清单01一元一次不等式（10个考点梳理+7大题型解读+提升训练）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（沪教版2024）

专题01 一元一次不等式 （10个考点梳理+7大题型解读+提升训练） 清单01 不等式的概念 用不等号“>”“<”“≥”“≤”连接的式子,叫作不等式. 特别提醒：用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式. 注意：判断一个式子是否为不等式，关键是看所给式子是否含不等号； 不等号具有方向性，不等号两边的数(或式子) 不能随意交换. 2. 基本的表达形式： (1)常见的不等号： 符号 名称 实际意义 读法 举例 < 小于号 小于、不足 小于 3+2<6 > 大于号 大于、高出 大于 3+3>5 ≠ 不等于号 不相等 不等于 4 ≠ 5 (2)常见的不等式基本语言与符号表示： ① a 是正数表示为a ＞ 0，a 是负数表示为a ＜ 0； ② a，b 同号表示为ab ＞ 0，a，b 异号表示为ab ＜ 0. 清单02 不等式的性质 不等式的性质1：对于任意给定的两个数a、b，在a>b、a<b、a=b三种情形中，有且只有一种情形成立. 不等式的性质2：如果a>b，b>c，那么a>c.如果a＜b，b＜c，那么a＜c. 如同相等关系具有传递性，不等式性质2表明大于关系也具有传递性．同样地，“≥”“≤”与“<”也具有传递性. 不等式的性质3：不等式两边加（或减）同一个数，不等号的方向不变． 不等式的性质4：不等式的两边同乘(或除以)一个正数，不等号的方向不变. 不等式的性质5：不等式的两边同乘(或除以)一个负数，不等号的方向改变. 清单03 一元一次不等式的定义 （1）一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 清单04 解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 清单05 一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 清单06 由实际问题抽象出一元一次不等式 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 清单07 一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 清单08 一元一次不等式组及其解集 含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组． 一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集． 一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定． 清单09 一元一次不等式组的解法 由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表． 不等式组 （其中a＞b） 图示 解集 口诀 （同大取大） （同小取小） （大小取中间） 无解 （空集） （大大、小小 找不到） 注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示. 清单10 一元一次不等式组的应用 列一元一次不等式组解实际应用问题，可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧，不同的是，列不等式组解应用题，寻求的是不等关系，因此，根据问题情境，抓住应用问题中“不等”关系的关键词语，或从题意中体会、感悟出不等关系显得十分重要 【考点题型一】不等式的性质（） 【例1】（2024七年级下·上海·专题练习）下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】（20-21七年级下·上海·期末）如果，那么 ．（填“<”或“>”） 【变式1-2】（22-23七年级上·上海青浦·期中）已知，求的最小值． 【变式1-3】（24-25七年级上·上海·期中）已知． (1)化简； (2)比较和的大小 【考点题型二】求一元一次不等式的解集（） 【例2】（22-23七年级上·上海闵行·期中）不等式的解集是 ． 【变式2-1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）当 时，分式有意义． 【变式2-2】（24-25七年级上·上海·期末）如果关于x的方程的解为负数，那么a的取值范围是 ． 【变式2-3】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）解不等式：． 【考点题型三】求一元一次不等式的整数解（） 【例3】（21-22七年级下·上海·期中）不等式10（x+1）+x≤21的正整数解为 ． 【变式3-1】.（21-22七年级下·上海·期中）如果不等式2x﹣3≤m的正整数解有4个，则m的取值范围是 ． 【变式3-2】（21-22七年级下·上海·期中）解不等式3x﹣2＜7，将解集在数轴上表示出来，并写出它的正整数解． 【变式3-3】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）解关于x的不等式：，并求出最小整数解． 【变式3-4】（2024六年级下·上海·专题练习）已知不等式，它的最大整数解恰好是方程的解，求的值． 【考点题型四】用一元一次不等式解决实际问题（） 【例4】（2024六年级下·上海·专题练习）某校六年级三个班给某受灾地区捐款，其中（1）班捐款420元，（2）班捐款468元．