1.4角平分线 习题 2024-2025学年北师大版数学八年级下册

1.4角平分线 习题 2024-2025学年北师大版数学八下 一、单选题 1．（24-25八年级上·广西百色·期末）如图，已知在△ABC中，，嘉淇通过尺规作图作的角平分线，交于点，已知的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在△ABC中，，依据尺规作图痕迹，下列判断正确的是（   ） 甲：；乙：． A．甲、乙都对 B．只有甲对 C．只有乙对 D．甲、乙都错 3．（11-12七年级下·浙江温州·期末）如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站，使到三条公路的距离都相等，则中转站可选择的点有（   ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 4．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，长方形中，平分，交于点，垂直平分，分别交，于点和，若，则长方形的周长为（   ） A． B． C．18 D．19 5．（24-25七年级上·山东东营·期末）如图，在△ABC中，，，，用尺规作图的方法在上确定一点，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25八年级上·广西百色·期末）如图，在平面直角坐标系中，是的角平分线，点的坐标是，，则的面积为（   ） A．20 B．30 C．15 D．24 7．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，是平分线上的一点，于点，于点，连接，，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，任意画一个的△ABC，再分别作的两条边的角平分线和，、相交于点P，连接，下列结论中错误的有（   ） A． B．平分 C． D． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，的平分线与的平分线相交于点P，作，垂足为E．若，则两平行线与间的距离为（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 10．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E，于点F，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·河南信阳·期末）如图，在△ABC中，，平分交于点，，垂足为，的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·辽宁·期末）如图，△ABC的面积为，平分，于点，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·重庆开州·期末）如图，在△ABC中，平分，，若，，则等于（   ）    A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题 14．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，平分交于，若，则到的距离为 ． 15．（24-25八年级上·山西晋城·期末）如图，平分，在上取一点，作，已知，，点是射线上一动点，则长度的最小值为 ． 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中，，平分交于点D，，垂足为E．若，，则的周长为 ． 17．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在△ABC中，为边上的高线，是△ABC的中线，也是的角平分线，，，则边的长为 三、解答题 18．（24-25八年级上·广西贺州·期末）已知：如图，，    (1)用尺规作图法作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； (2)是的平分线上的一点，，交于点，，垂足为点．如果，求的长． 19．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，已知． (1)尺规作图：在边上求作一点D，使得点D到，两边的距离相等；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若为等边三角形，延长至点E，使，连接．请将图形补画完整，并求证：． 20．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）如图，在△ABC中，，平分，交于点D，E为上一点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 21．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中，，是△ABC的角平分线， ，．求点D到的距离． 22．（24-25八年级上·甘肃陇南·期末）如图，中，，，连接，是的角平分线，交于点F，交于点D，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：． 23．（24-25八年级上·山东聊城·期末）在△ABC中，垂直平分，连接，平分． (1)若，求的度数． (2)若，△ABC的周长比的周长多8，的面积为6，则三角形的面积为多少？ 24．（24-25八年级上·四川德阳·期中）如图，在梯形中，，点E为的中点，平分． (1)求证：平分； (2)求证：． 25．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在△ABC中，为的平分线，过点D分别作于点E，交的延长线于点F，若△ABC的面积是，求的长． 26．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在△ABC中，是的中点，，，垂足分别是点、，． (1)求证：平分． (2)若△ABC的面积为，，求的长． 27．（24-25八年级上·广西贺州·期末）如图，平分，为上的一点，的两边分别与，相交于点、． (1)如图1，若，，过点作于点，作于点，请判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若，，判断线段、、的数量关系，并说明理由． 28．（2024七年级下·江西景德镇·专题练习）已知是的平分线，P是射线上一点，点C，D分别在射线，上，连接，． (1)如图①，当时，与的数量关系是______； (2)如图②，点C，D分别在射线，上运动，且．当时，与在（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由． 29．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且满足． (1)求△AOB的面积； (2)如图2，以为斜边构造等腰直角△ABC，点是腰上的一点（不与重合），连接，过点作，垂足为点． ①请在图2中按要求画图（不要求尺规作图）； ②若平分，求证：； ③探究：连接，当点在运动过程中，的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 30．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）（1）已知：如图1，等腰△ABC中，，，，P为边上一点，过点P作，交直线于点E．求证：； （2）如图2，等腰△ABC中，，，P为边上一点，过点P作，交直线于点E．求证：； （3）如图3，△ABC中，直线过点C，平分，P为边上一点，连接，若的度数为，的度数为，且，则直线上必有一点E，使得，请计算 ．（用的代数式表示） 31．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）如图1和图2，在四边形中，平分． (1)如图1，若，则可得直接得出．依据是___________． (2)如图2，求证； (3)问题拓展：如图3，在等腰△ABC中，，平分，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D A C C C C C A 题号 11 12 13 答案 C C B 1．C 【分析】本题考查了基本作图及角平分线的性质，掌握基本的尺规作图和角平分线的性质是解题的关键．过作,根据作角平分线的基本作法可得平分,根据角平分线的性质可得，根据三角形的面积公式求解． 【详解】解：如图：过作, 由作图可得平分,, 的面积为. 故选：C 2．A 【分析】本题考查角平分线和垂线段的画法，全等三角形的判定与性质，根据尺规作图痕迹可知，为的角平分线，为的垂线，可得，可判断乙正确，再由，，可得甲正确． 【详解】解：由尺规作图痕迹可知， 为的角平分线，为的垂线， ∴，， 在和中， ∴ ∴， ∵ ∴ 故乙正确； ∵， ∴， ∴ 故甲正确， 故选：A． 3．D 【分析】此题考查了角平分线的性质．到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求． 【详解】解：满足条件的有： （1）三角形两个内角平分线的交点，共一处； （2）三个外角任意两条平分线的交点，共三处． 综上，可选择的点有四处． 故选：D． 4．A 【分析】先由垂直平分线的性质得，，，结合长方形的性质得，，，因为平分，故，再运用度所对的直角边是斜边的一半，得，最后由勾股定理，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∴， ∵平分，，， ∴，， 即， 在中，， 在中，， ∴， ∴长方形的周长为． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理，度所对的直角边是斜边的一半，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 5．C 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，勾股定理逆定理，尺规作图作角平分线，全等三角形的判定与性质，先根据勾股定理逆定理可知为直角三角形，，通过证明可求出的长，设，即，利用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：，，， 为直角三角形，， 如图，过点作，垂足为D， 由尺规作图可知平分， ， ， ， 设，即 在中， ， 解得：， ， 故选：C． 6．C 【分析】本题考查坐标与图形，角平分线的性质定理，过点D作于点E，由角平分线的性质可得出的长，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：过点D作于点E， 点的坐标是， ， ，，是的角平分线， ， 故选C． 7．C 【分析】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由角平分线的性质得，即得，得到，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是平分线上的一点，于点，于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8．C 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，由三角形内角和定理和角平分线得出的度数，再由三角形内角和定理可求出的度数，A正确；由可知，过点P作，，，由角平分线的性质可知是的平分线，B正确，由可证，可得，即可判断C，故可求解． 【详解】解：∵、分别是与的角平分线，， ∴， ∴， 故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴， 过点P作于N，于G，于H， 又∵、分别是与的角平分线， ∴， ∴是的平分线， 故B选项正确，不符合题意； 在和中， ， ∴， ∴， 若，， 则， 故C选项错误，符合题意； 由②知， 即P到、的距离相等， ∴， 故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 9．C 【分析】本题主要考查了垂线的定义，平行线的性质，角平分线的性质，求平行线间的距离等知识点，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点作，交于点，交于点，根据平行线的性质可证得，由角平分线的性质可得，，进而可求得两平行线与间的距离． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， ，， ， ， ， ，即， 由此可知，即为两平行线与间的距离， 是的平分线， 且，， ， 是的平分线， 且，， ， ， 两平行线与间的距离是， 故选：C． 10．A 【分析】由角平分线的定义和性质得，则选项B不符合题意；再证明，得，则选项C不符合题意；然后在中，由勾股定理求出，则，选项D不符合题意；进而证明不是等腰直角三角形，得，则选项A符合题意；即可得出结论． 【详解】解：∵平分， ∴，故选项B不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴，故选项C不符合题意； 在中，由勾股定理得：， ∴，故选项D不符合题意； ∵， ∴不是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴不是等腰直角三角形， ∴， ∴，故选项A符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的判定是解题的关键． 11．C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到两边距离相等成为解题的关键． 过作，垂足为，由三角形面积公式可得，然后再根据角平分线的性质即可解答． 【详解】解：过作，垂足为， 的面积为， ，即， 解得：， 平分交于点，，， ． 故选：C． 12．C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 延长交于点，证明，得出，即可推出结果． 【详解】解：如图，延长交于点， ， ， 又平分， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 13．B 【分析】根据平分，得到，结合得到，得到继而得到，结合计算，选择即可． 本题考查了平行线的性质，角的平分线，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 14．3 【分析】本题考查了角平分线的性质．过点D作交于点E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得． 【详解】解：如图，过点D作交于点E， ， ， ，平分， ， 点到边的距离为3， 故答案为：3． 15． 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理；先根据勾股定理得出，过P点作于H，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 过点作于，如图，   平分，， ， 点E是射线上的动点， 的最小值为， 故答案为：． 16．12 【分析】本题考查角平分线的性质，先根据角平分线的性质得出，再将的周长转化为，即可得出答案． 【详解】∵平分，，， ∴， ∴的周长为， 故答案为：12 17． 【分析】如图，过点作于点，设，，，根据角平分线的性质得，，证明，得，推出，得，根据三角形中线的性质得，继而推出，在中，由推出，，最后在中利用勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作于点，设，，， ∵是的角平分线，为边上的高线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，为边上的高线， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∴边的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中线的性质，三角形内角和定理，等角对等边等知识点．解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等． 18．(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查角平分线的性质及含30度角的直角三角形的性质． （1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）过点作于点，可得出，在中，由直角三角形的性质得出的长，再由角平分线的性质求得的长． 【详解】（1）解：如图，为所求作的角平分线，   ； （2）解：如图，过点作于点．    ∵平分，，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∴． 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）根据点D到，两边的距离相等得出点D在的平分线上，故作的平分线交于点D即可； （2）根据三线合一的性质求出，根据等边对等角和三角形外角的性质求出，最后根据等角对等边即可得证． 【详解】（1）解：点D即为所求， ； （2）解：如图， ∵是等边三角形， ∴，， 由（1）知平分， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 20．(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，正确添加辅助线是解题的关键． （1）过点D作于点F，由角平分线得到，证明即可； （2）证明即可． 【详解】（1）证明：过点D作于点F， ∵， ∴ ∵平分， ∴ 在和中 ∴ ∴； （2）解：由（1）可知： ∴ 在和中 ， ∴ ∴ ∴ ∴． 21．点D到的距离为 【分析】本题考查角平分线性质，熟练掌握角平分线性质是解题的关键．过点D作于点E．得到，设，则，结合角平分线性质建立等式求解，即可解题． 【详解】解：如图，过点D作于点E． 是的角平分线， ． 由题意可设，则， ， 解得， ，即点D到的距离为． 22．(1) (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形． （1）根据角平分线定义和三角形内角和定理即可解决问题； （2）证明，即可解决问题． 【详解】（1）解：在中，， ∵， ∴， ∵，是的角平分线， ∴，， ∴， ∴． （2）解：证明：在和中， ， ∴， ∴． 23．(1) (2)12 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟知相关性质是解题的关键． （1）利用垂直平分线的性质得到，再得到，利用三角形内角和即可解答； （2）过点作交的延长线于点，根据题意求得的长即可解答． 【详解】（1）解： 垂直平分， ， ， ， 为角平分线 ； （2）解：如图，过点作交的延长线于点 ，，为角分平线， ， ， ， ，，且， ， 的面积为12． 24．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查角平分线的判定和性质，全等三角形的判定与性质，根据角平分线这个条件添加辅助线是解题的关键． （1）作，垂足为M，先根据角平分线性质定理得到，再等量代换，根据角平分线判定即可证明； （2）证明和即可． 【详解】（1）证明：作，垂足为M，如图所示： ∵平分，， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴平分； （2）证明：由（1）得，， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∵， ∴． 25． 【分析】本题考查了角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），解题的关键是利用角平分线性质得到，再通过三角形面积的关系列方程求解． 利用角平分线性质得出，将的面积拆分为与的面积和，即可求解． 【详解】解：为的平分线，， ， 的面积是，，， 的面积的面积的面积， ， ． 26．(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、等腰三角形的判定，根据面积等式求线段的长度等知识与方法，证明是解题的关键． （1）由是的中点，得，由于点，于点，得，而，即可根据“”证明，得，即可证明平分； （2）由，得，求得的长为． 【详解】（1）证明：是的中点， ， 于点，于点， ， 在和中， ， ， ， 点在的平分线上， 平分； （2）解：， ， ， ，且， ， 由（1）得， ， 解得， 的长为． 27．(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得，再根据，，可得，进一步可得，可证，根据全等三角形的性质即可证明； （2）过点P作于点E，过点P作于点F，根据角平分线的性质可得，，可证，可得，再根据含角的直角三角形的性质可得，，进一步可证． 【详解】（1）解：，理由如下： 平分，，， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：理由如下： 过点作于点，过点作于点，如图所示．   平分， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ． ，平分， ， ， ，， ， ． 28．(1) (2)成立．理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，四边形内角和，能够在图中构造适合的辅助线是解决本题的关键． （1）根据角平分线的性质定理可直接进行求解； （2）做辅助线如图，根据垂直的定义得到，由（1）可得，利用四边形内角和定理可得到，则，然后根据全等三角形的性质与判定可进行求解． 【详解】（1）解：∵，是的平分线， ∴； 故答案为：； （2）解：成立，理由如下： 过点P点作于E，于F， ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴． 29．(1)6 (2)①见解析；②见解析；③不变， 【分析】（1）由绝对值和偶次方的非负性质得，，则，，进而得点，坐标，据此求解即可； （2）①根据题意画出图形即可； ②延长、，相交于点F，证，得，再证，得，则，即可得出结论； ③过点C作于点M，于点N，证，得，则是的角平分线，即可解决问题． 【详解】（1）解：， ，，解得：，． ，， 的面积； （2）解：①所作图形如图： ②延长，，它们相交于点，如图： 等腰直角中，，，且， ， 又， ， 在和中，， ， ． 是的角平分线， ， ， ， 在和中，， ， ，即， ； ③的大小不变，总为，理由如下： 作，，垂足分别是，，如图： ， 由①可知：，， 在和中，， ， ， 是的角平分线， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、绝对值和偶次方的非负性质、角平分线的判定、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 30．（1）见解析；（2）见解析；（3）或 【分析】（1）过点P作交于点F，证明，根据全等三角形的性质得出答案即可； （2）以点P为圆心，为半径画弧，交于点F，得出，证明，根据全等三角形的性质得出答案即可； （3）分两种情况讨论：当点E在射线上时，当点E在射线上时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】（1）证明：过点P作交于点F，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； （2）以点P为圆心，为半径画弧，交于点F，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）当点E在射线上时，作，交于点，作，交于点E，如图所示： ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 根据解析（2）可知：， ∴此时； 当点E在射线上时，过点P，作于点G，作于点H，如图所示： ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴； 综上分析可知：或． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 31．(1)角平分线上的点到角两边的距离相等 (2)证明过程见详解 (3)证明过程见详解 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理及外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）若，可得， ，再根据角平分线的性质即可求解； （2）如图，过点分别作于，的延长线于点，由角平分线的性质可得，再由，可得，即可证明，得到； （3）如图3，在上取，由等腰三角形的性质可得，进而得到，再得到，即得，再由（2）可得，然后根据三角形外角性质可得，可得到，进而得到，即得，据此即可求证． 【详解】（1）解：， ， ，， 平分， （角平分线上的点到角两边的距离相等） ，故答案为：角平分线上的点到角两边的距离相等； （2）证明：如图2，过点分别作于，的延长线于点， 则， 平分， ， ， ， ， ， ， ； （3）证明：如图3，在上取， 是等腰三角形，， ， 平分， ， ， ， ， 由（2）可得， ， ， ， ， ， ， 即． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$