【专项练】一元一次不等式分配问题-北京版七年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 分配问题 1．(1)购进A种纪念品每件需要 10元，购进 B种纪念品每件需要 5元 (2)商家购进A纪念品 53件，则购进 B纪念品 47件，获利最大，最大利润是 353元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、一元一次不等式组及一次函数在实际问题中的应用， 理清题中的数量关系是解题的关键． (1)依据题意，设购进A种纪念品每件价格为 x元， B种纪念品每件价格为 y元，进而列方程组 计算可以得解； (2)依据题意，设购进A种纪念品m件，总利润为w元，根据题意列出关于m的一元一次不等式， 解不等式得出m的取值范围，列出总利润关于购买A种纪念品m件的函数关系式，根据一次函 数的性质可得答案． 【详解】（1）解：由题意，设购进A种纪念品每件价格为 x元， B种纪念品每件价格为 y元， 8 7 115 4 11 95 x y x y      ，解得 10 5 x y    ， 答：购进A种纪念品每件需要 10元，购进 B种纪念品每件需要 5元； （2）解：设商家购进A纪念品m件，则购进 B纪念品  100 m 件，所获利润为w元， 由题意得：  4 3 100 300w m m m     ，  750 10 5 100 765m m    ， 50 53m   ， 1 0 ， w 随m的增大而增大， 当 53m  时，w有最大值，最大值为 353，此时，100 47m  ， 商家购进A纪念品 53件，则购进 B纪念品 47件，获利最大，最大利润是 353元． 2．(1) 3 1 x y    (2)当购买消毒液 18瓶，购买乙消毒液 12瓶时，总费用最少，最少费用为 66元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解 题的关键是：单价与单价和数量的关系，正确列出二元一次方程组；列出 w关于 a的函数关 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 系式． （1）设每桶甲消毒液的价格是 x元、每桶乙消毒液的价格是 y元，根据题意列二元一次方程 组，解方程组即可求解； （2）根据题意可得出关于 a的一元一次不等式组 ，解之即可得出 a的取值范围，再根据所需 资金总额=甲种消毒液的价格×购进数量+乙种消毒液的价格×购进数量，即可得出 W关于 a的 函数关系式，再利用一次函数的增减性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设每瓶甲消毒液的价格是 x元，每瓶乙消毒液的价格是 y元， 根据题意得： 17 13 64 13 17 56 x y x y      ， 解这个方程组得： 3 1 x y    （2）根据题意，得  3 1 30 2 30W a a a      由已知，得     2 30 30 5 a a a a        ， 解得：17.5 20a  ． a 是正整数， a 可取 18，19，20． 2 0 ， W 随 a的增大而增大， 当 a取最小值 18，30 12a  时，W取得最小值， 即 2 18 30 66W    最小 ． 答：当购买消毒液 18瓶，购买乙消毒液 12瓶时，总费用最少，最少费用为 66元． 3．(1)甲种月饼每个的单价为 7.5元，乙种月饼每个的单价为 5元 (2)120个 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意正确列方程和不等式是 解题的关键． （1）设乙种月饼每个的单价为 x元，则甲种月饼每个的单价为1.5x元，根据“购进甲种月饼的 数量比乙种月饼的数量多 40个”列出方程求解即可； （2） 设购进甲种月饼m个，则购进乙种月饼  200 m 个，根据“总金额不超过 1300元”列出不 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 等式求解即可． 【详解】（1）解：设乙种月饼每个的单价为 x元，则甲种月饼每个的单价为1.5x元， 依题意得： 1200 600 40 1.5x x   ， 解得： 5x  ， 经检验， 5x  是原方程的解， 则1.5 1.5 5 7.5x    ， 答：甲种月饼每个的单价为 7.5元，乙种月饼每个的单价为 5元． （2）设购进甲种月饼m个，则购进乙种月饼  200 m 个， 依题意得：  7.5 5 200 1300m m   ， 解得： 120m  ， 答：最多购进 120个甲种月饼． 4．(1)A型每台6000元、 B型每台4000元 (2)该中学至少需要再拿出 4台旧电脑进行抵值 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用； （1）设A型每台 x元、 B型每台b元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． （2）设原计划购买 y台 B型电脑，则原计划拿出 (30 )y 台旧电脑，根据购买 B型电脑的数量是 旧电脑数量的 2倍，可列出关于 y，a的二元一次方程，变形后可得出 120 9y a  ，利用总价单 价数量，结合购买 B型电脑的实际总费用不少于 100000元，可列出关于 a的一元一次不等式， 解之可得出 a的取值范围，再结合 a， 120 9 a 均为正整数，即可找出 1 3 a的最小值为 4． 【详解】（1）解：设A型每台 x元、 B型每台b元，根据题意得， 2 3 24000 3 8 20 2500 x b x b       解得： 6000 4000 x b    答：A型每台6000元、 B型每台4000元 （2）解：设原计划购买 y台 B型电脑，则原计划拿出 (30 )y 台旧电脑， 根据题意得： 12 30 3 y a y a        ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 120 9 y a   ． 购买 B型电脑的实际总费用不少于100000元， 14000( ) 1000 30 100000 3 y a y a          ， 即 1 1 14000 30 10 1000 10 100000 9 9 3 a a a a                         ， 解得： 135 14 a  ， 1 45 3 14 a  ． 答：该中学至少需要再拿出 4台旧电脑进行抵值． 5．(1)  20 29000 0 100y x x     (2)总运费最低的调运方案是从甲县调往 A镇水泥100吨，则从甲县调往 B镇水泥100吨，从乙 县调往 A镇水泥 0吨，从乙县调往 B镇水泥300吨．，最低运费是 27000元． 【分析】（1）设从甲县调往 A镇水泥 x吨，则从甲县调往 B镇水泥  200 x 吨，从乙县调往 A 镇水泥  100 x 吨，从乙县调往 B镇水泥  200 x 吨，再根据每吨的运费列出总运费 y关于 x的 函数关系式，并求出 x的取值范围即可； （2）根据一次函数的性质和 x的取值范围，求出最低的调运方案及最低运费即可； 本题主要考查了一次函数与一元一次不等式组的实际应用问题，用 x表示运往各地的吨数是解 决本题的关键． 【详解】（1）解：设从甲县调往 A镇水泥 x吨，则从甲县调往 B镇水泥  200 x 吨，从乙县 调往 A镇水泥  100 x 吨，从乙县调往 B镇水泥  200 x 吨， 则总费用 40 80(200 ) 30(100 ) 50(200 )y x x x x       整理得： 20 29000y x   ∵ 100 0 200 0 0 x x x        ， 解得0 100x  ， 即总运费 y关于 x的函数关系式为  20 29000 0 100y x x     ； （2）∵ 20 0  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 ∴ y随 x的增大而减小 ∵0 100x  ， ∴当 100x  时，最低运费为： 20 100 29000 27000y      ， 此时从甲县调往 A镇水泥100吨，则从甲县调往 B镇水泥100吨，从乙县调往 A镇水泥 0吨， 从乙县调往 B镇水泥300吨． 答：总运费最低的调运方案是从甲县调往 A镇水泥100吨，则从甲县调往 B镇水泥100吨，从乙 县调往 A镇水泥 0吨，从乙县调往 B镇水泥300吨．，最低运费是 27000元． 6．(1)A型机器人的进价为 4500元； B型机器人的进价为 3000元； (2)商场应购买A型机器人 3台， B型机器人 2台，总费用为 19500元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确 的列出二元一次方程组和一元一次不等式组并求解是解题的关键． （1）设 B型机器人的进价为 x元，则A型机器人进价为  1 50% x 元，设购进 B型机器人m台， 则购进A型机器人  2m 台，根据题意列出方程组，解方程即可． （2）设再次购买A型机器人 a台，则购买 B型机器人 5 a（ ）台，根据题意列出不等式组，解不 等式即可． 