精品解析：江苏省苏州市吴江区青云实验中学2024-2025学年高二下学期3月单元练习数学试题

2024-2025学年第二学期青云实验中学3月单元练习 高二数学 2025.03 试卷分值：150分 考试用时：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是函数的导函数，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 8 2. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 3. 用，，，四个数字组成没有重复数字的三位偶数，共有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4. 如图，要让电路从A处到B处接通，不同的路径条数为（ ） A. 5 B. 7 C. 8 D. 12 5. 已知是函数导函数，若函数的图象大致如图所示，则的极小值点为（ ） A. B. C. D. 6. 有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（ ） A 40 B. 48 C. 52 D. 60 7. 在100，101，102，…，999这些数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺序排列的数的个数是（　　） A. 120 B. 204 C. 168 D. 216 8. 已知函数恰有三个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的图象如图所示，且定义在上的函数的导函数为的导函数为，则（ ） A. 在上单调递减 B. 1是的极大值点 C. 的零点是0和2 D. 不等式的解集为 10. 有甲､乙､丙等8名学生排成一排照相，计算其排法种数，在下列答案中正确是（ ） A. 甲排在两端，共有种排法 B. 甲､乙都不能排在两端，共有种排法 C. 甲､乙､丙三人相邻（指这三个人之间都没有其他学生），共有种排法 D. 甲､乙､丙互不相邻（指这三人中任何两个人都不相邻），共有种排法 11. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 在上的值域为 D. 点是曲线的对称中心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算=________． 13. 已知在区间上．在下面所示的图象中，可能表示函数的图象的有___________ (填写所有可能的选项）． 14. 已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，曲线在点处的切线与平行． （1）求的值； （2）求的极值． 16. （1）计算(用数字作答)． （2）解不等式：； 17. 福州某公园有一个半圆形荷花池（如图所示），为了让游客深入花丛中体验荷花美景，公园管理处计划在半圆形荷花池中设计栈道观景台和栈道、、、，观景台在半圆形的中轴线上（如图，与直径垂直，与不重合），通过栈道把荷花池连接起来，使人行其中有置身花海之感．已知米，，栈道总长度为． （1）求关于的函数关系式． （2）若栈道的造价为每米千元，问：栈道长度是多少时，栈道的建设费用最小？并求出该最小值． 18. （1）求曲线过点的切线方程. （2）已知函数与的图象有两条公切线，求实数的取值范围. 19 已知函数 （1）若不等式恒成立，求实数a的取值范围; （2）若，求证：有且只有1个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期青云实验中学3月单元练习 高二数学 2025.03 试卷分值：150分 考试用时：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是函数导函数，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，结合导数的定义，即可求解. 【详解】. 故选：A 2. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的定义域与导函数，再令，解得即可. 【详解】函数的定义域为， 且， 令，解得， 所以的单调递增区间为. 故选：D 3. 用，，，四个数字组成没有重复数字的三位偶数，共有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】根据特殊位置优先安排的原则，结合乘法计数原理即可求解. 【详解】先排个位数，有2种选择，再排十位和百位，由种选择， 根据分步乘法计数原理可得共有个不重复的三位偶数， 故选：D 4. 如图，要让电路从A处到B处接通，不同的路径条数为（ ） A. 5 B. 7 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据分类计数原理与分步计数原理计算可得答案． 【详解】要让电路从A处到B处接通，不同路径条数为． 故选：C． 5. 已知是函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则的极小值点为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析导数的符号变化，利用导数与函数极值点的关系可得出函数的极小值点. 【详解】由的图象知，当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 故的单调递增区间为、，单调递减区间为， 故的极小值点为. 故选：D. 6. 有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（ ） A. 40 B. 48 C. 52 D. 60 【答案】B 【解析】 分析】由题意，根据分步乘法原理，可得答案. 【详解】先从四对双胞胎中选出一对，有种选择； 然后从剩下六个人中选出两个人，且不能是同一对双胞胎， 这相当于从三对双胞胎中选出两对，再从每对中选出一个人，共有种选择. 根据乘法原理，总共有种选法. 故选：B. 7. 在100，101，102，…，999这些数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺序排列的数的个数是（　　） A. 120 B. 204 C. 168 D. 216 【答案】B 【解析】 【分析】根据三个数字中是否有“0”分两类，利用分类加法计数原理求解. 【详解】分两类，第一类不含数字“0”，从1到9的自然数中任意取出3个，都可以得到严格递增或严格递减顺序排列的三位数，共有个； 第二类含有数字“0”，从1到9的自然数中任意取出2个，三个数只能排出严格递减顺序的三位数，共有个， 根据分类加法计数原理，所以共有个. 故选：B 8. 已知函数恰有三个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将函数恰有三个零点，转化为恰有三个零点，令，用导数法画出其图象，利用数形结合法求解. 【详解】因为函数恰有三个零点， 所以恰有三个零点， 令， 所以， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时取得极大值，当时，取得极小值， 如图所示： 所以实数的取值范围为 故选：D 【点睛】本题主要考查导数与函数的零点，还考查了数形结合的思想，属于中档题. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的图象如图所示，且定义在上的函数的导函数为的导函数为，则（ ） A. 在上单调递减 B. 1是的极大值点 C. 的零点是0和2 D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的图象可求出函数的单调区间及极值点，即可判断AB；根据函数的单调区间即可得出其导函数的零点及符号分布情况，即可判断CD. 【详解】由图可知，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 1是的极大值点，A错误，B正确； 的单调递增区间为，单调递减区间为， 当或时，， 当时，，C正确； 由，得，或， 解得或， 所以等式的解集为，D正确． 故选：BCD. 10. 有甲､乙､丙等8名学生排成一排照相，计算其排法种数，在下列答案中正确的是（ ） A. 甲排在两端，共有种排法 B. 甲､乙都不能排在两端，共有种排法 C. 甲､乙､丙三人相邻（指这三个人之间都没有其他学生），共有种排法 D. 甲､乙､丙互不相邻（指这三人中的任何两个人都不相邻），共有种排法 【答案】AD 【解析】 【分析】A：先排甲，然后剩下7人全排，由此即可判断；B：先在中间6个位排甲乙，然后剩下6人全排，由此即可判断；C：先将甲乙丙三人捆绑，再和剩下5人全排，由此即可判断；D：先全排除了甲乙丙剩下的5人，然后将甲乙丙三人插空，由此即可判断. 【详解】A，先排甲，然后剩下7人全排，共有种排法，故A正确； B，先在中间6个位排甲乙，然后剩下6人全排，共有种排法，但是，故B错误； C，先将甲乙丙三人捆绑，再和剩下5人全排，共有种排法，故C错误； D，先全排除了甲乙丙剩下的5人，然后将甲乙丙三人插空共有种排法，故D正确. 故选：AD. 11. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 在上的值域为 D. 点是曲线的对称中心 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，求导，得到函数单调性，得到函数的极值点个数；B选项，在A选项求出的函数单调性基础上，结合特殊点的函数值得到B错误；C选项，求出极值和端点值，比较后得到值域；D选项，验证即可. 【详解】对于A，，令可得或2. 当或时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以0是的极大值点，2是的极小值点，所以有两个极值点，故A正确； 对于B，由A选项知函数极大值为，极小值为， 又，数形结合得，只有2个零点，故B错误； 对于C，由于在递增，在递减，在递增， 且，，， 所以在上的值域为，故C正确； 对于D，， 点是曲线的对称中心，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算=________． 【答案】360 【解析】 【分析】根据排列数公式和组合数公式计算即可. 【详解】. 故答案为：360. 13. 已知在区间上．在下面所示的图象中，可能表示函数的图象的有___________ (填写所有可能的选项）． 【答案】（1） 【解析】 【分析】根据题意切线的斜率始终大于1，对比选项得到答案. 【详解】在上，切线的斜率始终大于1，仅（1）满足． 故答案为：（1） 14. 已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为______． 