18.2.3：正方形【10大题型】-2024-2025学年八年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

18.2.3：正方形 【考点梳理】 · 考点一：正方形的理解 · 考点二：正方形的性质求角度 · 考点三：正方形的性质求线段 · 考点四：正方形的性质求面积 · 考点五：正方形的折叠问题 · 考点六：添加一下条件为正方形 · 考点七：证明正方形问题 · 考点八：四边形的线段最值问题 · 考点九：动点问题 · 考点十：正方形的性质和判定综合问题 【考点梳理】 知识点一：正方形的概念 一组邻边相等的矩形叫做正方形。如图，在矩形ABCD中,若AB=AD,那么矩形ABCD就是正方形。 正方形的定义满足两个条件：一是矩形，二是一组邻边相等。 知识点二：正方形的性质 正方形的性质： 1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等. 3）正方形对边平行且相等. 4）正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角； 5）正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； 6）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形. 【补充】正方形对角线与边的夹角为45°. 知识点三：正方形的判定方法 (1)1：有一组邻边相等的矩形是正方形 (用定义判定) (2)2: 对角线互相垂直的矩形是正方形 (3)3: 有一个角是直角的菱形是正方形 (4)4: 对角线相等的菱形是正方形 技巧归纳：矩形、菱形、正方形之间的关系 【题型归纳】 题型一：正方形的理解 1．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（   ） A．对角线互相垂直 B．对角互补 C．对角线互相平分 D．对角线相等 2．（24-25九年级上·湖南长沙）下列说法不正确的是（   ） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．正方形是轴对称图形，且有四条对称轴 D．正方形的对角线平分一组对角 3．（23-24八年级下·河南许昌·期末）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．对边平行且相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 题型二：正方形的性质求角度 4．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，点在正方形的内部，且是等边三角形，连接，，则（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，已知P是正方形对角线上一点，平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）如图，是正方形的对角线，以为边向正方形内部做等边三角形，边交于点F，则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型三：正方形的性质求线段 7．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在正方形中，，点E，F分别在边上，．若将四边形沿折叠，点B恰好落在边上，则的长度为（　　） A．1 B． C． D．2 8．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，正方形，点为边上一点，．的平分线交于点，点是的中点，则的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 9．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，正方形的边长为2，连接、，平分交于点E，则的长是（   ）． A． B． C． D． 题型四：正方形的性质求面积 10．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若，大正方形的面积是289，则小正方形的面积是（    ） A．16 B．25 C．49 D．64 11．（23-24八年级下·浙江·阶段练习）四边形和四边形都是正方形、E在上，连结交对角线于点H，交于点I、若，则这两正方形的面积之和为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24八年级下·山东德州·期中）如图，在直线上依次摆放着7个正方形，已知斜放置的3个正方形的面积分别是，，，正放置的4个正方形的面积依次是，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型五：正方形的折叠问题 13．（24-25九年级上·重庆·期末）如图，已知正方形的边长为，点是正方形的边上的一点，点关于的对称点为，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，已知正方形纸片，M、N分别是、的中点，把边向上翻折，使点C恰好落在上的P点处，为折痕，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 15．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，将正方形纸片对折，使与重合，折线为（点M，N分别在，上），展平后再将向右翻折，点D恰好落在上的处．则的值为（    ） A． B． C． D． 题型六：添加一下条件为正方形 16．（24-25八年级下·山东聊城）如图，，是菱形的对角线，，是上两点，且，连接，，，，添加一个条件使四边形是正方形，这个条件可以是（ ） A． B． C． D． 17．（24-25九年级上·江西吉安）如图，已知的对角线，交于点O，添加条件后， 不一定是正方形的选项为（　　） A．， B．， C．， D．， 18．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，且，为了使四边形是正方形．可以添加一个条件（   ）      A． B． C． D．E为的中点 题型七：证明正方形问题 19．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在矩形中，的平分线交于的平分线交于，求证：四边形是正方形． 20．（24-25九年级上·陕西咸阳）如图，在正方形中，，垂足为，过点分别作于点于点，求证：四边形是正方形． 21．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，在中，，为中点，过点作，交于点，过点作，交的延长线于点，连接，，． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)当满足条件_______时，四边形是正方形． 题型八：四边形的线段最值问题 22．（23-24八年级下·重庆·期中）如图，已知正方形的边长为3，点M在上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 23．（23-24八年级下·湖北十堰·期中）如图，正方形的边长为12，点E、F分别为、上动点（E、F均不与端点重合），且，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（    ） ， A．12 B．13 C． D． 24．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，在正方形中，点E、F、G分别在、、上，，，，，与交于点P．连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 题型九：动点问题 25．