【详解】（1）解：设 B型机器人进价为 x元，购进 B型机器人m台，则A型机器人进价为  1 50% 1.5x x  元，购进A型机器人  2m 台， 根据题意，可列方程 1.5 ( 2) 27000 12000 x m xm     ， 解得 3000x  ， 即 B型机器人进价为 3000元，A型机器人进价为  1 50% 3000 4500   元． （2）解：设再次购买A型机器人 a台，则购买 B型机器人  5 a 台， 根据题意，得   5 4500 3000 5 20000 a a a a       ， 解得 5 10 2 3 a  ， 由于 a为整数，所以 3a  ， 总费用为3 4500 2 3000 19500    元， 故商场应购买A型机器人 3台，B型机器人 2台，总费用为 19500元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 7．(1)A型航模的单价为300元， B型航模的单价为 240元； (2)最多可购买A型航模10架． 【分析】（1）设 B型航模的单价为 x元，则A型航模的单价为  60x  元，根据用1500元购买A 型航模与用1200元购买 B型航模的数量相等，可以列出相应的分式方程，然后求解即可； （ 2）设购买A型航模m架，则购买 B型航模  15 m 架，根据（1）中的结果和购买两种航模的 总金额不超过 4200元，可以列出相应的不等式，然后求解即可； 本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的分 式方程和不等式，注意分式方程要检验． 【详解】（1）解：设 B型航模的单价为 x元，则A型航模的单价为  60x  元， 由题意可得： 1500 1200 60x x   ， 解得 240x  ， 经检验： 240x  是分式方程的解，且符合题意， ∴ 60 300x   ， 答：A型航模的单价为300元，B型航模的单价为 240元； （2）解：设购买A型航模m架，则购买 B型航模  15 m 架， ∵购买两种航模的总金额不超过 4200元， ∴  300 240 15 4200m m   ， 解得 10m  ， 答：最多可购买A型航模10架． 8．(1)足球的单价是 80元，排球的单价是 65元 (2)70个 【分析】（1）设足球的单价是 x元，则排球的单价是 ( 15)x  元，根据数量总价 单价，结合 用 480元购买足球的数量和用 390元购买排球的数量相同，即可得出关于 x的分式方程，解之 经检验后即可得出结论； （2）设学校可以购买m个足球，则可以购买 (100 )m 个足球，利用总价单价数量，结合购 买足球和排球的总费用不超过 7550元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最 大整数值即可得出结论． 【详解】（1）解：设足球的单价是 x元，则排球的单价是 ( 15)x  元， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 依题意得： 480 390 15x x   ， 解得： 80x  ， 经检验， 80x  是原方程的解，且符合题意， 15 65x   ． 答：足球的单价是 80元，排球的单价是 65元． （2）解：设学校可以购买.m .个足球，则可以购买 (100 )m 个排球， 依题意得：80 65(100 ) 7550m m   ， 解得： 70m  ． 又 m 为正整数， m 可以取的最大值为 70． 答：学校最多可以购买 70个足球． 9．(1)A型汽车的进价为每辆 15万元，B型汽车的进价为每辆 10万元 (2)最多可以购买 40辆 A型汽车 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，弄清数量关系是解题 关键． （1）设 B型汽车的进价为每辆 x万元，则 A型汽车的进价为每辆万元，根据用 1500万元购 进 A型汽车的数量比 1200万元购进 B型汽车的数量少 20辆，列出方程求解即可． （2）设购买 m辆 A型汽车，则购买辆 B型汽车，根据购进 A型和 B型汽车共 100辆的总价 是不多于 1200万元，列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设 B型汽车的进价为每辆 x万元，则 A型汽车的进价为每辆1.5x万元，依 题意得： 1500 120020 1.5x x   ， 解得： 10x  ， 经检验， 10x  是方程的解，且符合题意，此时1.5 15x  ， 答：A型汽车的进价为每辆 15万元，B型汽车的进价为每辆 10万元； （2）解：设购买 m辆 A型汽车，则购买  100 m 辆 B型汽车，依题意得：  15 10 100 1200m m   ， 解得： 40m  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 答：最多可以购买 40辆 A型汽车． 10．