如果三个班的平均捐款超过了450元，那么（3）班的捐款总数超过 元． 【变式4-1】（2023六年级下·上海·专题练习）小明准备用20元钱买钢笔和笔记本，钢笔每支3元，笔记本每本5元，他买了2本笔记本，则他最多还可以买钢笔 支． 【变式4-2】（24-25六年级上·上海·阶段练习）某校为了改善校园环境，丰富学生的课余生活，在暑期对校园环境进行大力改造．现有甲乙两个工程队参与这项改造工程，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． (1)若这项工程由甲乙两队合作完成，完成这项工程最少需要多少天？ (2)学校原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队共同合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的，求乙工程队工作的总天数． 【变式4-3】（23-24六年级下·上海徐汇·期末）为了活跃学生们的课余生活，学校新建棋室，现欲购买一批象棋和围棋，已知购买3副象棋和2副围棋共需160元，购买2副象棋和3副围棋共需165元， (1)求每副象棋和围棋的价格． (2)如果学校准备购买象棋和围棋共100副，且总费用不超过3225元．那么最多能购买多少副围棋． 【变式4-4】（2024六年级下·上海·专题练习）小明分三次和家人、朋友一起参观某科技馆，只有一次恰逢科技馆成人票和学生票都打折，其余两次均按标准票价购买门票（无任何优惠）．三次参观科技馆时，购买成人票和学生票的数量和费用如表所示： 购买门票的数量（张 购买总费用（元 成人票 学生票 第一次购物 5 2 380 第二次购物 3 4 340 第三次购物 7 5 310 (1)小明以折扣价购买门票是第　　次参观； (2)求出每张成人票和每张学生票的标准票价； (3)如果成人票和学生票的折扣相同，问：当购买成人票和学生票共15张，并且享受同样的折扣，购票总费用不超过320元时，有几种购票方案？（要求必需购买成人票） 【考点题型五】求不等式组的解集（） 【例5】（21-22六年级下·上海嘉定·期中）在下列不等式组中，无解的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（22-23六年级下·上海虹口·期中）已知不等式组的解集为，则 ． 【变式5-2】（23-24六年级下·上海·期末）若关于x、y的方程组的解是正数，则m的取值范围是 ． 【变式5-3】（23-24六年级下·上海松江·期末）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示． 【考点题型六】求一元一次不等式组的整数解（） 【例6】（21-22六年级下·上海嘉定·期中）不等式组的整数解的和是（    ） A．0 B．-1 C．-2 D．-3 【变式6-1】（23-24六年级下·上海·期末）不等式的非负整数解共有 个． 【变式6-2】（23-24六年级下·上海浦东新·期末）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出该不等式的整数解． 【变式6-3】（22-23六年级下·上海虹口·期中）求不等式组的最小整数解． 【变式6-4】（24-25七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，请从不等式组的整数解中选择一个合适的值代入求值 【考点题型七】由一元一次不等式组的解集求参数与由不等式组解集的情况求参数（） 【例7】（23-24六年级下·上海·期中）如果关于x的不等式组的解集是，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】（22-23六年级下·上海长宁·期末）由不等式，可得到，则有（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24六年级下·上海杨浦·期末）若关于x的不等式组无解，那么m的取值范围是 【变式7-3】（23-24六年级下·上海宝山·期末）已知关于的不等式的正整数解是1、2、3，那么的取值范围是 ． 【变式7-4】（20-21六年级下·上海浦东新·期中）若关于x的不等式组只有4个整数解，求的取值范围. 【提升训练】 一、单选题 1．（22-23六年级下·上海虹口·期中）如果，那么下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24六年级下·上海闵行·期末）已知，那么下列各式中，一定成立的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24六年级下·上海松江·期末）如果，那么下列不等式不成立的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·上海·阶段练习）如果数使关于的分式方程的解为正数，且使关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 二、填空题 5．（24-25七年级上·上海·期中）当x满足条件 时，分式有意义． 6．（23-24六年级下·上海宝山·期中）用不等式表示“x的相反数减去3的差是一个非负数”： ． 7．（23-24六年级下·上海·期中）已知不等式组无解，则a的取值范围是 ． 8．（23-24六年级下·上海闵行·期末）如果关于x的不等式的正整数解是1、2、3，那么整数m所有可能取值的和是 ． 9．（2024六年级下·上海·专题练习）关于的不等式组，恰有4个整数解，则的取值范围是 ． 10．（22-23六年级下·上海虹口·期中）不等式的非负整数解是 ． 三、解答题 11．（23-24六年级下·上海宝山·期末）解不等式组： 12．（24-25七年级上·上海·期中）解不等式： 13．（23-24六年级下·上海闵行·期末）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解． 14．（23-24六年级下·上海·期末）解不等式组：，并写出它的整数解． 15．（24-25七年级上·上海·阶段练习）“垃圾分一分，环境美十分”．我校为积极响应有关垃圾分类的号召，从超市购进了，两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知品牌垃圾桶比品牌垃圾桶每个贵50元，用4000元购买品牌垃圾桶的数量与用6000元购买品牌垃圾桶的数量相同． (1)求购买一个品牌、一个品牌的垃圾桶各需多少元？ (2)若学校决定再次准备用不超过4800元购进，两种品牌垃圾桶共50个，恰逢超市对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：品牌按第一次购买时售价的九折出售，品牌比第一次购买时售价下降了20%，那么该学校此次最多可购买多少个品牌垃圾桶？ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元一次不等式 （10个考点梳理+7大题型解读+提升训练） 清单01 不等式的概念 用不等号“>”“<”“≥”“≤”连接的式子,叫作不等式. 特别提醒：用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式. 注意：判断一个式子是否为不等式，关键是看所给式子是否含不等号； 不等号具有方向性，不等号两边的数(或式子) 不能随意交换. 2. 基本的表达形式： (1)常见的不等号： 符号 名称 实际意义 读法 举例 < 小于号 小于、不足 小于 3+2<6 > 大于号 大于、高出 大于 3+3>5 ≠ 不等于号 不相等 不等于 4 ≠ 5 (2)常见的不等式基本语言与符号表示： ① a 是正数表示为a ＞ 0，a 是负数表示为a ＜ 0； ② a，b 同号表示为ab ＞ 0，a，b 异号表示为ab ＜ 0. 清单02 不等式的性质 不等式的性质1：对于任意给定的两个数a、b，在a>b、a<b、a=b三种情形中，有且只有一种情形成立. 不等式的性质2：如果a>b，b>c，那么a>c.如果a＜b，b＜c，那么a＜c. 如同相等关系具有传递性，不等式性质2表明大于关系也具有传递性．同样地，“≥”“≤”与“<”也具有传递性. 不等式的性质3：不等式两边加（或减）同一个数，不等号的方向不变． 不等式的性质4：不等式的两边同乘(或除以)一个正数，不等号的方向不变. 不等式的性质5：不等式的两边同乘(或除以)一个负数，不等号的方向改变. 清单03 一元一次不等式的定义 （1）一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 清单04 解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 清单05 一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 清单06 由实际问题抽象出一元一次不等式 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 清单07 一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 清单08 一元一次不等式组及其解集 含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组． 一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集． 一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定． 清单09 一元一次不等式组的解法 由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表． 不等式组 （其中a＞b） 图示 解集 口诀 （同大取大） （同小取小） （大小取中间） 无解 （空集） （大大、小小 找不到） 注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示. 清单10 一元一次不等式组的应用 列一元一次不等式组解实际应用问题，可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧，不同的是，列不等式组解应用题，寻求的是不等关系，因此，根据问题情境，抓住应用问题中“不等”关系的关键词语，或从题意中体会、感悟出不等关系显得十分重要 【考点题型一】不等式的性质（） 【例1】（2024七年级下·上海·专题练习）下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：若，两边同时加上3得，则①正确； 若，那么，则②错误； 若，那么，故，则③正确； 若那么，则④正确； 综上，正确的有3个， 故选：C． 【变式1-1】（20-21七年级下·上海·期末）如果，那么 ．（填“<”或“>”） 【答案】＜ 【分析】根据不等式的性质分析即可． 【详解】解析：由，可知：，，则， ∴，所以． 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【变式1-2】（22-23七年级上·上海青浦·期中）已知，求的最小值． 【答案】 【分析】由，得到，再由，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 即， ∴的最小值为． 【点睛】此题考查了整式的加减，不等式的基本性质等知识，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【变式1-3】（24-25七年级上·上海·期中）已知． (1)化简； (2)比较和的大小 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减计算，完全平方公式，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）将利用完全平方公式变形为，再根据平方的非负性求解即可． 【详解】（1）解： （2）解：∵， 而， ∴， ∴， 即． 【考点题型二】求一元一次不等式的解集（） 【例2】（22-23七年级上·上海闵行·期中）不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】把已知不等式两边展开，变形得，即可解得不等式解集． 【详解】解： 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是把已知的不等式化简变形和掌握不等式的性质． 【变式2-1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）当 时，分式有意义． 【答案】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件及解一元一次不等式，熟练掌握“当分母不为0时，分式有意义”是解题关键．根据分式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：． 故答案为： 【变式2-2】（24-25七年级上·上海·期末）如果关于x的方程的解为负数，那么a的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程方法步骤，根据解的取值范围，确定字母系数的取值范围，是解决问题的关键． 去分母解所得整式方程，根据方程的解为负数与分母不为0，解不等式，即得． 【详解】两边都乘以最简公分母， 得， 解得， ∵方程的解为负数， ∴且 ，， 解得且． 故答案为：且． 【变式2-3】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查了求不等式的解集，先根据乘法公式、多项式与多项式的乘法法则化简，然后移项、合并同类项、系数化为1即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 【考点题型三】求一元一次不等式的整数解（） 【例3】（21-22七年级下·上海·期中）不等式10（x+1）+x≤21的正整数解为 ． 【答案】1 【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可． 【详解】去括号得，10x+10+x≤21， 移项得，10x+x≤21﹣10， 合并同类项得，11x≤11， 系数化为1得，x≤1， 故其正整数解为1． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【变式3-1】.（21-22七年级下·上海·期中）如果不等式2x﹣3≤m的正整数解有4个，则m的取值范围是 ． 【答案】5≤m＜7 【分析】先求解不等式，然后根据该不等式恰有4个正整数解，进而问题可求解． 【详解】解：解不等式2x﹣3≤m得，x≤， ∵此不等式的正整数解有4个， ∴不等式的正整数解为1，2，3，4， ∴4≤＜5， ∴m的取值范围是5≤m＜7． 故答案为5≤m＜7． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 【变式3-2】（21-22七年级下·上海·期中）解不等式3x﹣2＜7，将解集在数轴上表示出来，并写出它的正整数解． 【答案】x＜3，解集在数轴上表示见解析，正整数解1，2 【分析】解不等式，把不等式的解集在数轴上表示出来，找出正整数解即可． 【详解】解：3x﹣2＜7 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： 所以不等式的解集为：x＜3，正整数解1，2． 【点睛】本题考查了不等式的解法，并找出特殊解，是基本题型，难度不大． 【变式3-3】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）解关于x的不等式：，并求出最小整数解． 【答案】，最小整数解为． 【分析】本题考查了解不等式，注意：不等号两边同时除以负数，不等号方向要改变．先计算多项式乘以多项式，然后再移项、合并同类项即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴最小整数解为． 【变式3-4】（2024六年级下·上海·专题练习）已知不等式，它的最大整数解恰好是方程的解，求的值． 【答案】 【分析】此题考查的是一元一次不等式的解，将的值解出再代入方程即可得出的值．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．此题可先将不等式化简求出的取值，然后取的最大整数解代入方程，化为关于的一元一次方程，解方程即可得出的值． 【详解】解：由得 ， 所以最大整数解为， 将代入中， 解得． 【考点题型四】用一元一次不等式解决实际问题（） 【例4】（2024六年级下·上海·专题练习）某校六年级三个班给某受灾地区捐款，其中（1）班捐款420元，（2）班捐款468元．如果三个班的平均捐款超过了450元，那么（3）班的捐款总数超过 元． 【答案】462 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设（3）班的捐款总数为元，根据三个班的平均捐款超过了450元，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，进而可得出（3）班的捐款总数超过462元，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【详解】设（3）班的捐款总数为元， 根据题意得：， 解得：， ∴（3）班的捐款总数超过462元， 故答案为：462． 【变式4-1】（2023六年级下·上海·专题练习）小明准备用20元钱买钢笔和笔记本，钢笔每支3元，笔记本每本5元，他买了2本笔记本，则他最多还可以买钢笔 支． 【答案】3 【分析】设小明还可以买支钢笔，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】解：设小明还可以买支钢笔， 依题意得：， 解得：． 又为正整数， 的最大值为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，正确理解题意，列出不等式是解题的关键． 【变式4-2】（24-25六年级上·上海·阶段练习）某校为了改善校园环境，丰富学生的课余生活，在暑期对校园环境进行大力改造．现有甲乙两个工程队参与这项改造工程，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． (1)若这项工程由甲乙两队合作完成，完成这项工程最少需要多少天？ (2)学校原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队共同合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的，求乙工程队工作的总天数． 【答案】(1)天 (2)天 【分析】（）由题意可得，乙工程队单独完成这项工程所需天，设甲乙两队合作完成这项工程需要天，由题意列出一元一次不等式解答即可求解； （）设乙工程队工作的总天数为天，由题意列出方程即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，乙工程队单独完成这项工程所需天， 设甲乙两队合作完成这项工程需要天， 由题意得，， 解得， 答：甲乙两队合作完成这项工程最少需要天； （2）解：设乙工程队工作的总天数为天， 由题意得，， 解得， 答：乙工程队工作的总天数为天． 【变式4-3】（23-24六年级下·上海徐汇·期末）为了活跃学生们的课余生活，学校新建棋室，现欲购买一批象棋和围棋，已知购买3副象棋和2副围棋共需160元，购买2副象棋和3副围棋共需165元， (1)求每副象棋和围棋的价格． (2)如果学校准备购买象棋和围棋共100副，且总费用不超过3225元．那么最多能购买多少副围棋． 【答案】(1)每副象棋30元，每副围棋35元 (2)最多能购买45副围棋 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用： （1）设每副象棋元，每副围棋元，根据购买3副象棋和2副围棋共需160元，购买2副象棋和3副围棋共需165元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买了副围棋，根据总费用不超过3225元，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设每副象棋元，每副围棋元，由题意，得： ，解得： 答：每副象棋30元，每副围棋35元； （2）设购买了副围棋，由题意，得：， 解得：； 答：最多能购买45副围棋． 【变式4-4】（2024六年级下·上海·专题练习）小明分三次和家人、朋友一起参观某科技馆，只有一次恰逢科技馆成人票和学生票都打折，其余两次均按标准票价购买门票（无任何优惠）．三次参观科技馆时，购买成人票和学生票的数量和费用如表所示： 购买门票的数量（张 购买总费用（元 成人票 学生票 第一次购物 5 2 380 第二次购物 3 4 340 第三次购物 7 5 310 (1)小明以折扣价购买门票是第　　次参观； (2)求出每张成人票和每张学生票的标准票价； (3)如果成人票和学生票的折扣相同，问：当购买成人票和学生票共15张，并且享受同样的折扣，购票总费用不超过320元时，有几种购票方案？（要求必需购买成人票） 【答案】(1)三 (2)每张成人票的标准票价为60元，每张学生票的标准票价为40元 (3)有2种购票方案：①购买成人票1张，购买学生票14张；②购买成人票2张，则购买学生票13张 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）由表中数据即可得出结论； （2）设每张成人票的标准票价为元，每张学生票的标准票价为元，由表中数据列出二元一次方程组，解方程组即可； （3）设每张成人票和学生票都打折，由购买成人票和学生票共15张，结合表中数据列出一元一次方程，解得，再设购买成人票张，则购买学生票张，由题意：购票总费用不超过320元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意得：小明以折扣价购买门票是第三次参观， 故答案为：三； （2）解：设每张成人票的标准票价为元，每张学生票的标准票价为元， 由题意得：， 解得：， 答：每张成人票的标准票价为60元，每张学生票的标准票价为40元； （3）解：设每张成人票和学生票都打折， 由题意得：， 解得：， 即每张成人票和学生票都打5折， 设购买成人票张，则购买学生票张， 由题意得：， 解得：， 必需购买成人票， 或2， 有2种购票方案：①购买成人票1张，购买学生票14张；②购买成人票2张，则购买学生票13张． 【考点题型五】求不等式组的解集（） 【例5】（21-22六年级下·上海嘉定·期中）在下列不等式组中，无解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据确定不等式组的解集的方法逐项作出判断即可． 【详解】解：A.的解集为，不合题意； B. 的解集为，不符合题意； C. 的解集为，不合题意； D. 无解，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了确定不等式组解集的方法，可以借助口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”求解． 【变式5-1】（22-23六年级下·上海虹口·期中）已知不等式组的解集为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键． 先求出不等式组的解集，再根据已知的解集可建立关于的方程，解方程可得的值即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ， 解得， 故答案为：． 【变式5-2】（23-24六年级下·上海·期末）若关于x、y的方程组的解是正数，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，先解方程组，用m表示出x，y的值，然后根据x，y都是正数列关于的不等式组求解即可． 【详解】解： ①②得：，解得：， 将代入①得：，解得：， 关于x、y的方程组的解是正数， ， 解得：， 故答案为：． 【变式5-3】（23-24六年级下·上海松江·期末）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示． 【答案】，详见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示解集，关键是掌握解不等式组的方法． 先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示如下： 【考点题型六】求一元一次不等式组的整数解（） 【例6】（21-22六年级下·上海嘉定·期中）不等式组的整数解的和是（    ） A．0 B．-1 C．-2 D．-3 【答案】D 【分析】分别求出每个不等式的解集，然后求出所有整数解的和即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式①得， 不等式组的解集为， 则不等式组的整数解的和为：， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式组的方法进行计算． 【变式6-1】（23-24六年级下·上海·期末）不等式的非负整数解共有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解．正确的解一元一次不等式是解题的关键． 移项合并，最后系数化为1，可求不等式的解集，进而可得非负整数解的个数． 【详解】解：， ， 解得，， ∴非负整数解有0，1，2，3共4个， 故答案为：4． 【变式6-2】（23-24六年级下·上海浦东新·期末）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出该不等式的整数解． 【答案】，数轴见解析，整数解是，，0，1，2 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的整数解，在数轴上表示不等式组的解集和解一元一次不等式组等知识点，先求出不等式组的解集，再在数轴上表示不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可．能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 在数轴上表示为： 所以不等式组的整数解是，，0，1，2． 【变式6-3】（22-23六年级下·上海虹口·期中）求不等式组的最小整数解． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．解题的关键是掌握一元一次不等式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 【详解】解： 解不等式①，得：， 解不等式②，得： ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的最小整数解为． 【变式6-4】（24-25七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，请从不等式组的整数解中选择一个合适的值代入求值 【答案】，当时，原式为 【分析】本题考查了分式的化简求值，解不等式组，解题的关键是掌握相关知识．先求出不等式组的解集，再将所求的分式化简，最后代入合适的值计算即可，注意不要选使原分式无意义的值． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为：，，， ； ∵，， ∴，， 当时，原式． 【考点题型七】由一元一次不等式组的解集求参数与由不等式组解集的情况求参数（） 【例7】（23-24六年级下·上海·期中）如果关于x的不等式组的解集是，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先算出每个不等式，则，，再结合关于x的不等式组的解集是，即可列式，进行作答． 【详解】解：∵ ∴由，则，解得， ∵解集是，， ∴， 解得， 故选：A． 【变式7-1】（22-23六年级下·上海长宁·期末）由不等式，可得到，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，，即可得． 【详解】解：∵， ， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了解不等式，解题的关键是不等号方向的改变． 【变式7-2】（23-24六年级下·上海杨浦·期末）若关于x的不等式组无解，那么m的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了不等式的解集，先解不等式，然后根据不等式组无解，即可求出m的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， ∵无解， ∴， ∴， 故答案为： 【变式7-3】（23-24六年级下·上海宝山·期末）已知关于的不等式的正整数解是1、2、3，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解出不等式的解集，正确确定的范围，是解决本题的关键．解不等式时要用到不等式的基本性质． 首先确定不等式组的解集，利用含的式子表示，再根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，然后根据解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的范围． 【详解】解：， 不等式的解集是：， ∵不等式的正整数解恰是， ， ∴的取值范围是． 故答案为：． 【变式7-4】（20-21六年级下·上海浦东新·期中）若关于x的不等式组只有4个整数解，求的取值范围. 【答案】 【分析】先求出不等式组的解题，再由只有4个整数解确定的取值范围. 【详解】 由①得. 由②得:, ∴, ∵不等式组有个整数解， ∴这个整数解为， ∴. 【点睛】本题考查不等式组的整数解，能正确求出不等式组的解集是解题的关键. 【提升训练】 一、单选题 1．（22-23六年级下·上海虹口·期中）如果，那么下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、如果，那么，故本选项正确，不符合题意； B、如果，那么，故本选项正确，不符合题意； C、如果，那么，故本选项错误，符合题意； D、如果，那么，故本选项正确，不符合题意； 故选C． 2．（23-24六年级下·上海闵行·期末）已知，那么下列各式中，一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是不等式的基本性质，掌握“利用不等式的基本性质判断不等式的变形是否正确”是解本题的关键． 不等式性质1：在不等式的两边都加上或减去同一个数，不等号的方向不变，性质2：在不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，性质3：在不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，根据不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A．∵，∴，原变形错误，故该选项不符合题意； B．当时，不成立，原变形错误，故该选项不符合题意； C．∵，无法判断与的大小，故该选项不符合题意； D．∵，∴ ，原变形正确，故该选项符合题意； 故选：D． 3．（23-24六年级下·上海松江·期末）如果，那么下列不等式不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，，故此选项不符合题意； B、，，，故此选项不符合题意； C、，，故此选项不符合题意； D、，，故此选项符合题意； 故选：D． 4．（24-25七年级上·上海·阶段练习）如果数使关于的分式方程的解为正数，且使关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程与解一元一次不等式组，正确求解方程与不等式组是关键；先解分式方程，根据解为正数求得a的范围；再解不等式组，根据解集为可求得a的范围，最后求得所有整数a并相加即可． 【详解】解：解得：， 则有， ∴； 但，即， ∴且； 解第一个不等式得：；解第二个不等式得：； 由题意知，， 综上，a的取值范围为且， ∴a取整数，，0，1，3，4，5， 其和为10． 故选：A． 二、填空题 5．（24-25七年级上·上海·期中）当x满足条件 时，分式有意义． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，要使分式有意义，则分式的分母不为0，据此即可解答． 【详解】解：当，即时，分式有意义． 故答案为： 6．（23-24六年级下·上海宝山·期中）用不等式表示“x的相反数减去3的差是一个非负数”： ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，解题关键是明确题目中的数量关系，正确列出不等式．根据题目中的不等量关系列出不等式即可． 【详解】解：“x的相反数减去3的差是一个非负数”用不等式表示为：， 故答案为：． 7．（23-24六年级下·上海·期中）已知不等式组无解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组解集的情况求参数，根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题即可得出答案． 