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在矩形中，分别是边上的动点，点从出发到停止运动，点从出发到停止运动，若P，Q两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中：①存在四边形是矩形；②存在四边形是菱形；③存在四边形是矩形；④存在四边形是正方形．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 26．（2023·河北·二模）如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动.设点的运动时间为（单位：），下列结论正确的是（    ）    A．当时，四边形为矩形 B．当时，四边形为平行四边形 C．当时， D．当时，或 27．（22-23八年级下·北京顺义·期末）如图，在矩形中，分别是边上的动点，点从出发到停止运动，点从出发到停止运动，若两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中，①存在四边形是矩形；②存在四边形是菱形；③存在四边形是矩形；④存在四边形是正方形．所有正确结论的序号是 ．    题型十：正方形的性质和判定综合问题 28．（2025八年级下·全国·专题练习）（1）如图①，正方形中，，求证：； （2）如图②，将边长为12的正方形折叠，使点落在上的点，然后压平折痕，若的长为13，求的长．    29．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，已知四边形是正方形，为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)连接，求证：． 30．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）【问题情境】 数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形中，点为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以，为边作矩形． 【特例探究】 启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，当时，点与点重合，此时可以证明矩形是正方形． 【探究发现】 (1)博学小组发现，如图2，当时，点落在边上，此时，过点作于点，于点，通过证明，进而可以证明出矩形是正方形，请你帮助博学小组完成证明． (2)奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，当时，点落在的延长线上． ①此时矩形还是正方形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． ②当，且时，直接写出的长． 【高分达标】 一、单选题 1．（24-25九年级上·山东青岛·期末）下列命题错误的是（   ） A．正方形的对角线互相垂直 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．菱形的四条边相等 2．（23-24八年级下·天津西青·期中）如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（   ） A．当时，平行四边形是菱形 B．当时，平行四边形是矩形 C．当时，平行四边形是菱形 D．当且时，平行四边形是正方形 3．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在正方形中，等边三角形的顶点分别在边和上，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是边的中点，那么添加下列条件一定能判定四边形是正方形的是（    ） A．且 B．且和互相平分 C．且 D．且 5．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，在正方形中，是对角线上一动点，过点分别作于点于点，连接．在点运动的过程中，下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，在正方形中，点是的中点，点在上，连接，．若，，则一定等于（    ） A． B． C． D． 7．（2024九年级上·全国）如图，正方形的边长为10，，连接．则线段的长（　　） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）如图，在正方形中，、分别在、上，且，，连接．则为（   ） A．5 B．7 C．8 D．9 9．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，正方形中，E为上一点，过B作于点G，延长至点F，使得，连接，． 若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·全国·期末）如图，点P是正方形的对角线上的一点，，，连接，以下结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 1．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在正方形中，点E、点F分别是和边的中点，连接于点P，连接和，若，则的度数为 ． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知正方形的边长为，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，则的周长为_________． 3．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，正方形的边长是4，点在边上，，点是边上不与点重合的一个动点，把沿折叠，点落在处．若恰为等腰三角形，则的长为 ． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为 5．（23-24八年级下·重庆·期末）如图，正方形，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，若，则的长为 ． 6．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图，中，．分别以为边在的同侧作正方形，四块阴影部分的面积分别为，则等于 ． 三、解答题 1．（24-25八年级下·江苏镇江）如图，四边形是菱形，对角线、交于点，点、是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若正方形的面积为，，求点到线段的距离． 2．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，正方形的对角线交于点，点、分别在、上，且，与的延长线交于点，与的延长线交于点，连接．    (1)求证：． (2)若正方形的边长为8，为的中点，求的长． 3．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）在正方形中，为上一动点，连接交对角线于点． (1)连接，如图1，求证：； (2)如图2，过点作交于点，求证：； (3)在（2）的条件下，如图3，连接，当，时，求的长． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）在正方形中，是所在直线上一动点，与相交于点与相交于点是的中点，连接，． (1)如图，当点在边上时．求证：； (2)如图，当点在的延长线上时，中的结论是否成立？请说明理由． 5．