【专项练】数轴动点问题-鲁教版五四制六年级下册期中、期末专项（初中数学）

数轴动点问题 1．已知数轴上A、B两点对应的数分别为 10 、20，P为数轴上一动点，对应的数为 x，若 P点 到A、 B距离的比为3: 2，则点 P表示的数为 ． 2．如图，已知点 A，B，C是数轴上三点，O为原点．点 C对应的数为 6， 4BC  ， 12AB  ． (1)求点 A，B对应的数； (2)动点 P，Q分别同时从 A，C出发，分别以每秒 6个单位和 3个单位的速度沿数轴正方向运 动．M为 AP的中点，N在线段CQ上，且 1 3 CN CQ ，设运动时间为  0t t  ． ①求点 M，N对应的数（用含 t的式子表示）； ②t为何值时， 2OM BN ． 3．已知数轴上有 A，B两点，分别代表 40 ，20，两只电子蚂蚁甲，乙分别从 A，B两点同时出 发，甲沿线段 AB以 1个单位长度/秒的速度向右运动，甲到达点 B处时运动停止，乙沿BA方 向以 4个单位长度/秒的速度向左运动． (1)A，B 两点间的距离为_______个单位长度；乙到达 A点时共运动了______秒． (2)甲，乙在数轴上的哪个点相遇？ (3)多少秒时，甲、乙相距 10 个单位长度？ (4)若乙到达 A点后立刻掉头并保持速度不变，则甲到达 B点前，甲，乙还能在数轴上相遇吗？ 若能，求出相遇点所对应的数；若不能，请说明理由． 4．如图，在数轴上点A表示的数为 20 ，点 B表示的数为 40，动点 P从点A出发以每秒 5个单 位的速度沿正方向运动，动点Q从原点出发以每秒 4个单位的速度沿正方向运动，动点N从点 B出发以每秒 8个单位的 速度先沿负方向运动，到达原点后立即按原速返回，三点同时出发， 当点N回到点 B时，三点停止运动． (1)当运动时间为 3秒时，点 P、点N之间的距离是________单位． (2)当 8QN  个单位时，求三个点的运动时间． (3)尝试借助上面数学问题的解题经验，建立数轴完成下面的实际问题： 码头C位于A，B两码头之间，且知 20AC  海里， 60AB  海里，甲船从A码头顺流驶向 B码头， 乙船从C码头顺流驶向 B码头，丙船从 B码头开往C码头后立即调头返回 B码头．已知甲船在 静水中的航速为 5海里/时，乙船在静水中的航速为 4海里/时，丙船在静水中的航速为 8海里 /时，水流速度为 2海里/时，三船同时出发，每艘船都行驶到 B码头停止．在整个运动过程中， 是否存在某一时刻，这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等？若存在， 请求出此时甲船离 B码头的距离；若不存在，请说明理由． 5．已知 A、B、C为数轴上三点，若点 C到点 A的距离是点 C到点 B的距离的 2倍，则称点 C 是（A，B）的奇异点，例如图 1中，点 A表示的数为﹣1，点 B表示的数为 2，表示 1的点 C 到点 A的距离为 2，到点 B的距离为 1，则点 C是（A，B）的奇异点，但不是（B，A）的奇异 点． （1）在图 1中，直接说出点 D是（A，B）还是（B，C）的奇异点； （2）如图 2，若数轴上 M、N两点表示的数分别为﹣2和 4， ①若（M，N）的奇异点 K在 M、N两点之间，则 K点表示的数是 ； ②若（M，N）的奇异点 K在点 N的右侧，请求出 K点表示的数． （3）如图 3，A、B在数轴上表示的数分别为﹣20 和 40，现有一点 P从点 B出发，向左运动．若 点 P到达点 A停止，则当点 P表示的数为多少时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的奇异点？ 6．已知： 3 2( 10) 2 5D a x cx x     是关于 x的二次多项式，且 a、b、c满足 2( 18) | |c a b    ．a、 b、c 所对应的点分别为 A、B、C． (1)则a _____________，b  _____________， c  _____________． (2)若点 A、B、C开始在数轴上运动，若点 A以每秒 1个单位长度的速度向左运动，同时，点 B和点 C分别以每秒 2个单位长度和 5个单位长度的速度向右运动，若点 B与点 C之间的距离 表示为 BC，点 A与点 B之间的距离表示为 AB．设运动时间为 1秒，请问：BC AB 的值是否随 着时间 t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)如图，若将一条数轴在原点 O和点 B 处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们称 A，C两 点在折线数轴上的路程为 AO OB OC、 、 三段的和．动点 P从点 A出发，以 2个单位长度/秒的速 度沿着“折线数轴”向右运动，在OB段运动期间速度变为原来的一半．点 P从点 A出发的同 时，点 Q从点 C出发，以 1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，当点 P到达点 B时，点 P，Q均停止运动．设运动的时间为 t秒． ①当 3t  时，点 P和点 O在折线数轴上相距_____________个单位长度；当 7.5t  时，点 P和点 O在折线数轴上相距_____________个单位长度；当 9t  时，点 P和点 Q在折线数轴上相距 _____________个单位长度． ②当 t为多少时 P，Q两点相遇？相遇点 M所表示的数是多少？ ③在动点 P改变速度前的某一时刻，P，O两点在数轴上的距离与 Q，B两点在数轴上的距离相 等．求出此时 t的值． 数轴动点问题 1.【答案】8或 80 【分析】本题考查了数轴上动点的移动规律，分类讨论是解题的关键． 【详解】解：考虑到点 P是动点，分三种情况讨论： ①当点 P在 A点左侧时，因 PA PB ，则 1, PA PB  不符合题意，故舍去； ②当 P点在 A、B中间时，有 ( 10) 3 20 2 PA x PB x      ，解得 8x  ； ③当 P点在 B点右侧时，有 ( 10) 3 20 2 PA x PB x      ，解得 80x  ． 因此 P点表示的数为 8或 80， 故答案为：8或 80． 2.【答案】(1)点 A 表示的数是 10 ，点 B表示的数是 2 (2)①M 表示的数是 10 3t  ，N表示的数是6 t ② 2 5 t  秒或 18t  秒 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，熟练 掌握题中的数量关系是解答本题的关键． （1）由 4BC  ， 12AB  得 AC的长，再根据数轴上两点之间的距离的计算方法，即得答案； （2）①先求出 AP，CQ的长，再求 AM ，CN的长，再根据数轴上两点之间的距离的计算方法， 即得答案； ②分点 M在点 O的左侧和右侧两种情况，分别求出OM ，BN的长，再根据 2OM BN 列方程并 求解，即得答案． 【详解】（1）因为 4BC  ， 12AB  ， 所以 12 4 16AC AB BC     ， 所以点 A表示的数是6 16 10   ，点 B表示的数是6 4 2  ； （2）①由已知得 6AP t ， 3CQ t ， 因为 M为 AP的中点， 1 3 CN CQ ， 所以 1 3 2 AM AP t  ， 1 3 CN CQ t  ， 则点 M对应的数为 10 3t  ，点 M，N对应的数6 t ； ②由题意知， 6 2 4BN t t     ， 当点 M在点 O的左侧时， 0 ( 10+3 ) 10 3OM t t     ， 若 2OM BN ，则10 3 2(4 )t t   ， 解得 2 5 t  ， 当点 M在点 O的右侧时， 10+3OM t  ， 若 2OM BN ，则 10 3 2(4 )t t    ， 解得 18t  ； 综上所述，当 2 5 t  秒或 18t  秒时， 2OM BN ． 3.【答案】(1)60，15 (2)甲，乙在数轴上的 28 点相遇 (3)10 秒或 14 秒时，甲、乙相距 10 个单位长度 (4)甲，乙能在数轴上相遇，相遇点表示的数是 20 【分析】（1）根据两点间距离求出 AB，再求出运动时间即可； （2）设甲，乙经过 x秒会相遇，根据路程之和列出方程，解方程即可； （3）分相遇前和相遇后两种情况进行列方程求解即可； （4）根据乙到达 A点需要 15 秒，求出甲位于 25 ，求出乙追上甲需要5秒，求出此时相遇点 的数即可． 此题考查了数轴上两点间距离、数轴上动点问题、一元一次方程的应用等知识，读懂题意，正 确列出方程是解题的关键． 【详解】（1）A、B两点的距离为 40 20| | 60AB    ，乙到达 A点时共运动了60 4 15  秒； 故答案为：60，15； （2）设甲，乙经过 x秒会相遇，根据题意得 4 60x x  ， 解得 12x  ， 40 28x    ． 答：甲，乙在数轴上的 28 点相遇； （3）两种情况，相遇前， 设 y秒时，甲、乙相距 10 个单位长度， 根据题意得， 4 60 10y y   ， 解得 10y  ； 相遇后， 设 y秒时，甲、乙相距 10 个单位长度，根据题意得， 4 60 10y y   ， 解得： 14y  ， 答：10 秒或 14 秒时，甲、乙相距 10 个单位长度； （4）乙到达 A点需要 15 秒，甲位于 40 15 25    ， 乙追上甲需要  25 1 4 5   秒， 此时相遇点的数是 25 5 20    ， 故甲，乙能在数轴上相遇，相遇点表示的数是 20 ． 4.【答案】(1) 21 (2) 8 3秒、 4秒或8秒 (3) 20 11小时、 4小时、 40 7 小时， 520 11 海里、32 海里、20 海里 【分析】（1）计算出 3秒时点 P、点N的位置，利用两点间距离公式求解； （2）分点 N到达点 O前，以及点 N到达点 O后两种情况，用代数式表示出点N和点Q表示的 数，根据 8QN  列式计算即可； （3）根据路程、时间与速度的关系，求出相应的时间，分①乙、丙相遇前，②甲、丙相遇前， ③甲、丙相遇后，丙到达 C前，④甲、丙相遇后，丙到达 C后，共四种情况，根据两船间距离 相等列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意知，运动时间为 3秒时， 点 P表示的数为 20 5 3 5     ，点N表示的数为 40 8 3 16   ， 点 P、点N之间的距离是  16 5 21   单位， 故答案为： 21； （2）解：点 N到达点 O所用时间为： 40 8 5t    （秒）， 点N回到点 B时所用时间为： 2 5 10t    （秒）． 当 8QN  个单位时，分两种情况： 点 N到达点 O前，点N表示的数为 40 8t ，点Q表示的数为4t， 40 8 4 8t t   ，解得 8 3 t  或 4t  ， 点 N到达点 O后，点N表示的数为  8 5t  ，点Q表示的数为4t，  8 5 4 8t t   ，解得 8t  或 12 10t   （舍去）， 综上，三个点的运动时间为 8 3秒、 4秒或8秒； （3）解：根据题意建立数轴，点 A表示的数为 20 ，点 C表示的数为0，点 B表示的数为 40． 甲从 A到 C的时间为：   2020 5 2 7   （小时）， 甲从 A到 B的时间为：     6040 20 5 2 7    （小时）， 乙从 C到 B的时间为：   2040 4 2 3   （小时）， 丙从 B到 C的时间为：   2040 8 2 3   （小时）． 丙从出发返回到 B的时间为：  20 3240 8 2 3 3     （小时）， 甲遇丙的时间为：     6040 20 5 2 8 2 13       （小时）， 乙遇丙的时间为：   1040 4 2 8 2 3     （小时）， 甲追上乙所用时间为：  20 5 4 20   （小时），由 6020 7 可知这种情况不存在． 设丙追上甲所用时间为 t，则    2020 5 2 8 23t t            ， 解得 140 32 9 3 t   ，可知这种情况不存在． 由题意知，甲所在位置表示的数为 20 7t  ，乙所在位置表示的数为6t，丙到达 C前所在位置表 示的数为 40 6t ，丙到达 C后所在位置表示的数为 2010 3 t     ． 根据上述数据，分以下四种情况讨论： ①乙、丙相遇前，乙在甲丙的中间，可得：  6 20 7 40 6 6t t t t      ，解得 20 11 t  ， 此时甲船离 B码头的距离为： 20 52040 20 7 11 11          （海里）； ②甲、丙相遇前，丙在甲乙的中间，可得：    40 6 20 7 6 40 6t t t t       ，解得 4t  ， 此时甲船离 B码头的距离为：  40 20 7 4 32     （海里）； ③甲、丙相遇后，丙到达 C前，甲在丙乙的中间，可得：    20 7 40 6 6 20 7t t t t        ，解得 40 7 t  ， 此时甲船离 B码头的距离为： 4040 20 7 20 7          （海里）； ④甲、丙相遇后，丙到达 C后，甲在丙乙的中间，可得：  2020 7 10 6 20 7 3 t t t t            ，解得 40 32 3 3 t   ，可知这种情况不存在． 综上可知，在整个运动过程中，分别在 20 11小时、 4小时、 40 7 小时时，这三艘船中的一艘恰好 在另外两船之间，且与两船的距离相等，此时甲船离 B码头的距离分别为 520 11 海里、32 海里、 20 海里． 【点睛】本题考查列代数式，一元一次方程的应用，用数轴表示有理数，两点间距离公式等， 第三问难度较大，正确进行分类讨论是解题的关键． 5.【答案】（1）点 D是（B，C）的奇异点，不是（A，B）的奇异点；（2）①2；②10；（3） 当点 P表示的数是 0或 10 或 20 时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的奇异点． 【分析】（1）根据“奇异点”的概念解答； （2）①设奇异点表示的数为 a，根据“奇异点”的定义列出方程并解答； ②首先设 K表示的数为 x，根据（1）的定义即可求出 x的值； （3）分四种情况讨论说明一个点为其余两点的奇异点，列出方程即可求解． 【详解】解：（1）点 D到点 A的距离为 1，点 D到点 C的距离为 1，到点 B的距离为 2， ∴点 D是（B，C）的奇异点，不是（A，B）的奇异点； （2）①设奇异点 K表示的数为 a， 则由题意，得 a−（−2）＝2（4−a）． 解得 a＝2． ∴K点表示的数是 2； ②（M，N）的奇异点 K在点 N的右侧，设 K点表示的数为 x， 则由题意得， x﹣（﹣2）＝2（x﹣4） 解得 x＝10 ∴若（M，N）的奇异点 K在点 N的右侧，K点表示的数为 10； （3）设点 P表示的数为 y， 当点 P是（A，B）的奇异点时， 则有 y+20＝2（40﹣y） 解得 y＝20． 当点 P是（B，A）的奇异点时， 则有 40﹣y＝2（y+20） 解得 y＝0． 当点 A是（B，P）的奇异点时， 则有 40+20＝2（y+20） 解得 y＝10． 当点 B是（A，P）的奇异点时， 则有 40+20＝2（40﹣y） 解得 y＝10． ∴当点 P表示的数是 0或 10 或 20 时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的奇异点． 【点睛】本题考查了数轴与一元一次方程的应用，解决本题的关键是熟练利用分类讨论思想． 6.【答案】(1) 10 ，10，18 (2) BC AB 的值不随着时间 t的变化而改变，其值是 12 ； (3)①4，2.5，5；②当 t为 11.5 时 P，Q 两点相遇，相遇点 M所表示的数是 6.5；③t的值是 2 【分析】（1）根据多项式的定义求得 a，再根据非负数的性质即可求得 b、c； （2）根据数轴表示数的意义，用含有 t的代数式表示 AB、BC，再根据数轴上两点距离的计算 方法进行计算即可； （3）①由路程、速度、时间三者关系，数轴上两点之间的距离与有理数的关系求出对应数和 距离； ②由路程、速度、时间三者关系求出 P、Q两点相遇的时间为 11.5 秒，确定相遇点 M对应的数 是 6.5； ③由路程、速度、时间三者关系，根据 PO QB 求出 t的值． 【详解】（1）解：∵ 3 2( 10) 2 5D a x cx x     是关于 x的二次多项式， ∴ 10 0a   ， ∴ 10a   ， ∵ 2( 18) | |c a b    ，即 2( 18) | | 0c a b    ， ∴ 18 0c   且 0a b  ， ∴ 18c  ， 10b  ， 故答案为： 10 ，10，18； （2）解： BC AB 的值不随着时间 t的变化而改变，其值是 12 ，理由如下： ∵点 A都以每秒 1个单位的速度向左运动，点 B和点 C分别以每秒 2个单位长度和 5个单位长 度的速度向右运动， ∴点 A表示的数为 10 t  ，点 B表示的数为10 2t ，点 C表示的数为18 5t ， ∴ 10 2 ( 10 ) 3 20AB t t t       ， 18 5 (10 2 ) 3 8BC t t t      ． (3 8) (3 20) 3 8 3 20 12BC AB t t t t           ； （3）解：①∵当 3t  时， 2 3 6AP    ， ∴点 P和点 O在折线数轴上相距10 6 4  个单位长度； ∵当 7.5t  时， 2 5 1 (7.5 5) 12.5AP       ， ∴点 P和点 O在折线数轴上相距12.5 10 2.5  个单位长度； ∵当 9t  时， 2 5 1 (9 5) 14AP       ， 1 9 9CQ    ， ∴点 P和点 Q在折线数轴上相距18 ( 10) 14 9 5     个单位长度． 故答案为：4，2.5，5； ②依题意得： 5 2 5 18 ( 10)t t       ， 解得： 11.5t  ， 故当 t为 11.5 时 P，Q 两点相遇，相遇点 M所表示的数是18 1 11.5 6.5   ； ③依题意得：10 2 8t t   ， 解得： 2t  ． 故 t的值是 2． 【点睛】本题综合考查了多项式的定义，非负数的性质，数轴与有理数的关系，一元一次方程 在数轴上的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，重点掌握一元一次方程的应用．