(1)见解析 (2)电学器材的订购单价是每套140元，光学器材的单价是每套 100元 (3)1120元 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用： （1）利用数量总价 单价填表即可； （2）利用订购的电学器材的数量比光学器材的数量多 150套建立方程，求解即可； （3）设电学器材的订购m套，则光学器材订购  10 m 套，建立不等式组   3 140 100 10 1240 m m m      ， 求出m的情况，再分类讨论计算比较即可． 【详解】（1）解：光学器材的单价为 x元，则购买数量为 35000x ， ∵电学器材的订购单价是光学器材订购单价的 1.4倍， ∴电学器材的单价为1.4x元，则购买数量为 700001.4x ， 则填表如下： 单价（元） 数量（套） 总费用 （元） 光 学 x 35000 x 35000 电 学 1.4x 70000 1.4x 70000 （2）解：由题意得， 70000 35000 150 1.4x x   ， 整理得： 50000 35000 150 x x   ， 去分母得：50000 35000 150x  ， 解得： 100x  ， 经检验： 100x  ，是原方程的解，且符合题意， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 ∴1.4 1.4 100 140x    ， 答：电学器材的订购单价是每套140元，光学器材的单价是每套 100元； （3）解：设电学器材的订购m套，则光学器材订购  10 m 套， 由题意得：   3 140 100 10 1240 m m m      ， 解得：3 6m  ， ∵m为正整数， ∴m可取3,4,5,6， ∴有 4种方案， 方案一：电学器材的订购 3套，则光学器材订购 7套，费用为140 3 100 7 1120    元； 方案二：电学器材的订购 4套，则光学器材订购 6套，费用为140 4 100 6 1160    元； 方案一：电学器材的订购 5套，则光学器材订购 5套，费用为140 5 100 5 1200    元； 方案二：电学器材的订购 6套，则光学器材订购 4套，费用为140 6 100 4 1240    元， ∵1120 1160 1200 1240   ， ∴按照这些方案订购最低总费用为 1120元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 分配问题 1．校园文化艺术节来临之际，我校八年级某班学生热情高涨，积极准备．在班会时间讨论后， 决定购进A、 B 两种含有铁一元素的纪念品．若购进A种纪念品 8件， B 种纪念品 7件，需要 115元；若购进A种纪念品 4件， B 种纪念品 11件，需要 95元． (1)求购进A、 B 两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该班级决定购进这两种纪念品共 100件，用于购买这 100件纪念品的资金不少于 750元， 但不超过 765元，且销售每件A种纪念品可获利润 4元，每件 B 种纪念品可获利润 3元，该如 何进货，获利最大？最大利润是多少元？ 2．东港市某学校要购买甲、乙两种消毒液用于日常预防，经市场调查，将获取相关数据整理 如下： 购买的数量（单位：瓶） 总费用（元） 甲消毒液 乙消毒液 17 13 64 13 17 56 (1)每瓶甲消毒液、每瓶乙消毒液的价格分别是多少元？ (2)如果该校计划购买甲、乙两种消毒液共 30瓶，其中购买甲消毒液 a 瓶，且甲消毒液的数量 至少比乙消毒液的数量多 5瓶，又不超过乙消毒液的数量的 2倍，则怎样购买才能使总费用W 最少？并求出最少费用． 3．中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的月饼．已 知购进甲种月饼的金额是 1200元，购进乙种月饼的金额是 600元，购进甲种月饼的数量比乙 种月饼的数量多 40个，甲种月饼的单价是乙种月饼单价的 1.5倍． (1)求超市购进甲、乙两种月饼的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种月饼共 200个，若总金额不超过 1300 元．问最多购进多少个甲种月饼？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 4．一家电脑公司有A型、B 型、C 型三种型号的电脑，其中C 型每台2500元．某中学计划从这 家电脑公司购进电脑． (1)已知购买 2台A型电脑和 3台 B 型电脑需要24000元，且购买 3台A型电脑和 8台 B 型电脑的 费用刚好可以买 20台C 型电脑．求A型电脑和 B 型电脑的售价． (2)这家电脑公司为提高 B 型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台 B 型电脑时，可以用 一台旧电脑抵值 1000元．该中学计划只购买 B 型电脑，拿出的旧电脑和购买的 B 型电脑数量一 共是30台．若要使购买 B 型电脑的数量是旧电脑数量的 2倍，且购买 B 型电脑的实际总费用不 少于100000元，则要在计划的基础上再多买 a 台 B 型电脑，此时该中学需要再拿出 1 3 a 台的旧电 脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？ 5．为支援灾区的灾后重建，甲、乙两县分别筹集了水泥 200 吨和 300吨支援灾区，现需要调 往灾区 A 镇 100吨，调往灾区 B 镇 400吨．已知从甲县调运一吨水泥到 A 镇和 B 镇的运费分 别为 40元和 80元；从乙县调运一吨水泥到 A 镇和 B 镇的运费分别为 30元和 50元． (1)设从甲县调往 A 镇水泥 x 吨，求总运费 y 关于 x 的函数关系式； (2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？ 6．随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了购物效率 和顾客的满意度．某商场计划购进一批智能机器人，其计划单中部分信息如下： 型号 单价（元） 数量（台） 总金额（元） A型 27000 B 型 12000 已知计划购进A型机器人比购进 B 型机器人多 2台，且A型机器人的进价比 B 型机器人的进价 每台高 50%． (1)求A， B 两种型号的机器人的进价各是多少？ (2)春节将至，为应对购物高峰，商场决定用不超过 20000元再次购买这两种型号的机器人共 5 台，并要求再次购买的A型机器人的数量不少于 B 型机器人的数量，问该商场如何采购这批机 器人？总费用是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 7．为参加金湾区科技节比赛活动，某学校购买A，B 两种型号的航模，已知A型航模比 B 型航 模的单价多60元，且用1500元购买A型航模与用1200元购买 B 型航模的数量相等． (1)求A， B 两种型号航模的单价． (2)学校计划购买A，B 两种型号航模共15架，购买两种航模的总金额不超过 4200元，请问最多 可购买A型航模多少架？ 8．第一届全国青少年三大球运动会于 2024年 11月 20日至 11月 28日在长沙市和岳阳市举 行．有来自全国 25个省、自治区、直辖市的 96支队伍、约 1500名运动员到湖南省参赛，决 赛场次总计 308场．长沙市南雅中学作为本次三大球运动会的承办地之一，承担了足球赛事．在 筹备期间，为了确保赛事顺利进行，学校准备一次性购买若干个足球和排球，用 480元购买足 球的数量和用 390元购买排球的数量相同，已知足球的单价比排球的单价多 15元． (1)足球和排球的单价各是多少元？ (2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共 100个，但要求其总费用不超过 7550元， 那么学校最多可以购买多少个足球？ 9．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某 汽车销售决定采购新能源A型和 B 型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆 B 型汽车的进 价的 1.5倍，若用 1500万元购进A型汽车的数量比 1200万元购进 B 型汽车的数量少 20辆． (1)A型和 B 型汽车的进价分别为每辆多少万元； (2)该公司决定用不多于 1200万元购进A型和 B 型汽车共 100辆，最多可以购买多少辆A型汽 车？ 10．为培养学生的动手实验能力，某校初二年级购进光学和电学两种实验器材，花费分别是 35000元和 70000元，已知电学器材的订购单价是光学器材订购单价的 1.4倍，并且订购的电 学器材的数量比光学器材的数量多 150套．设购买光学器材的单价为 x 元． (1)根据题意，用含 x 的式子填写下表： 单价（元） 数量（套） 总费用（元） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 光学 x 35000 电学 70000 (2)根据题意列出方程，求该校初二年级购买的两种实验器材的单价各为多少元？ (3)该校初二年级某班计划再订购这两种器材共 10套来备用，其中电学器材订购数量不低于 3 套，且两种器材总费用不超过 1240元，这个班订购这两种器材有多少种方案？按照这些方案 订购最低总费用为多少元？