【答案】18 【解析】 【分析】求出函数的导数，可得的表达式，由此化简推出，结合说明，继而利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】由于， 故， 故，， 则 ， 由，得， 由，即，知位于之间， 不妨设，则， 故， 当且仅当，即时等号成立， 故则的最小值为18， 故答案为：18 【点睛】关键点睛：本题考查了导数的几何意义以及不等式求最值的应用，解答的关键是利用导数的表达式推出，并说明，然后利用基本不等式求最值即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，曲线在点处切线与平行． （1）求的值； （2）求的极值． 【答案】（1）2 （2）极小值为，无极大值. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，可得，可求的值. （2）求导，分析函数的单调性，可得函数的极值. 【小问1详解】 因为，. 所以，. 由题意. 【小问2详解】 因为，. 所以，. 由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，函数取得极小值，且. 16. （1）计算(用数字作答)． （2）解不等式：； 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】(1)利用组合数的计算公式及性质依次计算即可得解； (2)利用排列数意义及排列数公式列不等式求解即得. 【详解】(1)因，于是有： (2)由题意可知，且， 因为，，， 于是原不等式可化为， 整理得，解得， 所以， 所以原不等式的解集为． 17. 福州某公园有一个半圆形荷花池（如图所示），为了让游客深入花丛中体验荷花美景，公园管理处计划在半圆形荷花池中设计栈道观景台和栈道、、、，观景台在半圆形的中轴线上（如图，与直径垂直，与不重合），通过栈道把荷花池连接起来，使人行其中有置身花海之感．已知米，，栈道总长度为． （1）求关于的函数关系式． （2）若栈道的造价为每米千元，问：栈道长度是多少时，栈道的建设费用最小？并求出该最小值． 【答案】（1）， （2）栈道长度是时建设费用最小，最小值为千元 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的概念分别求、、的长度即可； （2）求出的导函数，得到函数的单调性，进而即可求出最值. 【小问1详解】 因为在半圆形的中轴线上，，米，， 所以，， 所以， 所以栈道总长度 ，. 【小问2详解】 由（1）得，， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以当，即时，栈道的建设费用最小， 建设费用最小值为千元. 18. （1）求曲线过点的切线方程. （2）已知函数与的图象有两条公切线，求实数的取值范围. 【答案】（1）或；（2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，分为切点和不为切点两种情况求解即可； （2）设直线与相切于点，直线与相切于点，可得，消去得，，进而结合题意求解即可. 【详解】（1）由，则， 当为切点时，切线斜率为， 此时切线方程为，即； 当不为切点时，设切点为，， 则切线斜率为，解得， 此时切线斜率为0，则切线方程为，即. 综上所述，切线方程为或. （2）由，， 则，， 设直线与相切于点，则切线的斜率为， 直线与相切于点，则切线的斜率为， 则， 消去得，， 因为函数与的图象有两条公切线， 则，解得， 即实数的取值范围为. 19. 已知函数 （1）若不等式恒成立，求实数a的取值范围; （2）若，求证：有且只有1个零点. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由已知可得，令，利用导数可得，进而可得，令，利用导数求得即可； （2）求导得，分，，三种情况讨论中可证得结论. 【小问1详解】 由可得， 设，，， 当时，当时，， 所以在上单调调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以等价于， 设，，， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以， 故实数a的取值范围为； 【小问2详解】 ， 当时，，， 所以在上单调递增，又，， 由零点存在性定理可知，在区间上存在1个零点， 故此时有1个零点. 当时，当时，；当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 因，当时， ， 取，则，且， 由零点存在性定理可知，在区间上存在1个零点， 故此时有1个零点. 当时，当时，；当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ， 由于，所以，所以， 所以，所以 又，， 由零点存在性定理可知，在区间上存在1个零点， 故此时有1个零点. 综上可知，当时，有且只有1个零点，得证. 【点睛】利用导数研究零点问题： （1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象； （2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题； （3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$