【专项练】解一元一次不等式（组）-北京版七年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 解一元一次不等式（组） 1．已知 ， 为实数，对任何满足 的实数 ，都有 成立，则 的最大值为 ． 2．已知 （ 为常数）的解集为 ，则关于 的一元一次不等式 的解集为 ． 3．若不等式 2x＜4 的解都能使关于 x 的一元一次不等式(a－1)x＜a＋5 成立，则 a 的取值范 围是 ． 4．已知 ，求 的最大值和最小值． 5．若关于 x 的不等式 的解集为 ，则关于 x 的不等式 的解集 是 ． 6．对非负实数 x“四舍五入”到个位的值记为 ．即当 n为非负整数时，若 ， 则 ．如 ， ．给出下列关于 的结论：① ；② ；③若 ，则实数 x 的取值范围是 ；④若 ，则 ．其中，正确的结论有 （填写所有正确的序号）． 7．已知整数 ， ， 满足不等式 ，则 ． 8．已知整数 a，b，c 满足 ，且其中任意两数之和是第三个数的整数倍，求 所 有可能的值. 9．求满足 的不同的有序整数组 的个数． 10．仔细阅读以下材料：求不等式 的解集． 我们知道，绝对值的性质是“正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的 绝对值是 0”， 根据绝对值的性质，可得： （1）当 时，原不等式为 ， ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 （2）当 时，原不等式为 ，解得， ， ， 原不等式的解集为 ． 请你仿照上述方法解决下列问题： (1)直接写出不等式 的解集； (2)求不等式 的解集． 11．已知同时满足 和 的整数 恰好为 1，2，3，则有序数对 共有 对． 12．如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的 关联方程．例如：方程 的解为 ，不等式组 的解集为 ，因为 ， 所以称方程 为不等式组 的关联方程． (1)在方程① ；② ；③ 中，不等式组 的关联方程是 ______；（填序号） (2)若不等式组 的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是 ，求常数 的值； (3)①解两个方程： 和 ；②是否存在整数 ，使得方程 和 都是关于 的不等式组 的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件 的整数 的值；若不存在，请说明理由． 13．已知关于 、 的方程组 ，其中 ，有下列说法：①当 时 ； ② 是原方程组的解；③无论 为何值时， ；④若设 ，则 ；以 上说法正确的是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 14．若关于 的不等式组 有且仅有 个整数解，且 的结果不 含二次项，则满足条件的整数 的值为 ． 15．【提出问题】已知 ，且 ， ，试确定 的取值范围． 【分析问题】先根据已知条件用 去表示 ，然后根据题中已知 的取值范围，构建 的不等式， 从而确定 的取值范围，同理再确定 的取值范围，最后利用不等式的性质即可解决问题． 【解决问题】解： ， ． ， ， ． ， ， 同理，得 ． 由 ，得 ， 的取值范围是 ． 【尝试应用】（1）已知 ，且 ， ，求 的取值范围； （2）已知 ， ，若 成立，求 的取值范围 结果用含 的式子表示 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 解一元一次不等式（组） 1．2 【详解】令 ，得 ；令 ，得 ．于是可得 ，所 以 ． 又易知： ， 时，对任何满足 的实数 ，都有 成立． 所以， 的最大值为 2． 2． / 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组），熟练掌握不等式的基本性质即可获得答案．将 整理为 ，结合 可得 ， ，进而可得 ，然后将其代 入 并求解，即可获得答案． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 解得 ． 故答案为： ． 3．1＜a≤7 【分析】先求出不等式 2x＜4 的解集，再根据不等式（a-1）x＜a+5 用 a 表示出 x的取值范围， 由 ≥2即可求出 a的取值范围． 【详解】解不等式 2x＜4 得：x＜2， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 ∵（a-1）x＜a+5， ①当 a-1＞0 时，x＜ ， ∴ ≥2， ∴1＜a≤7． ②当 a-1＜0 时，x＞ ，不合题意舍去． 故答案为 1＜a≤7． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，根据题意得到关于 a的不等式是解此题的关键． 4．当 时，有最大值为 4，；当 时，有最小值为 ． 【分析】解一元一次不等式得到未知数的取值范围，再根据未知数范围化简绝对值，即可求出 答案． 【详解】解：不等式 的解是 ， 当 时， 化简得， ∴ ； 当 时， 化简得， ． 故当 时， 的最大值是 ；当 时， 的最小值是 ． 【点睛】本题主要考查利用一元一次不等式的取值范围化简绝对值．理解和掌握不等式性质， 化简绝对值方法是解题的关键． 5． / 【分析】本题考查了解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键． 由 ，可得 ，由不等式 的解集为 ，则 ，即 且 ，可求 ，则 ，整理得 ，计算求解即可． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 【详解】解： ， ∴ ， ∵不等式 的解集为 ， ∴ ，即 且 ， 解得， ， ∵ ， ∴ ， 解得， ， 故答案为： ． 6．