2.1基本不等式-2026年体育单招一轮复习（分层训练）

2.1基本不等式（分层训练） 目录 1 题型一、直接法求和的最小值（积为定值） 2 2 题型二、配凑法求和的最小值（积为定值） 6 3 题型三、直接法求积的最大值（和为定值） 12 4 题型四、配凑发求积的最大值（和为定值） 18 5 题型五、“1”的替换 24 6 题型六、换元法求最值 31 【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 题型一、直接法求和的最小值（积为定值） 1．若，则的最小值为（   ） A．4 B．2 C．8 D．不存在 2．函数在上的最小值是（    ） A． B．1 C．2 D．3 3．如果，，那么的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 4．若，，，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D．18 5．取最小值时的取值为（    ） A．1 B． C．2 D． 6．已知，，则的最小值为（    ） A．15 B．12 C．8 D．6 7．函数的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 8．设，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C．4 D．9 9．已知，则的最小值为（    ） A．－2 B．0 C．1 D． 10．设，则的最小值为（    ） A． B．2 C．4 D．5 11．下列函数中，最小值是2的是 A． B． C． D． 12．函数（）的最大值为（    ） A． B．1 C． D．5 题型二、配凑法求和的最小值（积为定值） 1．若，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 2．已知，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．设实数满足，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．6 4．已知，则的最小值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 5．已知，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 6．若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．若，则的最值情况是（    ） A．有最大值 B．有最小值6 C．有最大值 D．有最小值2 8．当时， 的最小值为10，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 9．若x＞1，则x+取得最小值时，x等于（    ） A．3 B．7 C．﹣2 D．4 10．已知，则的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 11．当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 12．已知x＞1，则的最小值为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 13．下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，的最小值是 D．当时，的最小值为1 14．若，则函数的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2.5 15．已知x>3，则对于，下列说法正确的是（    ） A．y有最大值7 B．y有最小值7 C．y有最小值4 D．y有最大值4 题型三、直接法求积的最大值（和为定值） 1．已知，则有（    ） A．最大值为1 B．最小值为 C．最大值为4 D．最小值为4 2．若实数，满足，则的最大值是（    ）． A． B． C． D． 3．已知，则有（    ） A．最大值为1 B．最小值1 C．最大值4 D．最小值4 4．若正实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知为正实数，且，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D． 6．若为正实数，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 7．已知，，则下列说法中正确的是（） A．y的最大值为 B．y的最小值为 C．y的最大值为 D．y的最小值为 8．已知，，且，则的最大值是（    ） A．1 B． C．2 D．3 9．已知a>0，b>0，且2a＋b＝4，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．2 10．已知，，且，则的最大值（    ） A．1 B．5 C．10 D．100 11．若，是正数，且，则有 A．最大值8 B．最小值 C．最小值8 D．最大值 12．已知正数a、b满足，则ab的最大值为（    ） A． B． C． D． 13．若，则的最大值为（    ） A．9 B．16 C．25 D．36 14．已知，则的最大值是（    ） A．1 B．2 C． D． 15．若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型四、配凑发求积的最大值（和为定值） 1．若，则的最大值为（    ） A．9 B．16 C．49 D．64 2．已知，，若，则的最大值为（    ）． A． B． C． D．1 3．的最大值为（    ） A．9 B． C．3 D． 4．已知0＜x，则x（1﹣2x）的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．若，则当取得最大值时，x的值为（    ） A．1 B． C． D． 6．函数 （其中）的最大值是（    ） A． B． C．1 D．2 7．函数y＝2x（2－x）（其中0＜x＜2）的最大值是（　　） A． B． C．1 D．2 8．若，则的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 9．已知，则的最大值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 10．设正数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 11．已知实数若，求的最大值（    ） A．1 B． C．4 D． 12．当时，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 13．不等式的最大值是（    ） A． B． C． D． 14．若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 15．若，都是正数，且，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．4 题型五、“1”的替换 1．已知，且，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 2．已知，则的最小值为（    ） A．32 B．24 C．16 D．8 3．已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．若，，，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 5．已知正数x，y满足，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．已知，且，则的最小值是（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 7．