第4章 三角形-2024-2025学年北师大版数学七年级下学期期中复习培优检测（2024.新教材）

2024-2025学年北师大版数学七年级下学期期中复习培优检测（新教材） 第4章 三角形 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.49（较难） 班级： 姓名： 学号： 试题说明：同学你好！该份检测卷优选近两年各地名校期中真题，模拟题。多为常考题，易错题，压轴题类型，题目经典，难度中上，贴合正式考试题型。适合培优拔尖的学生考前复习使用。试卷百分制，有助于学生自我检测，教师备课使用。解析版思路清晰，技巧性强，方法独特，通俗易懂！相信你能够取得满意成绩！ 一、选择题（本题共10道小题，每小题2分，共20分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。 1．（本题2分）（22-23七年级下·江西宜春·期中）如图，平分交于M，，F，D分别是延长线上的点，和的平分线交于点N．下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（本题2分）（22-23七年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，平分，平分，将平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．10.5 3．（本题2分）（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在和中，再添两个条件不能使和全等的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（本题2分）（10-11八年级上·广东广州·期末）如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有(    ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（本题2分）（20-21八年级上·江苏泰州·期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（   ） A． B． C． D． 6．（本题2分）（21-22八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，用三角板作钝角的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（本题2分）（19-20八年级上·河北·阶段练习）如图，在中，，G为的中点，延长交于点E．F为上一点，，垂足为H．下列判断正确的是（    ） A．是的角平分线 B．是的边上的中线 C．是的边上的高 D．是的角平分线 8．（本题2分）（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，已知线段米，射线于点，射线于点从点向运动，每秒走米，点从点向运动，每秒走米，同时从出发，若射线上有一点，使得和全等，则线段的长度为（　　）米． A．6或60 B．60 C．24或60 D．6 9．（本题2分）（23-24七年级下·河北石家庄·期中）下列命题中①对顶角相等；②内错角相等；③平行线间距离处处相等；④三角形按边分类，可以分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形，真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（本题2分）（19-20八年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，下列结论：①；②；③∠BDE＝∠BAC；④BE＝DE；⑤，其中正确的个数为（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题（本题共10道小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题 卡上相应的位置） 11．（本题2分）（18-19七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知中，为边上的高，，，则的度数为 ． 12．（本题2分）（23-24八年级上·重庆渝北·期中）如图，在锐角中，分别是边上的点，，，且交于点F．若，则的大小是 ． AI 13．（本题2分）（22-23七年级上·山东烟台·期中）2022年冬季奥运会在我国北京举行，奥运健儿们敢于拼搏、善于拼搏，在奥运赛场上展现新时代中国运动员的精神风貌和竞技水平，请你添加一个条件，为奥运健儿设计一只与图1一样的鞋子，已知：，写出可添加的条件并标明依据 ．（三个字母简写理由，写出一种情况即可）． 14．（本题2分）（21-22七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=16．点P从A点出发沿A—C—B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B—C—A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以2和6的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．若要△PEC与△QFC全等，则点P的运动时间为 ． 15．（本题2分）（2021·山东日照·中考真题）如图，在矩形中，，，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，同时，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为 时，与全等． 16．（本题2分）（21-22七年级下·福建泉州·期中）如图，在等边△ABC中，BC=9，点O是AC上的一点，点D是BC上的一点，若△APO≌△COD，AO=2.7，则BP= ． 17．（本题2分）（18-19八年级上·全国·单元测试）如图，中，，，，，垂足分别为、、，则线段 是中边上的高． 18．（本题2分）（21-22八年级上·四川成都·期中）在如图所示的数轴上，以单位长度为边长画一个等腰直角三角形，以实数 1 对应的点为圆心，斜边长为半径画弧交数轴于点 A，则点 A 所表示的实数是 . 19．（本题2分）（18-19八年级·湖北武汉·期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD 于点G，交BE于点H，①S△ABE=S△BCE；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④BH=CH．上面说法中正确的有 （填正确的序号）． 20．（本题2分）（23-24七年级下·河南郑州·期中）等腰三角形的两边长满足．则这个等腰三角形的周长为 ． 三、解答题（本大题共8小题，共60分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤） 21．（本题6分）（23-24七年级下·贵州遵义·期中）如图，点P是内一点． (1)按下列要求画出图形． ①过点P画的垂线，垂足为点D； ②过点P画交于点E；过点P画交于点F； (2) 在（1）所画出的图形中，若，求和的度数． 22．（本题6分）（19-20八年级上·四川绵阳·期末）王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合．由题意知，． (1)求证：； (2)求两堵木墙之间的距离． 23．（本题8分）（23-24七年级下·广东深圳·期中）两个三角形中，存在一组对顶角，另外一组角也分别相等，那么两个三角形的第三组角也相等，这样的模型俗称八字模型，八字模型对于寻找全等带来极大便利，如图所示，图1中，是的高，与相交于点F， (1)根据模型可以得到第三组角____________； (2)如图1所示，若的面积是12，．则______，______；的面积是______． (3)在非直角三角形中八字模型依然成立，同时，添加辅助线是解决一些几何问题的关键，如图2所示，在中，，是高，E是外一点，，，若，，，求的面积． 24．（本题8分）（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．    (1)若，，求的度数． (2)如图2，过点A作于点F，若，，求的度数． 25．（本题8分）（18-19八年级下·全国·单元测试）如图，已知在中，，，D为的中点，设点P在线段上以的速度由B点向C点运动，点Q在线段上由C点向A点运动． (1)若Q点运动的速度与P点相同，且点P，Q同时出发，经过1秒钟后与是否全等？并说明理由； (2)若点P，Q同时出发，但运动的速度不相同，当Q点的运动速度为多少时，能在运动过程中有与全等？ (3)若点Q以（2）中的速度从点C出发，点P以原来的速度从点B同时出发，都是沿的三边逆时针运动，经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？ 26．（本题8分）（17-18八年级·山东济宁·期末）已知和都是等腰直角三角形，点D是直线上的一动点（点D不与B、C重合），连接，    (1)在图1中，当点D在边上时，求证：； (2)在图2中，当点D在边的延长线上时，结论是否还成立？若不成立，请猜想、、之间存在的数量关系，并说明理由； (3)在图3中，当点D在边的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出、、之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系． 27．（本题8分）（11-12八年级上·四川成都·期中）如图1，已知正方形的边在正方形的边上，连接．    (1)试猜想、与有怎样的数量关系和位置关系． (2)将正方形绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在边上，如图2，连接和，你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． 28．（本题8分）（22-23七年级下·河南新乡·期中）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动． (1)【操作判断】在中，，，作的平分线交于点． ①操作一：在下图中，用三角尺作边上的高，垂足为点，求的度数；    ②操作二：如图1，在上任取点，作，垂足为点，直接写出的度数；    (2)【迁移探究】 操作三：如图2，将（1）中“在上任取点”改为“在的延长线上任取点”其他条件不变，判断的度数是否会发生变化，并说明理由；    (3)【拓展应用】 如图3、图4在中，，，是的平分线，在直线上任取点，过点作与直线交于点，请直接写出与，之间的数量关系．    第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学七年级下学期期中复习培优检测（新教材） 第4章 三角形 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.49（较难） 班级： 姓名： 学号： 试题说明：同学你好！该份检测卷优选近两年各地名校期中真题，模拟题。多为常考题，易错题，压轴题类型，题目经典，难度中上，贴合正式考试题型。适合培优拔尖的学生考前复习使用。试卷百分制，有助于学生自我检测，教师备课使用。解析版思路清晰，技巧性强，方法独特，通俗易懂！相信你能够取得满意成绩！ 一、选择题（本题共10道小题，每小题2分，共20分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。 1．（本题2分）（22-23七年级下·江西宜春·期中）如图，平分交于M，，F，D分别是延长线上的点，和的平分线交于点N．下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路点拨】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，平行线的判定与性质等知识．熟练掌握三角形内角和定理，角平分线，平行线的判定与性质是解题的关键．根据角平分线的定义，可得，由，得到，结合，推出，即可判断①②③，过点N作，由可得，根据，，推出，再根据角平分线的定义，得到，即可判断④． 【规范解答】解：如图，过点N作， 平分交于M， ，， ， ， ，， ，， ，平分，故①②③正确； ， ， ，， ， ， 和的平分线交于点N， ，故④正确． 故选：D． 2．（本题2分）（22-23七年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，平分，平分，将平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．10.5 【答案】A 【思路点拨】本题考查了三角形的内角平分线的含义，平移的性质及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握三角形的三条角平分线的交于一点是解题的关键．连接，证明平分，则，由平移得，则，推出，得出，同理可得，的周长，即可得出结果． 【规范解答】解: 连接，如图所示 平分，平分， 平分， ， 由平移得， ， ， ∴， 同理可得； 的周长， 即图中阴影部分的周长为8； 故选A 3．（本题2分）（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在和中，再添两个条件不能使和全等的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【思路点拨】本题考查了三角形全等的判定方法，根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可． 【规范解答】解：A、∵， ∴， 又∵， ∴，故A选项不符合题意； B、 ∵，，，不能根据判定两三角形全等，故B选项符合题意； C、∵，， 又， ∴，故C选项不符合题意；     D、 ∵， ∴， 又∵，， ∴，故D选项不符合题意； 故选：B． 4．（本题2分）（10-11八年级上·广东广州·期末）如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有(    ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【规范解答】根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答． 【思路点拨】解：①，，， 和不一定全等， 故①不符合题意； ②，，， ， 故②符合题意； ③， ， ， ，， ， 故③符合题意； ④，，， ， 故④符合题意； 所以，增加上列条件，其中能使的条件有3个， 故选：B． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 5．（本题2分）（20-21八年级上·江苏泰州·期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定，结合小明书上的三角形还保留两个完整的角以及夹边，进行作答即可． 【规范解答】解：结合图形，得小明书上的三角形还保留两个完整的角以及夹边， ∴小明画图的依据是， 故选：A． 6．（本题2分）（21-22八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，用三角板作钝角的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了三角形高的作法，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据三角形作高的方法依次判断即可． 【规范解答】解：A、作的是边上的高，此选项符合题意； B、三角板未过A点，故作的不是高，此选项不符合题意； C、作的是边上的高，此选项不符合题意； D、作的是边上的高，此选项不符合题意． 故选：A． 7．（本题2分）（19-20八年级上·河北·阶段练习）如图，在中，，G为的中点，延长交于点E．F为上一点，，垂足为H．下列判断正确的是（    ） A．是的角平分线 B．是的边上的中线 C．是的边上的高 D．是的角平分线 【答案】C 【思路点拨】根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键． 【规范解答】解：A、根据三角形的角平分线的概念，∵，∴是的角平分线，是的角平分线，故原说法不正确； B、根据三角形的中线的概念，知是的边上的中线，故原说法不正确； C、根据三角形的高的概念，知为的边上的高，故原说法正确； D、根据三角形的角平分线和高的概念，知是的高线，故原说法不正确． 故选：C． 8．（本题2分）（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，已知线段米，射线于点，射线于点从点向运动，每秒走米，点从点向运动，每秒走米，同时从出发，若射线上有一点，使得和全等，则线段的长度为（　　）米． A．6或60 B．60 C．24或60 D．6 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查图形的运动（一元一次方程与行程问题），三角形全等的判定和性质，分类讨论，当时；当时；根据全等三角形的性质列式求解即可，掌握图形运动中线段的数量关系，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【规范解答】解：点M每秒走1米，点N每秒走4米，设运动时间为， ∴，则， 第一种情况，当时，，即， 解得：， ∴（米）， 第二种情况，当时，米， 此时所用时间为秒，（米）； 综上所述，线段的长度为：6或60， 故选：A． 9．（本题2分）（23-24七年级下·河北石家庄·期中）下列命题中①对顶角相等；②内错角相等；③平行线间距离处处相等；④三角形按边分类，可以分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形，真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路点拨】本题考查了命题与定理．根据对顶角的性质，平行线的性质，三角形的分类依据解答即可． 【规范解答】解：①对顶角相等是真命题； ②两条直线平行，内错角相等，原命题不是真命题； ③平行线间距离处处相等是真命题； ④三角形按边分类，可以分为等腰三角形和不等边三角形，原命题不是真命题； 真命题的个数是2个， 故选：B． 10．（本题2分）（19-20八年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，下列结论：①；②；③∠BDE＝∠BAC；④BE＝DE；⑤，其中正确的个数为（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【思路点拨】根据角平分线的性质，可得CD＝ED，易证得△ADC≌△ADE，可得AC＋BE＝AB；由等角的余角相等，可证得∠BDE＝∠BAC；然后由∠B的度数不确定，可得BE不一定等于DE；又由CD＝ED，△ABD和△ACD的高相等，所以S△BDE：S△ACD＝BE：AC． 【规范解答】解：①正确，∵在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E， ∴CD＝ED； ②正确，因为由HL可知△ADC≌△ADE，所以AC＝AE，即AC＋BE＝AB； ③正确，因为∠BDE和∠BAC都与∠B互余，根据同角的余角相等，所以∠BDE＝∠BAC； ④错误，因为∠B的度数不确定，故BE不一定等于DE； ⑤正确，因为CD＝ED，△ABD和△ACD的高相等，所以S△BDE：S△ACD＝BE：AC． 故正确的个数为4个. 故选：B． 【考点评析】此题考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题比较适中，注意掌握数形结合思想的应用． 二、填空题（本题共10道小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题 卡上相应的位置） 11．（本题2分）（18-19七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知中，为边上的高，，，则的度数为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题主要考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键．分两种情况，画出图形，求出的度数，即可得出答案． 【规范解答】解：分两种情况讨论， ①如图1， ∵，，， ∴， ∴； ②如图2， ∵，，， ∴， ∴． 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 12．（本题2分）（23-24八年级上·重庆渝北·期中）如图，在锐角中，分别是边上的点，，，且交于点F．若，则的大小是 ． AI 【答案】 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质，此题利用了“全等三角形的对应角相等”和“两直线平行，内错角相等”进行推理的． 由全等三角形的对应角相等、三角形外角定理以及三角形内角和定理进行解答． 【规范解答】解：设， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即． 则． ∵， ∴． 故答案为：． 13．（本题2分）（22-23七年级上·山东烟台·期中）2022年冬季奥运会在我国北京举行，奥运健儿们敢于拼搏、善于拼搏，在奥运赛场上展现新时代中国运动员的精神风貌和竞技水平，请你添加一个条件，为奥运健儿设计一只与图1一样的鞋子，已知：，写出可添加的条件并标明依据 ．（三个字母简写理由，写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】根据题意增加条件进行判定即可． 【规范解答】解：由题意得可以增加的条件为：， 在和中， ， ∴， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 14．（本题2分）（21-22七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=16．点P从A点出发沿A—C—B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B—C—A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以2和6的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．若要△PEC与△QFC全等，则点P的运动时间为 ． 【答案】1或3.5或12 【思路点拨】分4种情况求解：①P在AC上，Q在BC上，推出方程6-t=8-3t，②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，得到方程6-t=3t-8，Q在AC上，③P在BC上，Q在AC时，此时不存在，④当Q到A点，与A重合，P在BC上时． 【规范解答】解：∵△PEC与△QFC全等，∴斜边CP=CQ，有四种情况： ①P在AC上，Q在BC上， ，CP=12-2t，CQ=16-6t， ∴12-2t=16-6t， ∴t=1； ②P、Q都在AC上，此时P、Q重合， ∴CP=12-2t=6t-16， ∴t=3.5； ③P到BC上，Q在AC时，此时不存在； 理由是：28÷6=，12÷2=6，即Q在AC上运动时，P点也在AC上运动； ④当Q到A点（和A重合），P在BC上时， ∵CP=CQ=AC=12．CP=12-2t， ∴2t-12=12， ∴t=12符合题意； 答：点P运动1或3.5或12时，△PEC与△QFC全等． 【考点评析】本题主要考查对全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键． 15．（本题2分）（2021·山东日照·中考真题）如图，在矩形中，，，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，同时，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为 时，与全等． 【答案】2或 【思路点拨】可分两种情况：①得到，，②得到，，然后分别计算出的值，进而得到的值． 【规范解答】解：①当，时，， ， ， ， ，解得：， ， ， 解得：； ②当，时，， ， ， ，解得：， ， ， 解得：， 综上所述，当或时，与全等， 故答案为：2或． 【考点评析】主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 16．（本题2分）（21-22七年级下·福建泉州·期中）如图，在等边△ABC中，BC=9，点O是AC上的一点，点D是BC上的一点，若△APO≌△COD，AO=2.7，则BP= ． 【答案】2.7 【思路点拨】根据全等可得OC=AP，再根据等边三角形的性质可得AC=AB，从而可得AO=BP，即可得出结论 【规范解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴AC=AB=BC=9， ∵△APO≌△COD，AO=2.7， ∴AP=OC， ∴BP=AO=2.7． 故答案为：2.7． 【考点评析】本题考查全等三角形的性质，等边三角形的性质．正确理解性质得出线段之间的关系是解题关键． 17．（本题2分）（18-19八年级上·全国·单元测试）如图，中，，，，，垂足分别为、、，则线段 是中边上的高． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了三角形的高，熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键． 根据过三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线作答即可． 【规范解答】解：∵， ∴线段是中边上的高， 故答案为：． 18．（本题2分）（21-22八年级上·四川成都·期中）在如图所示的数轴上，以单位长度为边长画一个等腰直角三角形，以实数 1 对应的点为圆心，斜边长为半径画弧交数轴于点 A，则点 A 所表示的实数是 . 【答案】/ 【思路点拨】根据勾股定理计算出正方形得对角线的长度，以对角线为半径画弧，根据数轴上点的特征即可计算出结果． 【规范解答】解：如图： 根据勾股定理得． ∵半圆以为半径， ∴， ∴点A表示的实数是． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查实数与数轴，勾股定理．掌握实数与数轴上的点是一一对应关系是解题关键． 19．（本题2分）（18-19八年级·湖北武汉·期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD 于点G，交BE于点H，①S△ABE=S△BCE；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④BH=CH．上面说法中正确的有 （填正确的序号）． 【答案】①②③ 【思路点拨】①利用三角形的中线，可知△ABE和△BEC是等底同高的两个三角形，即可判断； ②根据等角的补角相等先证明∠AFC=∠DGC，再利用对顶角相等即可判断； ③根据同角的余角相等证明∠FAG =∠ACD即可判断； ④根据已知条件不能推出∠HBC和∠HCB的关系，即可判断． 【规范解答】解：∵BE是AC边的中线， ∴AE= EC， ∴， 故①正确； ∵ CF平分∠ACB， ∴， ∵∠BAC= 90°， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故②正确； ∵∠BAC = 90° ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③正确； ∵根据已知条件不能推出∠HBC=∠BCF， ∴， 故④错误； ∴上面说法中正确的有3个， 故答案为：①②③． 【考点评析】本题考查了三角形中线、高和角平分线的性质，熟练三角形的内角和定理、外角性质是解题的关键． 20．（本题2分）（23-24七年级下·河南郑州·期中）等腰三角形的两边长满足．则这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】22 【思路点拨】先根据非负数的性质求出、的值，再由三角形的三边关系判断出等腰三角形的腰与底边长，进而可得出结论．本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系的知识，解题的关键是分类讨论，此题难度不大． 【规范解答】解：根据题意得，， 解得，， ①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、9， ， 不能组成三角形， ②4是底边时，三角形的三边分别为4、9、9， 能组成三角形， 周长． 综上所述，这个等腰三角形的周长为22． 故答案为：22． 三、解答题（本大题共8小题，共60分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤） 21．（本题6分）（23-24七年级下·贵州遵义·期中）如图，点P是内一点． (1)按下列要求画出图形． ①过点P画的垂线，垂足为点D； ②过点P画交于点E；过点P画交于点F； (2)在（1）所画出的图形中，若，求和的度数． 【答案】(1)见解析 (2)； 【思路点拨】本题主要考查了画平行线，垂线，平行线的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握平行线的性质． （1）按要求画图即可； （2）根据平行线的性质得出，，根据直角三角形两锐角互余求出即可． 【规范解答】（1）解：如图所示； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 22．（本题6分）（19-20八年级上·四川绵阳·期末）王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合．由题意知，． (1)求证：； (2)求两堵木墙之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)两堵木墙之间的距离为 【思路点拨】本题考查全等三角形的应用，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． （1）根据直角三角形的性质证明，进而可以得到结论； （2）由题意得，，结合（1）知，得，，进而可以解决问题． 【规范解答】（1）证明：，， ， 又， ，， ， 在和中， ， （2）解：由题意得：，， ， ∴，， ， 答：两堵木墙之间的距离为． 23．（本题8分）（23-24七年级下·广东深圳·期中）两个三角形中，存在一组对顶角，另外一组角也分别相等，那么两个三角形的第三组角也相等，这样的模型俗称八字模型，八字模型对于寻找全等带来极大便利，如图所示，图1中，是的高，与相交于点F， (1)根据模型可以得到第三组角____________； (2)如图1所示，若的面积是12，．则______，______；的面积是______． (3)在非直角三角形中八字模型依然成立，同时，添加辅助线是解决一些几何问题的关键，如图2所示，在中，，是高，E是外一点，，，若，，，求的面积． 【答案】(1) (2)4；2；6 (3)64 【思路点拨】本题考查了三角形全等的判定与性质，直角三角形的性质，等角的余角相等． （1）根据等角的余角相等即可得出结果； （2）根据三角形面积公式即可求出，再证明，推出，求出，由即可解答； （3）在上截取，连接，先证明，证明，推出，根据已知求出，求出，即可解答． 【规范解答】（1）解：根据模型可以得到第三组角，理由如下： ，是的高， ， ，， ， ； 故答案为：； （2）解：是的高， ， 又的面积是12，， ， ， 是的高， ， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：4，2，6； （3）解：在上截取，连接，如图所示： ，是高， ， ，， ， ， ， 在和中，， ， ， ，， ， ， ， ． 24．（本题8分）（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．    (1)若，，求的度数． (2)如图2，过点A作于点F，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查三角形的外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的外角的性质和三角形的内角和定理，属于中考常考题型． （1）利用角平分线的意义，及，两次外角定理即可求解； （2）设，通过外角定理表示出，通过直角三角形的性质表示出，最后由平角的性质建立关于的方程，求解即可． 【规范解答】（1） 解：平分， ， ，，， ∴， ， ， ． （2）解：∵， ∴设，则， 平分， ， ∵， ∴， 平分， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴． 25．（本题8分）（18-19八年级下·全国·单元测试）如图，已知在中，，，D为的中点，设点P在线段上以的速度由B点向C点运动，点Q在线段上由C点向A点运动． (1)若Q点运动的速度与P点相同，且点P，Q同时出发，经过1秒钟后与是否全等？并说明理由； (2)若点P，Q同时出发，但运动的速度不相同，当Q点的运动速度为多少时，能在运动过程中有与全等？ (3)若点Q以（2）中的速度从点C出发，点P以原来的速度从点B同时出发，都是沿的三边逆时针运动，经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？ 【答案】(1)全等，见解析 (2) (3)秒，点P与点Q在上第一次相遇 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，等腰三角形的性质等知识，熟练运用这些性质解决问题是解此题的关键． （1）由“”可证； （2）根据全等三角形的性质得出，则可得出答案； （3）由题意列出方程，解方程可得出答案． 【规范解答】（1）解：全等，理由如下： ，点Q的运动速度与点P的运动速度相等， ， ，点D为的中点， ， 又，， ， ， 又， ， 在和中， ， ； （2）解：点Q的运动速度与点P的运动速度不相等， 与不是对应边， 即， ，且， 则， 点P，点Q运动的时间， ， （3）解：设经过x秒后点P与点Q第一次相遇， 由题意，得， 解得， 点P运动， ， 点P与点Q在上第一次相遇． 26．（本题8分）（17-18八年级·山东济宁·期末）已知和都是等腰直角三角形，点D是直线上的一动点（点D不与B、C重合），连接，    (1)在图1中，当点D在边上时，求证：； (2)在图2中，当点D在边的延长线上时，结论是否还成立？若不成立，请猜想、、之间存在的数量关系，并说明理由； (3)在图3中，当点D在边的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出、、之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，，理由见解析 (3)； 【思路点拨】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． （1）如图1中，证明，再证明，利用全等三角形的性质可得结论； （2）如图2，由（1）同理证明，再利用全等三角形的性质可得答案； （3）先补全图形如下：由（1）同理可得，，再利用全等三角形的性质可得结论． 【规范解答】（1）解：如图1中，    ∵，，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）不成立，存在的数量关系为． 理由：如图2，由（1）同理可得，    在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，结论：．理由如下： 补全图形如下：    由（1）同理可得， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 27．（本题8分）（11-12八年级上·四川成都·期中）如图1，已知正方形的边在正方形的边上，连接．    (1)试猜想、与有怎样的数量关系和位置关系． (2)将正方形绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在边上，如图2，连接和，你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)，，证明见解析 (2)（1）中结论仍然成立，证明见解析． 【思路点拨】（1）如图所示，延长交于点H，根据正方形的性质得到，，，进而证明得到，，再由得到，进而证明，由此即可得到结论； （2）如图所示，延长和相交于点H，证明，得到，，再证明，进而得到，则，即可得到（1）中结论仍然成立． 【规范解答】（1）解：，，证明如下： 如图所示，延长交于点H， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，；    （2）证明：如图所示，延长和相交于点H， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（1）中结论仍然成立．    【考点评析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，灵活运用所学知识是解题的关键． 28．（本题8分）（22-23七年级下·河南新乡·期中）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动． (1)【操作判断】在中，，，作的平分线交于点． ①操作一：在下图中，用三角尺作边上的高，垂足为点，求的度数；    ②操作二：如图1，在上任取点，作，垂足为点，直接写出的度数；    (2)【迁移探究】 操作三：如图2，将（1）中“在上任取点”改为“在的延长线上任取点”其他条件不变，判断的度数是否会发生变化，并说明理由；    (3)【拓展应用】 如图3、图4在中，，，是的平分线，在直线上任取点，过点作与直线交于点，请直接写出与，之间的数量关系．    【答案】(1)①；② (2)不变，理由见解析 (3)对于图3；对于图4 【思路点拨】（1）①由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案；②由①的求解过程，同理即可得到答案； （2）由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案； （3）对于图3，由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案；对于图4，由三角形内角和得到，再由角平分线定义、三角形内角和定理及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案． 【规范解答】（1）解：①如图所示：   在中，，， ， 是的平分线， ， 是的一个外角， ， 用三角尺作边上的高，垂足为点， ； ②如图所示:   是的一个外角， ， ， ； （2）解：不变， 理由如下：    由（1）可知，， 是的一个外角， ， ， ； （3）解：如图所示：   在中，，， ， 是的平分线， ， 是的一个外角， ， ， ； 如图所示：   在中，，， ， 是的平分线， ， ， ， ； 综上所述，对于图3；对于图4． 【考点评析】本题考查几何综合，涉及三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质、直角三角形两锐角互余等知识，数形结合是解决问题的关键 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$