精品解析：湖北省孝感市汉川市2024-2025学年上学期九年级期末数学试题

2024—2025学年度上学期期末质量测评 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. 中国探火 B. 中国火箭 C. 中国行星探测 D. 航天神舟 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义逐个判定即可。 【详解】解：A、中国探火图标旋转180°后，不能与原图形重合，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、中国火箭图标旋转180°后，能与原图形重合，是中心对称图形，故此选项符合题意； C、中国行星探测图标旋转180°后，不能与原图形重合，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、航天神舟图标旋转180°后，不能与原图形重合，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称图形的概念.熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键如果一个图形绕着某点旋转180°后,能与原来图形完全重合,则这个图形叫中心对称图形,这点叫对称中心. 2. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次 B. 367个同学参加一个集会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日 C. 任意一个五边形的外角和等于 D. 正月十五打雪灯 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了随机事件“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件”、必然事件“必然事件发生的可能性为1”、不可能事件“不可能事件的发生的可能性为0”，熟练掌握各定义是解题关键．根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、抛掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次，是随机事件，则此项不符合题意； B、367个同学参加一个集会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日，是必然事件，则此项符合题意； C、因为任意一个五边形的外角和等于，所以任意一个五边形的外角和等于，是不可能事件，则此项不符合题意； D、正月十五打雪灯，是随机事件，则此项不符合题意； 故选：B． 3. 关于x的一元二次方程有一个根是1，则m的值是（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解是满足一元二次方程的未知数的值成为解题的关键． 将代入得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根是1， ∴，即，解得：． 故选D． 4. 若反比例函数的图象分别位于第一、三象限，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，解题关键是掌握反比例函数的比例系数，图象在第一、三象限，，图象在第二、四象限．根据反比例函数的图象可列出不等式进行求解． 【详解】解：反比例函数的图象分别位于第一、三象限， ， ， 故选：A． 5. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，我市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年七月份与九月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，若该公司每月投递的快递总件数的增长率x相同．则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题），读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程是解题的关键． 若该公司每月投递的快递总件数的增长率相同，则根据题意即可直接列出方程． 【详解】解：若该公司每月投递快递总件数的增长率相同， 则根据题意可列方程为：， 故选：． 6. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的新抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移，掌握二次函数的平移规律是解题的关键．根据二次函数“左加右减，上加下减”的平移规律进行解答即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的新抛物线为． 故选：C． 7. 已知，，都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的知识；分别把，，代入到计算，即可得到答案． 【详解】∵，，都在反比例函数的图象， ∴，，， ∵， ∴， 故选：D． 8. 如图，为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且．按以下步骤操作：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，交，于点D，E；②分别以D，E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直径所对的圆周角是直角可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由射线的作法可知，射线为的平分线，然后由三角形角平分线的定义即可得出答案． 【详解】解：为半圆O的直径， ， ， 由射线的作法可知，射线为的平分线， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了作角平分线（尺规作图），三角形角平分线的定义，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟练掌握角平分线的尺规作图法及三角形角平分线的定义是解题的关键． 9. 如图，点A坐标是，将线段绕点O顺时针旋转，点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化旋转，全等三角形的判定和性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 根据题意画出旋转后的图形，再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知， ，， ， ． 在和中， ， ， ，． 点的坐标为， ，， 点的坐标为． 故选：B． 10. 如图所示，已知二次函数的图象与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，且，其对称轴为直线．