【详解】解：不等式组无解， ， 故答案为：． 8．（23-24六年级下·上海闵行·期末）如果关于x的不等式的正整数解是1、2、3，那么整数m所有可能取值的和是 ． 【答案】54 【分析】本题考查一元一次不等式的整数解，根据题意确定出m的取值范围是解答此题的关键．先求出不等式的解集为，再结合题意可确定m的取值范围，最后根据m为整数求解即可． 【详解】解：， 解得：． ∵该不等式的正整数解是1、2、3， ∴， 解得：， ∴整数m所有可能取值为12，13，14，15， ∴整数m所有可能取值的和是． 故答案为：54． 9．（2024六年级下·上海·专题练习）关于的不等式组，恰有4个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据已知得出关于的不等式组是解此题的关键．根据整数解的个数得出的可能取值，继而求得的取值范围． 【详解】解：不等式组， 恰有4个整数解，即整数解为：0，1，2，3， ． 故答案为：． 10．（22-23六年级下·上海虹口·期中）不等式的非负整数解是 ． 【答案】 【分析】此题考查了求不等式的非负整数解．先解不等式求出不等式的解集，再找出非负整数解即可． 【详解】解： 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， ∴不等式的非负整数解是． 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24六年级下·上海宝山·期末）解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 分别解出两不等式的解集再求其公共解． 【详解】解：， 解①：， 去分母得：， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为一得； 解②：， 移项得， 系数化为一得； 故不等式组的解集为． 12．（24-25七年级上·上海·期中）解不等式： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式，解一元一次不等式组是解题的关键．先利用完全平方公式和平方差公式去括号，然后移项合并，系数化为1即可． 【详解】解： ． 13．（23-24六年级下·上海闵行·期末）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解． 【答案】，见解析，整数解为，0，1 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集．熟练掌握解一元一次不等式组，在数轴上表示解集是解题的关键． 分别求出两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集，在数轴上表示解集，然后求整数解即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得，； ， , ， 解得，； ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示解集如下； ∴整数解为，0，1． 14．（23-24六年级下·上海·期末）解不等式组：，并写出它的整数解． 【答案】，整数解 【分析】本题考查了求不等式组的解集并确定不等式组的整数解，先分别解出两个不等式，进而求出不等式组的解集，即可确定整数解． 【详解】解：， 解不等式①得； 解不等式得； ∴不等式组得解集为：， ∴整数解为：． 15．（24-25七年级上·上海·阶段练习）“垃圾分一分，环境美十分”．我校为积极响应有关垃圾分类的号召，从超市购进了，两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知品牌垃圾桶比品牌垃圾桶每个贵50元，用4000元购买品牌垃圾桶的数量与用6000元购买品牌垃圾桶的数量相同． (1)求购买一个品牌、一个品牌的垃圾桶各需多少元？ (2)若学校决定再次准备用不超过4800元购进，两种品牌垃圾桶共50个，恰逢超市对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：品牌按第一次购买时售价的九折出售，品牌比第一次购买时售价下降了20%，那么该学校此次最多可购买多少个品牌垃圾桶？ 【答案】(1)品牌垃圾桶每个100元；B品牌垃圾桶每个150元 (2)品牌垃圾桶最多买10个 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意，根据等量关系与不等量关系列出方程与不等式是解题的关键． （1）设品牌垃圾桶每个x元，则B品牌垃圾桶每个元，根据两种垃圾桶数量相同，列出分式方程并求解即可，注意检验； （2）设该学校此次最可购买y个品牌垃圾桶，则可购买A品牌垃圾桶个，根据题意列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：设品牌垃圾桶每个x元，则B品牌垃圾桶每个元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意； ∴（元）； 答：品牌垃圾桶每个100元，则B品牌垃圾桶每个150元； （2）解：设该学校此次最可购买y个品牌垃圾桶，则可购买A品牌垃圾桶个， 由题意得：， 解得：， ∴品牌垃圾桶最多买10个； 答：品牌垃圾桶最多买10个． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$