基本不等式讲义-2026届高三数学一轮复习

2.1基本不等式（讲义） 目录 1 知识点01基本不等式 2 2 知识点02均值定理 3 3 题型一、直接法求和的最小值（积为定值） 3 4 题型二、配凑法求和的最小值（积为定值） 5 5 题型三、直接法求积的最大值（和为定值） 6 6 题型四、配凑发求积的最大值（和为定值） 8 7 题型五、“1”的替换 9 8 题型六、换元法求最值 10 【2026届高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 知识点01基本不等式 (1) 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； (2) 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号。 注意：基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等” ①“一正”指正数：即 ②“二定”指积为定值或者和为定值（定值指的是常数） ③“三相等”指等号成立的条件：时取等号 (3) 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数几何平均数。 (4) 常考的不等式及其变形 ① ② ③（沟通两和与两平方和的不等关系式） ④（沟通两积与两平方和的不等关系式） ⑤（沟通两积与两和的不等关系式） ⑥不等式链： 即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 知识点02均值定理 已知 （1）积定和最小：如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值” （2）和定积最大：如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值” 模型一：，当且仅当时等号成立. 模型二：，当且仅当时等号成立． 模型三：，当且仅当时等号成立. 模型四：，当且仅当时等号成立. 题型一、直接法求和的最小值（积为定值） 1．若,则有（    ） A．最小值6 B．最小值8 C．最大值8 D．最大值3 2．如果，那么当取得最小值时m的值为（ 　 ） A．－4 B．4 C．8 D．16 3．已知，那么的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 4．已知，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．已知a为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．若，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 7．若，则的最小值是（    ） A． B． C．4 D．2 8．若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 9．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 10．已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C．6 D．0 11．函数的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 12．已知，那么函数有（    ） A．最大值2 B．最小值2 C．最小值4 D．最大值4 13．已知，则的最小值为（    ） A．50 B．40 C．20 D．10 14．已知实数，则的最小值是（    ） A． B． C．6 D．5 15．已知，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．3 D．2 16．已知，则的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．5 17．已知，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 18．设，则的最小值为（    ） A．0 B．2 C．4 D．5 19．已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．5 20．如果，那么的最小值是（    ） A．4 B． C．5 D． 21．若，则有（    ） A．最小值1 B．最小值2 C．最大值1 D．最大值2 题型二、配凑法求和的最小值（积为定值） 1．函数的最小值为（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 2．若，则函数的最小值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 3．已知，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．已知，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 5．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．已知，则的最小值为（   ） A．9 B．6 C．5 D．4 7．已知，则函数的最小值是（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 8．若且，则的最大值为（   ） A． B．0 C．2 D．8 9．已知，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．11 D．10 10．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 11．已知，则的最小值是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 12．设,则的最大值为（    ） A．3 B． C． D． 13．将写成两个正数的积，则这两个正数的和的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型三、直接法求积的最大值（和为定值） 1．若，，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．已知，为正实数，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．若正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．设且，则的最大值是（    ） A．400 B．100 C．40 D．20 5．若且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．下列函数的最值中错误的是（   ） A．的最小值为2 B．已知，的最大值是 C．已知，的最小值为3 D．的最大值5 7．已知，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 8．已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D．3 9．已知，，若，则（   ） A．mn的最大值为1 B．mn的最大值为2 C．mn的最小值为1 D．mn的最小值为2 10．已知，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 11．已知都为正数，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 12．已知，，，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．不存在 题型四、配凑发求积的最大值（和为定值） 1．若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．若，则的最大值是（    ） A． B．4 C．8 D．16 3．已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．