精品解析：浙江省绍兴市越城区2024—2025学年九年级上学期期末学业水平考数学试卷

越城区2024学年第一学期期末学业水平考试卷九年级数学 温馨提示： 1．本试题卷共6页，有三个大题，24个小题．全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在本试题卷、草稿纸上均无效． 3．答题前，认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题．本次考试不能使用计算器． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A B. C. D. 2. 如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从A滑行到B．已知，则这名滑雪运动员的高度下降了（ ）m． A. B. C. D. 3. 在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从华山、华阳古镇，太白山三个著名景点中分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. B. C. D. 5. 将二次函数图象向右平移1个单位长度，平移后得到的新函数图象的表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，点C在上，，分别为、所对的圆周角．若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，．将沿着点A到点C的方向平移到的位置，若图中阴影部分面积为2，则平移的距离为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 如图，在半径为3的中，边长为3的等边两顶点B，C在圆上，若在圆内绕翻滚一周后，回到原位置，则点B的运动路径长为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，点D为上一动点，以为边，作正方形，延长至G，以为边作正方形，使点H恰好落在上，所作两正方形把分成如图所示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四部分，则以下选项错误的是（ ） A. Ⅰ与Ⅱ的周长和为定值 B. Ⅰ与Ⅱ的面积和为定值 C. Ⅲ与Ⅳ的周长差为定值 D. Ⅲ与Ⅳ的面积差为定值 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若二次函数图象经过点，则c的值是______． 12. 已知点P是线段的黄金分割点，．若，则_____． 13. 如图，点P在线段上，，，，若，，，则的长是______． 14. 常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知，，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，，的半径，则圆盘离桌面最近的距离是_______． 15. 如图，在由相同的菱形组成的网格中，等于，小菱形的顶点称为格点．已知点A，B，C，D，E都在格点上，连结，，则的值为______． 16. 如图，在中，，，，点D在上，且，以D为旋转中心将直线绕点D顺时针方向旋转，旋转后所得的直线将分成两部分，若其中一部分为等腰三角形，则该等腰三角形的面积为_______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算： （1）； （2）已知，求值． 18. 请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．（说明：图、图中点，，在格点上） （1）在图中，作的角平分线； （2）在图中，以为位似中心，作的位似图形，并把的边长缩小到原来的． 19. 如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点A到地面的高度．他们绘制了如图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，．请帮助该数学学习小组求出展板最高点A到地面的距离（精确到，参考数据：，）． 20. 将张分别写着字母，，，的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中任意取出张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出张卡片．求下列事件发生的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）． （1）取出的张卡片字母相同； （2）取出的张卡片中，至少有张卡片字母为“”． 21. 如图，内接于，为的直径，为上一点，为弧上一点，连结交于点，已知，． （1）求证：； （2）求长． 22. （1）如图1，已知于点A，于点B，P是上一点，，，求证：； （2）如图2，已知，，点D，E分别在边和上，P是上一点，且，，求的值． 23. 已知二次函数，经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）已知点，，连结，将向上平移5个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好与的图象有交点，求m的取值范围； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，请直接写出n的值，不必说明理由． 24. 如图1，已知是⊙O直径，弦于点E，G是上的一点，连结交于点H，，的延长线交于点F． （1）求证：； （2）①连结，若，求的值； ②连结，若，，，求⊙O的半径r． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 越城区2024学年第一学期期末学业水平考试卷九年级数学 温馨提示： 1．本试题卷共6页，有三个大题，24个小题．全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在本试题卷、草稿纸上均无效． 3．