成该计划需要  4x  天，根据题意可列出 关于 x的分式方程，解出 x的值，再验算即可； （2）设甲队做了m天，则乙队做了  12 1.5m 天，根据题意可列出关于 m的不等式，解之即可． 【详解】（1）解：设乙队单独完成该计划需要 x天，则甲队单独完成该计划需要  4x  天， 根据题意得： 1 11.5 4x x    解得： 12x  ， 经检验： 12x  是原方程的解，且符合题意， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 此时 4 8x   ， 答：甲队单独完成该计划需要 8天，乙队单独完成该计划需要 12天； （2）解：设甲队做了m天，则乙队做了   1 8 12 1.51 12 m m    天， 根据题意得：  8 6 12 1.5 67m m   解得： 5m  ， 答：甲队至少做了 5天． 5．(1)甲，乙采冰队每天采冰分别为 60立方米，40立方米 (2)6天 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方 程和不等式解决问题． （1）设乙采冰队每天能采冰的体积是 x立方米，则甲采冰队每天能采冰的体积是1.5x立方米．根 据甲队取 360立方米的冰比乙队取同样体积的冰少用 3天可得： 360 3603 1.5x x   ，解方程并检验 可得求解； （2）设安排甲队工作 m天，可得：60 40 30 1560m    ，解之即可求解． 【详解】（1）解：设乙采冰队每天能采冰的体积是 x立方米，则甲采冰队每天能采冰的体积 是1.5x立方米．根据题意，得 360 360 3 1.5x x   ， 解得： 40x  ， 经检验， 40x  是原方程的解，也符合题意， ∴1.5 60x  ， 答：甲，乙采冰队每天采冰分别为 60立方米，40立方米． （2）解：设安排甲队工作 m天，根据题意，得 60 40 30 1560m    ， 解得： 6m  ， 答：至少安排甲队工作 6天． 6．(1)甲工程队单独施工完成全部工程各需要 40天，乙工程队单独施工完成全部工程各需要 60天； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 (2)选甲工程队单独施工完成 (3)28天 【分析】（1）设甲施工队单独完成此项工程需 x天，依据等量关系列方程求解； （2）先根据“若由两队同时进场施工完成全部工程，共需要工程费用 384000”求出甲乙队每天 工程的费用，进而求出甲乙队完成全部工程的费用，比较即可得到结论； （3）设甲工程队要施工 y天，则乙工程队要施工 11 40 60 y      天才能完成全部工程，根据两个 工程队完成全部工程施工总费用不超过 378000列出不等式，解不等式即可得到结论． 【详解】（1）解：设甲施工队单独完成此项工程需 x天，则乙施工队单独完成此项工程需1.5x 天． 根据题意得 5 1 121 1 1.5x x x        ． 解这个方程得 40x  ． 经检验 40x  是所列方程的解． ∴当 40x  时，1.5 60x  ． 答：甲工程队单独施工完成全部工程需要 40天，乙工程队单独施工完成全部工程需要 60天； （2）解：方案为：选甲工程队单独施工完成． 理由如下：由题意可得两队同时进场施工完成全部工程所需要的天数为 1 11 24 40 60        （天）， 设乙队每天工程费用为 a元，则甲乙队每天工程费用为  2000a  元， 由题意得  24 2000 384000a a   ， 解得 7000, 2000 9000a a   ， ∴甲队完成全部工程费用为9000 40 360000  （元），乙完成全部工程费用为7000 60 420000  （元）， 又两队同时进场施工完成全部工程共需要工程费用384000元， ∵360000 384000 420000  ， ∴选甲工程队单独施工完成； （3）解：设甲工程队要施工 y天，则乙工程队要施工 11 40 60 y      天才能完成全部工程， 由题意得 19000 7000 1 378000 40 60 yy         ， 解得 28y  ， 答：甲工程队至少要施工 28天． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 【点睛】本题主要考查了分式方程、一元一次方程、一元一次不等式的应用，分析题意，找到 关键描述语，找到合适的等量关系或不等关系是解决问题的关键． 7．(1)30 (2)甲、乙两队工作一天的劳务费分别为 3000元、10000元 (3)70 【分析】（1）设乙队单独施工 x天完成全部工程，根据甲队单独施工 30天完成总工程的 13求 出甲队单独施工完成全部工程的天数，根据两队完成工程量的和等于总工程量列方程，求得乙 队单独施工 30天完成全部工程，注意分式方程要检验； （2）设甲、乙两队工作一天的劳务费分别为 m元、n元, 根据甲队工作 4天，乙队工作 3天 共需支付工程劳务费 42000元，甲队工作 5天，乙队工作 6天共需支付工程劳务费 75000元， 列方程组求解， 得到甲、乙两队工作一天的劳务费分别为 3000元、10000元； （3）设甲队单独施工 a天，乙队单独施工 b天，根据两个工程队不同时施工，总劳务费不超 过 28万元，两队完成工程量等于总工程量，列出0.3 28a b  与 190 30 a b   ，求出 a的取值范围， 根据最快完成总工程的要求，求出  a b 的最小值即可． 【详解】（1）设乙队单独施工 x天完成全部工程， ∵甲队单独施工完成全部工程的天数是 130 903   （天）， ∴ 1 15 15 13 90 x    ， 解得， 30x  ， 经检验， 30x  是所列方程的根，且符合题意， 故乙队单独施工 30天完成全部工程； （2）设甲、乙两队工作一天的劳务费分别为 m元、n元, ∴ 4 3 42000 5 6 75000 m n m n      ， 解得， 3000 10000 m n    ， 故甲、乙两队工作一天的劳务费分别为 3000元、10000元； （3）设甲队单独施工 a天，乙队单独施工 b天， 则0.3 28a b  原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 ∵ 190 30 a b   ， ∴ 130 3 b a  ， ∴ 10.3 30 283 a a   ， ∴ 60a  ， ∵ 1 230 303 3 a b a a a      ，且 60a  ， ∴ 2 230 60 30 70 3 3 a      ∴在总劳务费不超过 28万元的情况下，则最快 70天能完成总工程． 故答案为：70． 