【专项练】不等式性质的应用-北京版七年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 不等式性质的应用 1．若m n ，则下列不等式一定成立的是（ ） A． 2 1 2 1m n     B． 1 1 4 4 m n   C．m a n b   D． am an   2．下列命题中，正确的是（ ） A．若 a b ，c b ，则a c B．若 a b ，则 2 2a b   C．若 a b ，则 5 1 5 1a b     D．若 a b ，则 3 3a b   3．嘉淇解一道一元一次不等式的过程如下： 解： 2 8x x ◇ ，  2 8x ◇ ， □ 8x  ， x☆ 2 其中，“◇”“□”表示数字，“☆”表示不等号，则“◇”“□”“☆”分别代表（ ） A．6，4， B．6，4， C． 2 ， 4 ， D． 2 ， 4 ， 4．根据不等式的性质， 下列各组不等式变形正确的是（ ） A．如果 2 2ab cb ，那么a c B．如果a c ，那么 2 2ab cb C．如果 a b ，那么 a c b c   D．如果 a b ，那么3 2 3 2a b   5．如果 0a b > ，则下列不等式中一定成立的是（ ） A． a b B．5 3a a C．5 5a b   D． 2a ab 6．如果 a b ， 0c  ，那么下列不等式不成立的是（ ） A． a c b c   B． c a c b   C． 2 2ac bc D． a b c c  原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 7．设 a，b，c，d都是整数，且 2a b ，b 3c ， 4c d ， 10d  ，则 a的最大值是（ ） A．207 B．208 C．209 D．239 8．某商店先后两次购买了某商品，第一次买了 5件，平均价格为每件 a元，第二次买了 4件， 平均价格为每件 b元．后来商店以每件 2 a b 元的平均价格卖出，结果发现自己赔钱了，赔钱的 原因是（ ） A． a b B． a b C． a b D．a b 9．已知 a是正实数，则 2a a  的最小值等于 ． 10．一次函数 3y kx  的图象与 x轴的交点坐标为  0 , 0x ，且 02 3x  ，则 k的取值范围 是 ． 11．在数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用 x 表示不超过 x的最大整数， 2 2 ， [ 2.1] 3   ，则对于任意的实数 x，   [ ]1 2x x   的值为 ． 12．已知正整数 , ,a b c满足：a b c  ，且ab bc ca abc   ． (1)试说明： 3ab bc ac bc   ． (2)求所有符合条件的 , ,a b c． 13．对于一个各个数位数字均不为零的四位自然数 p，若千位与百位数字之和等于十位与个位 数字之和，则称 P为“等和数”．设一个“等和数” p abcd 满足 1d  （2 8a  ，1 9b  ，1 9c  ， a，b，c都为整数），将 p的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到新数 p， 并记   101 p pF p   ；一个两位数 10 2Q a b  ，将 Q的各个数位数字之和记为  H Q ；当  F p 与 17 5 3a b  的差能被  H Q 整除时，则所有满足条件的“等和数”p所组成的一组数据的中位数 是 ． 14．已知 1x ， 2x ， 3x ， 4x ， 5x 为正整数，且 1 2 3 4 5x x x x x    ，若 41 3 52 2024x xx xx     ，则 1 2 3x x x  原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 的最大值为 ． 15．如果一个各数位上的数字均不为0的四位自然数 ( )abcd c d ，满足2( )a b c d   ，则称这个 四位数为“倍差等和数”．例如：四位数5171， 7 1 ，2 (5 1) 7 1    ， 5171 是“倍差等和数”； 又如：四位数6321， 2 (6 3) 2 1    ， 6321 不是“倍差等和数”．最小的“倍差等和数”为 ； 若“倍差等和数”M abcd 能被3整除，令 2 2( )G M c a d b    ，且 12 ( )G M 为整数，则满足条件的 数M 的最大值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 不等式性质的应用 1．B 【分析】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质：不等式的两边同时加上（或 减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除 以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号 的方向改变．