专题13 全等与相似三角形模型之十字架模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（江西专用）

专题13 全等与相似三角形模型之十字架模型 目录 1 模型1.全等模型之正方形中的十字架型 1 模型2.相似模型之矩形中的十字架型 9 模型3.相似模型之等边三角形中的斜十字型 19 模型4.相似模型之直角三角形中的十字型 22 26 模型1.全等三角形模型之正方形中的十字架型 条件：1）如图1，在正方形ABCD中，若E、F分别是BC、CD上的点，AE⊥BF；结论：AE=BF。 证明：四边形是正方形，，，∴ AE⊥BF，∴，，，∴AE=BF。 条件：2）如图2，在正方形ABCD中，若E、F、G分别是BC、CD、AB上的点，AE⊥GF；结论：AE=GF。 证明：在FC上取一点P，使得GB=PF，连结BP。 四边形是正方形，∴AB//CD，∴四边形是平行四边形，∴GF//BP，GF=BP， 同1）中证明，可得AE=GF。 条件：3）如图3，正方形ABCD中，若E、F、G、H分别是BC、CD、AB、AD上的点，EH⊥GF； 结论：HE=GF。 证明：在FC、BE上取一点P、Q，使得GB=PF，AH=QE，连结BP、AQ。 四边形是正方形，∴AB//CD，∴四边形是平行四边形，∴GF//BP，GF=BP， 同理可证得：四边形是平行四边形，∴AQ//HF，AQ=HF，同1）中证明，可得HE=GF。 例1．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）在正方形中，是边上一点，（点不与点，重合），连接． (1)如图，过点作交于点．证明：． (2)如图，取的一点，过点作交于点，交于点．求证：． 例2．（24-25八年级上·山东烟台·期末）【问题解决】 如图，在矩形中，点分别在边上，，于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，连接，判断的形状，并说明理由． 【类比探究】 （3）如图，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，，，，求的值． 例3．（24-25九年级上·海南三亚·阶段练习）如图1，在正方形中，点分别是边上的点，且． (1)求证：． (2)如图2，在图1的基础上，过点E作的垂线，与正方形的外角的平分线交于点N，连接．求证：四边形是平行四边形． (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若四边形的面积是25，，请求出的长度． 模型2.相似三角形模型之矩形中的十字架型 1）条件：如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，结论：. 证明：四边形为矩形，，； DE⊥AC，，，，，. 2）条件：如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，结论：. 证明：如图，过点F作于点G，则； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ；EF⊥AC，，； ，，，易证：DC=AB，FG=BC，. 3）条件：如图3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，EF⊥MN，结论：. 证明：如图：过点N、F作、垂直，； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ∵EF⊥MN，，∴； 又∵（对顶角相等），∴； ∴，，易证：NH=AB，FG=BC，. 例1．（24-25九年级下·安徽安庆·开学考试）在矩形中，E为上的一点，过B作的垂线，垂足为点G，交于点F． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的面积． 例2．（2025·广东深圳·三模）【问题提出】 （1）如图，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接与交于点，若，求证：； 【迁移应用】 （2）如图，在中，，，点，分别是边，上的点，连接交于点，且，求的值； 【拓展提高】 （3）如图，在四边形中，点是边上的一点，连接与交于点，，，，请直接写出的值． 例3．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 已知矩形，点在边上，点在边上，点在边上，，垂足为点． (1)如图1，当时，点与点重合时，则与的数量关系是：_______（填“>”、“=”、“<”号）． (2)如图2，若，求与的数量关系； (3)应用（2）中的结论解决问题： ①如图2，若，，，则的最小值为________； ②如图3，在中，，，，点是的中点，连接，过作的垂线，交直线于，垂足是点，请直接写出的长． 模型3.相似三角形模型之等边三角形中的斜十字型 证明：如图，在等边中，，， 在与中，，，∴AD=BE，； ，∴AD和BE夹角为60°； ，，，同理： ， 例1．（2024·广西·模拟预测）如图，在等边三角形中，相交于点F．求证：． 例2．（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长度． 模型4.相似三角形模型之直角三角形中的十字型 1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）： 条件：如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，结论：①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 如图1，过点C作BC的垂线交BF于点H，过点A作AG垂直于CH，∴∠BCH=90°，∴∠CBH+∠CHB=90° ∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABC=90°，∵BF⊥AD，∴∠CBH+∠ADB=90°，∴∠CHB=∠ADB， ∵AB=BC，∴，∴BD=CH，∵D为BC中点，∴BD=DC=CH，∴AB=2CH， 易证：四边形ABCG为正方形，即AB//CG，∴，∴AF：CF=BA：HC=2：1 ∵AB=BC，AB⊥BC，∴∠BCA=45°，∵∠BCH=90°，∴∠BCA=∠GCA=45°， ∵DC=CH，CF=CF，∴，∴∠CHF=∠CDF，∠CFH=∠CFD， ∴∠BDA=∠CDF，∵∠CFH=∠AFB，∴∠AFB=∠CFD， 如图2，过点C作CQ垂直于BF，∴∠BQC=90°， ∵AB⊥BC，∴∠ABD=∠BQC=90°，∴∠ABE+∠QBC=90°，∵AB=BC，∴， ∴CQ=BE，AE=BQ，∵BF⊥AD，CQ⊥BF，易证：，∴EA：QC=AF：CF=2：1。 ∴AE=BQ=BE+EQ=CQ+EQ，∴CQ=EQ，∴QEC为等腰直角三角形，∴∠QEC=45°， ∴∠AEC=135°，。 2）直角三角形中的十字模型： 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。（全等+相似） 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 由于该模型证明主要结合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再详细证明，有兴趣的同学可以自行证明即可。 例1．（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）如图，在中，，是的中线，作于点E． (1)求证： (2)求证：； (3)若，，求的长． 例2．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）综合与探究： 问题情景：已知如图1，在中，点为边上一点，连接． 初步探究： （1）如图2，若为直角三角形，，为边上的高，，，则__________． 深入探究： （2）①如图3，若，求证：； ②如图4，在（2）①的条件下，若点为中点，，求的长． 一、解答题 1．（2025八年级下·全国·专题练习）（1）如图①，正方形中，，求证：； （2）如图②，将边长为12的正方形折叠，使点落在上的点，然后压平折痕，若的长为13，求的长．    2．（24-25九年级上·山东青岛·期末）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察思考】 （1）如图1，在正方形中，点，分别是边，上的两点，连接、，当时，求证：； 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，当时，求的长度． 3．（2023·浙江杭州·二模）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点，且，连结，交于点． (1)求证：； (2)连接，若时， ①求的值； ②设的面积为，四边形的面积为，求的值． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）（1）问题发现 如图1，在正方形中，点P和Q分别在和上，，垂足为点M．求证：； （2）类比探究 如图2，在矩形中，点P和Q分别在和上，，垂足为点M．求证：； （3）拓展延伸 如图3，在中，，点和分别在和上，与交于点且 ，求的值． 5．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）问题背景：如图（），在矩形中，点分别是的中点，连接，求证：． 问题探究：如图（），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，与交于点，若，则与有怎样的数量关系？说明理由． 问题拓展：如图（），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值． 6．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）【初探猜想】 （1）如图1，在矩形中，，，点、分别是边、上一点，点、分别是边、上一点，连接，，若，求的值． 【知识迁移】 （2）如图2，在四边形中，，点、分别在线段、上，且，连接，若为等边三角形，求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，在矩形中，，，点，分别在边，上，将四边形沿翻折，点的对应点点恰好落在上，点的对应点是点，则的最小值为 ． 7．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 已知矩形，点E在边上，点M在边上，点N在边上，，垂足为点F．    (1)如图1，当时，点M与点A重合时，则与的数量关系是______（填“”、“”、“”号）． (2)如图2，若，求与的数量关系； (3)应用（2）中的结论解决问题： ①如图2，若，，，则的最小值为______； ②如图3，在中，，，，点D是的中点，连接，过B作的垂线，交直线于E，垂足是点F，请直接写出的长． 8．（2024·四川广元·二模）如图1，与是两个直角三角形，，，于点G，点E在边上（不与点 A，B重合）．    (1)如图 2，过点 D作，交的延长线于点C．求证：． (2)如图3，在（1）的条件下将绕点 D 逆时针旋转 90°得到，连接交于点 N． ①若，探究面积的最大值． ②过点 N 作于点M，连接，若，求证： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 全等与相似三角形模型之十字架模型 目录 1 模型1.全等模型之正方形中的十字架型 1 模型2.相似模型之矩形中的十字架型 9 模型3.相似模型之等边三角形中的斜十字型 19 模型4.相似模型之直角三角形中的十字型 22 26 模型1.全等三角形模型之正方形中的十字架型 条件：1）如图1，在正方形ABCD中，若E、F分别是BC、CD上的点，AE⊥BF；结论：AE=BF。 证明：四边形是正方形，，，∴ AE⊥BF，∴，，，∴AE=BF。 条件：2）如图2，在正方形ABCD中，若E、F、G分别是BC、CD、AB上的点，AE⊥GF；结论：AE=GF。 证明：在FC上取一点P，使得GB=PF，连结BP。 四边形是正方形，∴AB//CD，∴四边形是平行四边形，∴GF//BP，GF=BP， 同1）中证明，可得AE=GF。 条件：3）如图3，正方形ABCD中，若E、F、G、H分别是BC、CD、AB、AD上的点，EH⊥GF； 结论：HE=GF。 证明：在FC、BE上取一点P、Q，使得GB=PF，AH=QE，连结BP、AQ。 四边形是正方形，∴AB//CD，∴四边形是平行四边形，∴GF//BP，GF=BP， 同理可证得：四边形是平行四边形，∴AQ//HF，AQ=HF，同1）中证明，可得HE=GF。 例1．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）在正方形中，是边上一点，（点不与点，重合），连接． (1)如图，过点作交于点．证明：． (2)如图，取的一点，过点作交于点，交于点．求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】根据正方形的性质证明、利用平行四边形性质和判定证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、直角三角形的两个锐角互余 【分析】（1）由正方形的性质可得，，由直角三角形的两个锐角互余可得，利用等式的性质可得，利用可证得，于是结论得证； （2）过点作交于点，由正方形的性质可得，即，因而可知四边形是平行四边形，于是可得，由（1）同理可证，于是可得，则结论得证． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， 又， ， 在和中， ， ； （2）证明：如图，过点作交于点， 四边形是正方形， ，即：， 又， 四边形是平行四边形， ， 由（1）同理可证， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，直角三角形的两个锐角互余，等式的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定与性质是解题的关键． 例2．（24-25八年级上·山东烟台·期末）【问题解决】 如图，在矩形中，点分别在边上，，于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，连接，判断的形状，并说明理由． 【类比探究】 （3）如图，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，，，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）是等腰三角形，理由见解析；（3）31 【知识点】根据正方形的性质证明、利用菱形的性质证明、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题 【分析】（）证明，得到，即可求证； （）证明可得，进而得，即可求解； （）延长到点，使，连接，作，可证，得到，，进而得是等边三角形，得到，即得，再利用勾股定理求出，进而即可求出的长，进而可得到答案； 本题考查了矩形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，等腰三角形的判定，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （2）解：是等腰三角形． 理由：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：延长到点，使，连接，作， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵菱形， ∴， ∴． 例3．（24-25九年级上·海南三亚·阶段练习）如图1，在正方形中，点分别是边上的点，且． (1)求证：． (2)如图2，在图1的基础上，过点E作的垂线，与正方形的外角的平分线交于点N，连接．求证：四边形是平行四边形． (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若四边形的面积是25，，请求出的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了正方形的性质，垂直的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，平行线的判定，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质可得，，推得，根据垂直的性质可得，推得，根据全等三角形的判定和性质即可证明； （2）在上截取，连接，根据题意推得，根据等边对等角可得，推得，根据垂直的性质可得，，推得，根据全等三角形的判定和性质可得，结合（1）中结论推得，根据垂直的性质可得，推得，根据平行线的判定可得，根据平行四边形的判定即可证明； （3）根据全等三角形的性质可得，根据平行四边形的性质可，求得，，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：在上截取，连接，如图： 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 又由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （3）解：∵， ∴， ∵四边形的面积是25， 故， ∴， ∵， ∴， 在中，． 模型2.相似三角形模型之矩形中的十字架型 1）条件：如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，结论：. 证明：四边形为矩形，，； DE⊥AC，，，，，. 2）条件：如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，结论：. 证明：如图，过点F作于点G，则； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ；EF⊥AC，，； ，，，易证：DC=AB，FG=BC，. 3）条件：如图3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，EF⊥MN，结论：. 证明：如图：过点N、F作、垂直，； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ∵EF⊥MN，，∴； 又∵（对顶角相等），∴； ∴，，易证：NH=AB，FG=BC，. 例1．（24-25九年级下·安徽安庆·开学考试）在矩形中，E为上的一点，过B作的垂线，垂足为点G，交于点F． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质等知识点，熟练掌握其性质并能得到是解决此题的关键． (1)根据矩形的性质证明，然后即可证明； (2)根据勾股定理求出的长，再求出三角形的面积，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得三角形的面积，进而可得四边形的面积． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ， ， ， ， ，， ， ； （2）四边形为矩形， ， 在中，， ，， ， ， ， ， 四边形的面积． 例2．（2025·广东深圳·三模）【问题提出】 （1）如图，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接与交于点，若，求证：； 【迁移应用】 （2）如图，在中，，，点，分别是边，上的点，连接交于点，且，求的值； 【拓展提高】 （3）如图，在四边形中，点是边上的一点，连接与交于点，，，，请直接写出的值． 【答案】（）见解析；（）；（） 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的判定与性质求解、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（）根据矩形的性质得到，求得，得到，根据相似三角形的性质得到，求得； （）根据补角的性质得到，根据相似三角形的性质得到，根据平行四边形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，求得，得到，于是得到结论； （）过点作，交延长线于，过点作，交延长线于，则四边形是平行四边形，得到∴，，，同（）可得，在上取一点使得，连接，根据平行线的性质得到，推出是等边三角形，得到，， 求得，根据相似三角形的性质得到，设 ，则，，得到 ，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴的值为； （）如图所示，过点作，交延长线于，过点作，交延长线于，则四边形是平行四边形， ∴，，， 同（）可得， ∵， ∴设，， 在上取一点使得，连接， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，同角的补角相等，平行四边形的性质与判定，矩形的性质，等边三角形的性质与判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 例3．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 已知矩形，点在边上，点在边上，点在边上，，垂足为点． (1)如图1，当时，点与点重合时，则与的数量关系是：_______（填“>”、“=”、“<”号）． (2)如图2，若，求与的数量关系； (3)应用（2）中的结论解决问题： ①如图2，若，，，则的最小值为________； ②如图3，在中，，，，点是的中点，连接，过作的垂线，交直线于，垂足是点，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先证明四边形是正方形，然后证明，可得到和的关系； （2）过点作于点，先证明四边形是矩形，再证明，得到，当时，可以得到； （3）①取的中点，取的中点，连接，，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，当最小时，最小，由，得到、、三点共线时，最小，接着证明，得到，利用勾股定理和（2）中结论，可以求得和，利用，，不防设，，那么，，代入可求得，最后利用勾股定理分别求得和，最后算得答案．②延长使，连接，，先证明四边形是矩形，利用（2）中结论，时，，从而算得答案． 【详解】（1）解：四边形是矩形，又 四边形是正方形 ，， ， 又 故答案为：． （2）解：如图，过点作于点 ， 四边形是矩形 ，， 四边形是矩形 又 （3）解：①取的中点，取的中点，连接， 四边形是矩形， ， ， 当最小时，最小 、、三点共线时，最小 如下图所示： ， ， 又 由（2）可知，时， ，，， ， ， ， 不防设， 那么， ，， ， ②延长使，连接， 四边形是平行四边形 四边形是矩形 由（2）可知，时， ， ， 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，两点之间距离最短，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 模型3.相似三角形模型之等边三角形中的斜十字型 证明：如图，在等边中，，， 在与中，，，∴AD=BE，； ，∴AD和BE夹角为60°； ，，，同理： ， 例1．（2024·广西·模拟预测）如图，在等边三角形中，相交于点F．求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质，先证明得到，进而可证明，再证明，即可根据相似三角形的性质证明结论． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 例2．（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、由平行截线求相关线段的长或比值、等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据等边三角形的性质求出，，求出，根据推出全等即可； （2）根据进而得出，结合公共角，即可得证； （3）过点作交于，根据平行线分线段成比例定理得，设，则，根据，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：证明：是等边三角形， ，， ， ， 在与中， ， ； （2）∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴，即 （3）过点作交于， ， 设 ∵ ∴，， ， ， ， ， ， ∴ 解得：，或（舍去） 即． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 模型4.相似三角形模型之直角三角形中的十字型 1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）： 条件：如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，结论：①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 如图1，过点C作BC的垂线交BF于点H，过点A作AG垂直于CH，∴∠BCH=90°，∴∠CBH+∠CHB=90° ∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABC=90°，∵BF⊥AD，∴∠CBH+∠ADB=90°，∴∠CHB=∠ADB， ∵AB=BC，∴，∴BD=CH，∵D为BC中点，∴BD=DC=CH，∴AB=2CH， 易证：四边形ABCG为正方形，即AB//CG，∴，∴AF：CF=BA：HC=2：1 ∵AB=BC，AB⊥BC，∴∠BCA=45°，∵∠BCH=90°，∴∠BCA=∠GCA=45°， ∵DC=CH，CF=CF，∴，∴∠CHF=∠CDF，∠CFH=∠CFD， ∴∠BDA=∠CDF，∵∠CFH=∠AFB，∴∠AFB=∠CFD， 如图2，过点C作CQ垂直于BF，∴∠BQC=90°， ∵AB⊥BC，∴∠ABD=∠BQC=90°，∴∠ABE+∠QBC=90°，∵AB=BC，∴， ∴CQ=BE，AE=BQ，∵BF⊥AD，CQ⊥BF，易证：，∴EA：QC=AF：CF=2：1。 ∴AE=BQ=BE+EQ=CQ+EQ，∴CQ=EQ，∴QEC为等腰直角三角形，∴∠QEC=45°， ∴∠AEC=135°，。 2）直角三角形中的十字模型： 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。（全等+相似） 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 由于该模型证明主要结合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再详细证明，有兴趣的同学可以自行证明即可。 例1．（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）如图，在中，，是的中线，作于点E． (1)求证： (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、斜边的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，解答即可． （2）根据题意，证明，即可得证． （3）利用相似三角形的性质，求得，再利用直角三角形的性质求得的长． 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是的中线，, ∴， ∴． （2）证明：由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：， ∴， 即， ∴， ∵是的中线， ∴． 例2．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）综合与探究： 问题情景：已知如图1，在中，点为边上一点，连接． 初步探究： （1）如图2，若为直角三角形，，为边上的高，，，则__________． 深入探究： （2）①如图3，若，求证：； ②如图4，在（2）①的条件下，若点为中点，，求的长． 【答案】（1）（或4.8）；（2）①见解析；② 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键． （1）利用勾股定理求得，进而利用三角形的面积求解即可； （2）①证明得到，进而整理可得结论； ②利用①结论可得，进而利用相似三角形的性质得到即可求解． 【详解】（1）解：，，， ∴ ， ∵为边上的高， ∴， 则， 故答案为：（或4.8）； （2）①证明：∵，， ∴， ∴， ∴； ②解：∵点为中点， ∴设， 由（1）知， ∴， ∴， ∴与的相似比为， ∵， ∴． 一、解答题 1．（2025八年级下·全国·专题练习）（1）如图①，正方形中，，求证：； （2）如图②，将边长为12的正方形折叠，使点落在上的点，然后压平折痕，若的长为13，求的长．    【答案】（1）见解析；（2）7 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、正方形折叠问题 【分析】（1）过点作，垂足为，证明四边形为矩形，得出，证明，得出； （2）作，垂足为，根据勾股定理得．根据，得出，求出结果即可． 【详解】解：（1）过点作，垂足为，如图所示： 四边形为正方形， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， 在和中，， ， 在和中，， ， ． （2）作，垂足为，如图所示： 由（1）知， 在中，由勾股定理，得： ． 将正方形纸片折叠，使得点落在边上的点，折痕为， ， 由（1）可知， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，折叠性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 2．（24-25九年级上·山东青岛·期末）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察思考】 （1）如图1，在正方形中，点，分别是边，上的两点，连接、，当时，求证：； 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，当时，求的长度． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）如图1，设与交于点，根据定理证明得到进而得到则可得出结论； （2）如图2，设与交于点，根据勾股定理求出，根据矩形性质得出由直角三角形的性质证出由相似三角形的判定定理证出，根据相似三角形的性质即可求得答案． 【详解】（1）证明：如图1，设与交于点， ∵四边形是正方形， 在和中， ， ； （2）解：如图2，设与交于点， ∵四边形是矩形， ． 【点睛】此题考查了正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判断和性质，三角形的面积，解本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 3．（2023·浙江杭州·二模）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点，且，连结，交于点． (1)求证：； (2)连接，若时， ①求的值； ②设的面积为，四边形的面积为，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理、等边三角形的性质 【分析】（1）根据可证明； （2）①证出，即点恰好落在以为直径的圆上，点也落在以为直径的圆上，得出．连接，则，，由直角三角形的性质可得出结论； ②证出．过点作，得出，．则．即可得出答案． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，． ， ． 在和中， ， ； （2）解：①由（1）知：， ． ． ． ． 、、、四点共圆． ， ， 即点恰好落在以为直径的圆上，点也落在以为直径的圆上， ， ． 连接，则，， ． ， ． ②如图，连接，设． ， ． ． ， ． ． 过点作， ，． ． ， 即． ． ． ． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，圆的有关性质等，熟练掌握有关的性质定理是解答此题的关键． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）（1）问题发现 如图1，在正方形中，点P和Q分别在和上，，垂足为点M．求证：； （2）类比探究 如图2，在矩形中，点P和Q分别在和上，，垂足为点M．求证：； （3）拓展延伸 如图3，在中，，点和分别在和上，与交于点且 ，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明、等边三角形的判定和性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）根据正方形的性质以及已知条件证明，然后由全等三角形的性质即可证明结论； （2）根据矩形的性质以及已知条件证明，然后由相似三角形的性质即可证明结论； （3）如图：过点作，结合平行四边形的性质及已知条件可得是等边三角形，进而得到；然后证明可得，设，则，解得，最后代入计算即可． 【详解】证明：（1）∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴； （3）如图：过点作， ∵在中， ， ∴， ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 设，则，解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，正方形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键． 5．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）问题背景：如图（），在矩形中，点分别是的中点，连接，求证：． 问题探究：如图（），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，与交于点，若，则与有怎样的数量关系？说明理由． 问题拓展：如图（），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值． 【答案】（）证明见解析；（），理由见解析；（） 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用矩形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】问题背景：由中点定义得，进而由矩形性质得，，据此即可求证； 问题探究：取中点，连接，可得是的中位线，利用中位线的性质和等腰三角形的性质可证四边形是平行四边形，得到，进而即可求证； 问题拓展：取的中点，连接，过点作于点，可得四边形是矩形，设，则，，，由等腰三角形的性质可得是的中垂线，得到，同理（）得，，即得，得到，进而即可求解． 【详解】问题背景：∵点分别是的中点， ， ∵四边形是矩形， ，， ， ； 问题探究：，理由如下： 取中点，连接， ∵点是中点， ∴是的中位线， ，， ∴， ， 中，点是中点， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ； 问题拓展：取的中点，连接，过点作于点，则， ∴四边形是矩形， 设，则，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ， ∴是的中垂线， ， 同理（）得，，， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 6．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）【初探猜想】 （1）如图1，在矩形中，，，点、分别是边、上一点，点、分别是边、上一点，连接，，若，求的值． 【知识迁移】 （2）如图2，在四边形中，，点、分别在线段、上，且，连接，若为等边三角形，求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，在矩形中，，，点，分别在边，上，将四边形沿翻折，点的对应点点恰好落在上，点的对应点是点，则的最小值为 ． 