【点睛】本题主要考查了工程问题，解决问题的关键是熟练掌握工作量与工作效率和工作时间 的关系，总劳务费与每天劳务费和劳务时间的关系，解分式方程与二元一次方程组等等，熟知 相关知识是解题的关键． 8．25 【分析】根据题意设甲、乙、丙、丁车间的人数分别为 a b c d, ,, 人，甲、乙、丙、丁车间的日生 产量分别为 , , ,x y z w，则根据甲车间、丙车间的日生产之和比乙车间、丁车间的日生产之和少 1650件，转化为只含有 , , ,a d x z的方程，进而根据因式分解化简得    2 225 825a d z   ，根据不 等式求得 2 225z  的范围，根据a d 是整数，即可求得 2 225z  的值，进而求得 3a d  ，根据题 意列出代数式，并根据一次函数的性质求得当 22d  时， 3a d 取得最大值，即可求得 a的值， 即可解决问题． 【详解】根据题意设甲、乙、丙、丁车间的人数分别为 a b c d, ,, 人，甲、乙、丙、丁车间的日生 产量分别为 , , ,x y z w，则： 3 40 48 a b c d a d        ， 3 450 2 230 3 x w y z x z z x           ， 1650ax cz by dw    ， , 3 , 3 ,b a c d y z w x     ， 450x z  ，  1650ax cz by dw    ， 3 3 1650ax dz az dx    ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 即3 3 1650az ax dx dz    ， 3 ( ) ( ) 1650z a d x a d    ，   (3 ) 1650a d z x   ， 又 450x z  ，     3 450 1650a d z z    ， 即    2 225 825a d z   ， 825 2 225 a d z     ， ∵ 450 2 230 3 x z z x       ， 即 2 450 230 3 z z   ， 解得220 270z  ， 215 2 225 315z    ， ∵a d 是整数，即 825 2 225z  是整数，  2 225 275z   ， 3, 250a d z    ， 200x  ， 设甲、丙两车间当日生产量之和为 W， 则W  ax cz   3 (450 ) 3 1440 3 1350ax d x ax dx d a d x d        ，  200 3 1350W a d d    ， ∵ 0x  ，则当 3a d 最大时，W取得最大值， ∵ 3a d  ， 3a d   ， 3 3 3 3 2a d d d d       ，  200 2 2 1350 950 400W d d d      ， ∵40 48a d   ， 即 40 2 3 48d   ， 18.5 22.5d   ， 22d  时，W取得最大值， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 此时 3 22 3 25a d     ， 故答案为：25． 【点睛】本题考查了方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的性质求最值问题，理 清题中各关系量是解题的关键． 9．（1）乙服装的进价为 140 元，甲服装的进价为 160 元；（2）有三种方案：甲服装的进 货量为 60件，乙服装的进货量为 40件；甲服装的进货量为 61件，乙服装的进货量为 39件； 甲服装的进货量为 62 件，乙服装的进货量为 38 件；（3）应选择甲服装购进 62件，乙服装 购进38件，才能获得最大利润 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用及整式加减的应用． （1）设乙种服装的进价 x元，甲种服装进价 20x 元．根据用 3200元购进甲服装与用 2800元 购进乙服装的件数相同，列分式方程求解即可； （2）设计划购买 y件甲种服装，则购买  100 y 件乙种服装，根据甲种服装不少于 60件，且 购进这 100件服装的费用不得超过 15250元得   60 160 140 100 15250 y y y      ，解得60 62.5y  的整 数，即可解答； （3）根据题意，甲种服装的售价为  240 a 元，乙种服装的售价为210元，由（2）中三种方案 分别计算比较即可． 【详解】解：（1）设乙种服装的进价 x元，甲种服装进价  20x  元． 根据题意： 3200 2800 20x x   ， 解得： 140x  ， 经检验， 140x  是原分式方程的解， 则140 20 160  （元） 答：乙服装的进价为 140 元，甲服装的进价为 160 元； （2）设计划购买 y件甲种服装，则购买  100 y 件乙种服装， 根据甲种服装不少于 60件，且购进这 100件服装的费用不得超过 15250元， 得   60 160 140 100 15250 y y y      ， 解得：60 62.5y  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 ∵ y为正整数， ∴ 60, 61, 62y  ， 则有三种方案： 甲服装的进货量为 60件，乙服装的进货量为100 60 40  （件）； 甲服装的进货量为 61件，乙服装的进货量为100 61 39  （件）； 甲服装的进货量为 62 件，乙服装的进货量为100 62 38  （件）； （3）根据题意，甲种服装的售价为    160 1 50% 240a a     元， 乙种服装的售价为  140 1 50% 210   元， 当甲服装购进 60件，乙服装购进40件，则利润为：      240 160 60 210 140 40 4800 60 2800 7600 60a a a           （元）； 当甲服装购进 61件，乙服装购进39件，则利润为：      240 160 61 210 140 39 4880 60 2730 7610 61a a a           （元）； 当甲服装购进 62件，乙服装购进38件，则利润为：      240 160 62 210 140 38 4960 60 2660 7620 62a a a           （元）； ∴        7620 62 7610 61 10 , 7610 61 7600 60 10a a a a a a          ∵0 10a  ， ∴10 0a  ， ∴7600 60 7610 61 7620 62a a a     ， 答：应选择甲服装购进 62件，乙服装购进38件，才能获得最大利润．