已知，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 5．已知，则的最大值是（ ） A． B．3 C．1 D．6 6．已知，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 7．函数的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 8．已知，，，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 9．的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．已知，求的最大值为（   ） A． B． C． D． 11．若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 12．若，则的最大值为（   ） A．4 B． C． D．2 13．已知，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 14．已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 15．已知，求的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型五、“1”的替换 1．若正数、满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．已知实数，且，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C． D．2 3．已知，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D．16 4．已知任意正实数x，y满足，则的最小值是（   ） A． B． C．5 D． 5．已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．设，，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 7．已知，则的最小值为（   ） A．25 B．6 C．10 D．5 8．已知，则的最小值为（   ） A． B．6 C． D． 9．设，，若，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D．8 10．已知，，且，则的最小值为（   ）． A．9 B．8 C．6 D．5 11．已知正数，满足，则的最小值是（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 12．已知，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 13．已知正数a，b，满足，则的最小值为（　　） A．4 B．6 C．16 D．25 14．已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 15．已知实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C．8 D．12 题型六、换元法求最值 1．若，则的最小值为 A．1 B．2 C．3 D．4 2．若，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2 3．若函数在处取最小值，则（    ） A． B．2 C．4 D．6 4．函数的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．-1 5．函数（）的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．若 ，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 7．已知正实数x，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 8．函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 9．函数 的最小值为 ． 10．若，则的最小值是 . 11．函数的最小值为 ． 12．函数在上的最大值为 ． 13．函数的最小值为 ． 14．若，则的最小值为 . $$2.1基本不等式（讲义） 目录 1 知识点01基本不等式 2 2 知识点02均值定理 3 3 题型一、直接法求和的最小值（积为定值） 3 4 题型二、配凑法求和的最小值（积为定值） 10 5 题型三、直接法求积的最大值（和为定值） 15 6 题型四、配凑发求积的最大值（和为定值） 19 7 题型五、“1”的替换 24 8 题型六、换元法求最值 30 【2026届高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 知识点01基本不等式 (1) 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； (2) 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号。 注意：基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等” ①“一正”指正数：即 ②“二定”指积为定值或者和为定值（定值指的是常数） ③“三相等”指等号成立的条件：时取等号 (3) 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数几何平均数。 (4) 常考的不等式及其变形 ① ② ③（沟通两和与两平方和的不等关系式） ④（沟通两积与两平方和的不等关系式） ⑤（沟通两积与两和的不等关系式） ⑥不等式链： 即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 知识点02均值定理 已知 （1）积定和最小：如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值” （2）和定积最大：如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值” 模型一：，当且仅当时等号成立. 模型二：，当且仅当时等号成立． 模型三：，当且仅当时等号成立. 模型四：，当且仅当时等号成立. 题型一、直接法求和的最小值（积为定值） 1．若,则有（    ） A．最小值6 B．最小值8 C．最大值8 D．最大值3 【答案】A 【分析】由均值不等式计算即可得解. 【详解】由题意，，由均值不等式， 当且仅当，即时等号成立， 故有最小值6. 故选：A 2．如果，那么当取得最小值时m的值为（ 　 ） A．－4 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据基本不等式等号成立的条件即可求解. 【详解】由于，故，当且仅当，即时取等号， 故选：B 3．已知，那么的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【分析】应用基本不等式计算即可. 【详解】因为，则 当且仅当时，的最小值为4. 故选：C. 4．已知，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据基本不等式直接求解即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为2. 故选：A. 5．已知a为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可 【详解】取时成立，故充分性不成立； 当时，，当且仅当时，等号成立， 故必要性得证． 故选：B. 6．若，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】，则，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：C 7．若，则的最小值是（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：C 8．若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：C. 9．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】直接根据基本不等式求解即可. 【详解】若，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 10．已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C．6 D．0 【答案】C 【分析】利用基本不等式求和的最小值. 【详解】因为，则， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值是； 故选：C. 11．函数的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 则的最小值是. 故选：D. 12．已知，那么函数有（    ） A．最大值2 B．最小值2 C．最小值4 D．最大值4 【答案】B 【分析】根据基本不等式即可得解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以函数有最小值2，无最大值. 故选：B. 13．已知，则的最小值为（    ） A．50 B．40 C．20 D．10 【答案】C 【分析】利用基本不等式计算即可. 【详解】由，则，当且仅当，即时， 等号成立，故的最小值为20． 故选：C 14．已知实数，则的最小值是（    ） A． B． C．6 D．5 【答案】B 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即， 所以的最小值是. 故选：B. 15．已知，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】当时，，当且仅当时取等号， 所以的最小值为3. 故选：C 16．已知，则的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】因为，根据基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立； 所以的最小值为5， 故选：D. 17．已知，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以，当且仅当即时取等号； 故选：B 18．设，则的最小值为（    ） A．0 B．2 C．4 D．5 【答案】D 【分析】变形后，由基本不等式进行求解. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：D 19．已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据题意利用基本不等式即可求得其最小值. 【详解】由可知，利用基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立， 即的最小值为5. 故选：D 20．如果，那么的最小值是（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】直接利用基本不等式求和的最小值. 【详解】, , 当且仅当，即时取等号. 故选：C. 21．若，则有（    ） A．最小值1 B．最小值2 C．最大值1 D．最大值2 【答案】B 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】解：∵， ∴， 当且仅当，时取等号． 因此的最小值为2． 故选：B． 题型二、配凑法求和的最小值（积为定值） 1．函数的最小值为（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据基本不等式求和的最小值. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当即时取“”. 故选：B 2．若，则函数的最小值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】利用基本不等式可得答案. 【详解】若，则， 所以函数， 当且仅当即时等号成立. 故选：C. 3．已知，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】原式可变为，利用基本不等式求解. 【详解】由， 当且仅当时取等号，可得.可得的最小值为4， 故选：A. 4．已知，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，利用基本不等式求解. 【详解】解：因为 ， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立； 所以的最大值是， 故选：B 5．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将原式化为，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 6．已知，则的最小值为（   ） A．9 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】利用基本不等式即可求得结果. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，解得：（舍）或时，等号成立. 故选：C 7．已知，则函数的最小值是（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】D 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由于，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以函数的最小值是20， 故选：D. 8．若且，则的最大值为（   ） A． B．0 C．2 D．8 【答案】B 【分析】利用不等式的基本条件“一正，二定，三相等”，对式子配凑完再提个负号即可得到结果. 【详解】因为，所以，即， ， 当且仅当，解得：或（舍），即当时，等号成立. 故选：B 9．已知，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．11 D．10 【答案】B 【分析】构造后应用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以 当且仅当时，取的最小值9. 故选：B. 10．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】直接利用基本不等式的性质即可得出． 【详解】解：因为，所以， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 所以函数的最小值是 故选：A 11．已知，则的最小值是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：B 12．设,则的最大值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式求出最值. 【详解】当，则， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C 13．将写成两个正数的积，则这两个正数的和的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式可求得这两个正数和的最小值. 【详解】设这两个正数分别为、，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，这两个正数和的最小值为. 故选：B. 题型三、直接法求积的最大值（和为定值） 1．若，，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式求得正确答案. 【详解】由于，则， 当且仅当时等号成立. 故选：B 2．已知，为正实数，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式中“和定积最大”的方法即可求解. 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 3．若正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为正实数、满足，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 4．设且，则的最大值是（    ） A．400 B．100 C．40 D．20 【答案】A 【分析】直接用基本不等式求解即可. 【详解】因为 所以 即 所以 当且仅当且，即时等号成立. 故选：A 5．若且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】直接利用基本不等式即可得到答案. 【详解】若，则 ，则， 则，当且仅当时等号成立. 故选：D. 6．下列函数的最值中错误的是（   ） A．的最小值为2 B．已知，的最大值是 C．已知，的最小值为3 D．的最大值5 【答案】A 【分析】举例，判断A选项；利用基本不等式判断B、C、D. 【详解】当时，，故命题错误，A符合题意； 当时，， 当且仅当，即时取等号，命题正确，B不符合题意； 当时，，则， 当且仅当，即时取等号，故命题正确，C不符合题意； 由题意，，则， 当且仅当，即时取等号，故命题正确，D不符合题意. 故选：A 7．已知，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，，得到，即， 当且仅当且，即时取等号，所以， 故选：C. 8．已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】由基本不等式的变形形式直接求解即可. 【详解】由题意得，，即， 当且仅当，即或时等号成立， 所以ab的最大值为， 故选：B 9．已知，，若，则（   ） A．mn的最大值为1 B．mn的最大值为2 C．mn的最小值为1 D．mn的最小值为2 【答案】A 【分析】利用基本不等式求乘积的最值. 【详解】由，，则，即，当且仅当时取等号， 所以mn的最大值为1，没有最小值. 故选：A 10．已知，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由基本不等式即可求得的最大值. 【详解】，∴， 当且仅当，即时，取等号. 故选：D. 11．已知都为正数，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由基本不等式进行求解即可. 【详解】都为正数，， 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立， 故答案为： 12．已知，，，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．不存在 【答案】C 【分析】应用基本不等式计算求解即可. 【详解】由基本不等式得：，当且仅当时取等号，C正确． 故选：C. 题型四、配凑发求积的最大值（和为定值） 1．若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式求积的最大值. 【详解】由题意， 当且仅当时等号成立. 所以的最大值是. 故选：B 2．若，则的最大值是（    ） A． B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，可得，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为. 故选：B. 3．已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式的变形求解出最大值. 【详解】由题意可知，当时，， ， 当且仅当，即时取等号， 最大值为， 故选：C. 4．已知，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式凑和为定值直接求解. 【详解】已知， 则 . 当且仅当，即等号成立. 故的最大值是. 故选：A 5．已知，则的最大值是（ ） A． B．3 C．1 D．6 【答案】B 【分析】利用基本不等式，直接计算即可. 【详解】 ，当且仅当，即取得等号，满足题意. 故选：B. 6．已知，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】因为，故，即， 当且仅当时，等号成立，所以. 故选：A. 7．函数的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】，，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最大值为， 故选：B. 8．已知，，，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据题意可得，，，利用基本不等式求最值. 【详解】因为，，，则，， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值是. 故选：A. 9．的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】确定x的范围，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】要使根式有意义，则，解得，则， 又，当且仅当时取等号， 则的最大值为1． 故选：B 10．已知，求的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意整理可得，利用基本不等式运算求解即可. 【详解】因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 11．若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式求积的最大值. 【详解】由，则， 当且仅当时等号成立，故原式最大值为. 故选：A 12．若，则的最大值为（   ） A．4 B． C． D．2 【答案】A 【分析】先判断的正负，然后利用基本不等式求解出最大值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为， 故选：A. 13．已知，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】由，然后利用基本不等式求最大值． 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当即时取等号， 所以的最大值为1. 故选：C. 14．已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式，可得答案. 【详解】当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以时，的最大值为， 故选：A. 15．已知，求的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用配凑法，结合基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因此取到最大值． 故选：B. 题型五、“1”的替换 1．若正数、满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为正数、满足， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：B. 2．已知实数，且，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C． D．2 【答案】A 【分析】根据基本不等式的“1”的妙用求解. 【详解】， 于是， 当，即时取等号， 结合，即时，的最小值是. 故选：A 3．已知，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D．16 【答案】C 【分析】根据，配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式可求得最小值. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 4．已知任意正实数x，y满足，则的最小值是（   ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】利用“1”的妙用，根据基本不等式即可求最值. 【详解】因为，所以， 又，所以，则由基本不等式可得： ， 当且仅当，即时，等号成立. 因此，的最小值是. 故选：A. 5．已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】将已知变形为，再利用基本不等式乘“1”的方法求最值. 【详解】． ． 当且仅当，即时，等号成立． 故选：C． 6．设，，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【分析】利用基本不等式中常数代换技巧求解最值即可. 【详解】由题可得：，，， 所以， 当且仅当即时取等号，故的最小值为4. 故选：B. 7．已知，则的最小值为（   ） A．25 B．6 C．10 D．5 【答案】D 【分析】利用常值代换法和基本不等式即可求其最小值. 【详解】由题意得， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为5． 故选：D 8．已知，则的最小值为（   ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】化简，然后利用“的代换”的方法求最值. 【详解】 ， 当且仅当时等号成立. 故选：D 9．设，，若，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】A 【分析】根据题意利用“1”代换，结合基本不等式运算求解. 【详解】，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4. 故选：A. 10．已知，，且，则的最小值为（   ）． A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，，且， 所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：A 11．已知正数，满足，则的最小值是（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】应用常值代换结合基本不等式计算求解. 【详解】因为正数满足， 则， 当且仅当即时取等号， 所以的最小值是8. 故选：A. 12．已知，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 【答案】D 【分析】利用“1”代换及基本不等式计算可得. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：D 13．已知正数a，b，满足，则的最小值为（　　） A．4 B．6 C．16 D．25 【答案】C 【分析】将分式化简，根据“1”的妙用可求出最值. 【详解】因为，， 所以， 因为a，b均为正数，所以，也为正数， 则， 当且仅当即时，等号成立，此时的最小值为16. 故选：C. 14．已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式即可求得结果. 【详解】由题意可得且， 所以， 当且仅当，即时,即时等号成立. 故选：C 15．已知实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C．8 D．12 【答案】C 【分析】利用“1”的代换，由基本不等式求最小值． 【详解】由，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：C. 题型六、换元法求最值 1．若，则的最小值为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】将解析式化简凑出积为常数，再由基本不等式求出函数的最小值． 【详解】解：由题意得，， ， ∴，当且仅当时取等号，即， 则函数的最小值是4， 故选D． 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，关键是对解析式化简凑出定值，注意三个条件的验证，属于基础题． 2．若，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2 【答案】D 【分析】构造基本不等式即可得结果. 【详解】∵，∴， ∴， 当且仅当，即时，等号成立，即有最小值2. 故选：D. 【点睛】本题主要考查通过构造基本不等式求最值，属于基础题. 3．若函数在处取最小值，则（    ） A． B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】由，而，利用基本不等式可求出最小值，结合等号取得的条件可求出的值. 【详解】由题意，，而 ，当且仅当，即时，等号成立， 所以. 故选：C. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 4．函数的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．-1 【答案】D 【解析】将函数的解析式进行变形，再利用基本不等式，即可得答案； 【详解】 ， 当且仅当,即等号成立. 故选：D. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查运算求解能力，求解时注意等号成立的条件. 5．函数（）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数化简变形为，然后利用基本不等式求解即可 【详解】解：因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以函数（）的最小值为， 故选：B 6．若 ，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】A 【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得. 【详解】因，则， 于是得，当且仅当，即时取“=”， 所以当时，有最大值. 故选：A 7．已知正实数x，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式可求，当且仅当时等号成立，化简已知即可求解. 【详解】解：因为， 又因为，所以， 所以，当且仅当时，即时等号成立， 所以， 即y的最大值是. 故选：D. 8．函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 【答案】A 【分析】由基本不等式求解， 【详解】 因为 所以 ， (当且仅当 即 时，等号成立 故最小值为， 故选：A 9．函数 的最小值为 ． 【答案】7 【分析】换元转化成基本不等式的形式，利用积为定值即可求和的最小值. 【详解】令，；则 (当且仅当，即时，等号成立)， 故函数 ，的最小值为 故答案为：7 10．若，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】依题意利用基本不等式计算可得. 【详解】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 11．函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】令，则，化简得到，集合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，令，则， 又因为，可得， 因为，当且仅当时，即，即时，等号成立， 所以，即的最小值为. 故答案为：. 12．函数在上的最大值为 ． 【答案】 【分析】令，则，则，利用基本不等式计算可得. 【详解】解：因为，，令，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值为． 故答案为： 13．函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】将函数化为，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可. 【详解】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为. 故答案为： 14．若，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 $$