【答案】(1)；(2)；(3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题 【分析】（1）如图，过作于，过作于，则四边形均为矩形，，，证明，进而可求结果； （2）如图，过作的延长线于，过作于，过作于，则四边形是矩形，四边形是矩形，，同理（1），，则，由为等边三角形，，可得，，由勾股定理得，，然后计算求解即可； （3）连接，，证明，则，同理（1）可得，，即，则，如图，作关于的对称点，连接，，，则，，当三点共线时，最小，最小为，由勾股定理得，，然后计算求解即可． 【详解】（1）解：如图，过作于，过作于， ∴， ∵矩形， ∴， ∴四边形均为矩形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，过作的延长线于，过作于，过作于， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴四边形是矩形，， ∵， 同理（1），， ∴， ∵为等边三角形，， ∴，， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：； （3）解：如图，连接，， 由翻折的性质可知，，，，， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， 同理（1）可得，，即， ∴， 作关于的对称点，连接，，， ∴，，， ∴， 当三点共线时，最小，最小为， 由勾股定理得，， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，翻折的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，翻折的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 7．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 已知矩形，点E在边上，点M在边上，点N在边上，，垂足为点F．    (1)如图1，当时，点M与点A重合时，则与的数量关系是______（填“”、“”、“”号）． (2)如图2，若，求与的数量关系； (3)应用（2）中的结论解决问题： ①如图2，若，，，则的最小值为______； ②如图3，在中，，，，点D是的中点，连接，过B作的垂线，交直线于E，垂足是点F，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质与判定证明、利用矩形的性质证明、用勾股定理解三角形 【分析】（1）先证明四边形是正方形，然后证明，可得到和的关系； （2）过点作于点，先证明四边形是矩形，再证明，得到，当时，可以得到； （3）①取的中点，取的中点，连接，，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，当最小时，最小，由，得到、、三点共线时，最小，接着证明，得到，利用勾股定理和（2）中结论，可以求得和，利用，，不防设，，那么，，代入可求得，最后利用勾股定理分别求得和，最后算得答案． ②延长使，连接，，先证明四边形是矩形，利用（2）中结论，时，，从而算得答案． 【详解】（1）解：四边形是矩形，又， 四边形是正方形， ，，， ，， 又， ， ， ， ， ，即； （2）解：如图，过点作于点， ，， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形， ， 又， ， ； （3）解：①取的中点，取的中点，连接， 四边形是矩形， ， ， 当最小时，最小 、、三点共线时，最小 如下图所示： ， ， 又 由（2）可知，时， ，，， ， ， ， 设， ∴， ， ，， ， ； ②延长使，连接， 四边形是平行四边形 四边形是矩形 由（2）可知，时， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，矩形和正方形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，两点之间距离最短，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 8．（2024·四川广元·二模）如图1，与是两个直角三角形，，，于点G，点E在边上（不与点 A，B重合）．    (1)如图 2，过点 D作，交的延长线于点C．求证：． (2)如图3，在（1）的条件下将绕点 D 逆时针旋转 90°得到，连接交于点 N． ①若，探究面积的最大值． ②过点 N 作于点M，连接，若，求证： 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【知识点】面积问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合、证明四边形是正方形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）先根据证明得，再证明四边形是正方形，得，从而可得结论； （2）①根据题意得，，由三角形面积公式得出函数关系式，进而可得最大值；②设 交于点 H，过点 E，Q分别作的垂线交于点R，连接交于点O，交于点 K，得四边形是正方形，再证明，得，得到，再证明得，由得，推出，从而得出结论 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∴． 又， ∴． ∴， 又， ∴． ∴． 又， ∴四边形是矩形， ∵ ∴四边形是正方形， ∴． ∴． ∴． （2）解：①∵， ∴． 由旋转的性质，得， ∴． ∴当时，的面积最大，为 ． ②证明:如图，设 交于点 H，过点 E，Q分别作的垂线交于点R，连接交于点O，交于点 K． ∵， ∴四边形是矩形， 由旋转得 ∴四边形是正方形， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， 【点睛】本题主要考查旋转的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及二次函数的最值等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$