【专项练】平方差公式的运算与应用-北京版七年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 平方差公式的运算与应用 1．B 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式的特点是解题的关键：    2 2x y x y x y    ． 【详解】解：A、   2 2a b a b  不能用平方差公式计算，不符合题意； B、    2 22 2 4a b a b a b    可以用平方差公式计算，符合题意； C、        2 2 2 2b a a b b a b a      不能用平方差公式计算，不符合题意； D、        2 2 2 2a b b a a b a b      不能用平方差公式计算，不符合题意； 故选：B． 2．B 【分析】本题主要考查平方差公式：   2 2a b a b a b    ，根据平方差公式逐项分析即可． 【详解】解：A、   2 2y x x y  2 24x y  ，故能够用平方差公式计算； B、   3 3x y x y   不符合平方差公式的结构，故不能够用平方差公式计算； C、    2 2 2 2 4 42 2 4x y x y x y    ，故能够用平方差公式计算； D、    2 24 4 16a b a b a b    ，故能够用平方差公式计算； 故选：B． 3．B 【分析】本题考查了平方差公式的计算，掌握平方差公式的计算方法是解题的关键． 根据平方差公式    2 2a b a b a b    进行判定即可求解． 【详解】解：A、   2 2a a  ，不满足平方差公式的形式，不能用平方差公式计算，不符 合题意； B、 1 1 1 1 2 2 2 2 a b b a b a b a                     ，满足平方差公式的形式，能用平方差公式计算， 符合题意； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 C、      a b a b a b a b       ，不满足平方差公式的形式，不能用平方差公式计算， 不符合题意； D、    2 2a b a b  ，不满足平方差公式的形式，不能用平方差公式计算，不符合题意； 故选：B ． 4．A 【分析】本题考查了运用平方差公式进行计算，熟练掌握平方差公式是解题关键．根据因式分 解的定义对式子进行分解，再根据平方差公式变形即可． 【详解】解： 202 198    200 2 200 2    2 2200 2  故选：A． 5．D 【分析】本题考查平方差公式，利用平方差公式进行简算即可． 【详解】解：    29.6 30.4 30 0.4 30 0.4 900 0.16 899.84        ； 故选 D． 6． 1 【分析】本题主要考查了整式的乘法公式——平方差公式，掌握“    2 2a b a b a b    ”是 解题关键． 利用平方差公式，将 2024 2026 变形为     2 22025 1 2025 1 2025 1     即可求解． 【详解】解：原式 2(2025 1)(2025 1) 2025    2 2 22025 1 2025   1  ． 7．(1) 2 1 36 a  (2) 2 2 0.25x y  原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 (3) 2 1nx  (4) 4416 81x y 【分析】本题主要考查了平方差公式，即    2 2a b a b a b    ． （1）根据平方差公式计算即可； （2）根据平方差公式计算即可； （3）根据平方差公式计算即可； （4）连续两次利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： 2 2 21 1 1 1 6 6 6 36 a a a a                   ； （2）解：     2 2 2 20.5 0.5 0.5 0.25xy xy xy x y         ； （3）解：      2 21 1 1 1n n n nx x x x      ； （4）解：    2 22 3 2 3 4 9x y x y x y      2 2 2 24 9 4 9x y x y   4 416 81x y  ． 8．B 【分析】本题考查了利用平方差公式求面积，由题意得出 2 2 8AB BE  ，表示出  2 212ACE AEDS S S AB BE   阴影 ，即可得出答案，采用数形结合的思想，正确表示出阴 影部分的面积是解此题的关键． 【详解】解：如图， 大正方形与小正方形的面积之差是 8，  2 2 8AB BE  ， 由图可知： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 ACE AEDS S S 阴影 1 1 2 2 AE BC AE BD     1 2 AE BC BD    1 2 AB BE AB BE    2 212 AB BE  1 8 2   4 ， 故选 B． 9．(1) 2 21S a b  ，   2S a b a b   (2)    2 2a b a b a b    (3) 162 【分析】本题考查了平方差公式的几何意义，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据正方形、长方形的面积公式即可求解； （2）根据题目已知，两图形面积相等即可写出公式； （3）根据任何数（或式）乘以1，仍得这个数（或式），即可将原式变形为        2 4 82 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1      ，然后反复运用平方差公式，即可求出结果． 【详解】（1）解：依题意得 2 21S a b  ，   2S a b a b   ； （2）解：依据阴影部分的面积相等，可得    2 2a b a b a b    ； （3）解：原式        2 4 82 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1       ，        2 2 4 82 1 2 1 2 1 2 1 1      ，      4 4 82 1 2 1 2 1 1     ，    8 82 1 2 1 1    ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5  162 1 1   ， 162 ． 10．6 【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积，根据 2 2 1 2,S m S S n S   空白 空白，得到 2 2 1 2S S m n  ，进行求解即可． 【详解】解：由图可知： 2 2 1 2,S m S S n S   空白 空白， ∴  2 2 2 21 2S S m S n S m n      空白 空白 ， ∵ 6m n  ， 1m n  ， ∴    2 2 6 1 6m n m n m n       ； ∴ 2 2 1 2 6S S m n    ； 故答案为：6． 11．(1)   2 2a b a b a b    ； (2)1； (3)2026． 【分析】（1）求出图1、2阴影部分面积即可求解； （2）利用（1）中公式   2 2a b a b a b    即可求解； （3）利用（1）中公式   2 2a b a b a b    即可求解； 本题考查了平方差公式几何背景的应用，熟练掌握   2 2a b a b a b    是解题的关键． 【详解】（1）解：图1阴影部分面积为 2 2a b ，图2阴影部分面积为   a b a b  ， 则述操作可以得到一个公式：   2 2a b a b a b    ， 故答案为：   2 2a b a b a b    ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 （2）解：由（1）得： 22024 2023 2025     22024 2024 1 2024 1     2 22024 2024 1   1 ； （3）解：原式 1 1 1 1 1 1 1 14050 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 2024 2024 2025 2025                                                                1 3 2 4 2023 2025 2024 20264050 2 2 3 3 2024 2024 2025 2025           1 20264050 2 2025    2026 ． 12．(1) 2 2a b (2) ( )( )a b a b  (3) 2 2( )( )a b a b a b    (4)①3；② 1012 2023 【分析】3本题考查了平法差公式的应用，涉及了有理数的乘方运算，熟练掌握平方差公式的 有关应用，灵活运用平法差公式是解题的关键． （1）阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积，故阴影部分面积等于 2 2a b ． （2）经分析，图 2中长方形长为  a b 、宽为  a b ．根据长方形面积公式，得长方形面 积为   a b a b  ． （3）因阴影部分图形拼接前后，面积不变，故 2 2( )( )a b a b a b    ． （4）①根据平方差公式，进行计算即可求解． ②连续使用平方差公式，进而即可求解。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 【详解】（1） 2 2S S S a b   阴影部分 小正方形大正方形 （2）经分析，拼接后的长方形长为  a b 、宽为  a b ． ∴ )( )S a b a b 长方形=( （3）∵阴影部分图形拼接前后，面积不变， ∴ 2 2( )( )a b a b a b    ． （4）①解：①∵ 2 24 12m n  ， 2 4m n  ， ∴    2 22 2 4 12m n m n m n     ∴2 3m n  ， ② 2 2 2 2 2 1 1 1 1 11 1 1 1 1 2 3 4 5 2023                            1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 2023 2023                                        3 1 2 4 3 5 2024 2022 2 2 3 3 4 4 2023 2023         1 2024 2 2023   1012 2023  故答案为：①3；② 1012 2023 ． 13．(1)B (2)4 (3)1 (4) 3210 1 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，灵活运用平方差公式是解题的关键． （1）根据两个图形中阴影部分的面积相等，分别用代数式表示出来，列出等式即可； （2）把 2 24 24a b  利用（1）的结论写成两个式子相乘的形式，然后把2 6a b  代入即可 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 求解； （3）先将 2024 2026 化成    2025 1 2025 1   ，再应用所得的公式     2 22025 1 2025 1 2025 1     ，即可计算得到结果； （4）先将 9化成  10 1 ，然后应用所得公式即可逐步计算得到结果． 【详解】（1）解：图 1中，边长为a的正方形的面积为： 2a ；边长为b的正方形的面积为： 2b ， 图 1的阴影部分为面积为： 2 2a b ， 图 2中长方形的长为： a b ，长方形的宽为：a b ， 图 2长方形的面积为：   a b a b  ，   2 2a b a b a b     ， 故选：B． （2）解： 2 24 24a b  ，   2 2 24a b a b    ， 又 2 6a b  ， 2 4a b   ， 故答案为：4． （3）解： 22025 2024 2026     22025 2025 1 2025 1      2 2 22025 2025 1   2 22025 2025 1= - + 1 ． （4）解：         2 4 8 169 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1              2 4 8 1610 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1                2 2 2 2 4 8 1610 1 10 1 10 1 10 1 10 1             4 4 4 4 8 1610 1 10 1 10 1 10 1     原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9      8 8 8 8 1610 1 10 1 10 1       16 16 16 1610 1 10 1   232 310 1 3210 1  ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 平方差公式的运算与应用 1．下列整式乘法能用平方差公式计算的是（ ） A．   2 2a b a b  B．   2 2a b a b  C．   2 2b a a b  D．    2 2a b b a  2．下列各式不能用平方差公式计算的是（ ） A．   2 2y x x y  B．   3 3x y x y   C．    2 2 2 22 2x y x y  D．    4 4a b a b  3．下列多项式的乘法中，可用平方差公式进行计算的是（ ） A． ( 2)(2 ) a a B． 1 1 2 2 a b b a         C． ( )( )a b a b   D．   2 2a b a b  4．将 202 198 变形正确的是（ ） A． 2 2200 2 B． 2 2202 2 C． 2 2200 2 200 2   D． 2 2200 2 200 2   5．计算29.6 30.4 的结果是（ ） A．900.16 B．899 C．900 D．899.84 6．用简便方法计算： 22024 2026 2025  ． 7．计算： (1) 1 1 6 6 a a         ； (2)   0.5 0.5xy xy    ； (3)    1 1n nx x  ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 (4)    2 22 3 2 3 4 9x y x y x y   ． 8．如图，大正方形与小正方形的面积之差是 8，则阴影部分的面积是（ ） A．8 B．4 C．2 D．1 9．如图①，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，将图①中阴影部分剪裁后拼 成一个长方形，如图②所示． (1)设图①中阴影部分面积为 1S ，图②中阴影部分面积为 2S ，请直接用含 a，b的代数式表 示 1S ， 2S ； (2)请写出上述过程所揭示的乘法公式； (3)试利用此公式计算：       2 4 82 1 2 1 2 1 2 1 1     ． 10．图 1为某校八（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图 2是从实践基地抽象出来的几何模 型：两块边长为m， n的正方形，其中重叠部分 B为池塘，阴影部分 1S ， 2S 分别表示八（1） （2）两个班级的基地面积．若 6m n  ， 1m n  ，则 1 2S S  ． 11．综合与实践 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 从边长为 a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方 形（如图2）． (1)上述操作可以得到一个公式：__________； (2)利用你得到的公式，计算： 22024 2023 2025  ； (3)计算： 2 2 2 2 2 1 1 1 1 14050 1 1 1 1 1 2 3 4 2024 2025                           ． 12．如图，边长为 a的大正方形内有一个边长为b的小正方形． (1)用含字母的代数式表示图 1中阴影部分的面积为_______________； (2)将图 1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图 2所示的长方形，用含字母的代数式表 示此长方形的面积为______________； (3)比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式________________． (4)【问题解决】利用（3）的公式解决问题： ①已知 2 24 12m n  ， 2 4m n  ，则 2m n 的值为___________． ②直接写出下面算式的计算结果： 2 2 2 2 2 1 1 1 1 11 1 1 1 1 2 3 4 5 2023                          ． 13．从边长为 a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图 1），然后将剩余部分拼成一个 长方形（如图 2）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 (1)上述操作能验证的等式是_____． A．  22 22a ab b a b    B．   2 2a b a b a b    C．  2a ab a a b   (2)已知 2 24 24a b  ， 2 6a b  ，则 2a b  ______． (3)应用所得的公式计算： 22025 2024 2026  ． (4)应用所得的公式计算：         2 4 8 169 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1     ．