设，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知，且，则的最小值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 9．已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D．9 10．若正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 11．已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．18 B．14 C．12 D．10 12．已知，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 13．设正实数x，y满足，则（    ） A．的最大值是 B．的最小值是9 C．的最大值为 D．的最小值为2 14．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 15．已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型六、换元法求最值 1．（多选题）下列函数中，最小值为2的函数是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）以下说法中正确的有（    ） A．函数的最小值为 B．不等式的解集为 C．若，有解，则的取值范围是 D．若不等式恒成立，则的取值范围是 3．函数f(x)＝(x>1)的最小值为 ． 4．若存在，使成立，则的取值范围是 . 5．当时，函数的最小值是 ． 6．函数的最小值是 . 7．（1）求函数的最小值. （2）已知，，且，求的最小值. 8．求解下列各题： （1）求的最大值； （2）求的最小值. 9．（1）已知，求函数的值域； （2）已知，，且，求：的最小值． 10．设，求的最大值. $$2.1基本不等式（分层训练） 目录 1 题型一、直接法求和的最小值（积为定值） 2 2 题型二、配凑法求和的最小值（积为定值） 6 3 题型三、直接法求积的最大值（和为定值） 12 4 题型四、配凑发求积的最大值（和为定值） 18 5 题型五、“1”的替换 24 6 题型六、换元法求最值 31 【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 题型一、直接法求和的最小值（积为定值） 1．若，则的最小值为（   ） A．4 B．2 C．8 D．不存在 【答案】A 【分析】利用基本不等式，即可求解. 【详解】，， 当，即时，等号成立. 所以函数的最小值为4. 故选：A 2．函数在上的最小值是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用均值不等式直接计算作答. 【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号， 所以函数在上的最小值是3. 故选：D 3．如果，，那么的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【分析】直接利用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4， 故选：C. 4．若，，，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D．18 【答案】C 【分析】根据题意结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，，， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为6. 故选：C. 5．取最小值时的取值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】直接利用基本不等式求解即可． 【详解】由题意可知，， ，当且仅当，即时，等号成立， 即取最小值时的取值为． 故选：． 6．已知，，则的最小值为（    ） A．15 B．12 C．8 D．6 【答案】B 【分析】利用基本不等式计算即可. 【详解】由基本不等式可知：， 当且仅当，即时，等号成立，则的最小值为12. 故选：B 7．函数的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】直接根据基本不等式即可得结果. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，即函数的最小值为， 故选：B. 8．设，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C．4 D．9 【答案】A 【分析】先将函数化简，然后利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故选：A. 9．已知，则的最小值为（    ） A．－2 B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】由基本不等式求得最小值． 【详解】∵，∴，当且仅当即时等号成立． 故选：B． 10．设，则的最小值为（    ） A． B．2 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值. 故选：D 11．下列函数中，最小值是2的是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合基本不等式以及各个选项的定义域，即可求出的取值范围. 【详解】解：A：当时，，最小值不是2，故A错误； B：当时，，则， 当且仅当，即时等号成立，故当时，，B错误； C：，当且仅当，即时等号成立，C正确； D：因为，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立，由得，D错误. 故选:C. 【点睛】本题考查了基本不等式.在用基本不等式求最值时，注意一正二定三相等. 12．函数（）的最大值为（    ） A． B．1 C． D．5 【答案】A 【分析】根据均值不等式即可求得函数最大值. 【详解】因为 且， 故可得. 当且仅当，即时取得最大值. 故选：A. 【点睛】本题考查利用均值不等式求函数的最值，属基础题. 题型二、配凑法求和的最小值（积为定值） 1．若，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】， 因为，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立， 故最小值为6， 故选：C 2．已知，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】把化为，利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：A. 3．设实数满足，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】变形函数，再利用基本不等式求解即可. 【详解】因为 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选： 4．已知，则的最小值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】由基本不等式可得答案. 【详解】已知，则，， 当且仅当，即时“”成立，故所求最小值是16. 故选：D． 5．已知，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】利用均值不等式求解即可. 【详解】由知，， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为6. 故选：A 6．若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】由，可得， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故选：B. 7．