则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与x轴的交点等知识点，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点可确定a、b、c的正负，即可判定A选项；根据对称轴可判定B选项；先说明，然后代入解析式化简即可判定C选项；先求出关于的对称点，然后代入解析式可判定D选项． 【详解】解：∵该二次函数图像开口方向向下，对称轴为，与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴，，即，故B选项错误，不符合题意； ∵该二次函数图像与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴， ∴，故A选项错误，不符合题意； ∵当时，， ∴， ∵， ∴， 把代入可得， ∴，故C选项正确，符合题意； ∵该抛物线的对称轴为直线，， ∴点关于直线的对称轴为， 将代入可得， ∴，故D选项错误，不符合题意． 故选C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是__． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的坐标的特征；根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是：， 故答案为：． 12. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根为，，若，则m的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键：如果（）的两个实数根是，，那么，． 根据一元二次方程的根与系数的关系可得，由此即可求出m的值． 【详解】解：对于一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系可得： ， ， 故答案为：． 13. 已知正比例函数（是常数，），随的增大而减小，写出一个符合条件的的值为_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据正比例函数图像与性质，由正比例函数增减性直接求解即可得到答案． 【详解】解：∵正比例函数（是常数，），随的增大而减小， ∴， ∴的值可以取（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查正比例函数图像与性质，熟练掌握正比例函数增减性是解决问题的关键． 14. 用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为____． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：，解得r=． 考点：弧长的计算． 15. 如图，有一张矩形纸片，，，点E是的中点．连接，将纸片沿直线折叠，使点B落在点，连接，则（1）____，（2）的长为____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形、折叠的性质、三角形的内角和定理、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 通过折叠和点E是的中点可得，则、易得；在运用勾股定理可得，进而得到，然后在中运用勾股定理求得即可． 【详解】解：如图：设与相交于点O， ∵将纸片沿直线折叠，使点B落在点，连接，点E是的中点， ∴， ∴，， 又∵三内角之和为， ∴， ∴， ∴， 解得：； 在中，由可得：， ∵， ∴，解得：， ∵将纸片沿直线折叠，使点B落在点，连接， ∴点是点B关于直线的对称点， ∴垂直平分， ∴， 在中，． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，满分75分．解答写在答题卡上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可得解，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 17. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，E，F分别是，的中点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 首先由平行四边形得到，，然后结合中点性质得到，即可判定四边形是平行四边形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， 、F分别是、的中点， ，， ， 四边形平行四边形． 18. 已知关于x的一元二次方程．求证：无论m为何值，方程都有两个不相等的实数根． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由求解即可． 【详解】证明： ，，， ， 无论m为何值，原方程都有两个不相等的实数根． 19. 党的二十大报告再次将劳动教育同“德育、智育、体育、美育”放在同等重要的战略地位，明确了全面加强新时代大中小学劳动教育的重要性．为落实劳动教育，阳光学校在寒假期间组织学生进行“为家献爱心”活动．活动设置了四个爱心项目：A：为家人做早饭，B：洗碗，C：打扫，D：洗衣服．要求每个学生只选择参加一项，并且要坚持整个寒假，为了了解全校参加各项目的学生人数，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据所给信息，解答下列问题： （1）本次接受抽样调查的总人数是 人，并补全条形统计图； （2）该校参加活动的学生共2600人，请估计该校参加A项目的学生有多少人； （3）小雯同学在整个寒假中每天都能坚持洗碗，养成了很好的劳动习惯，妈妈奖励带她去看两场电影．小雯听说春节期间新上映的四部电影《热辣滚烫》、《飞驰人生2》、《第二十条》、《熊出没之逆转时空》（依次记为a，b，c，d）都深受大家喜爱，很难做出决定，于是将写有这四个编号的卡片（除序号和内容外，其余完全相同）背面朝上放置，洗匀放好，从中随机抽取两张卡片．请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是“a”和“b”的概率P． 【答案】（1）120，图见解析 （2）520人 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体的思想，列表法或树状图法求概率，熟练掌握相关知识是解题的关键； 对于（1），根据选择B项目的人数和所占百分比可得抽样的总数，再求出C项目的人数，补全统计图即可； 对于（2），用总人数乘以选择A项目的百分比可得答案； 对于（3），画出树状图得出所有可能出现的结果，再得出符合题意的结果，然后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 所以本次抽样调查的总人数为120人． 故答案为：120； 选择C项目的人数为． 补全统计图如图所示： 【小问2详解】 解：（人）， 估计该校参加A项目的学生有520人； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 一共有12种等可能的结果，抽到的两张卡片恰好是“a”和“b”的有2种可能的结果， ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线l与反比例函数的图象交于，两点． （1）则 ； （2）若点P是y轴上一动点，连接，．当的值最小时，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入反比例函数，得，由此即可求出的值； （2）作点A关于y轴的对称点，作直线交y轴于点P，则的最小值等于线段的长，而点即为所求，由点A与点关于y轴对称可得，设直线的解析式为，将，代入，得，解方程组即可求出、的值，进而可得直线的解析式，然后求出它与轴的交点坐标即可． 【小问1详解】 解：将点代入反比例函数，得： ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，作点A关于y轴的对称点，作直线交y轴于点P，则的最小值等于线段的长，而点即为所求， 点A与点关于y轴对称， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合（一次函数与反比例函数的交点问题），轴对称—最短路线问题，求反比例函数解析式，求一次函数解析式，坐标与图形变化——轴对称，一次函数图象与坐标轴的交点问题，解二元一次方程组，求一次函数的函数值等知识点，熟练掌握反比例函数与一次函数的综合及轴对称—最短路线问题是解题的关键． 21. 如图1，将的顶点C放在上，边与相切于点C，边与交于点D．已知，，，的半径为4．从图1的位置开始，将绕点C顺时针旋转，设旋转角为． （1）如图2，当恰好经过圆心O时，求证：是的切线； （2）如图3，若时，边与的另一交点为E，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切的判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，求弧长， 对于（1），作，根据直角三角形的性质得，即可知，再直角三角形的性质得，然后根据是的半径可得答案； 对于（2），先求出，再根据，可得，进而求出，最后根据弧长公式得出答案. 【小问1详解】 解：如图2，过点O作于点F， ，， ， ， ， ，是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：如图3，连接，， 时，， 又， ， ， 的长为． 22. “我想把天空大海给你，把大江大河给你，没办法，好的东西就是想分享于你．”这是直播带货新平台“东方甄选”带货王董宇辉在推销大米时的台词，所推销大米成本为每袋40元，当售价为每袋80元时，每分钟可销售100袋．为了吸引更多顾客，“东方甄选”采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每分钟可多销售5袋，设每袋人米的售价为x元（x为正整数），每分钟的销售量为y袋． （1）求出y与x的函数关系式： （2）设“东方甄选”每分钟获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是多少？ （3）“东方甄选”不忘公益初心，热心教育事业，其决定从每分钟利润中捐出500元帮助留守儿童，为了保证捐款后每分钟利润不低于3875元，且让消费者获得最大的利益，求此时大米的销售单价是多少元？ 【答案】（1） （2）70；4500元 （3）65 【解析】 【分析】（1）根据销售单价每降1元，则每分钟可多销售5袋，列出函数关系式即可； （2）利用总利润＝单件利润×销售数量，列出二次函数解析式，求出最值即可； （3）根据题意列出不等式，进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 整理得：； ∴； 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， ∵， ∴当时，有最大值：4500； ∴销售单价为70元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是4500元． 【小问3详解】 解：由题意得：， 即：， 整理得：， ， ∴； ∵让消费者获得最大的利益， ∴； ∴此时大米销售单价是65元． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用：销售问题．根据题意正确的列出二次函数解析式是解题的关键． 23. 和都是等腰直角三角形，，，，将绕点A在平面内旋转一定的角度． （1）如图1，当点D在线段上时，连接． ①求证：； ②如图2，若与于点G，过点C作的垂线交的延长线于点F，则与的数量关系为 ； （2）如图3，当点D位于上方，连接，且D，E，C恰好在一条直线上时，若，求的面积． 【答案】（1）①见解析；② （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）①先根据等腰直角三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质以及角的和差即可证明结论；②如图：在线段上截取，连接，然后证明可得，再根据三角形外角的性质可得，进而得到，再根据等腰直角三角形的性质、勾股定理以及等量代换即可解答； （2）先证明可得、，进而得到 ，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：①， ， ， 在和中， ， ， ， ． ②，理由如下： 如图：在线段上截取，连接， 由（1）可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，即． 【小问2详解】 解：如图3，连接， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 的面积． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，过点C作轴交抛物线于点D． （1）则点C的坐标为 ，抛物线的对称轴是直线 ； （2）若点Q是抛物线上在y轴右侧一个动点，其横坐标为t，点Q到抛物线对称轴和直线的距离分别是，，且． ①求d关于t的函数解析式； ②当时，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）， （2） 或或 【解析】 【分析】（1）对于抛物线，令，求出对应的值，即可得出其与轴的交点的坐标，然后由二次函数的图象与性质即可得出抛物线的对称轴； （2）①由题意得，结合抛物线对称轴为直线，直线的解析式为，可得，，进而可得，由于点Q在y轴右侧的抛物线上运动，，因而可分别写出当、、时d关于t的函数解析式；②当时，令，，通过求解上述两个方程即可求出当时所对应的的取值范围；当时，令，，通过求解上述两个方程即可求出当时所对应的的取值范围；当时，令，，通过求解上述两个方程即可求出当时所对应的的取值范围；综合以上，即可求出当时的取值范围． 【小问1详解】 解：对于抛物线， 令，则， ， 抛物线的对称轴是直线， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①由题意得：， 抛物线对称轴为直线，直线的解析式为， ，， ， 点Q在y轴右侧的抛物线上运动，， 与之间的函数关系式为： 当时，， 当时，， 当时，， 综上，d关于t的函数解析式为： ； ②当时，的取值范围为：或或， 理由如下： 当时， 令，解得：或（不符合题意，故舍去）， 令，解得：或（不符合题意，故舍去）， ； 当时， 令，解得：或（不符合题意，故舍去）， 令，解得：或（不符合题意，故舍去）， ； 当时， 令，解得：或（不符合题意，故舍去）， 令，解得：或（不符合题意，故舍去）， ； 如图： 综上所述，当时，的取值范围为：或或． 