据此解答即可． 【详解】解：A．∵m n ， ∴ 2 2m n   ， ∴ 2 1 2 1m n     ，故此选项不符合题意； B．∵m n ， ∴ 1 1m n   ， ∴ 1 1 4 4 m n   ，故此选项符合题意； C．∵m n ， ∴m a n a   ， ∴不能判断m a n b   ，故此选项不符合题意； D．∵m n ， ∴当 0a  时， am an   ；当 0a  时， am an   ；当 0a  时， am an   ； 故此选项不符合题意． 故选：B． 2．C 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键； 根据不等式的性质：（1）不等式两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2） 不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边都乘（或除以） 同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A、 a和 c均大于b，但 a不一定大于 c，故选项错误 B、不等式两边同时乘以负数，不等号方向应改变，加减法不改变不等号的符号，故选项错误； C、不等式两边乘以负数，不等号方向改变，加减法不改变不等号的符号，故选项正确； D、不等式两边同时乘以负数，不等号方向应改变，故选项错误； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 故选：C 3．D 【分析】本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．利用不 等式的基本性质解不等式即可． 【详解】解： 2 8x x ◇ ，  2 8x ◇ ， 对比□ 8x  与 x☆ 2 ，得  8 2 4     ， ∴☆代表， 对比  2 8x ◇ 与□ 8x  ，可得 2 ◇ 即 2 4  ◇ ， ∴◇代表 2 , 故选 D 4．A 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐一判断即可求解，掌握不等式的性质 是解题的关键． 【详解】解：A、如果 2 2ab cb ，那么a c ，该选项正确，符合题意； B、如果a c ，那么当 0b  时， 2 2ab cb ；当 0b  时， 2 2ab cb ；该选项错误，不合题意； C、如果 a b ，那么 a c b c   ，该选项错误，不合题意； D、如果 a b ，那么3 2 3 2a b   ，该选项错误，不合题意； 故选：A． 5．C 【分析】本题主要考查了不等式的性质，绝对值的意义，熟知不等式的性质是解题的关键： 不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同 时乘以（或除以）同一个大于 0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同 一个小于 0的整式，不等号方向改变，根据不等式的性质逐项判断即可得出答案． 【详解】取 1a  ， 2b   ，则 3 0a b   ，  1a ， 2b  ，  a b ，故选项 A不成立．  0a b > 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3  a b ，但未说明 a的符号，当 0a  时，不等式 5 3a a ，故选项 B不一定成立． 将不等式 a b 两边同时乘以 1 得到 a b   ，然后两边同时加 5，得5 5a b   ．故选项 C 一定成立． 当 0a  ， 1b   时， 2a ab ，故选项 D不一定成立． 故选：C． 6．D 【分析】本题主要考查了不等式的性质等知识点，根据不等式的基本性质逐一判定即可得解， 熟练掌握不等式的性质是解决此题的关键． 【详解】解：A、由 , 0a b c  得到： a c b c   ,选项结论成立，故本选项不符合题意； B、由 , 0a b c  得到： c a c b   ，选项结论成立，故本选项不符合题意； C、由 , 0a b c  得到： 2 2ac bc ，选项结论成立，故本选项不符合题意； D、由 , 0a b c  得到： a b c c  ，选项结论不成立，故本选项符合题意； 故选：D． 7．A 【分析】本题考查不等式的基本性质，利用不等式的基本性质求得d，c，b，a的值即可，解 答关键是熟知不等式的基本性质：不等式基本性质 1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个 数(或式子)，不等号的方向不变；不等式基本性质 2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数, 不等号的方向不变；不等式基本性质 3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的 方向变． 【详解】解： 10d  ，d是整数， d 的最大值为9；  4c d ，c是整数， 3694  ， c 的最大值为 35；  b 3c ，b为整数，3 35 105  b 的最大值为104；  2a b ， a为整数， 2 104 208  ， a 的最大值为 207， 故选：A． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 8．A 【分析】本题主要考查不等式的性质，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，联系实 际，进而找到所求的量之间的不等关系． 首先表示 9件商品的平均价格为 5 4 9 a b 元，而以每件 2 a b 元的价格把商品全部卖掉，结果赔 了钱，所以有 29 5 4a b a b   ，继而得出 a和 b的关系． 【详解】解：∵9件商品的平均价格为 5 4 9 a b 元， ∵商店以每件 2 a b 元的平均价格卖出，结果发现自己赔钱了， ∴ 29 5 4a b a b   ， 解得： a b ， 故选：A． 9． 2 2 【分析】此题考查了二次根式的混合运算的应用．把原式变形为 2 2 2a a a         ，利用非负数 的性质和不等式的性质进行分析即可． 【详解】解：∵a是正实数， ∴ 2 2 2 2a a a a a           ， ∵ 2 2 0a a         ， ∴ 2 2 2 2a a a a          （当且仅当 2a a  时取“ ”）． ∴ 2 2 2a a ≥ ． ∴ 2a a  的最小值等于 2 2． 故答案为： 2 2． 10． 31 2 k  【分析】由 0y  ，求得 0 3x k  ，再根据已知和不等式的性质解不等式即可求解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 【详解】解：∵一次函数 3y kx  的图象与 x轴的交点坐标为  0 , 0x ， ∴由 0 3 0y kx   得 0 3x k  ， ∵ 02 3x  ， ∴ 32 3 k   ，且 0k  ， 则 2 3 3 3 k k    ，解得 31 2 k  ； 故答案为： 31 2 k  ． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题、解不等式组，正确求得 0x ，并利用不等式的 性质正确求解是解答的关键． 11．2或 3/3或 2 【分析】本题考查了新定义运算，灵活分类，依据新定义运算法则计算是解题的关键．设    0 1xx a a    ，分①当 0a  时，②当0 1a  时两种情形计算即可． 【详解】解：依题意得：设    0 1xx a a    ， ①当 0a  时，x为整数，1 ,2x x  都是整数， ∴  1 1x x   ，[ ] 22 x x   ， ∴   31 [ 1 22 ]x x x x      ， ②当0 1a  时，  1 1x x a    ，          2 2 2 1 1 0 1 1x a xax a ax              ， ∴    1 1x x   ，  [ ] 12 x x   ， ∴       21 [ 1 12 ]x x x x      ． 综上所述：   21 2[ ]x x   或 3． 故答案为：2或 3． 12．(1)见解析 (2)符合条件的 , ,a b c只有一组： 2, 3, 6a b c   【分析】本题考查了不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解答本题的关键． （1）根据题意可知1 a b c   ，可得ab bc ，ac bc ，即 ab bc ac bc bc bc     即可求解； （2）由（1）和已知条件可得 3abc ab bc ac bc    ，即 3a  ，所以 1a  或 2a  ，分两种情况代 入 ab bc ca abc   讨论即可． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 【详解】（1）解：正整数 , ,a b c满足：a b c  ， 1 a b c   ，  3ab bc ac bc bc bc bc      ． （2）解： 3abc ab bc ac bc    ，  3a  ，  1a  或 2a  ． 当 1a  时，b bc c bc   ，得到 0b c  ，这与 ,b c为正整数矛盾，  1a  ． 