若，则的最值情况是（    ） A．有最大值 B．有最小值6 C．有最大值 D．有最小值2 【答案】B 【分析】利用基本不等式可得答案. 【详解】若，则， 当且仅当即等号成立， 所以若时，有最小值为6，无最大值. 故选：B. 8．当时， 的最小值为10，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】应用基本不等式求解最小值,再根据最小值求参即可. 【详解】当时 , 即，故. 故选:A. 9．若x＞1，则x+取得最小值时，x等于（    ） A．3 B．7 C．﹣2 D．4 【答案】D 【分析】利用基本不等式进行求解即可. 【详解】∵x＞1， ，当且仅当，即x＝4时，等号成立. 故选：D． 10．已知，则的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】将变为，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】因为, , 当且仅当，即时取得等号， 即的最小值为12， 故选：C 11．当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，利用基本不等式求解即可. 【详解】∵，∴ ∴ 当且仅当时，即等号成立 ∴函数的最小值为 故选：B. 12．已知x＞1，则的最小值为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】B 【分析】可先将不等式写成，再根据基本不等式进行计算即可． 【详解】当时，， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值8， 故选：． 13．下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，的最小值是 D．当时，的最小值为1 【答案】B 【分析】利用基本不等式及其口诀“一正二定三相等”分析可得. 【详解】当时，，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，故A错误； 当时，，当且仅当，即时等号成立，故B正确； 当时，，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，等号不成立，故C错误； 当时，，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，等号不成立，故D错误． 故选：B. 14．若，则函数的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2.5 【答案】D 【分析】由，则，又，从而利用均值不等式即可求解. 【详解】解：因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以函数的最小值为， 故选：D. 15．已知x>3，则对于，下列说法正确的是（    ） A．y有最大值7 B．y有最小值7 C．y有最小值4 D．y有最大值4 【答案】B 【分析】利用基本不等式计算可得； 【详解】解：因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以有最小值； 故选：B 题型三、直接法求积的最大值（和为定值） 1．已知，则有（    ） A．最大值为1 B．最小值为 C．最大值为4 D．最小值为4 【答案】C 【分析】根据基本不等式，即可求得答案. 【详解】因为，根据基本不等式可得， 所以，即， 当且仅当时等号成立. 故选：C 2．若实数，满足，则的最大值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题中条件，利用基本不等式，可直接求出结果. 【详解】因为实数，满足，为使取得最大值，必有，同号， 因为，当且仅当，即或时，等号成立， 所以，因此的最大值为. 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 3．已知，则有（    ） A．最大值为1 B．最小值1 C．最大值4 D．最小值4 【答案】A 【解析】利用基本不等式求解即可. 【详解】由， 得， 当且仅当时取等号； 则有最大值为1. 故选：A. 4．若正实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】由正实数满足，结合基本不等式，求得，即可求得的最小值. 【详解】由题意，正实数满足，则， 当且仅当时，等号成立，即， 所以，即的最小值为1. 故选：A. 5．已知为正实数，且，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】根据题设条件，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，为正实数，且， 则，当且仅当，即，时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 6．若为正实数，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据基本不等式，直接求的最大值. 【详解】，， 即，解得：，当，即时等号成立， 此时的最大值是. 故选：C 7．已知，，则下列说法中正确的是（） A．y的最大值为 B．y的最小值为 C．y的最大值为 D．y的最小值为 【答案】C 【解析】根据基本不等式判断． 【详解】∵，∴， ∴，当且仅当即时等号成立， ∴的最大值是． 故选：C． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 8．已知，，且，则的最大值是（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【解析】由基本不等式运算即可得解. 【详解】因为，，且， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值是. 故选：D. 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1） “一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 9．已知a>0，b>0，且2a＋b＝4，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】由可求的范围，进而可求的最小值. 【详解】解：，，且 的最小值为 故选：C． 【点睛】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用，属于基础试题. 10．已知，，且，则的最大值（    ） A．1 B．5 C．10 D．100 【答案】C 【分析】利用基本不等式，即可得出答案. 【详解】因为， 即 ， 所以 当且仅当即时，等号成立. 故选：C 【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，属于基础题. 11．若，是正数，且，则有 A．最大值8 B．最小值 C．最小值8 D．最大值 【答案】C 【解析】利用基本不等式即可求解. 【详解】，是正数，且， 所以，解得， 即，当且仅当时取等号， 所以有最小值8. 故选：C 【点睛】本题考查了基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题. 12．已知正数a、b满足，则ab的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据基本不等式，即可容易求得结果. 【详解】因为正数a、b满足， 故可得， 当且仅当时，即时取得最大值. 故选：B. 【点睛】本题考查利用基本不等式求乘积的最大值，属基础题. 13．若，则的最大值为（    ） A．9 B．16 C．25 D．36 【答案】C 【分析】根据，可利用基本不等式直接求解得到结果. 【详解】，，. （当且仅当，即，时取等号），的最大值为. 