（23-24八年级下·湖北武汉）如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G． (1)求证：； (2)如图2，连接，点M、N、P、Q分别是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图3，点F、R分别在正方形的边上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为3，求线段的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 18.2.3：正方形 【考点梳理】 · 考点一：正方形的理解 · 考点二：正方形的性质求角度 · 考点三：正方形的性质求线段 · 考点四：正方形的性质求面积 · 考点五：正方形的折叠问题 · 考点六：添加一下条件为正方形 · 考点七：证明正方形问题 · 考点八：四边形的线段最值问题 · 考点九：动点问题 · 考点十：正方形的性质和判定综合问题 【考点梳理】 知识点一：正方形的概念 一组邻边相等的矩形叫做正方形。如图，在矩形ABCD中,若AB=AD,那么矩形ABCD就是正方形。 正方形的定义满足两个条件：一是矩形，二是一组邻边相等。 知识点二：正方形的性质 正方形的性质： 1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等. 3）正方形对边平行且相等. 4）正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角； 5）正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； 6）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形. 【补充】正方形对角线与边的夹角为45°. 知识点三：正方形的判定方法 (1)1：有一组邻边相等的矩形是正方形 (用定义判定) (2)2: 对角线互相垂直的矩形是正方形 (3)3: 有一个角是直角的菱形是正方形 (4)4: 对角线相等的菱形是正方形 技巧归纳：矩形、菱形、正方形之间的关系 【题型归纳】 题型一：正方形的理解 1．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（   ） A．对角线互相垂直 B．对角互补 C．对角线互相平分 D．对角线相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形、正方形的性质，根据正方形和矩形的性质逐项分析可得结论． 【详解】解：A、正方形的对角线相等且互相垂直，矩形的对角线只相等但不垂直，正方形具有而矩形不一定具有的性质是对角线互相垂直，故A选项符合题意； B、正方形和矩形的对角都互补，故B选项不符合题意； C、正方形和矩形的对角线都互相平分，故C选项不符合题意； D、正方形和矩形的对角线都相等，故D选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）下列说法不正确的是（   ） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．正方形是轴对称图形，且有四条对称轴 D．正方形的对角线平分一组对角 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，根据正方形的判定和性质逐一判断即可解题． 【详解】解：A. 一组邻边相等的矩形是正方形，说法正确，不符合题意； B. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法错误，符合题意； C. 正方形是轴对称图形，且有四条对称轴，说法正确，不符合题意； D. 正方形的对角线平分一组对角，说法正确，不符合题意； 故选：B． 3．（23-24八年级下·河南许昌·期末）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．对边平行且相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 【答案】C 【分析】本题考查正方形和矩形的性质，根据正方形和矩形的性质进行逐一判断即可． 【详解】解：A、正方形和矩形的对边平行且相等，故不符合题意； B、正方形和矩形的对角线互相平分，故不符合题意； C、正方形的对角线相等且互相垂直，矩形的对角线相等且不互相垂直， D、正方形和矩形的对角线相等，故不符合题意； 故选：C． 题型二：正方形的性质求角度 4．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，点在正方形的内部，且是等边三角形，连接，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据正方形与等边三角形的性质得出，，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵点在正方形内部，且是等边三角形，是正方形的对角线， ∴，， ∴， ∴ 故选C． 5．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，已知P是正方形对角线上一点，平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正方形的性质、角平分线定义和三角形外角的性质等，根据正方形性质得，根据角平分线定义求得，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 故选：C． 6．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）如图，是正方形的对角线，以为边向正方形内部做等边三角形，边交于点F，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，先根据正方形性质和等边三角形性质得出，，然后求出，根据三角形外角的性质求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 题型三：正方形的性质求线段 7．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在正方形中，，点E，F分别在边上，．若将四边形沿折叠，点B恰好落在边上，则的长度为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练运用以上性质；根据可得，根据折叠后对应角相等、对应边相等，可得，进而可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，设，则，列方程求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， 将四边形沿折叠，点B恰好落在边上，， ， ， 设，则， ， ， ， 故选：D． 8．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，正方形，点为边上一点，．的平分线交于点，点是的中点，则的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】延长交的延长线于点，根据正方形的性质得，，，则，根据角平分线的定义及平行线的性质得，则，进而得，证明和全等得，则是的中位线，然后根据三角形中位线定理可得出的长． 【详解】解∶延长交的延长线于点，如图所示∶ ∵，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，，． ∴在中，由勾股定理得∶， ∵平分． ∴ ∵． ∴， ∴ ∴． ∴， ∴． 在和中 ∴， ∴． ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选∶． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理是解决问题关键． 9．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，正方形的边长为2，连接、，平分交于点E，则的长是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点E作于点F，根据正方形的性质可得，再根据角平分线的性质可得，证明，可得，利用勾股定理求得，可得，，即可求解． 【详解】解：过点E作于点F，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵正方形的边长为2， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及角平分线的性质，熟练掌握相关知识，证明是解题的关键． 题型四：正方形的性质求面积 10．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若，大正方形的面积是289，则小正方形的面积是（    ） A．16 B．25 C．49 D．64 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理．掌握数形结合思想是解题的关键．根据题意，再根据大正方形的面积是289，即得出大正方形的边长为，最后根据勾股定理可求出，即可求解． 【详解】解：∵大正方形是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的， ∴， ∵大正方形的面积是289， ∴． ∴大正方形的边长为， ∵， ∴， ∴， ∴小正方形的面积是． 故选C． 11．（23-24八年级下·浙江·阶段练习）四边形和四边形都是正方形、E在上，连结交对角线于点H，交于点I、若，则这两正方形的面积之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 延长，分别交于点，设正方形的边长为，正方形的边长为，且，则两正方形的面积之和为，先根据正方形的性质、勾股定理可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：如图，延长，分别交于点，    设正方形的边长为b，正方形的边长为c，且， 则两正方形的面积之和为， ∵四边形和都是正方形， ，，， ， 四边形是矩形， ， ，， ， 又， ， 在和中，， ， ， ， ， ∵， ∴， 故选：C． 12．（23-24八年级下·山东德州·期中）如图，在直线上依次摆放着7个正方形，已知斜放置的3个正方形的面积分别是，，，正放置的4个正方形的面积依次是，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形面积的计算、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，根据证明是解题的关键．求证，由全等三角形的性质可得，在中，由勾股定理可得，进而可得，同理可得，即可获得答案． 【详解】解：如下图， 根据题意，在直线上依次摆放着7个正方形， ∴，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，， 即， ∵，， ∴，同理， ∴． 故选：B． 题型五：正方形的折叠问题 13．（24-25九年级上·重庆·期末）如图，已知正方形的边长为，点是正方形的边上的一点，点关于的对称点为，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理；延长交于，连接，根据正方形的性质得到，，由折叠的性质得到，通过，于是得到．由等腰三角形的性质得到，由余角的性质得到，于是求得，得，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，延长交于，连接， 四边形是正方形， ，， 点关于直线的对称点为， ， 在与中， ， ， ， ， ，， ， ， 正方形的边长为， ， 设， ， 即， 解得：． 故答案为：． 14．（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，已知正方形纸片，M、N分别是、的中点，把边向上翻折，使点C恰好落在上的P点处，为折痕，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，折叠问题；取的中点E，连接，证明四边形为矩形，得出，根据直角三角形性质得出，证明为等边三角形，得出，即可得出结果． 【详解】解：取的中点E，连接，如图所示：    ∵四边形为正方形， ∴，，， 根据折叠的性质知：，， ∵M、N分别是、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故选：C． 15．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，将正方形纸片对折，使与重合，折线为（点M，N分别在，上），展平后再将向右翻折，点D恰好落在上的处．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，由折叠可得：，，，，，求解，设，则，再进一步利用勾股定理计算即可； 【详解】解：∵正方形， ∴设，， 由折叠可得：，，，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴； 故选A 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，正方形的性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，熟练的利用勾股定理建立方程求解是关键. 题型六：添加一下条件为正方形 16．（24-25八年级下·山东聊城）如图，，是菱形的对角线，，是上两点，且，连接，，，，添加一个条件使四边形是正方形，这个条件可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质和判定，正方形的判定，由菱形的性质可得 ，进而可得，即可得四边形是菱形，再根据正方形的判定可知要使菱形为正方形，只需证明或即可，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：在菱形中，，，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 要使菱形为正方形，只需证明或即可， 当时，， 故选：． 17．（24-25九年级上·江西吉安）如图，已知的对角线，交于点O，添加条件后， 不一定是正方形的选项为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的判定，根据题意逐一对选项分析即可得出答案． 【详解】解：A、因为，所以为菱形，又因为所以为正方形，故A错误； B、因为，所以为菱形，但不能证明为正方形，故B正确； C、因为，所以为矩形，又因为所以为正方形，故C错误； D、因为，所以为菱形，又因为所以为正方形，故D错误； 故选：B． 18．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，且，为了使四边形是正方形．可以添加一个条件（   ）      A． B． C． D．E为的中点 【答案】C 【分析】根据菱形的判定定理，正方形的判定定理解答即可． 本题考查了菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，交于点E， ∴，，， ∵， ∴, ∴四边形是菱形， 故A不符合题意； 当添加时，则四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故B不符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴菱形是正方形， 故C符合题意； 当E为的中点时，得到 无法判定菱形是正方形， 故D不符合题意； 故选：C． 题型七：证明正方形问题 19．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在矩形中，的平分线交于的平分线交于，求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了正方形的判定，矩形的性质，熟练掌握正方形的判定定理是解题关键．首先结合矩形的性质证明四边形是平行四边形，再根据“有一个角为直角的平行四边形为矩形”证明四边形是矩形，然后根据“邻边相等的矩形为正方形”证明四边形是正方形． 【详解】证明：如下图， 四边形是矩形， ， ． 