【点睛】本题主要考查了的图象与性质，求抛物线与轴的交点坐标，化简绝对值，公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度上学期期末质量测评 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. 中国探火 B. 中国火箭 C. 中国行星探测 D. 航天神舟 2. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次 B. 367个同学参加一个集会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日 C. 任意一个五边形外角和等于 D. 正月十五打雪灯 3. 关于x的一元二次方程有一个根是1，则m的值是（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 若反比例函数的图象分别位于第一、三象限，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，我市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年七月份与九月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，若该公司每月投递的快递总件数的增长率x相同．则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的新抛物线为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且．按以下步骤操作：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，交，于点D，E；②分别以D，E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线．则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点A的坐标是，将线段绕点O顺时针旋转，点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，已知二次函数的图象与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，且，其对称轴为直线．则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是__． 12. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根为，，若，则m的值为____． 13. 已知正比例函数（是常数，），随的增大而减小，写出一个符合条件的的值为_____． 14. 用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为____． 15. 如图，有一张矩形纸片，，，点E是的中点．连接，将纸片沿直线折叠，使点B落在点，连接，则（1）____，（2）的长为____． 三、解答题（本大题共9小题，满分75分．解答写在答题卡上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程：． 17. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，E，F分别是，的中点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 18. 已知关于x的一元二次方程．求证：无论m为何值，方程都有两个不相等的实数根． 19. 党的二十大报告再次将劳动教育同“德育、智育、体育、美育”放在同等重要的战略地位，明确了全面加强新时代大中小学劳动教育的重要性．为落实劳动教育，阳光学校在寒假期间组织学生进行“为家献爱心”活动．活动设置了四个爱心项目：A：为家人做早饭，B：洗碗，C：打扫，D：洗衣服．要求每个学生只选择参加一项，并且要坚持整个寒假，为了了解全校参加各项目的学生人数，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据所给信息，解答下列问题： （1）本次接受抽样调查的总人数是 人，并补全条形统计图； （2）该校参加活动的学生共2600人，请估计该校参加A项目的学生有多少人； （3）小雯同学在整个寒假中每天都能坚持洗碗，养成了很好的劳动习惯，妈妈奖励带她去看两场电影．小雯听说春节期间新上映的四部电影《热辣滚烫》、《飞驰人生2》、《第二十条》、《熊出没之逆转时空》（依次记为a，b，c，d）都深受大家喜爱，很难做出决定，于是将写有这四个编号的卡片（除序号和内容外，其余完全相同）背面朝上放置，洗匀放好，从中随机抽取两张卡片．请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是“a”和“b”的概率P． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线l与反比例函数的图象交于，两点． （1）则 ； （2）若点P是y轴上一动点，连接，．当的值最小时，求点P的坐标． 21. 如图1，将的顶点C放在上，边与相切于点C，边与交于点D．已知，，，的半径为4．从图1的位置开始，将绕点C顺时针旋转，设旋转角为． （1）如图2，当恰好经过圆心O时，求证：是的切线； （2）如图3，若时，边与另一交点为E，求的长． 22. “我想把天空大海给你，把大江大河给你，没办法，好的东西就是想分享于你．”这是直播带货新平台“东方甄选”带货王董宇辉在推销大米时的台词，所推销大米成本为每袋40元，当售价为每袋80元时，每分钟可销售100袋．为了吸引更多顾客，“东方甄选”采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每分钟可多销售5袋，设每袋人米的售价为x元（x为正整数），每分钟的销售量为y袋． （1）求出y与x的函数关系式： （2）设“东方甄选”每分钟获得利润为w元，当销售单价为多少元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是多少？ （3）“东方甄选”不忘公益初心，热心教育事业，其决定从每分钟利润中捐出500元帮助留守儿童，为了保证捐款后每分钟利润不低于3875元，且让消费者获得最大的利益，求此时大米的销售单价是多少元？ 23. 和都是等腰直角三角形，，，，将绕点A在平面内旋转一定的角度． （1）如图1，当点D在线段上时，连接． ①求证：； ②如图2，若与于点G，过点C作的垂线交的延长线于点F，则与的数量关系为 ； （2）如图3，当点D位于上方，连接，且D，E，C恰好在一条直线上时，若，求的面积． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，过点C作轴交抛物线于点D． （1）则点C的坐标为 ，抛物线的对称轴是直线 ； （2）若点Q是抛物线上在y轴右侧的一个动点，其横坐标为t，点Q到抛物线对称轴和直线的距离分别是，，且． ①求d关于t函数解析式； ②当时，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$