故选：. 【点睛】本题考查利用基本不等式求解积的最大值的问题，易错点是忽略基本不等式应用的条件，即均为正实数，造成求解错误. 14．已知，则的最大值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】直接使用基本不等式可得. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值是. 故选：C 15．若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用基本不等式求得，然后利用不等式的性质求解最值即可. 【详解】因为，，，所以， 所以，当且仅当时等号成立，所以，即的最小值为. 故选：A. 题型四、配凑发求积的最大值（和为定值） 1．若，则的最大值为（    ） A．9 B．16 C．49 D．64 【答案】B 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】解：因为，所以， 所以，当且仅当，即时取等号； 故选：B 2．已知，，若，则的最大值为（    ）． A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由基本不等式求最大值． 【详解】， 当且仅当，即，时，等号成立． 故选：A． 3．的最大值为（    ） A．9 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式求目标式的最大值即可，注意等号成立的条件. 【详解】∵，则，． ∴由基本不等式得：，当且仅当，即时等号成立． 故选：B． 4．已知0＜x，则x（1﹣2x）的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式求得最大值． 【详解】因为， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 故选：C． 5．若，则当取得最大值时，x的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式即可得到答案. 【详解】因为，所以，则， 当且仅当时取“=”. 故选：D. 6．函数 （其中）的最大值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】由，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，可得， 所以，当且仅当时，即时，等号成立， 所以函数的最大值是2． 故选：D. 7．函数y＝2x（2－x）（其中0＜x＜2）的最大值是（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】 ∵ 0＜x＜2，∴ y＝2x(2－x)≤2()2＝2，当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，故函数的最大值是2.故选D. 8．若，则的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】化简函数，利用基本不等式求出最值，并验证取等条件． 【详解】因为，所以 当且仅当，即时取等号， 则的最大值为1. 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 9．已知，则的最大值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】由基本不等式求解即可 【详解】因为， 所以可得， 则， 当且仅当，即时，上式取得等号， 的最大值为2． 故选：A． 10．设正数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据正数，满足，，将变形为，利用基本不等式求解. 【详解】因为正数，满足， 所以， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最大值为， 故选：D 11．已知实数若，求的最大值（    ） A．1 B． C．4 D． 【答案】B 【解析】利用已知条件得到，，再利用基本不等式求解最值即可. 【详解】因为， 则， 所以， 当且仅当时，即时取等号， 所以的最大值为． 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 12．当时，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直接利用基本不等式求积的最大值即可，解答过程注意等号成立的条件. 【详解】∵，， ， 当，即时等号成立， ∴，即最大值为， 故选：D. 【点睛】利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 13．不等式的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将原函数解析式化为，然后利用均值不等式处理. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立. 故选：B. 【点睛】本题考查利用均值不等式求最值，难度一般，解答时注意对原函数解析式进行合理变形. 14．若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由，结合基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为，故， 则， 当且仅当，即时，等号成立； 故选：A. 【点睛】本题主要考查由基本不等式求积的最大值，熟记基本不等式即可，属于常考题型. 15．若，都是正数，且，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【解析】本题可根据基本不等式即可得出最大值． 【详解】解：由题意，可知： ，当且仅当即时取等号； 故选：． 【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题. 题型五、“1”的替换 1．已知，且，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由，可得，利用的代换结合基本不等式求出最小值． 【详解】，， 当且仅当，即时取等号. 故选：A. 2．已知，则的最小值为（    ） A．32 B．24 C．16 D．8 【答案】A 【分析】由基本不等式乘“1”法求解即可； 【详解】由， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故选：A. 3．已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式来求得正确答案. 【详解】 ， 当且仅当时等号成立. 故选：B 4．若，，，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】根据基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】由，，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 5．已知正数x，y满足，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】由基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正数x，y满足， 由基本不等式得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4. 故选：A 6．已知，且，则的最小值是（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】C 【分析】利用基本不等式中的乘“1”法求解即可. 【详解】，且， . （当且仅当，即时取等号）. 故选：C. 7．