当 2a  时， 2 2 2b bc c bc   ，  2 2b c bc  ， 两边同时除以bc得， 2 2 1 c b   ，  2 c 与 2 b相加为 1，且2 b c  ，  2 c 与 2 b一个大于 1 2 ，一个小于 1 2 ， 4b  ， 4c  ， 解得 3, 6b c  ， 符合条件的 , ,a b c只有一组： 2, 3, 6a b c   ． 13．2781 【分析】分别求出 p、 p，可求得  F p ，由“等和数”把 b用 a、c表示，结合整除关系进行讨 论即可． 【详解】解：∵ 1000 100 10 1000 100 10p abcd a b c d p c d a b        ， ．      1000 100 10p p a c b d a c b d         ，    1010 101a c b d    ， ∵ 1a b c d d   ， ， ∴    1 1010 101 1b c a p p a c b       ， ；    10 1 9 11 2 101 p pF p a c b a c          ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 ∴    17 5 3 6 3F p a b c a     ； ①当1 5b ＜ 时，2 10b＜ ，则   2 2 2H a b c aQ      ， 而  6 3 1 3 2 2 7c a c a      ， ∴       17 5 3 6 3 63 2 2 2 2 F p a b c a H Q c a c a            ， ∵   0H Q ＞ ． ∴当2 2 1c a   或 2 2 6c a   时，  F p 与17 5 3a b  的差才能被  H Q 整除， ∴2 4c a  或 2 1c a  ， ∵ 1 1b c a    ， ∴ c a≥ ， 而 1 1 2 2 c a a   ， ∴ 1a   ， 表明2 1c a  不符合题意， ∴2 4c a  ． 由上式及2 8a  知，a只能取 2、4、6、8四个数，此时对应的 3 4 5 6c  、、、四个数， ∴b取值对应为：0，1，2，3，因 0不合题意，舍去， ∴对应的“等和数”为2231 2561 2781， ， ； ②当 5b  时，    2 10 10 2 10 1 2 10b Q a b a b      ， ， 则      1 2 10 2 9 2 7H Q a b a b c a          ， 而  6 3 3 2 7 21c a c a     ， ∴       17 5 3 6 3 213 2 7 2 7 F p a b c a H Q c a c a            ， ∵   0H Q ＞ ． ∴2 8 7c a  ＞ ． ∵2 81 9а с   ， ， ∴2 c a最大为 16，最小为 8， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 ∴2 7c a  作为 21的因数只能是 1，3，7； 当 2 7 1c a   时，即2 8c a  ， ∴ 1 4 2 c a  ． ∴ 11 6 52 b c a a     ＞ ． 解得 2a＜ 此种情况不存在； 当 2 7 7c a   时，即2 14c a  ， ∴ 18 52 b c a l a     ＞ ． a只能取 4，则 9 6c b ， ， 对应的等和数为 4141， 当2 7 3c a   时，即2 10c a  ， 则 a只能取 2，4，6，8四个数，对应地 c取 6，7，8，9四个数， 此时 b对应地取 5，4，3，2四个数， 由于 5b＞ ，只有 4691这个数满足题意； 综上，满足题意的数有五个： 2231 2561 2781 4141 4691， ， ， ， ； 这组数据中，中位数为 2781； 故答案为：2781． 【点睛】本题考查了整式的运算，通过新定义，利用整除关系，整式的运算及不等式的知识， 求得结果，注意分类讨论． 14．1211 【分析】本题考查了不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 由题意知， 1 21x x  ， 1 2 32 1x x x    ， 1 2 3 43 2 1x x x x      ， 1 2 3 4 54 3 2 1x x x x x        ， 则 1 1 1 1 11 2 3 4 2024x x x x x       ，可求 1 402.8x  ，则 1x 的最大值为 402，同理可求 2 404x  ， 则 2x 的最大值为404， 3x 的最大值为405，然后求 1 2 3x x x  的最大值即可． 【详解】解：∵ 1x ， 2x ， 3x ， 4x ， 5x 为正整数，且 1 2 3 4 5x x x x x    ， ∴ 1 21x x  ， 1 2 32 1x x x    ， 1 2 3 43 2 1x x x x      ， 1 2 3 4 54 3 2 1x x x x x        ， ∵ 41 3 52 2024x xx xx     ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 ∴ 1 1 1 1 11 2 3 4 2024x x x x x       ， 解得， 1 402.8x  ， ∴ 1x 的最大值为 402， ∴ 42 53 1622x x xx    ， ∴ 2 2 2 21 2 3 1622x x x x       ， 解得， 2 404x  ， ∴ 2x 的最大值为404， 同理， 3x 的最大值为405， ∴ 1 2 3x x x  的最大值为402 404 405 1211   ， 故答案为：1211． 15． 3113 8631 【分析】本题是新定义型，主要考查整式的加减的应用，不等式性质，难度大，理解新定义， 当“倍差等和数”为最小时，从最高数位为 1开始，依次增大，逐步分析讨论即可的结论；若 12 ( )G M 为整数，根据已知条件分析讨论即可得到答案．根据题意找出数量关系，分析讨论确定 a、b、 c、d的值是解决问题的关键． 【详解】解：①当“倍差等和数”为最小时， 若最高位上 1a  ，则 1b  时，  2 0c d a b    ，不符合各数位上的数字均不为0的四位自然数 要求； 若最高位上 2a  ，设 1b  ，由  2 2c d a b    ，由 c d 可知，此情况不成立； 若最高位上 3a  ，设 1b  ，则  2 4c d a b    ， 在c d ，且“倍差等和数”为最小时，取 1c  ， 3d  ，则此时的四位数为3113； ② 12 ( )G M 为整数， ( ) 1G M  或 2或 3或 4或 6或 12， 2( )a b c d   ， 2 2( )G M c a d b     原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 2 2 ( )c d a b    ( ))( ) ( )c d c d a b     (2 2 1)( )c d a b    ， 2 2 1c d  为奇数， ①当 ( ) 1G M  时， 1a b  ，2 2 1 1c d   ， 2( ) 2c d a b     ， 1c d  ，解得 3 2 c  ，不是自然数，不合题意舍去； ②当 ( ) 2G M  时， 2a b  ，2 2 1 1c d   ， 2( ) 4c d a b     ， 1c d  ，解得 5 2 c  ，不是自然数，不合题意舍去， ③当 ( ) 3G M  时， 1a b  ， 2 2 1 3c d   或 3a b  ，2 2 1 1c d   ， 当 1a b  ，2 2 1 3c d   时， 2( ) 2c d a b    ， 2c d  ，解得 2, 0c d  ，不合题意舍去； 当 3a b  ，2 2 1 1c d   时， 2( ) 6c d a b    ， 1c d  ，解得 7 2 c  ，不是自然数，不合题意舍 去； ④当 ( ) 4G M  时，若 4a b  ，2 2 1 1c d   ， 2( ) 8c d a b     ， 1c d  ，解得 9 2 c  ，不是自然数，不合题意舍去； ⑤ ( ) 6G M  时， 6a b  ，2 2 1 1c d   或 2a b  ，2 2 1 3c d   ， 当 6a b  ，2 2 1 1c d   时， 2( ) 12c d a b    ， 1c d  ，解得 13 2 c  ，不是自然数，不合题意舍 去； 当 2a b  ，2 2 1 3c d   时， 2( ) 4c d a b    ， 2c d  ，解得 3, 1c d  ， M abcd 能被3整除， 2a b  ，1 9a  ，  4 2 6 2 3a b c d a b b b           能被3整除， 求满足条件的数M 的最大值，  6b  ，则 8a  ， 此时的数M 为8631； ⑥当 ( ) 12G M  时， 12a b  ，2 2 1 1c d   或 4a b  ，2 2 1 3c d   ， 当 12a b  ，2 2 1 1c d   时， 2( ) 24c d a b    ， 1c d  ，解得 25 2 c  ，不是自然数，不合题意 舍去； 当 4a b  ，2 2 1 3c d   时， 2( ) 8c d a b    ， 2c d  ，解得 5, 3c d  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 M abcd 能被3整除， 4a b  ，1 9a  ，  8 2 12 2 6a b c d a b b b           能被3整除， 求满足条件的数M 的最大值，  3b  ，则 7a  ， 此时的数M 为7353； 7353 8631 ， 满足条件的数M 的最大值为8631， 故答案为：3113；8631．