精品解析：福建省龙岩市第一中学锦山学校2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

龙岩一中锦山学校2024-2025学年第二学期第一次月考 高二数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上. 2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”. 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 设函数满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知函数，则（ ） A. 0 B. C. 2025 D. 4050 3. 曲线在点处切线斜率为，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点是正四面体底面内一点，满足，其中，当最小时，的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围（ ） A. B. C. D. 7. 若对任意的正实数，，当时， 恒成立，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 8. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在德小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D 向量与向量共面 10. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若关于直线对称，为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，，则（ ） A. 在上单调递增 B 当时，有且只有一个极值点 C. 若有两个极值点，则 D. 若有两个极值点，，则 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 如图，在平行六面体中，，，若为中点，则_____. 13. 已知函数，若关于的不等式有解，则实数的取值范围为_________. 14. 若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题；共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处的切线垂直于轴． （1）求实数的值； （2）求函数的极小值． 16. 如图，在正方体中，棱长为2，E，F，G分别是的中点． （1）求证：： （2）求证：平面. 17. 将一个边长为1米的正六边形铁皮的六个角截去六个全等的四边形，再把它沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正六棱柱铁皮盒. （1）试把这个正六棱柱铁皮盒的容积表示为盒底边长的函数； （2）多大时，盒子的容积最大？并求出最大值. 18. 已知函数（，且）. （1）讨论的值，求函数的单调区间； （2）求证：当时，. 19. 已知函数． （1）若时，函数有2个不同的零点，求的取值范围； （2）已知为函数的导函数，在上有极小值0，对于某点，在点的切线方程为，若对于，都有，则称为好点． ①求的值； ②求所有好点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 龙岩一中锦山学校2024-2025学年第二学期第一次月考 高二数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上. 2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”. 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设函数满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的定义及极限的运算性质计算可得. 【详解】， 故选：B 2. 已知函数，则（ ） A. 0 B. C. 2025 D. 4050 【答案】B 【解析】 【分析】先求出导函数，再代入结合应用诱导公式及特殊角的函数值求解. 【详解】因为， 则， 故. 故选:B. 3. 曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助导数的几何意义计算即可得. 【详解】，令，则，故， 当时，，即的坐标为. 故选：B. 4. 已知点是正四面体底面内一点，满足，其中，当最小时，的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直时距离最小，即可根据向量的线性运算求解,即可求解. 【详解】当最小时，此时平面，故为等边三角形的中心， 记的中点为，则， 故 ， 故，因此， 故选：C 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，结合导数的性质判断其单调性进行判断即可. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称，且， 所以函数为奇函数，排除A，B； 当时，函数，则， 当时，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，排除D． 故选：C 6. 若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数研究函数的极值点，令极值点属于已知区间即可. 【详解】 所以时递减， 时，递增，是极值点， 因为函数在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数， 所以，即， 故选：B. 7. 若对任意的正实数，，当时， 恒成立，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为对任意的正实数，，当时， 恒成立， 令，由在上单调递减求解. 【详解】因为对任意的正实数，，当时， 恒成立， 所以对任意的正实数，，当时， 恒成立， 令，所以在上单调递减， 则，所以在上恒成立， 所以，解得， 所以的取值范围是， 故选：A 8. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造且，利用导数研究单调性判断大小，构造且，应用导数研究函数符号得，将代入判断大小，即可得答案. 【详解】由，，令且， 则，故上，此时单调递增，故， 所以， 令且，则，即此时单调递增， 所以，则， 令得：，故，则， 综上． 故选：B 【点睛】关键点睛：本题的关键是通过构造函数和，通过导数得到其单调性，再利用其单调性比较大小. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在德小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量与向量共面 【答案】BD 【解析】 【分析】利用空间向量夹角公式计算判断A；利用向量垂直的充要条件计算判断B；利用投影向量计算公式判断C；利用共面向量基本定理判断D. 【详解】对于A，，则， 而，因此，A错误； 对于B，，则，，B正确； 对于C，向量在向量上的投影向量为：，C错误； 对于D，由向量，得，向量与向量共面，D正确. 故选：BD 10. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若关于直线对称，为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】关于直线对称得，求出导数令得可判断A；由得到，求导可得，令2024，又为奇函数，可得，可得函数的周期可判断C正确；由，得函数的图象关于点对称，可判断BD. 【详解】因为关于直线对称，所以， 所以，令，得，所以A正确； 由得到，所以， 所以，令2024，则， 又因为为奇函数，所以，即， 即，所以，即， 所以函数的周期为，所以，所以C正确； 由，得函数的图象关于点对称，所以，所以D错误，B正确. 故选：ABC. 11. 已知函数，，则（ ） A. 在上单调递增 B. 当时，有且只有一个极值点 C. 若有两个极值点，则 D. 若有两个极值点，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数的正负来判断单调性和极值点，而极值点可以利用导数的零点来研究，对于，可用极值点偏移来证明即可. 【详解】对于A，由得：， 当时，，所以在上单调递增，故A正确； 对于B，当时，由，则， 再令，则， 由此可知：当时，，则在上递增，即， 可得：在上也递增， 当时，，则在上递减，即， 可得：在上也递增， 则判断是单调递增函数，没有极值点，故B错误； 对于C，由有两个极值点，则有两个零点， 即， 则等价于函数与的图象有两个交点， 可设曲线过点的切线方程为： 当直线与切线重合时可知：，解得， 再结合图象， 可知：当，直线与曲线一定有两个交点， 且这两个交点满足原函数有两个极值点的条件，故，故C正确； 对于D，由有两个极值点， 则有两个零点，则， 要证明，只需要证明，即证明， 由上面可知，则， 而当时，，则在上递增， 所以只需要证明，由， 所以只需要证明，即证：， 构造函数 ， 则 又令，则， 则在上递减，即， 所以当时，， 即在上递减， 因所以， 则得证，即，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛： （1）判断含参函数的极值点问题转化为导数的零点问题，然后再利用二阶导数继续分析判断或用构造直线与曲线相交问题，数形结合来研究参数的范围； （2）对于双变量不等式问题，利用极值点偏移方法来证明研究. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 如图，在平行六面体中，，，若为中点，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】将用基底，结合空间向量的数量积可求得的值. 【详解】平行六面体中，， ， 由空间向量数量积的定义可得， 同理可得，且为中点， 则， 所以 ， 因此，. 故答案为：. 13. 已知函数，若关于的不等式有解，则实数的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，通过其单调性奇偶性，得到在上有解，求得最值，进而可求解； 【详解】设， 因为，在R上单调递增，所以在R上单调递增， 又，则是奇函数， 由，可得， 即， ，即在上有解， 令，则，， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， ， ，即实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先证明对恒成立.然后移项、同构变形，即可得出.根据单调性研究可知，函数存在零点.然后分以及，分别研究恒成立，即可得出答案. 【详解】设，则在上恒成立， 所以，在上单调递增， 所以，， 所以，对恒成立. 由已知可得，对恒成立， 等价于. 设， 显然单调递增，值域为R，所以有解. 当时，有成立，满足题意； 当时，有，由可知， 当时，有， ， 所以，不恒成立. 综上所述，. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：原不等式化为对恒成立，同构变形为.进而根据导函数研究函数的单调性，即可得出答案. 四、解答题：本题共5小题；共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处的切线垂直于轴． （1）求实数的值； （2）求函数的极小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据斜率即可求解， （2）求导，得函数的单调性，即可根据极值的定义求解. 【小问1详解】 由可得， 则， 由于，故， 【小问2详解】 ， 当或时，，当时，， 故在单调递增，在单调递减，在单调递增， 故的极小值为 16. 如图，在正方体中，棱长为2，E，F，G分别是的中点． （1）求证：： （2）求证：平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过建系，写出相关点和向量的坐标，利用向量垂直的坐标公式计算即得证； （2）先求出平面的法向量，由和平面即可推得平面. 【小问1详解】 如图建立空间直角坐标系， 则， 则， 由， 可得，得证. 【小问2详解】 设平面的法向量为，因， 则，令，可得， 因，故得， 又平面，所以，平面. 17. 将一个边长为1米的正六边形铁皮的六个角截去六个全等的四边形，再把它沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正六棱柱铁皮盒. （1）试把这个正六棱柱铁皮盒的容积表示为盒底边长的函数； （2）多大时，盒子的容积最大？并求出最大值. 【答案】（1） （2）当米时，盒子的容积最大为立方米 【解析】 【分析】（1）求出盒子的高、盒子的底面积，得盒子的容积； （2）由（1）可得，利用导数求出最大值即可. 【小问1详解】 如图，， 则盒子的高， 所以盒子的底面积， 所以盒子的容积， 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 令，解得（舍去）， 所以当时，则单调递增， 当时，则单调递减， 所以当时取得极大值，即最大值， 所以当米时，盒子的容积最大为立方米. 18. 已知函数（，且）. （1）讨论的值，求函数的单调区间； （2）求证：当时，. 【答案】（1）见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，分分类讨论即可得解； （2）当时利用函数单调性可得，放缩可得， 根据裂项相消法求和即可得证. 【小问1详解】 由知函数定义域为， ， ①当时，若，则，若，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； ②当时，若，则，若，， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 令，则，所以， 由（1）可知在上单调递减，故，（当时取等号)， 所以，即， 当时，，即， 即 令，则 ， 所以， 故当时，. 【点睛】关键点点睛：时，利用函数单调性得出，当时，放缩得出，变形得出是解题的关键，再由裂项相消法及不等式的性质即可得解. 19. 已知函数． （1）若时，函数有2个不同的零点，求的取值范围； （2）已知为函数的导函数，在上有极小值0，对于某点，在点的切线方程为，若对于，都有，则称为好点． ①求的值； ②求所有的好点． 【答案】（1） （2）①;② 【解析】 【分析】（1）当时，函数有2个不同的零点，分离常数可得有两个正根，构造函数，利用导数考查单调性，即可求解； （2）由已知对函数求导，结合函数的几何意义可求得切线方程，构造函数，然后结合函数的单调性及极值的存在条件及函数的性质分别求解即可. 【小问1详解】 当时，函数有2个不同的零点， 即方程有两个正根，即有两个正根， 设，则， 则当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 又，当时，，当时，， 故当时，函数区间上存在两个零点， 故的取值范围的取值范围为. 【小问2详解】 ①因为，则 设则，时，得， 则当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 则为函数的极小值点， 则，解得. ②设为好点， 对于，都有， 当时，成立； 当时，恒成立， 当时，恒成立， 因为在点的切线方程为， 所以， 设，即， 则， 又因为在上单调递减，在上单调递增， 当时，因为是好点，则恒成立， 若，则在上单调递增， 则，恒成立， 则在上单调递增， 则，满足条件， 故成立； 若时，则在上单调递减，在上单调递增， 在时，，， 所以在上单调递减，矛盾，不满足题意. 当时，因为是好点，则恒成立， 若，则在上单调递减， 则，恒成立， 则在上单调递增， 则，满足条件， 故成立； 若时，则上单调递减，在上单调递增， 在时，，， 所以在上单调递减，矛盾，不满足题意. 综上可知，且，故，而， 所以只有一个好点. 【点睛】思路点睛：对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$