答题前，认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题．本次考试不能使用计算器． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】二次函数的顶点式是：（，且，，是常数），顶点坐标为，直接写出顶点坐标． 【详解】解：因为是抛物线解析式的顶点式； 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标是； 故选：A． 2. 如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从A滑行到B．已知，则这名滑雪运动员的高度下降了（ ）m． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数可直接进行求解． 【详解】解：由题意得：这名滑雪运动员的高度下降了米； 故选A． 【点睛】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键． 3. 在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从华山、华阳古镇，太白山三个著名景点中分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用列表法进行计算即可． 【详解】解：设表示华山、表示华阳古镇、表示太白山，列表如下： 共有9种情况，他们两家去同一景点旅游共有3中情况， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查利用列表法求概率．熟练掌握列表法求概率是解题的关键． 4. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值， 设蜡烛火焰的高度为， 根据题意得，， 解得：， ∴蜡烛火焰的高度为． 故选：C． 5. 将二次函数图象向右平移1个单位长度，平移后得到的新函数图象的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，根据二次函数平移规律“上加下减，左加右减”即可解答． 【详解】解：二次函数的图象向右平移1个单位，得到的函数图象的表达式是， 故选：D． 6. 如图，中，点C在上，，分别为、所对的圆周角．若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理求出，再根据弧、圆周角的关系求解即可． 【详解】解：解：连接，如图： ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 7. 如图，在中，．将沿着点A到点C的方向平移到的位置，若图中阴影部分面积为2，则平移的距离为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由勾股定理逆定理推出直角三角形，然后可求面积，平移可得相似三角形，相似三角形面积比为相似比的平方，直接求解即可． 【详解】取BC与ED交点为H， ， ， 是直角三角形，即， ， 沿着点A到点C的方向平移到的， ，且AD即为平移距离， ，解得， ， 平移的距离为． 故选：D． 【点睛】此题考查勾股定理逆定理，平移规律以及相似三角形的性质和判定，解题关键是相似三角形的面积比为相似比的平方，此题技巧为先利用勾股定理逆定理推出直角，而后根据平移规律找出平移的距离． 8. 如图，在半径为3的中，边长为3的等边两顶点B，C在圆上，若在圆内绕翻滚一周后，回到原位置，则点B的运动路径长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，明确点B的运动路径是解题的关键．画出在圆内绕翻滚一周的图形，可知点B经过的路径分别是圆心角为的三条弧，即点B的运动路径长为半径为3的圆的周长，进行计算即可． 【详解】解：如图，在圆内绕翻滚一周后，回到原位置，则点B的运动路径分别为圆心角为：的三条弧长，即点B的运动路径长为半径为3的圆的周长， ∴点B的运动路径长为：， 故选：D． 9. 已知二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把A、B、D的坐标代入，求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解． 【详解】解：把，，代入， 得， 解得， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图，在中，，，，点D为上一动点，以为边，作正方形，延长至G，以为边作正方形，使点H恰好落在上，所作两正方形把分成如图所示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四部分，则以下选项错误的是（ ） A. Ⅰ与Ⅱ的周长和为定值 B. Ⅰ与Ⅱ的面积和为定值 C. Ⅲ与Ⅳ的周长差为定值 D. Ⅲ与Ⅳ的面积差为定值 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，解直角三角形，根据正方形的性质得到为定值，再结合图形逐一判断即可． 【详解】解：A、如图，连接， ∵正方形与正方形中，，， ∴， ∴三点共线， ∴为定值， ∴为定值， ∵， ∴为定值， ∴Ⅰ与Ⅱ的周长和为定值，故A选项正确，不符合题意； B、Ⅰ与Ⅱ的面积和为， ∵的值不固定， ∴Ⅰ与Ⅱ的面积和不为定值，故B选项错误，符合题意； C、Ⅲ与Ⅳ的周长差为， ∵为定值， ∴Ⅲ与Ⅳ的周长差为定值，故C选项正确，不符合题意； D、如图，延长交于点M，延长交于点N， 则Ⅲ的面积为：，Ⅳ的面积为：， ∵，， ∴， ∵，， ∴Ⅲ与Ⅳ的面积差为：， 由上知为定值，为定值， ∴Ⅲ与Ⅳ的面积差为定值，故D选项正确，不符合题意； 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若二次函数的图象经过点，则c的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，把代入二次函数解析式中求出c的值即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 故答案为：3． 12. 已知点P是线段的黄金分割点，．若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点的定义，根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长． 【详解】解：由于P为线段的黄金分割点，，， 则． 故答案为：． 13. 如图，点P在线段上，，，，若，，，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据，，，证明，由正切的定义得到，求出，进而求出，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知，，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，，的半径，则圆盘离桌面最近的距离是_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，构造直角三角形是求线段长的常用方法．连接，，作，先证明四边形是矩形，进而得出，再根据勾股定理求出，可得，根据即可得出答案． 【详解】解：连接，，过点O作于点G，交一点E，交于点F． ∵，， ∴. ∵， ∴四边形是平行四边形. ∵， ∴四边形是矩形， ∴，. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴圆盘离桌面最近的距离是1cm， 故答案为：1． 15. 如图，在由相同的菱形组成的网格中，等于，小菱形的顶点称为格点．已知点A，B，C，D，E都在格点上，连结，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】取格点，连接交于点O，由菱形的性质易求，设菱形网格的边长为a，则，求出，进而求出，由勾股定理求出，由即可求解． 【详解】解：如图，取格点，连接交于点O， 则， ∵，此图为相同的菱形组成的网格， ∴四边形，四边形为菱形， ∴， 设菱形网格边长为a，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，求一个角的正弦值，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握菱形的性质． 16. 如图，在中，，，，点D在上，且，以D为旋转中心将直线绕点D顺时针方向旋转，旋转后所得的直线将分成两部分，若其中一部分为等腰三角形，则该等腰三角形的面积为_______． 【答案】或或或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，先利用勾股定理求出，由，求出，设所在直线为，分直线与相交时，直线与相交时，两种情况讨论，解直角三角形求出等腰三角形底边上高，即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， 设所在直线为， 直线与相交时，设交点为， 当时，如图，过点E作于点H， 则（三线合一）， ∵， ∴， ∴等腰三角形的面积为； 当时，如图，过点D作于点G， 则， 同理得：， ∴， ∴等腰三角形的面积为； 直线与相交时，设交点为， 当时，如图，过点D作于点P， 同理得：， ∴， ∴， ∴（三线合一）， ∴等腰三角形的面积为； 当时，如图，过点F作于点Q， 则， 同理得：， ∴， ∴等腰三角形的面积为； 综上，该等腰三角形的面积为或或或． 故答案为：或或或． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算： （1）； （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算，比例的性质． （1）代入特殊角的三角函数值，根据二次根式的运算法则计算即可； （2）由，得到，求出，设，即，，代入即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 设，即，， ∴． 18. 请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．（说明：图、图中点，，在格点上） （1）在图中，作的角平分线； （2）在图中，以为位似中心，作的位似图形，并把的边长缩小到原来的． 【答案】（1）图见解析； （2）图见解析． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是无刻度直尺作图、等腰三角形的三线合一、作图—位似变换，解题关键是熟练掌握画位似图形的一般步骤． （1）利用网格特点确定中点，连接，根据等腰三角形的“三线合一”性质可得是的角平分线； （2）利用网格特点确定、中点、，连接，则和是位似图形，位似中心是点． 【小问1详解】 解：如图，为所作： 【小问2详解】 解：如图，为所作： 19. 如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点A到地面的高度．他们绘制了如图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，．请帮助该数学学习小组求出展板最高点A到地面的距离（精确到，参考数据：，）． 【答案】展板最高点A到地面的距离为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造出直角三角形，熟练通过解直角三角形求相应未知量是解题的关键．过点A作于点G，与直线交于点H，过点B作于点M，过点D作于点N，分别解作出的直角三角形即可解答． 【详解】解：如图，过点A作于点G，与直线交于点H，过点B作于点M，过点D作于点N，     ∴四边形，四边形均为矩形， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：展板最高点A到地面的距离为． 20. 将张分别写着字母，，，的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中任意取出张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出张卡片．