平分， ， ， ； 同理可得， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形． 20．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在正方形中，，垂足为，过点分别作于点于点，求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，根据正方形的性质可得，，，再证明，可得，四边形是矩形，再根据邻边相等的矩形是正方形即可求证． 【详解】证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， 又∵， 四边形是正方形． 21．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，在中，，为中点，过点作，交于点，过点作，交的延长线于点，连接，，． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)当满足条件_______时，四边形是正方形． 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2)或 或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，菱形的判定，正方形的判定等知识， （1）由得，证明得，则四边形是平行四边形，再结合，即可得证； （2）当时，四边形是正方形，由，点与点重合，则，所以当或时，四边形是正方形，于是得到问题的答案；证明是解题的关键． 【详解】（1）解：四边形是菱形． 理由：∵， ∴， ∵为中点，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，，交的延长线于点， ∴， ∴四边形是菱形； （2）∵四边形是菱形， ∴当时，四边形是正方形， ∵， ∴点与点重合， ∴， 则 即当或 或 时，四边形是正方形． 故答案为：或 或 ． 题型八：四边形的线段最值问题 22．（23-24八年级下·重庆·期中）如图，已知正方形的边长为3，点M在上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，根据点B与点D关于直线对称，可知的长即为的最小值是解答此题的关键．由正方形的对称性可知点B与D关于直线对称，连接交于点，即为所求，在中利用勾股定理即可求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴点B与D关于直线对称， 连接交于点，连接， 则， ， 当B、N、M三点共线时，取得最小值， 则即为所求的点， 则的长即为的最小值， ∵四边形是正方形， ∴是线段的垂直平分线， 又， 在中，， 故的最小值是． 故选：C． 23．（23-24八年级下·湖北十堰·期中）如图，正方形的边长为12，点E、F分别为、上动点（E、F均不与端点重合），且，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（    ） ， A．12 B．13 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理等知识．确定和最小值时的情况是解题的关键． 作点E关于的对称点，连接，过F作于点G，当、P、F三点共线时，，此时最小，即为所求，由题意确定在边上，证明四边形是矩形，则，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点，连接，过F作于点G， ，， 当、P、F三点共线时，，此时最小，即为所求， 四边形是正方形， ， 点在边上， ，， 四边形是矩形， ， ， ， 由勾股定理得，， 的最小值是13 故选：B． 24．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，在正方形中，点E、F、G分别在、、上，，，，，与交于点P．连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，取的中点，连接、，根据正方形的性质证明≌，然后根据直角三角形性质可得，当、、共线时，有最小值，根据勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点，取的中点，连接、，      四边形是正方形， ，，， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形，是的中点， ， ，， ， ， ， 当、、共线时，有最小值， ，， ， ， 的最小值为． 故选A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的三边关系，在几何证明中常利用三角形的三边关系解决线段的最值问题，解题的关键是得到≌． 题型九：动点问题 25．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在矩形中，分别是边上的动点，点从出发到停止运动，点从出发到停止运动，若P，Q两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中：①存在四边形是矩形；②存在四边形是菱形；③存在四边形是矩形；④存在四边形是正方形．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】设两点速度为每秒1个单位长度，则，，由题意可得四边形是平行四边形，再利用矩形，菱形，正方形的性质分别进行求解即可． 【详解】解：设两点速度为每秒1个单位长度，则，， ∵四边形是矩形，， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， 当时，点与点重合，点与点重合，此时四边形是矩形，故①正确； 当四边形是菱形时，， 则，解得：，符合题意， 即：当时，四边形是菱形，故②正确； 当四边形是矩形时，，则，解得， 即：当时，四边形是矩形，故③正确； 当四边形是正方形时，， 则，解得，但此时，不符合题意，故④不正确， 综上，正确的有①②③， 故选：A． 【点睛】本题考查动点问题，特殊四边形的存在问题，特殊四边形的性质等知识点，理解并熟练掌握相关图象的性质是解决问题的关键． 26．（2023·河北·二模）如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动.设点的运动时间为（单位：），下列结论正确的是（    ）    A．当时，四边形为矩形 B．当时，四边形为平行四边形 C．当时， D．当时，或 【答案】D 【分析】对于选项A、B，分别计算当与时相应线段的长度结合平行四边形的判定方法判断即可；对于C、D选项，作，垂足分别为E、F，如图，证明，得出，进而得出关于t的方程，解方程判定即可. 【详解】解：当时，，cm，， ∴， ∴四边形不为矩形，故选项A结论错误； 当时，，，cm， ∴， ∴四边形不为平行四边形，故选项B结论错误； 当时，作，垂足分别为E、F，如图， ∵， ∴， ∴四边形都是矩形， ∴， ∴当时，，， ∴， ∵， ∴， 解得：或，故选项C错误、选项D正确； 故选：D.    【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、善于动中取静是解题的关键. 27．（22-23八年级下·北京顺义·期末）如图，在矩形中，分别是边上的动点，点从出发到停止运动，点从出发到停止运动，若两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中，①存在四边形是矩形；②存在四边形是菱形；③存在四边形是矩形；④存在四边形是正方形．所有正确结论的序号是 ．    【答案】①②③ 【分析】设两点速度为每秒1个单位长度，则，，由题意可得四边形是平行四边形，再利用矩形，菱形，正方形的性质分别进行求解即可． 【详解】解：设两点速度为每秒1个单位长度，则，， ∵四边形是矩形，， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， 当时，点与点重合，点与点重合，此时四边形是矩形，故①正确； 当四边形是菱形时，， 则，解得：，符合题意， 即：当时，四边形是菱形，故②正确； 当四边形是矩形时，，则，解得， 即：当时，四边形是矩形，故③正确； 当四边形是正方形时，， 则，解得，但此时，不符合题意，故④不正确， 综上，正确的有①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查动点问题，特殊四边形的存在问题，特殊四边形的性质等知识点，理解并熟练掌握相关图象的性质是解决问题的关键． 题型十：正方形的性质和判定综合问题 28．（2025八年级下·全国·专题练习）（1）如图①，正方形中，，求证：； （2）如图②，将边长为12的正方形折叠，使点落在上的点，然后压平折痕，若的长为13，求的长．    【答案】（1）见解析；（2）7 【分析】（1）过点作，垂足为，证明四边形为矩形，得出，证明，得出； （2）作，垂足为，根据勾股定理得．根据，得出，求出结果即可． 【详解】解：（1）过点作，垂足为，如图所示： 四边形为正方形， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， 在和中，， ， 在和中，， ， ． （2）作，垂足为，如图所示： 由（1）知， 在中，由勾股定理，得： ． 将正方形纸片折叠，使得点落在边上的点，折痕为， ， 由（1）可知， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，折叠性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 29．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，已知四边形是正方形，为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）过点作于点，于点，根据正方形的性质有，接着证，得出，最后根据四边形是矩形，问题得证 （2）连接，先证，得出，在中，利用勾股定理即可得证． 【详解】（1）证明：如答图，过点作于点，于点， 则． 是正方形对角线上的点， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； （2）证明：如答图，连接， 由题意，知， 由（1）知，四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，构造辅助线是解题的关键． 30．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）【问题情境】 数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形中，点为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以，为边作矩形． 【特例探究】 启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，当时，点与点重合，此时可以证明矩形是正方形． 【探究发现】 (1)博学小组发现，如图2，当时，点落在边上，此时，过点作于点，于点，通过证明，进而可以证明出矩形是正方形，请你帮助博学小组完成证明． (2)奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，当时，点落在的延长线上． ①此时矩形还是正方形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． ②当，且时，直接写出的长． 【答案】(1)见解析； (2)①矩形还是正方形，理由见解析；② 【分析】本题考查了正方形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握正方形性质与判定是解题关键． （1）利用正方形性质得出，，证明，得出，由正方形判定定理解答即可； （2）①过点作，，垂足分别为，利用（1）中方法解答即可； ②求出，过点作于点，由勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解： 四边形是正方形， ，平分， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形； （2）①矩形还是正方形，理由如下： 如图，过点作，，垂足分别为， ， 四边形是正方形， ，平分， ，， ， ， ， 矩形是正方形． ②四边形是正方形， ， ， ， 过点作于点，则是等腰直角三角形 ， ，， ， ， ． 【高分达标】 一、单选题 1．（24-25九年级上·山东青岛·期末）下列命题错误的是（   ） A．正方形的对角线互相垂直 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．菱形的四条边相等 【答案】C 【分析】本题考查的是平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定和性质定理，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解题的关键． 根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、正方形的对角线互相垂直，正确，不符合题意； B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误，符合题意； D、菱形的四条边相等，正确，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级下·天津西青·期中）如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（   ） A．当时，平行四边形是菱形 B．当时，平行四边形是矩形 C．当时，平行四边形是菱形 D．当且时，平行四边形是正方形 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形、菱形、正方形的判定方法，解决本题的关键是根据矩形、菱形、正方形的判定方法进行判断． 【详解】解：如下图所示， A选项：在中，当时，与一定不垂直， 平行四边形一定不是菱形， 故A选项错误，符合题意； B选项：当时，平行四边形是矩形， 故B选项正确，不符合题意； C选项：当时，平行四边形是菱形， 故C选项正确，不符合题意； D选项：当且时，平行四边形是正方形， 故D选项正确，不符合题意． 故选：A． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在正方形中，等边三角形的顶点分别在边和上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意直接证明，进而得，根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故选：D． 4．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是边的中点，那么添加下列条件一定能判定四边形是正方形的是（    ） A．且 B．且和互相平分 C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键． 根据三角形的中位线定理先证明四边形是平行四边形，再证明其是菱形，最后根据有一个角是直角的菱形的是正方形即可证明． 【详解】解：如图： 当且，四边形是正方形，理由如下： ∵点E，F，G，H分别是边的中点， ∴,，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形，故D符合题意，而A、B、C均不能证明，不符合题意， 故选：D． 5．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，在正方形中，是对角线上一动点，过点分别作于点于点，连接．在点运动的过程中，下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，延长交于点， 延长交于点，证明四边形是正方形，四边形是矩形，然后得到，即可判断A、C选项；然后根据等量代换得到，判断B选项；然后利用正方形的性质判断D解题即可． 【详解】解： 延长交于点， 延长交于点，    ∵四边形是正方形. ∴. ∵， ∴四边形是正方形，四边形是矩形， ， ∴， ∴， ∵在与中， ， ∴， ∴， 故A、C正确； ∵与中， ， ∴， ∴， 故B正确. ∵是上任意一点， ∴只有当是正方形时，， 故D不一定成立， 故选：D． 6．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，在正方形中，点是的中点，点在上，连接，．若，，则一定等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质及全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理，理解题意，作出辅助线是解题关键．延长、交于点，证明，根据全等三角形的判定和性质得出，确定，再由各角之间的关系即可得出结果． 【详解】解：延长、交于点，如图所示： 四边形是正方形， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ∴， ， ，， ， ， ， ， 故选：A． 7．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，正方形的边长为10，，连接．则线段的长（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交于点，根据正方形的性质证明，求出，，再证明，求出，，由勾股定理可得的长． 【详解】解：如图，延长交于点， ，，， ，， 和是直角三角形，在和中，， ， ，，， ，， ，， ，，在和中，， ， ，，， ， 同理可得， 在中，， 故选：C． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证明三角形全等得出，是解题的关键． 8．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）如图，在正方形中，、分别在、上，且，，连接．则为（   ） A．5 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、正确作出辅助线、灵活应用全等三角形性质与判定是解题关键． 延长至H，使，证，，设正方形边长为a，根据全等三角形的性质及勾股定理即可求得正方形的边长，即可得出答案． 【详解】解：延长至H，使，连接， ， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中 ， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 设正方形的边长为a， ∵，， ∴，， 在中， ， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 9．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，正方形中，E为上一点，过B作于点G，延长至点F，使得，连接，． 若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质． 过C作于H，证明，得，从而得，得，则可求得． 【详解】解：如图，过C作于H，则； ∵四边形是正方形， ∴； ， ∴， ∴，， ∵， ∴； 在与中， ， ， ； ， ， 即， ； ， ， ， ． 故选：D 10．（23-24八年级下·全国·期末）如图，点P是正方形的对角线上的一点，，，连接，以下结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理．综合运用以上知识点是解题的关键． 延长交于点，延长交于点，根据正方形对角线的性质以及题目中的已知条件，利用“边角边”证明即可证明结论①、结论③正确；通过角的等量代换可以得出，即，结论②正确；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质与勾股定理，可以得出以下关系：在中，，在中，， 在中，，通过等量代换即可得出，即结论④正确． 【详解】解：延长交于点，延长交于点， 四边形是正方形， ，，，, , ，， 四边形是矩形，四边形是矩形， ，，，，，即， ，， 在中，， ， ， ， ，， ， （故①正确），， （故③正确）， ， ，， ， ，即（故②正确）． ， ， ， ， 在中，， 在中，， 在中，， ，故④正确； 综上所述，①②③④均正确，正确结论的个数为4个， 故选D． 二、填空题 1．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在正方形中，点E、点F分别是和边的中点，连接于点P，连接和，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形性质及应用，全等三角形判定与性质；延长，交于，证明，可得，再证，可得为斜边上的中线，故，即得，，进而求解即可． 【详解】解：延长，交于，如图： 四边形是正方形， ，， ，是，的中点， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 为斜边上的中线， ， ， ， ， ∴． 故答案为：． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知正方形的边长为，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，则的周长为_________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用勾股定理，全等三角形的判定与性质． 连接，证明得出，设，则，，勾股定理求得，则，进而勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示， 由折叠可知，， ， ， ， ， 正方形边长是， ， 设，则， ， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ，， ∴， 的周长为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，正方形的边长是4，点在边上，，点是边上不与点重合的一个动点，把沿折叠，点落在处．若恰为等腰三角形，则的长为 ． 【答案】4或/或4 【分析】本题考查了翻折变换、勾股定理、等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键．根据等腰三角形的定义分三种情况分别进行解答即可． 【详解】解：如图1所示：当时，过点作，则， 当时，， ∵，， ∴， 由翻折的性质，得， ， ， ，   ； 如图2所示：当时，则； 当时， ∵，， 点、在的垂直平分线上， 垂直平分， 由折叠可知点与点重合，不符合题意，舍去． 综上所述，的长为4或． 故答案为：4或． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为 【答案】 【分析】连接并延长交于点P，连接，由正方形的性质，即可证得，可得，再由勾股定可理可求得的长，根据三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点P，连接，如图所示， 四边形是正方形， ， ， E、F分别为边的中点， ． G为的中点， ， 在和中， ， ． ． G为的中点， H为的中点， 是的中位线． ． 在中， ， ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解决本题的关键． 5．（23-24八年级下·重庆·期末）如图，正方形，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 延长、相交于H，先证明，得到，从而得到，再证明，得到，从而得到，即可由直角三角形的性质得出，即可求解． 【详解】解：延长、相交于H，如图， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：2． 6．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图，中，．分别以为边在的同侧作正方形，四块阴影部分的面积分别为，则等于 ． 【答案】12 【分析】本题考查正方形和直角三角形，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形判定和性质，矩形判定和性质，是解题关键． 过F作的垂线交于D，连接，证明得到，再证明，得到，进一步证明，，则可证明，由此求解即可． 【详解】解：过F作于点D，连接，则， 设和的交点为T，和的交点为K， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴． 由，可得：， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形， ∴， ∴， ∴， 同理可证，， ∴，， ∴ ． 故答案为：12． 三、解答题 1．（24-25八年级下·江苏镇江·阶段练习）如图，四边形是菱形，对角线、交于点，点、是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若正方形的面积为，，求点到线段的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)点到线段的距离为． 【分析】（1）由菱形的性质可证，根据全等三角形的性质推得，，可证四边形是平行四边形，再结合对角线互相垂直、即可证四边形是正方形； （2）先求出正方形的边长和对角线长，结合勾股定理求出的长，再结合菱形面积计算公式即可求得点到线段的距离． 【详解】（1）证：菱形中，，，， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形， 又点、是对角线所在直线上两点， ， 平行四边形是菱形， 菱形中，平分，， ， 菱形是正方形． （2）解：正方形的面积为， 正方形的边长为，正方形的对角线长为， 、互相垂直且平分， ，， ， ， 中，， 设点到线段的距离为， 则根据菱形面积计算公式可得：， 即， 解得， 点到线段的距离为． 【点睛】本题考查的知识点是菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、正方形的判定与性质、勾股定理解直角三角形，解题关键是熟练掌握菱形的判定与性质． 2．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，正方形的对角线交于点，点、分别在、上，且，与的延长线交于点，与的延长线交于点，连接．    (1)求证：． (2)若正方形的边长为8，为的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据正方形的性质求出，，然后证明即可得； （2）过点O作于点H，连接，由正方形的边长为8且E为的中点可得，，根据勾股定理求出，再利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点O作于点H，连接，    ∵正方形的边长为8， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质． 3．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）在正方形中，为上一动点，连接交对角线于点． (1)连接，如图1，求证：； (2)如图2，过点作交于点，求证：； (3)在（2）的条件下，如图3，连接，当，时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，即可； （2）连接，根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，可得，，，根据，四边形的内角和，则，推出，根据平角的性质，可，等量代换，可得，根据等边对等角，可得，根据三角形的内角和，即可； （3）延长到，使，根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，可得 ，，由（2），根据角的数量关系，可得，根据全等三角形的判定和性质，可得，，再根据线段之间的数量关系，即可． 【详解】（1）解：证明如下： ∵四边形是正方形，是对角线 ∴， ∵是公共边 ∴ ∴． （2）解：证明如下： 连接， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． （3）解：延长到，使， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴ ∴． 【点睛】本题考查正方形，全等三角形，等腰三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，进行解答，即可． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）在正方形中，是所在直线上一动点，与相交于点与相交于点是的中点，连接，． (1)如图，当点在边上时．求证：； (2)如图，当点在的延长线上时，中的结论是否成立？请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)成立，理由见解析． 【分析】根据正方形的性质可证，根据全等三角形的性质可证，根据平行线的性质可证，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证，所以可证，等量代换可得，所以可证； 当点在的延长线上时，根据正方形的性质和全等三角形的性质仍然可证，所以可得，所以可得仍然成立． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 在和中，， ， ， 又，是的中点， ， ， 又， ， ， ， ； （2）解：成立，理由如下： 四边形是正方形， ，， 在和中，， ， ， 又，是的中点， ， ， 又， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、平行线的性质．解决本题的关键是根据正方形的性质和全等三角形的性质找到边和角之间的相等关系． 5．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G． (1)求证：； (2)如图2，连接，点M、N、P、Q分别是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图3，点F、R分别在正方形的边上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为3，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为正方形，理由见解析 (3) 【分析】（1）由正方形的性质及直角三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出结论； （2）由三角形中位线定理可得出，，由平行四边形的判定可得出四边形为平行四边形，证出，，则可得出结论； （3）延长交于S，由勾股定理求出的长，设，则，由勾股定理可得出，解得，则可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：四边形为正方形， 理由如下：，N为的中点， 为的中位线， ，， 同理可得，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形为菱形， ，， ， ， ， 四边形为正方形． （3）解：延长交于点S， 由对称性可知，，，， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了折叠的性质，正方形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$