【专项练】一元一次方程阶梯收费问题-鲁教版五四制六年级下册期中、期末专项（初中数学）

一元一次方程阶梯收费问题 1．自来水公司为鼓励节约用水，对水费按以下方式收取：用水不超过12吨，每吨按 2元收费， 超过12吨的部分按每吨 3元收费，王老师三月份平均水费为每吨 2.7元收费，则王老师家三月 份用水多少吨？ 2．为节约用水，某市规定三口之家每月标准用水量为 15立方米，超过部分加价收费，假设不 超过部分水费为 1．5元/立方米，超过部分水费为 3元/立方米． (1)如果小明家 6月份用水 12立方米，则应缴水费多少元？ (2)如果小明家某月的用水为m 立方米（ 15m  ），那么这个月应缴水费多少元？（用含 m 的 代数式表示） (3)如果小明家某月的用水为 20立方米，，那么这个月应缴水费多少元． 3．某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第 1 档 不超过 170度的部分 a 第 2 档 超过 170度但不超过 260度的 部分 0.55 第 3 档 超过 260度的部分 0.3a  已知 8月份该市某居民家用电 150度，交电费 75元；9月份该居民家交电费 107元． (1)表中a的值为______； (2)求该居民家 9月份的用电量； (3)若 10月份该居民家用电的平均电价为 0.65元/度，求 10月份的电量． 4．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的， 该市自来水收费的收费标准如下表： 收费标准（注：水费按月份结算） 每月用水量 单价（元/立方米） 不超出 6立方米的部分 2 超出 6立方米不超出 10立方米的部分 4 超出 10立方米的部分 8 例如：某户居民 1月份用水 8立方米，应收水费为  2 6 4 8 6 20     （元） 请根据上表的内容解答下列问题： (1)若某户居民 2月份用水 7立方米，则应收水费_____元 (2)若某户居民 4月份用水a立方米（其中6 10a  ），请用含 a 的代数式表示应收水费 ________． (3)若某户居民 3月份交水费 60元，求 3月份用水量为多少立方米？ (4)若某户居民 5、6两个月共用水 20立方米（6月份的用水量超过了 5月份的用水量），设 5 月份用水 x 立方米，请用含 x 的代数式表示该户居民 5、6两个月共交水费多少元？ 5．某市对市区居民用气户的燃气收费，以户为基础、年为计算周期设定了如表的三个气量阶 梯： 阶梯 年用气量 销售 价格 备注 第一 阶梯 0～400 3m （含 400） 的部分 2元 / 3m 若家庭人口超过 4人的，每增加 1人，第一、二阶梯 年用气量的上限分别增加 100 3m 、200 3m ． 第二 阶梯 400～1200 3m （含 1200）的部分 3元 / 3m 第三 阶梯 1200 3m 以上的部分 4元 / 3m 甲户家庭人口为 3人，乙户家庭人口为 5人，某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为 4200元， 求该年乙户比甲户多用 立方米的燃气． 6．为了加强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水目的．该市自 来水收费价格见价目表．例如：某户居民 1月份用水 38m ，则应收水费：  2 6 4 8 6 20     元． 价目表 每月用水量 单价 不超出 6 3m 的部分 2元/ 3m 超出 6 3m 不超出 10 3m 的部分 4元/ 3m 超出 10 3m 的部分 8元/ 3m 注：水费按月结算 (1)若该户居民 2月份用水 12.5 3m ，则应交水费多少元？ (2)若该户居民 3月份交水费 40元；则该户居民 3月份用水多少立方米？ (3)若该户居民 4、5月份共用 15 3m （其中 5月份用水量超过 4月份），共交水费 44元，则该 户居民 4、5月份各用水多少立方米？ 7．小江同学注意到妈妈手机中的电费短信（如下左图），对其中的数据产生了浓厚的兴趣，谷 85度是什么意思?电费是如何计算的?第一档与第二档又有什么关系？ 表 1：宁波市居民生活用电标准（部分修改） 电压等级 普通电价（元/ 度） 峰谷电价（元/度） 峰时电 价 谷时电 价 第一 档 年用电量不超过 2760度的部分 0.538 0.568 0.288 第二 档 年用电量超过 2760度但不超过 4800度的部分 0.588 0.618 0.338 第三 档 年用电量超过4800度的部分 0.838 0.868 0.588 【解读信息】 通过互联网查询后获得上表（如表 1）．小江家采用峰谷电价计费，谷时用电量为85度，那么 峰时用电量就是 227 85 142  度，由于小江家年用电量处在第一档，故 9月份电费为： 0.568 142 0.288 85 105.136 105.14     ． 第一档年用电量的上限为 2760度，所以截至 9月底小江家已经用电 2760－581＝ 2179 2760 581 2179  度．不难发现，第二档所有电价均比第一档提高 0.05元/度，第三档所 有电价均比第一档提高 0.3元/度． 【理解信息】 (1)若采用普通电价计费，小江家九月份的电费为 元．（精确到0.01） (2)若采用峰谷电价计费，假设某月谷时用电量与月用电量的比值为 m，那么处在第一档的 1 度电的电费可以表示成 元．（用含有 m 的代数式表示） 【重构信息】 (3)12月份，小江家谷时用电量与月用电量的比值为0.2．请根据上述对话完成下列问题： ①通过计算判断：截至12月底小江家的年用电量是否仍处于第一档？ ②12月份谁家的用电量多，多了多少？ 一元一次方程阶梯收费问题 1．王老师家三月份用水40吨 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意是解决问题的关键．设王老师家三月份 用水 x 吨，根据题意即可建立一元一次方程求解． 【详解】解：设王老师家三月份用水 x 吨， 根据题意：  12 2 12 3 2.7x x     ， 解得： 40x  ， 答：王老师家三月份用水40吨． 2．(1)18元 (2)  3 22.5m 元 (3)37.5 元 【分析】（1）在标准用水范围内，用水量与单价的乘积即可求出答案； （2）用水为m 立方米（ 15m  ），一部分是标准用水量与单价的乘积，另一部分是超出的水 量与超出的单价的乘积，最后两部求和，即可求出答案； （3）根据（2）中的代数式，把用水量代入计算，即可求出答案． 【详解】（1）解：标准用水是15 立方米，收费为 1．5元/立方米，实际用水是12立方米， ∴12 1.5 18  （元） ， 故答案是：18元． （2）解：用水为m 立方米（ 15m  ）， ∴15 1.5 3( 15) 3 22.5m m     ， 故答案是：  3 22.5m 元． （3）解：根据（2）中的答案，可知 20m  ， ∴应缴水费为：3 22.5 3 20 22.5 37.5m     （元）， 故答案是：37.5 元． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际运用，根据实际情况分段讨论，掌握一元一次方程 的分段讨论是解题的关键． 3．(1)0.5 (2)该居民家 9月份的用电量为 210度 (3)10月份的电量为490度 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用： （1）根据收费方法，用 8月份的电费除以用电量求出 a 的值即可； （2）根据收费方法，列出算式进行计算即可； （3）设 10月份的电量为 x 度，根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解： 75 150 0.5a    ； 故答案为：0.5； （2）  170 0.5 85 107,85 260 170 0.55 134.5 107      ， ∴该居民家 9月份的用电量为：  170 107 85 0.55 210    度； 答：该居民家 9月份的用电量为 210度． （3）设 10月份的电量为 x 度，由题意，得：    134.5 260 0.5 0.3 0.65x x     ， 解得： 490x  ， 答：10月份的电量为490度． 4．(1)16 (2)  12 4a  元 (3)14立方米 (4)  10 52x  或  12 64x  元 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，整式的加减应用，正确的列出式子和方 程，是解题的关键． （1）根据用水 7立方米，结合水费收费标准表，即可列式作答； （2）根据6 10a  ，结合水费收费标准表，即可列式作答； （3）先算出刚用 10立方米的水费，发现交水费 60元的用水量大于 10立方米，故设该月用水 量为b 立方米（10 b ），结合水费收费标准表，即可列式作答； （4）设 5月份用水 x 立方米，则 6月份用水  20 x 立方米，求出 10x  ，结合水费收费标 准表，即可列式作答． 【详解】（1）解：依题意，  6 2 7 6 4 12 4 16       （元） 故某户居民 2月份用水 7立方米，则应收水费 16元； （2）解：依题意，  6 2 6 4 12 4a a       （元） 故某户居民 4月份用水 a 立方米（其中6 10a  ），应收水费  12 4a  元； （3）解：依题意，当用水量刚好 10立方米，则  6 2 10 6 4 12 16 28       （元） ∵60 28 ∴设 3月份用水量为b 立方米  10b  ， 则    6 2 10 6 4 10 8 12 16 8 80 8 52b b b             （元） 即8 52 60b   ， 解得 14b  ， 故 3月份用水量为 14立方米； （4）解：依题意，设 5月份用水 x 立方米，则 6月份用水  20 x 立方米， ∵6月份的用水量超过了 5月份的用水量 ∴ 20 x x  ∴ 10x  ∴当0 6x  时，5月份的水费：2x（元） 6月份的水费：    6 2 10 6 4 8 10 8 52x x        （元） ∴该户居民 5、6两个月共交水费： 2 8 52 10 52x x x    （元）； 当6 10x  时，5月份的水费：  6 2 6 4 4 12x x      （元） 6月份的水费：    6 2 10 6 4 8 10 8 52x x        （元） 此时该户居民 5、6两个月共交水费： 4 12 8 52 12 64x x x     （元）； 综上所述,该户居民 5、6两个月共交水费  10 52x  或  12 64x  元． 5．75 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关 键． 先求出甲户用气量是 1200立方米及乙户用气量是 1400立方米时应缴纳的燃气费用，由两值均 小于 4200元，可得出该年甲户用气量超过 1200立方米，乙户用气量超过 1400立方米，设该 年甲户用气 x 立方米，乙户用气 y 立方米，根据该年甲户，乙户缴纳的燃气费用均为 4200元， 可列出关于 yx， 的一元一次方程，解之可得出 yx， 的值，再将其代入 y x 中，即可求出结 论． 【详解】 2 400 3 (1200 400) 3200     元 2 (400 100) 3 [(1200 200) (400 100)] 3700        3200 3700 4200  ∴该年甲户用气量超过 1200立方米，乙户用气量超过 1400立方米． 设该年甲户用气 x 立方米，乙户用气 y 立方米， 根据题意得：3200 4( 1200) 4200x   ， 3700 4( 1400) 4200y   解得： 1450, 1525x y  ， 1525 1450 75y x     ， ∴该年乙户比甲户多用 75立方米的燃气． 故答案为：75． 6．(1)48元 (2)11.5立方米 (3)4月份用水 4立方米，5月份用水 11立方米 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，一元一次方程的实际应用： （1）根据收费方式，列出算式进行计算即可； （2）根据收费方式，列出算式进行计算即可； （3）设 4月份用水 3mx ，则 5月份用水   315 mx ，分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）    2 6 4 10 6 8 12.5 10 48        （元） 答：应交水费 48元； （2）  40 2 6 4 10 6 12      （元）  312 8 1.5 m   310 1.5 11.5 m  答：该户居民 3月份用水 11.5立方米； （3）∵5月份用水量超过 4月份， ∴4月份用水量少于 37.5m 设 4月份用水 3mx ，则 5月份用水   315 mx ①当0 6,6 15 10x x     时  2 2 6 4 15 6 44x x      解得 2x  ，此时15 13x  ，舍去 ②当0 6,15 10x x    时  2 2 6 4 4 8 15 10 44x x        解得 4x  ，此时15 11 10x   ，符合题意 ③当6 10,6 15 10x x     时    2 6 4 6 26 4 15 6 44x x        ，方程无解 答：4月份用水 4立方米，5月份用水 11立方米。 7．(1)122.13 (2)0.568 0.28m (3)①小江家12月份的用电量必定超过第一档；②小江家用电量多，比小北家多用 25度． 【分析】（1）电价乘用电量即可得； （2）用电量为 1度，则有 0.5618(1 )+0.288 0.568 0.28m m m - ，即可得； （3）①假设小江家12月的用电量未超过第一档，即可求出该月最多支付电费，根据 143.872 154.55 ，即可得小江家12月份的用电量必定超过第一档；②设小江家12月份用电量 为 x 度， 143.872 0.8 0.618( 281) 0.2 0.338( 281) 154.55x x       进行计算得 300x  ， 即可得． 【详解】（1）解： 0.538 227=122.126 122.13  （元）， 故答案为：122.13． （2）解：用电量为 1度，则有  0.5618(1 )+0.288 0.568 0.28m m m   （元）， 故答案为：  0.568 0.28m ． （3）解：①假设小江家12月的用电量未超过第一档，那么该月最多支付电费：  281 0.568 0.28 0.2 143.872    （元）， ∵143.872 154.55 ， ∴小江家12月份的用电量必定超过第一档； ②设小江家12月份用电量为 x 度， 143.872 0.8 0.618( 281) 0.2 0.338( 281) 154.55x x       ， 143.872 0.4944 138.9264 0.0676 18.9956 154.55x x     解得 300x  ， 300 275 25  （度）， 即小江家用电量多，比小北家多用 25度． 【点睛】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系， 列出一元一次方程，正确计算．