求下列事件发生的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）． （1）取出的张卡片字母相同； （2）取出的张卡片中，至少有张卡片字母为“”． 【答案】（1）树状图见解析，取出的张卡片字母相同为； （2）取出的张卡片中，至少有张卡片字母为“”概率为． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率，解题关键是熟练掌握运用列表法或树状图法求概率． （1）画树状图，找到等可能的结果数及要求的事件的结果数，再运用概率公式即可得解； （2）结合（1）中的树状图，找到等可能的结果数及要求的事件的结果数，再运用概率公式即可得解． 【小问1详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中取出的张卡片字母相同的结果有种， 取出的张卡片字母相同的概率为． 【小问2详解】 解：由（1）可知，共有种等可能的结果，其中取出的张卡片中，至少有张卡片字母为“”的结果有种， 取出的张卡片中，至少有张卡片字母为“”的概率为． 21. 如图，内接于，为的直径，为上一点，为弧上一点，连结交于点，已知，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）先利用弧、弦、圆心角关系推得，再由同弧或等弧所对的圆周角相等即可证明； （2）结合半圆（直径）所对圆周角是直角，用勾股定理解三角形求出，再证明，结合相似三角形的性质即可求得，由即可得解． 【小问1详解】 证：， ， ； 【小问2详解】 解：是的直径， ， ，， 中，， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是利用弧、弦、圆心角的关系求证，同弧或等弧所对的圆周角相等，半圆（直径）所对的圆周角是直角，用勾股定理解三角形，相似三角形的判定与性质综合，解题关键是熟练掌握圆的相关性质． 22. （1）如图1，已知于点A，于点B，P是上一点，，，求证：； （2）如图2，已知，，点D，E分别在边和上，P是上一点，且，，求的值． 【答案】（1）见解析，（2） 【解析】 【分析】（1）通过角的等量代换，得出，通过证明，即可作答． （2）分别过点作，证明，得出设，证明，列式得，算出，即可作答． 【详解】解：（1）∵，， ∴ ∴ ∵ ∴； （2）分别过点作，如图 ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 ∴， 设 ∵ ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理、等腰三角形的性质等综合知识内容，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 23. 已知二次函数，经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）已知点，，连结，将向上平移5个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好与的图象有交点，求m的取值范围； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，请直接写出n的值，不必说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法，点平移的性质，二次函数的图象与性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）由（1）知二次函数的表达式为分别令求出，，结合图形即可解答； （3）根据题意分为当时，当时，当时，结合二次函数的最大值与最小值的差为，建立方程求解，即可解题． 【小问1详解】 解：∵二次函数，经过点，对称轴为直线， ∴，， ∴，， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵点，，将向上平移5个单位长度，向右平移个单位长度后， ∴点，的对应点坐标为， 由（1）知二次函数的表达式为， 令， 解得：， 令， 解得：， 如图：当点经过点时，恰好与的图象有交点， 则； 如图，当点经过点时，恰好与的图象有交点， 则； 综上，时，恰好与的图象有交点； 【小问3详解】 解：∵二次函数的对称轴为直线，且， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ①当时，即时， 二次函数的最大值为，最小值为， ∴， ∴(不合题意，舍去)； ②当时， 二次函数的最大值为，最小值为，或最大值为， ∴或， ∴或(不合题意，舍去)；或(不合题意，舍去)； 当时， 二次函数的最小值为，最大值为， ∴， ∴(不合题意，舍去)； 综上，n的值为． 24. 如图1，已知是⊙O的直径，弦于点E，G是上的一点，连结交于点H，，的延长线交于点F． （1）求证：； （2）①连结，若，求的值； ②连结，若，，，求⊙O的半径r． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）如图，连接，利用垂径定理得到，根据等腰三角形的性质得，根据圆周角定理的推论得到，再利用圆内接四边形的性质得到，从而得到结论； （2）①如图，连接，易得，根据，推出，证明经过点O， 即重合，为圆的直径，证明，即可得出结果 ；②连接，表示出，证明，推出，，，，再证明，得到，，进而得到，解方程结合题意取值即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 是的直径，弦， ， ， ， 点、、、在上， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：①如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴经过点O， ∴重合，即为圆的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图，连接， ∵的半径r，， ∴， ∵是的直径，弦， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意：， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $