【专项练】二元一次方程组同解问题-北京版七年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 二元一次方程组同解问题 1．A 【分析】联立不含 a与 b的方程组成方程组，求出方程组的解得到 x与 y的值，进而求出 a与 b的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：根据题意，则 5 2 3 2 3 x y x y      ① ② ， 由①+②得：6x=6， 解得：x=1， 把 x=1代入①得：5+2y=3， 解得：y=-1； 把 x=1，y=-1代入 5 4 5 1 ax y x by      ，则 5 4 5 1 a b      ， 解得： 9 4 a b    ， ∴ 9 4 1a b     ． 故选：A． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知 数的值，根据题意能联立新的方程组求解出二元一次方程的解是解题的关键． 2．A 【分析】由题意知，可重新组成两个关于 x，y的两个方程组 2 2 3 5 9 ax by ax by      和 2 7 3 11 x y x y      ，先计 算不含参的二元一次方程组 2 7 3 11 x y x y      ，得 ,x y的值，然后代入含参的二元一次方程组 2 2 3 5 9 ax by ax by      ，求 ,a b的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵两个方程组同解 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 ∴可知关于 x，y的两个方程组 2 2 3 5 9 ax by ax by      和 2 7 3 11 x y x y      有相同的解 解方程组 2 7 3 11 x y x y      ① ② ②①得 4x  将 4x  代入①式得2 4 7y   解得 1y  ∴方程组的解为 4 1 x y    将 4 1 x y    代入方程组 2 2 3 5 9 ax by ax by      得 4 2 2 12 5 9 a b a b      解关于 ,a b的方程组 4 2 2 12 5 9 a b a b      ③ ④ ③ 3 ④得 3b   解得 3b  将 3b  代入③式得 4 2 3 2a    解得 2a  ∴方程组的解为 2 3 a b    ∴ 2 3 a b  故选 A． 【点睛】本题考查了同解方程组，解二元一次方程．解题的关键在于将两个方程组重新组成新 的方程组求解． 3． 7.5 0.5 x y     【分析】本题考查换元法解方程组，设 2 , 2u x y v x y    ，将         1 1 2 2 2 2 7 2 2 3 a x y b x y a x y b x y           转化为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 1 1 2 2 7 3 a u b v a u b v      ，再由同解方程组直接得到 6.5 2 8.5 2 u x y v x y        ，解二元一次方程组即可得到答案，熟 练掌握同解方程组的定义及解二元一次方程组的方法是解决问题的关键． 【详解】解：设 2 , 2u x y v x y    ，  1 1 2 2 7 3 a u b v a u b v      ， 关于 x y、 的方程组 1 1 2 2 7 3 a x b y a x b y      的解为 6.5 8.5 x y    ，  1 1 2 2 7 3 a u b v a u b v      的解为 6.5 2 8.5 2 u x y v x y        ，解得 7.5 0.5 x y     ， 故答案为： 7.5 0.5 x y     ． 4． 1 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组、求代数式的值，由题意可得 2 5 6 3 5 16 x y x y       ，解方程组求出 2 2 x y     ，再求出 a、b的值，代入计算即可得解，熟练掌握解二元 一次方程组的解法是解此题的关键． 【详解】解：由题意，得 2 5 6 3 5 16 x y x y       ， 解得 2 2 x y     ， 将 2 2 x y     代入 4 8 ax by bx ay        得 2 2 4 2 2 8 a b b a        ， 解得 1 3 a b     ， ∴    2025 20252 12 1 3a b      ． 5． 1 【分析】先求出方程组 3 5 2 3 4 x y x y       的解，再把 1 2 x y     代入 4 5 22 8 ax by ax by       得出 4 10 22 2 8 a b a b       ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 求出 a、b的值，最后把 a、b的值代入  2021a b 计算即可． 【详解】解：∵关于 x，y的方程组 3 5 4 5 22 x y ax by       和 2 3 4 8 x y ax by       有相同解， ∴解方程组 3 5 2 3 4 x y x y       得： 1 2 x y     ， 把 1 2 x y     代入 4 5 22 8 ax by ax by       得： 4 10 22 2 8 a b a b       ，解得： 2 3 a b    ， ∴      2021 2021 20212 3 1 1a b       ． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能把二元一次方程组转化 成一元一次方程是解本题的关键． 6．19 6 【分析】本题考查的是解二元一次方程组以及同解问题，掌握加减消元法是解题关键．先解方 程组 4 5 3 9 x y x y      ，再根据两个方程组同解，得到关于 a、b的方程组，求解即可计算求值． 【详解】解： 4 5 3 9 x y x y      ① ② ① ②，得7 14x  解得 2x  把 2x  代入①，得 4 2 5y   解得 = 3y  把 2 3 x y     代入 3 7 ax by ax by      得 2 3 3 2 3 7 a b a b      ③ ④ ③+④，得4 10a  ，即 5 2 a  把 5 2 a  代入③，得 52 3 3 2 b   解得 2 3 b  5 2 19 2 3 6 a b     ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 7．(1) 1 3 x y    ； (2) 1 1 a b     ． 【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组；方程组的解； （1）根据题意得 3 6 7 2 1 x y x y      ① ② ，解方程组，即可求解； （2）把 1, 3 x y    代入 2, 4, bx ay ax by      得到关于 a，b的方程组，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得 3 6 7 2 1 x y x y      ① ② 2① ，得 6 2 12x y  ，③ ②+③，得13 13x  ，解得 1x  ． 将 1x  代入①中，得3 6y  ，解得 3y  ， 所以这两个方程组的相同解为 1 3 x y    ； （2）把 1, 3 x y    代入 2, 4, bx ay ax by      得 3 2, 3 4, b a a b      解得 1 1 a b     8．(1) 2 3 x y    (2) 1 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解一元一次方程，代数式求值， 解题的关键是正确求出方程组的解． （1）根据二元一次方程组的解法即可求出答案． （2）将 2 3 x y    代入 1 3 4 18 ax by x by       ，然后根据 a,b的值即可求出答案． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 【详解】（1）解：解方程组 4 5 3 9 x y x y      ， 得 2 3 x y    ， 它们的相同解是 2 3 x y    ； （2）把 2 3 x y    代入 1 3 4 18 ax by x by       得 2 3 1 6 12 18 a b b       解得 2 1. a b     所以 2025 2025(2 3 ) [2 ( 2) 3 1] 1a b        ． 9．2 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，由两方程组的解相同，可得 出两方程组的解与关于 x，y的方程组 2 3 3 3 2 11 x y x y      的解相同，解该方程组可求出 x，y的值，将 其代入 1 3 ax by ay bx      中，可得出关于 a，b的二元一次方程组，方程组中两方程相加，可得出 4 2 4a b  ，等式两边再同时除以 2，即可求出 2a b 的值． 【详解】解：关于 ,x y的方程组 2 3 3 1 x y ax by      和 3 2 11 3 x y ay bx      的解相同， 2 3 3 3 2 11 x y x y      ， 解得 3 1 x y    ， 将 3 1 x y    代入方程组 1 3 ax by ay bx      ，得 3 1 3 3 a b a b      ， ∴3 3 1 3a b a b     ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 整理得 4 2 4a b  ， ∴2 2a b  ． 10．(1) 1 2 x y    ; 3 1 x y    ;(2) 6 5  ;(3)x=0,y= 9 2 ;(4)2或-6. 【分析】（1）由题意求方程的解且要使 x，y都是正整数，将方程移项，再把 x和 y互相表示 出来，在由题意要求 x＞0，y＞0，根据以上两个条件可夹出合适的 x值,从而代入方程得到相 应的 y值； （2）由方程组 2 5 { 0 x y x y     求得 x，y的值，代入方程 2 9 0x y mx    即可求得 m的值； （3）方程整理后，根据无论 m如何变化，二元一次方程总有一个固定的解，列出方程组，求 出方程组的解即可． （4）先把 m当作已知求出 x、y的值，再根据方程组有正整数解，进行判断，再找出符合条件 的正整数 m的值即可． 【详解】试题分析： 试题解析（1）由已知方程 x+2y=5，移项得 x=5-2y， ∵x，y都是正整数，则有 x=5-2y＞0，又∵x＞0， ∴0＜y＜2.5， 又∵y为正整数，根据以上条件可知，合适的 y值只能是 y=1、2， 代入方程得相应 x=3、1， ∴方程 2x+y=5的正整数解为 1 2 x y    ； 3 1 x y    (2) ∵x+y=0 ∴x+2y=5变为 y=5 ∴x=-5 将 5 { 5 x y   代入 2 9 0x y mx    得 6 5 m   . (3) ∵由题意得二元一次方程 2 9 0x y mx    总有一个公共解 ∴方程变为(m+1)x-2y+9=0 ∵这个解和 m无关， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 ∴x=0，y= 92 (4) 将方程组 2 5 { 2 9 0 x y x y mx       两个方程相加得2 9 5x mx   ∴ 4 2x m   ∵方程组有整数解且 m为整数 ∴ 2 1m    ， 2 2m    ， 2 4m    ①m+2=1，计算得： 4 { 9 2 x y    （不符合题意） ②m+2=-1，计算得： 4 { 1 2 x y   （不符合题意） ③m+2=2，计算得： 2 { 7 2 x y    （不符合题意） ④m+2=-2，计算得： 2 { 3 2 x y   （不符合题意） ⑤m+2=4，计算得： 1 3 x y     （符合题意）∴m=2 ⑥ m+2=-4，计算得： 1 2 x y    （符合题意）∴m=-6 【点睛】考查了二元一次方程的解，首先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的取值范围， 然后列举出适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值是解答此题的关键． 11．(1)①③ (2)    1 23,6 , 1, 2A A － － (3)① 2 1 3 m k s k      ；② 2023418 【分析】（1）根据定义进行判断即可求解； （2）根据题意得出  1,2 2A p p  ，平移后的坐标为  2,2 2B p p  ，根据 B点到坐标轴的距离 相等，列出方程，解方程即可求解； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 （3）①根据同解方程组得出 4 1 x y    ，根据新定义得出 2 , 2n m t s  ，代入方程组 6 2 2 n t k x m s k x y         ， 解方程组即可求解； ②根据等式 2 3 2024s m ak z    恒成立，得出  3 3 2023 0a k z    ，得出 1, 2023a z   ，与 4 1 x y    代 入代数式，即可求解． 【详解】（1）解：∵6 3 2,0 0 2    ， ∴① (3,6)② ( 4, 2)  ③ (0,0)中“雅赞点”是①③， 故答案为：①③． （2）点  1, 1A p q  是“雅赞点”  1 2 1 2 2q p p       1,2 2A p p   向右平移3个单位后得到  2,2 2B p p  2 2 2p p    4 0p  或    1 23,6 , 1, 2A A   ； （3）①由题意得 3 2 2 1 4 x y x y          与 6 2 2 n t k x m s k x y         有相同的解 4 1 x y    ； “雅赞点”    , ,C m n D s t， 、 2 , 2n m t s   ， 2 2 6 8 2 m s k m s k        ， 2 1 3 m k s k      ， ② 2 3 2024s m ak z    ，  3 2 2 1 3 2024k k ak z       ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10  3 3 2023 0a k z     ， 对于任意 k恒成立， 3 3 0, 2023 0a z      ， 1, 2023a z    ， 又 4 1 x y    ， 1001000 18 2023418xz a y     ， 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，解二元一次方程组，代数式求值， 整式加减中无关类型，理解新定义熟练掌握是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 二元一次方程组同解问题 1．已如方程组 5 2 3 5 4 x y ax y      和 2 3 5 1 x y x by      有相同的解．则 a b 的值是（ ） A．-1 B．1 C．5 D．13 2．关于 x，y的两个方程组 2 2 2 7 ax by x y      和 3 5 9 3 11 ax by x y      有相同的解，则 a b 的值是（ ） A． 2 3 B． 3 2 C． 2 3  D． 12 3．若关于 x y、 的方程组 1 1 2 2 7 3 a x b y a x b y      的解为 6.5 8.5 x y    ，则关于 x y、 的方程组         1 1 2 2 2 2 7 2 2 3 a x y b x y a x y b x y           的解为 ． 4．若方程组 2 5 6 4 x y ax by        与方程组 3 5 16 8 x y bx ay       的解相同，求  20252a b 的值． 5．已知关于 x，y的方程组 3 5 4 5 22 x y ax by       和 2 3 4 8 x y ax by       有相同解，求  2021a b 的值． 6．已知关于 ,x y的方程组 4 5 3 9 x y x y      与方程组 3 7 ax by ax by      的解相同，求 a b 的值． 7．已知方程组 3 6 2 x y bx ay      和方程组 7 2 1 4 x y ax by      的解相同． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求 a，b的值． 8．已知关于 x、 y的方程组 4 5 3 9 x y x y      和 1 3 4 18 ax by x by       有相同的解． (1)求它们相同的解； (2)求 2025(2 3 )a b 的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 9．已知关于 x，y的方程组 2 3 3 1 x y ax by      和 3 2 11 3 x y ay bx      的解相同，求 2a b 的值． 10．已知关于 x， y的方程组 2 5 { 2 9 0 x y x y mx       （1）请写出方程 2 5x y  的所有正整数解； （2）若方程组的解满足 0x y  ，求m的值； （3）无论实数m取何值，方程 2 9 0x y mx    总有一个公共解，你能把求出这个公共解吗？ （4）如果方程组有整数解，求整数m的值． 11．规定：对于平面直角坐标系 xOy中任意一点 ( , )P x y ，若 2y x ，即此点的纵坐标是横坐标的 两倍，此时我们称点 ( , )P x y 为“雅赞点”．例如：对于点 (1, 2)，它的纵坐标 2是横坐标 1的 2倍， 所以点 (1, 2)是“雅赞点”． (1)以下各点：① (3,6)② ( 4, 2)  ③ (0,0)中“雅赞点”是________（填序号即可）； (2)若点 ( 1, 1)A p q  是“雅赞点”，且 A点向右平移 3个单位后得到 B点，B点到坐标轴的距离相 等，求此时“雅赞点”A点的坐标； (3)已知“雅赞点” ( , )C m n ， ( , )D s t ，关于 x，y的方程组 3 2 2 x y m s k x y          与 6 2 2 1 4 n t k x x y         有相同的 解． ①用含 k的式子表示m和 s； ②若对于任意 k，等式 2 3 2024s m ak z    恒成立，求此时 1001000 18xz a y   的值．