设，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件得出，将代数式与，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为，，则，因为，则， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：B. 8．已知，且，则的最小值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【分析】利用基本不等式“1”的代换求出最小值. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 9．已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D．9 【答案】B 【分析】根据已知得，利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】由，得， 则， 当且仅当时，等号成立. 故选：B 10．若正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】利用代换1法，结合均值不等式求出最小值，再解绝对值不等式即可求出选项. 【详解】因为正实数x，y满足， 所以， 当且仅当，即时取等号， 又由不等式恒成立， 所以，解得：， 故选：C. 11．已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．18 B．14 C．12 D．10 【答案】A 【分析】由条件可得，利用基本不等式中1的妙用求解即可． 【详解】由正数，满足，得，则， 则， 当且仅当且，即时，等号成立， 故的最小值为18． 故选：A． 12．已知，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，利用“”的代换和基本不等式即可求解. 【详解】因为，且，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 13．设正实数x，y满足，则（    ） A．的最大值是 B．的最小值是9 C．的最大值为 D．的最小值为2 【答案】B 【分析】利用基本不等式，结合常值代换法，配方以及取平方等方法即可求最值判断选项. 【详解】对于A，，， 当且仅当，即时，等号成立，故A错误； 对于B，， 当且仅当，即时，等号成立，故B正确； 对于C，由A可得，又， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故C错误； 对于D，， 所以的最大值为，当且仅当，即时等号成立，故D错误. 故选：B. 14．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】A 【分析】根据，由基本不等式得出的最小值8， 然后根据这个最小值确定m的取值范围. 【详解】 ， ，当且仅当时等号成立， 恒成立，， 解得. 故选：A. 15．已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】恒成立问题先转化为的最值问题，由条件等式利用常数的代换将式子转化为，再利用基本不等式求出最值，最后求解关于的不等式可得. 【详解】已知，则， 因为， 当且仅当时等号成立，由， 解得． 故的最小值为4． 因为恒成立， 所以，即， 解得，即． 故选：D 题型六、换元法求最值 1．（多选题）下列函数中，最小值为2的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】A中x无法确定正负，不能求出最值；B是二次函数，配方求解最值；C看成关于的二次函数，配方求最值；D变换构造，用基本不等式求最小值﹒ 【详解】A中的正负无法确定，其函数值可以为负数； B中，最小值为2； C中，当时，其最小值为2； D中，当且仅当，即时取等号﹒ 故选：BCD﹒ 2．（多选题）以下说法中正确的有（    ） A．函数的最小值为 B．不等式的解集为 C．若，有解，则的取值范围是 D．若不等式恒成立，则的取值范围是 【答案】CD 【分析】结合基本不等式的知识判断A选项的正确性，解不等式来判断B选项的正确性，利用分离常数法确定C选项的正确性，结合基本不等式判断D选项的正确性. 【详解】对于A选项， ①， 但，所以①等号不成立，即A选项错误. 对于B选项，对于不等式或，所以B选项错误. 对于C选项，当，有解，，在上递增，当时取得最大值，所以，所以C选项正确. 对于D选项，，当且仅当时等号成立，所以，故D选项正确. 故选：CD 3．函数f(x)＝(x>1)的最小值为 ． 【答案】8 【详解】 (解法1：基本不等式法)f(x)＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝8，当且仅当x－1＝，即x＝4时取等号，则f(x)min＝8. (解法2：导数法)f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝4或x＝－2(舍去).当1<x<4时，f′(x)<0，f(x)在(1，4)上单调递减；当x>4时，f′(x)>0，f(x)在(4，＋∞)上单调递增，所以f(x)在x＝4处取到极小值也是最小值，即f(x)min＝f(4)＝8. 4．若存在，使成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】依题意，再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意存在，使成立，即存在，使得，即，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以，即的最大值为，所以，即； 故答案为： 5．当时，函数的最小值是 ． 【答案】 【分析】先将函数变形为，再利用基本不等式即可求出． 【详解】， ，当且仅当，即时取等号． 函数的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题． 6．函数的最小值是 . 【答案】 【分析】首先函数变形为，再利用基本不等式求最小值. 【详解】 ，，， 当时，即时等号成立， 所以 所以函数的最小值是. 故答案为：. 【点睛】本题考查基本不等式的简单应用，属于基础题型，基本不等式再使用时，注意“一正，二定，三相等”的条件. 7．（1）求函数的最小值. （2）已知，，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用配凑法再分离常数得到，利用基本不等式即可； （2）对条件变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求最值. 【详解】（1）解： ， ， ， 当且仅当时，即时，函数有最小值； （2）由题意， ，又，， ， 当且仅当，即是等号成立， 结合，知时，有最小值为. 8．求解下列各题： （1）求的最大值； （2）求的最小值. 【答案】（1）；（2）8. 【分析】（1）因为，所以利用均值不等式即可求解； （2）因为，所以利用均值不等式即可求解. 【详解】解：（1）因为，又， 所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 故y的最大值为； （2）由题意，， 因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 故y的最小值为8. 9．（1）已知，求函数的值域； （2）已知，，且，求：的最小值． 【答案】（1）；（2）18． 【分析】（1）设，得到，且，化简，结合基本不等式（对勾函数法），即可求解； （2）由，得到，化简，结合基本不等式（“1”的妙用），即可求解. 【详解】（1）设，因为，可得，且， 故， 因为，可得，当且仅当时，即时，等号成立． 所以函数的值域为． （2）由，可得，即， 则 ． 当且仅当，即且时，等号成立， 所以的最小值为． 10．设，求的最大值. 【答案】1 【解析】，然后利用基本不等式求解. 【详解】∵，∴∴ 所以 当且仅当，即时等号成立 所以的最大值为 【点睛】运用基本不等式求解问题时应满足“一正二定三相等”. $$