精品解析：广东省潮州市饶平县华侨中学2024-2025学年高二下学期阶段性考试（一）数学试题

高二阶段性（一）数学学科试题 一、单选题 1. 已知函数则式子表示（ ） A. 在处的导数 B. 在处的导数 C. 在上的平均变化率 D. 在上的平均变化率 2. 借助函数的性质可以大致画出函数图象的草图.若是奇函数，且在上单调递增，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 3. 函数在区间上的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 4. 已知公比为的等比数列的前项和为，命题，命题：对恒成立，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知数列，满足，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 6. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线与直线相交于A，B两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知函数是上的可导函数，的导函数的图象如图，则下列结论不正确的是（ ） A. 分别是极大值点和极小值点 B. 分别是极大值点和极小值点 C. 在区间上是增函数 D. 在区间上是减函数 10. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 图象的一条对称轴是直线 C. 图象的一个对称中心是点 D. 函数是偶函数 11. 已知直线与圆交于两点，则（ ） A. 过定点 B. 若直线平分圆的周长，则 C. 的最小值为 D. 的中点的轨迹所形成的图形的面积为 三、填空题 12. 已知直线与曲线在点处的切线垂直，则直线的斜率为________. 13. 已知，，，若、、共面，则_____. 14. 已知直线l的倾斜角为锐角，且过抛物线的焦点，与抛物线交于A、B两点.若在该抛物线的准线上存在一点C，使得为正三角形，则直线l的斜率为_______. 四、解答题 15. 已知公差不为0的等差数列满足，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）数列满足，求的前项和． 16. 已知，如图四棱锥中，底面为菱形，，，平面，E是BC中点，F是PC上一点，且. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值. 17. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线的斜率为，求实数的值； （2）讨论函数的单调性． 18. 已知椭圆，离心率为，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与椭圆交于、两点，坐标原点到直线的距离为，求面积最大值. 19. 定义：，是函数的两个极值点，若，则称为“M函数”. （1）若为“M函数”，求m的取值范围. （2）已知函数有两个极值点. ①求a的取值范围； ②证明：为“M函数”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二阶段性（一）数学学科试题 一、单选题 1. 已知函数则式子表示（ ） A. 在处的导数 B. 在处的导数 C. 在上的平均变化率 D. 在上的平均变化率 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均变化率和导数概念判断即可. 【详解】解：因为 所以表示在上的平均变化率. 故选：C. 2. 借助函数的性质可以大致画出函数图象的草图.若是奇函数，且在上单调递增，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的对称性，单调性的图象趋势，根据排除法进行求解. 【详解】是奇函数，则图象关于原点对称，AB选项图象关于轴而不关于原点对称，排除AB； C选项的图象，在上的图象是单调递减的，排除C； 综上分析，D符合题意. 故选：D 3. 函数在区间上的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值． 【详解】， 令，解得：， 令，解得： ， ∴函数在上递增，在上递减， ∴的极大值为 ， 又，， 故所求最大值为． 故选：C. 4. 已知公比为的等比数列的前项和为，命题，命题：对恒成立，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列通项公式写出，再结合充分必要条件的定义即可判断. 【详解】由等比数列的通项公式可知， 当时，可得到，即充分性成立； 反之，若，如，不符合，所以必要性不成立. 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 5. 已知数列，满足，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算出的前4项，得到的周期，从而得到答案. 【详解】，，，，……， 故为周期数列，一个周期为3， 故. 故选：C 6. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量法来求平行线与平行平面间的距离即可. 【详解】 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，即 平面平面平面 直线到平面的距离为点到平面的距离. 设平面的法向量为，则即 令，则 点到平面的距离为. 故选：D. 7. 已知双曲线与直线相交于A，B两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设中点为，根据易知确定坐标值，再应用点差法及直线斜率的两点公式得到，进而得到双曲线参数的齐次方程求离心率. 【详解】设中点为，由题设易知，故， 因为，故， 所以，而，故， 故，故. 故选：A 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意构造函数，利用导数研究其单调性，代入对应值，可得答案. 【详解】令，则，当时，，单调递减， 因为，所以，，即，故. 故选：C. 二、多选题 9. 已知函数是上的可导函数，的导函数的图象如图，则下列结论不正确的是（ ） A. 分别是极大值点和极小值点 B. 分别是极大值点和极小值点 C. 在区间上是增函数 D. 在区间上是减函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据的正负，从而确定函数的单调性和极值点的情况，即可对每个选项进行判断. 【详解】根据的图象可知： 当时，，单调递减；当时，，且不恒为零，单调递增； 对AB：根据单调性可知，只有极小值点，没有极大值点，故AB错误； 对CD：根据单调性可知，在单调递增，在也单调递增，故C正确，D错误. 故选：ABD. 10. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 图象的一条对称轴是直线 C. 图象的一个对称中心是点 D. 函数是偶函数 【答案】BD 【解析】 【分析】根据周期可得根据最低点可求解，即可判断A，代入即可求解BC，化简，即可求解D. 【详解】由函数的部分图象知，，即，解得 过点，解得， ，选项A错误； 当时，的一条对称轴是直线，选项B正确； 令，解得的对称中心是，选项C错误； ，是定义域上的偶函数，选项D正确. 故选:BD. 11. 已知直线与圆交于两点，则（ ） A. 过定点 B. 若直线平分圆的周长，则 C. 的最小值为 D. 的中点的轨迹所形成的图形的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】求出直线所过定点判断A；利用圆的性质计算判断CD；求出轨迹方程判断D. 【详解】对于A，直线过定点，A正确； 对于B，圆的圆心，半径，当直线过点时， ，解得，B错误； 对于C，，当且仅当时，，C正确； 对于D，当点不在直线时，，点在以线段为直径的圆上， 当在直线时，点在以线段为直径的圆上，而直线不含直线， 即点不含点，因此点的轨迹是以为直径的圆（除点外）， 因此的中点的轨迹所形成的图形的面积为，D错误. 故选：AC 三、填空题 12. 已知直线与曲线在点处的切线垂直，则直线的斜率为________. 【答案】## 【解析】 【分析】应用导数的几何意义求切线的斜率，即可得直线的斜率. 【详解】由题设，则， 所以与曲线在点处的切线垂直的直线斜率为. 故答案为： 13. 已知，，，若、、共面，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量共面的充要条件以及坐标运算即可求解. 【详解】若、、共面，则， 即， 则，解得. 故答案为： 14. 已知直线l的倾斜角为锐角，且过抛物线的焦点，与抛物线交于A、B两点.若在该抛物线的准线上存在一点C，使得为正三角形，则直线l的斜率为_______. 【答案】 【解析】 【分析】设直线AB的方程为，与抛物线的方程联立利用韦达定理得到弦长，AB的中点为，由为正三角形，可得，且，建立方程求解即可. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 设直线AB的方程为，代入抛物线的方程， 可得， 设，，可得，，AB的中点为， 在该抛物线的准线上存在一点C，使得为正三角形， 可得，且， 由， 可得， 设， 又CH的斜率为，可得， 解得C的横坐标为，C的纵坐标为， 所以， 由，可得，解得负的舍去 故答案为： 四、解答题 15. 已知公差不为0的等差数列满足，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）数列满足，求的前项和． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等比中项列式求出公差，进而求出通项公式. （2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和即得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由成等比数列，得，而， 则，又，解得， 所以的通项公式是. 【小问2详解】 由（1）得， 所以. 16. 已知，如图四棱锥中，底面为菱形，，，平面，E是BC中点，F是PC上一点，且. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1） 连接AC. 底面为菱形，， 是正三角形，是BC中点， ，又， ，又平面， 平面，， 又平面，平面， 又平面， 平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先得,,即证得平面,进而证得结论. （2）以AE，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立坐标系,设,根据向量法求二面角余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，AE，AD，AP两两垂直， 以AE，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， ，， 而， 且， 设平面的法向量， ，取时，， . 设平面的法向量为， 设二面角为 ，因为为锐角，所以， 所以二面角的平面角的余弦值为. 17. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线的斜率为，求实数的值； （2）讨论函数的单调性． 【答案】（1）或 （2） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【解析】 【分析】（1）由可得； （2）由题意，对实数分类，，，进而可得. 【小问1详解】 由于，故， 解得或． 【小问2详解】 首先有． 若，则在上递减； 若，则对有， 对有． 所以在上单调递减，在上单调递增； 若，则对有， 对有． 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 18. 已知椭圆，离心率为，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与椭圆交于、两点，坐标原点到直线的距离为，求面积最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件列关于的方程，解方程求由此可得椭圆方程； （2）当直线的斜率不存在时，求的长，再求的面积，当直线的斜率存在时，设其方程为，联立方程组，结合设而不求法求弦长，再求面积解析式，再求最大值即可. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率为， 所以， 因为椭圆过点， 所以， 所以，， 所以椭圆的标准方程为：； 【小问2详解】 若直线的斜率不存在，则直线的方程为或， 若直线的方程为，联立可得，， 所以， 所以的面积为， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 因为坐标原点到直线的距离为，所以， ， 联立，可得， 方程的判别式 ， 设，， 则为方程的两个根， 所以， 所以， 即， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以， 所以面积最大值为. 综上，当直线方程为或时，面积取最大值，最大值为. 19. 定义：，是函数的两个极值点，若，则称为“M函数”. （1）若为“M函数”，求m的取值范围. （2）已知函数有两个极值点. ①求a的取值范围； ②证明：为“M函数”. 【答案】（1） （2）①； ②由①可得，易知方程存在两个不相等的实数根， 设为，由①不妨设， 令， 求导可得，由，当且仅当时取等号，则， 所以函数在上单调递增，由，则当时，可得， 由，且函数在上单调递减，则，可得； 由当时，，则函数在上单调递减， 由，则，所以， 要证，只需证， 由，则令， 求导可得，令，则， 所以函数在上单调递增，则当时，，即， 所以函数在上单调递增，则当时，， 所以不等式在上恒成立，可得， 综上所述，，所以函数为“函数”. 【解析】 【分析】（1）由函数解析式求导，根据极值点的定义建立方程，结合题意建立不等式，可得答案； （2）①由极值点定义将问题等价转化为易知函数零点分布求参数，将导数构造为新函数判断其单调性，结合零点存在性定理，建立不等式，可得答案；②明确问题为极值点偏移，构造差函数，利用单调性可得不等式，可得不等式的左边；再利用放缩，可得不等式的另一边，可得答案. 【小问1详解】 由，求导可得，令，解得， 由函数为“函数”，则， 可得，解得. 【小问2详解】 ①由，则，求导可得，令， 由题意可得函数存在两个不同的变号零点，则， 令，解得，当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增，所以， 由，令， 求导可得，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以，则， 由，则当时，函数存在两个不同的变号零点， 可得，解得. ②略 【点睛】方法点睛：解决极值点偏移问题，已知函数的极值点为，则①构造一元差函数或；②对差函数求导，判断其单调性；③结合，判断差函数的符号；④利用函数单调性，可得答案. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $