【专项练】一元一次方程方案选择问题-鲁教版五四制六年级下册期中、期末专项（初中数学）

一元一次方程方案选择问题 1．把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分 3本，则剩余 20本；如果每人分 4本，则缺 25本．设这个班有学生 x 人，图书 y 本，则可以列方程为（ ） A．3 20 4 25x x   B．3 20 4 25x x   C． 20 25 3 4 y y   D． 20 25 3 4 y y    2．一种中性笔售价是每支 5元，如果一次购买数量超过 100支，售价是每支优惠 10%． (1)请计算，购买 200支中性笔所需要的钱数； (2)求购买 x（ 100x  ）支中性笔所需要的钱数（用含 x 代数式表示）； (3)按照这种售价规定，如果商人小李一次性购买 n 支中性笔，共花了 495元，请直接写出 n 值． 3．秋风送爽、金秋九月，为了让学生更好增强身体素质，我校计划组织全校秋季运动会往返 时要坐车．小明发现：七年级若租用 45座的客车若干辆，则有20人没有座位；若租用60座 的客车，则可以少租7辆，且有一辆空了10个座位，求此次秋游的人数． 4．已知某超市酸奶的定价为 20元/箱，玻璃杯的定价为 5元/个．该超市推出了两种优惠促销 方案，如下表所示．现某顾客需要购买 40箱酸奶和 x 个 ( 40)x  玻璃杯． 方案一 酸奶和玻璃杯一律按九折优惠 方案二 购买一箱酸奶，赠送一个玻璃杯 (1)若该顾客按方案一购买，共需花费 元；若该顾客按方案二购买，共需花费 元．（用含 x 的 代数式表示） (2)当购买多少个玻璃杯时，上述这两种方案的花费一样多？ (3)当 100x  时． ①请通过计算说明此时按哪种方案购买更省钱． ②若两种优惠方案可同时使用，该顾客发现了比上述两种方案更省钱的一种购买方案，请写出 此方案，并计算它的费用． 5．2025年“双十一”期间，很多国货品牌受到人们的青睐，销量大幅增长．某平台的体育用品 旗舰店实行优惠销售，规定如下：对原价 160元/件的某款运动速干衣和 20元/双的某款运动棉 袜开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案 A：买一件运动速干衣送一双运动棉袜； 方案 B：运动速干衣和运动棉袜均按 9折付款． 某户外俱乐部准备购买运动速干衣 30件，运动棉袜 x 双（ 30x  ）． (1)若该户外俱乐部按方案 A 购买，需付款______元（用含 x 的代数式表示）；若该户外俱乐部 按方案 B购买，需付款______元（用含 x 的代数式表示）． (2)若 40x  ，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算； (3)当购买运动棉袜多少双时两种方案付款相同． 6．暑假期间，某研学社组织学生到北京研学，研学社报价每人收费 400元，当研学人数超过 50时，研学社给出两种优惠方案： 方案一：研学团队先交 1600元后，每人收费 320元； 方案二：5人免费，其余每人收费打九折． 当参加研学的总人数是（ 50x  ）时． (1)请用含 x 的代数式分别表示方案一和方案二各收费多少元； (2)当参加研学的总人数是 90时，采用哪种方案更省钱？并请说明理由； (3)当参加研学的总人数是多少人时，采用两种方案的收费是一样的． 7．2023年 11月 12日，新蒲新区举办了以“魅力新蒲，无限可能”为主题的半程马拉松比赛．A， B 两个团队共 92人（其中 A 队人数多于 B 队人数且 A 队人数不够 90人）准备统一服装参加 比赛，某服装厂给出了以下三种购买方式： 方式一：购买服装不超过 45套时，每套 60元； 方式二：购买服装超过 45套且不超过 90套时，每套 50元； 方式三：购买服装超过 90套时，每套 40元． 若 A，B 两个团队分别单独购买服装，一共付了 5000元． (1)A，B 两团队各有多少人准备参加比赛？ (2)若 A 团队有 10人由于身体原因，不能参加比赛，请为 A，B 两个团队设计一种较省钱的购 买服装方案． 8．某停车场为 24小时营业，其收费方式如表所示： 停车时段 收费方式 白天 (08 : 00 20 : 00) 8元/小时 夜间 (20 : 00 08 : 00) 4元 1小时 备注 1．收费计时单位时段为 1小时，不足一个收费计时单位的按一个收费 计时单位收费； 2．白天时段连续停放超过 6小时，不超过 12小时（含 12小时）的， 一律按 6小时停车时间收费； 3．夜间时段连续停放超过 6小时，不超过 12小时（含 12小时）的， 一律按 6小时停车时间收费； 4．停车时间横跨多个时段，按照每个时段的收费标准累计收费． (1)若某日刘老师10 : 00进场停车，12 : 36离场，则需付停车费_______元； (2)若某日刘老师12 : 00进场停车，21: 41离场，则需付停车费_______元； (3)若某日刘老师10 : 00进场停车，停了 x 小时后离场，x 为整数，且离场时间介于当日的 20 : 00 24 : 00 间，则他此次停车的费用为多少元？ (4)若某次刘老师在该停车场停车费用为 60元，其中白天时段停车 a 小时，夜间时段停车 b 小 时（ ,a b均为非负整数），请你写出三种符合条件的 a b、 的值． 9．为了防治“新型冠状病毒”，某中学拟向厂家购买消毒剂和红外线测温枪，积极做好教室消 毒和师生的测温工作。 (1)若按原价购买一瓶消毒剂和一支红外线测温枪共需要 400元，已知一支测温枪的价格比一 瓶消毒剂的价格的 6倍还贵 15元，求每瓶消毒剂和每支测温枪的价格． (2)由于采购量大，厂家推出两种购买方案（如下表）： 若学校有 75个班级，计划每班配置 1支红外线测温枪和 20瓶消毒剂，则学校选择哪种购买方 案的总费用更低？ 购买方案 红外线测温枪 消毒剂 优惠 A 9折 8.5折 每购 100瓶消毒剂送 1支测 温枪 B 8折 8.5折 无 一元一次方程方案选择问题 1．B 【分析】设这个班有学生 x 人，图书 y 本，根据每人分 3本，则剩余 20本可知图书数为  3 20x  本，班级人数为 20 3 y  人；根据每人分 4本，则缺 25本可知图书数为  4 25x  本，班级人 数为 25 4 y  人，由此列出方程即可． 【详解】解：设这个班有学生 x 人，图书 y 本， 由题意得，3 20 4 25x x   ， 20 25 3 4 y y   ， 故选 B． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意找到等量关系是解 题的关键． 2．(1)购买 200支中性笔所需要的钱数为 900元 (2) 4.5x (3) 99n  或 110n  【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，题目难度不大，掌握分类讨论的思 想是解决本题的关键． （1）根据总价单价数量，按超过 100支的优惠列式计算可求出钱数； （2）根据总价单价数量，按超过 100支的优惠价格列出代数式； （3）根据一次购买数量超过 100支、没有超过 100支分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：  5 1 10% 200 900    ∴购买 200支中性笔所需要的钱数为 900元； （2）解：当 100x  时，买 x 支中性笔所需要的钱数为  5 1 10% 4.5x x   ； （3）解：设购买 n 支中性笔时， 当超过 100支时， 4.5 495n  ，解得： 110n  当没有超过 100支时,5 495n  ，解得： 99n  综上所述： 99n  或 110n  3．1370人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设此次秋游人数为 x 人，根据题意列出方程即可求 解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设此次秋游人数为 x 人， 由题意得， 20 107 45 60 x x    ， 解得 1370x  ， 答：此次秋游人数为1370人． 4．(1)    4.5 720 , 5 600x x  (2)当购买 240个玻璃杯时，上述两种方案一样 (3)①方案二更省钱，见解析；②先按方案二购买 40箱酸奶，赠送 40个玻璃杯，再按方案一 购买 60个玻璃杯，所需费用为 1070元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及代数式求值、有理数四则混合运算的 实际应用，理解题意，正确列出代数式和方程是解答的关键． （1）利用总价单价数量，结合该超市推出的两种优惠促销方案，即可用含 x 的代数式表 示出按方案一及按方案二购买所需费用； （2）根据按这两种方案的花费一样多，可列出关于 x 的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）①代入 100x  ，求出按方案一及按方案二购买所需费用，再比较后即可得出结论； ②根据题意，先按方案二购买 40箱酸奶，赠送 40个玻璃杯，再按方案一购买 60个玻璃杯更 省钱． 【详解】（1）解：根据题意得：按方案一购买所需费用为  20 0.9 40 5 0.9 4.5 720x x      元； 按方案二购买所需费用为    20 40 5 40 5 600x x     元． 故答案为：  4.5 720x  ；  5 600x  ； （2）解：由题意得：4.5 720 5 600x x   解得 240x  答：当购买 240个玻璃杯时，上述两种方案一样． （3）解：①当 100x  时， 方案一购买所需费用为：4.5 720 1170x   （元）， 方案二购买所需费用为：5 600 1100x   （元）， 因为1170 1100 ， 所以按方案二购买更省钱 ②先按方案二购买 40箱酸奶，赠送 40个玻璃杯，再按方案一购买 60个玻璃杯． 所需费用：20 40 60 5 0.9 800 270 1070       元． 5．(1)  20 4200x  ，  18 4320x  (2)方案 A (3)60双 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式和代数式求值，解决本题的关键是根据题 意准确列出代数式． （1）根据两种不同的优惠方案列出代数式即可； （2）将 40x  分别代入（1）所列代数式计算比较即可； （3）根据“两种方案付款相同”列出方程并解答． 【详解】（1）解：按方案 A 购买，需付款：    30 160 20 30 20 4200x x     元， 按方案 B 购买，需付款：  30 160 0.9+20 0.9 18 4320x x     元， 故答案为：  20 4200x  ，  18 4320x  ； （2）解：当 40x  时， 方案 A：20 40 4200=5000  （元）． 方案 B：18 40 4320=5040  （元）． ∵5000 5040 ， ∴按方案 A 购买较为合算； （3）解：根据题意，得 20 4200 18 4320x x   ． 解得 60x  ． 答：当购买运动棉袜60双时，两种方案付款相同． 6．(1)当参加研学的总人数是  50x x  时，方案一收费  1600 320x 元，方案二收费  360 1800x  元 (2)采用方案一更省钱，理由见解析 (3)当参加研学的总人数是 85人时，采用两种方案的收费是一样的 【分析】本题考查了列代数式和求代数式的值． （1）根据两种方案的优惠方法列出关于 x 的代数式即可； （2）求出当 90x  时，方案一和方案二的费用，通过比较确定哪种方案更省钱； （3）根据采用两种方案的收费列方程求解即可． 【详解】（1）解：方案一共收费：  1600 320x 元， 方案二共收费：    400 5 0.9 360 1800x x     元， 答：当参加研学的总人数是  50x x  时，方案一收费  1600 320x 元，方案二收费  360 1800x  元； （2）采用方案一更省钱， 理由：当参加研学的总人数是 90时，即 90x  ， 方案一共收费：  1600 320 1600 320 90 30400x     元 ； 方案二共收费：  360 1800 360 90 1800 30600x      元 ， 30400 30600 ，采用方案一更省钱； （3）当1600 320 360 1800x x   时， 解得 85x  ， 答：当参加研学的总人数是 85人时，采用两种方案的收费是一样的． 7．(1)A 团队由 52人参加比赛，则 B 团队由 40人参加比赛， (2)两个团队一起买 91套时最省钱． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数混合计算的实际应用： （1）设 A 团队由 x 人参加比赛，则 B 团队由  92 x 人参加比赛，先计算出 46 90x  ， 2 92 46x   ，据此可得方程  50 60 92 5000x x   ，解方程即可得到答案； （2）分别计算：①两个团队单独买、②两个团队一起买 82套、③两个团体一起买 91套的总 花费，即可得到答案． 【详解】（1）解：设 A 团队由 x 人参加比赛，则 B 团队由  92 x 人参加比赛， ∵A 队人数多于 B 队人数且 A 队人数不够 90人， ∴92 90x x   ， 解得， 46 90x  ，即甲队的人数范围是46 90x  ， ∴乙队人数范围是： 2 92 46x   ， 由题意得，  50 60 92 5000x x   ， 解得 52x  ， ∴92 40x  ， 答：A 团队由 52人参加比赛，则 B 团队由 40人参加比赛； （2）解：由题意得，A 团队参加比赛的人数为52 10 42  人， 当两个团队单独买时的费用为  42 40 60 4920   元， 当两个团队一起买 82套时的费用为82 50 4100  元， 当两个团队一起买 91套时的费用为91 40 3640  元， ∵3640 4100 4920  ， ∴两个团队一起买 91套时最省钱． 8．(1)24 (2)56 (3)  4 8x  元 (4)见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算，列代数式，一元一次方程的应用．理解题意，正确列出 算式或代数式是解题关键． （1）按白天停车未超过 3小时计算即可； （2）按白天停车 6小时，夜间停车 2小时计算即可； （3）按白天停车 6小时，夜间停车  10 6x   小时计算即可； （4）分类讨论：①当 6a  ， 6b  时，②当 6a  ， 6b  时，③当 6a  ， 6b  时和④当 6a  ， 6b  时，分别计算即可． 【详解】（1）解：刘老师10 : 00进场停车，12 : 36离场，则他停车 2小时 36分， 因为不足一个收费计时单位的按一个收费计时单位收费，且为白天停车，未超过 6小时， 所以刘老师需付停车费 2483  元； （2）解：刘老师12 : 00进场停车， 21: 41离场，则他白天停车 8小时，夜间停车 1小时 41 分， 所以刘老师白天停车按 6小时计费，夜间停车按 2小时计费， 所以刘老师需付停车费6 8 4 2 56    元； （3）解：若某日刘老师10 : 00进场停车，停了 x 小时后离场，x 为整数，且离场时间介于当 日的 20 : 00 24 : 00 间，则他白天停车 10小时，夜间停车  10x  小时， 因为离场时间介于当日的 20 : 00 24 : 00 间， 所以夜间停车未超过 6小时， 所以刘老师需付停车费    6 8 4 10 4 8x x     元； （4）解：分类讨论：①当 6a  ， 6b  时， 因为在该停车场停车费用为 60元， 所以8 4 60a b  ，即 15 2b a  ． 因为a b， 均为非负整数， 所以只能取 5a  ， 5b  ； ②当 6a  ， 6b  时， 因为在该停车场停车费用为 60元， 所以6 8 4 60b   ，即 3b  ， 因为a b， 均为非负整数， 所以此时 a 取大于等于 6小于等于 12的任意整数都可以， 3b  ； ③当 6a  ， 6b  时， 因为在该停车场停车费用为 60元， 所以8 4 6 60a    ，即 4.5a  ，不符合题意； ④当 6a  ， 6b  时， 刘老师应付停车费8 6 4 6 70    元，不符合题意． 综上可知 5a  ， 5b  或 6a  ， 3b  或 7a  ， 3b  ． 9．(1)一瓶消毒剂的价格为 55元，一支测温枪的价格为 345元 (2)学校选择 A 种购买方案的总费用更低 【分析】（1）设一瓶消毒剂的价格为 x 元，则一支测温枪的价格为 (6 15)x  元，根据题意可列 出关于 x 的一元一次方程，解出 x 即可得出答案； （2）分别计算出两种方案所需费用，比较即可． 【详解】（1）解：设一瓶消毒剂的价格为 x 元，则一支测温枪的价格为 (6 15)x  元， 根据题意可得： (6 15) 400x x   ， 解得： 55x  ， ∴6 15 345x   答：一瓶消毒剂的价格为 55元，一支测温枪的价格为 345元； （2）解：根据题意可知该学校需要 75支红外线测温枪和 75×20=1500瓶消毒剂． 以 A 方案购买时， ∵每购 100瓶消毒剂送 1支测温枪，1500÷100=15支， ∴再购买 75-15=60支测温枪即可， ∴此购买方案的总费用为60 345 0.9 1500 55 0.85 88755      元； 以 B 方案购买时，总费用为75 345 0.8 1500 55 0.85 90825      元； ∴以 B 方案购买的费用高于以 A 方案购买的费用． 故学校选择 A 种购买方案的总费用更低． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用．根据题意找出等量关系，列出等式是解题关键．