①③/③① 【分析】① 四舍五入到个位为 1，故①正确；②由 ，变形得 ， 得 或 或 ，说法②错误；③若 ，则 ，求解得③正 确；④反例： 时， ，故④错误； 【详解】解：① ； 四舍五入到个位为 1，故①正确； ②若 ，则 ，即 ∴ ， ∴ 或 或 ，说法②错误； ③若 ，则 ， ∴实数 x的取值范围是 ；说法③正确； ④反例： 时， ， ，故④错误； 故答案为：①③ 【点睛】本题考查对新定义和理解，不等式变形；能够理解新定义并熟练变形是解题的关键． 7．2 【详解】因为整数 ， ， 满足不等式 ， 所以 ， 即 ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 即 ． 显然 ， 故有 ， 于是有 ， ， ， 所以 ， ， ，所以 ． 8．可能是 或 0 【分析】由已知条件可得 ，由 为负整数可得 ，从而得出 ，进一 步得出 ，得出 ，最后可得结论． 【详解】由已知得： 为整数，且 ， 故 ． 为负整数， 故 ， 所以 ， 所以 ． 所以 ， 则 只可能是 或 0． 【点睛】本题考查了不等式的性质的应用，解决本题的关键是熟练掌握不等式的性质． 9．500 种 【详解】解：（1） ， ， ， 取 0，2，4，6，8； 取 0，1，2，…，9；共 50 组． （2） ， ， 取 0，2，4，6，8； 取 ，0，…，8；共 50 组． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 同理， ，每种情况， ， 恒有 50 种， 故共有 500 种． 10．(1) (2) 或 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式： （1）仿照题意分当 ，即 时，当 ，即 时，两种情况讨论求解即可； （2）仿照题意分当 ，即 时，当 ，即 时，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：当 ，即 时，原不等式为 ， 解得 ； 当 ，即 时，原不等式为 ， 解得 ； 综上所述， ； （2）解：当 ，即 时，原不等式为： ， 解得， ， 不等式的解集为 ， 当 ，即 时，原不等式为： ， 解得， ， 不等式的解集为 ， 综上所述，原不等式的解集为： 或 ． 11．30 【详解】不等式组化为 ，所以 ； 故 ； ， 共有 对． 12．(1)③ (2)2 (3)① ， ；②不存在，见解析 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 【分析】本题考查一元一次方程、一元一次不等式组的解． （1）分别求出方程①②③的解，再求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义进行判断 即可； （2）先求出不等式组 的解集，再根据不等式组的一个关联方程 的解是整 数，进而求出 m的值即可； （3）①根据一元一次方程的解法解这两个方程即可； ②求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义得出关于 m的不等式组，解不等式组即可得 出结论． 【详解】（1）解：方程① 的解为 ； 方程② 的解为 ； 方程③ 的解为 ； 不等式组 的解集为 ， ∵ ， ∴不等式组 的关联方程是方程③ ， 故答案为：③； （2）解：解不等式组 ，得 ， 因此不等式组的整数解为 ． 将 代入关联方程 0， 得 ； （3）解：① ， 解得 ； ， 解得 ； ②不存在．理由如下： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 解不等式组 ， 得 ， 假如方程 和 都是关于 的不等式组 的关联方程， 则 且 ． 解得： 且 ∴不等式组 无解， 不存在整数 ，使得方程 和 都是关于 的不等式组 的关联方 程． 13．①③④ 【分析】本题考查了含有参数的二元一次方程组，一元一次不等式的性质，掌握解方程组的方 法及不等式的性质是解题的关键．①解出方程组的解为 ，将 代入即可判定； ② 代入方程组，得到关于 的一元一次方程组，消去 即可判定；③将方程组① ②，即 可判定；④将方程组的解代入 ，可得 ，结合 即可判定． 【详解】 ，得 ，那么 ，得 ，那么 方程组的解为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 当 时，代入 ， 解得 ，故①正确； 将 代入方程组 ，得到 ③ ④，得 ，矛盾，故②错误； ① ②，得 ，整理得 ，故③正确； ，故④正确． 故答案为：①③④ 14． 【分析】先求出一元一次不等式组的解集，再根据不等式组有且仅有 个整数解，得出 ，利用多项式乘多项式化简 ，根据结果不含二次项，得出 ，结合 即可求出 的值． 【详解】解：，解不等式 ， 解得： ， 解不等式 ， 解得： ， ∴ ∵不等式组 有且仅有 个整数解， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 ∴ ， 解得： ， 又∵ ，且其结果不含二次项， ∴ 的系数为零 ∴ ∴ 解得： 或 又∵ ∴ ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式，绝对值，多项式乘多 项式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 15．（1） ；（2）当 时， 【分析】（1）仿照例子，运算求解即可； （2）仿照例子，注意确定不等式有解集时 a的取值范围即当 时，关于 x、y的不等式存 在解集，然后运算求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，① 同理，得 ，② 由①+②，得 ， ∴ 的取值范围是 ． （2）解：∵ ， ∴ ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴当 时， ，① 同理，得 ，② 由①+②，得 ， ∴ 的取值范围是 ． 【点睛】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式．能够仿照例子结合不等式的基本性质 作答是解题的关键．