第7章 计数原理章末检测卷-2024-2025学年高二数学重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019选择性必修第二册）

第7章 计数原理章末检测卷 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．某次会议安排甲、乙等六人的座位在第一排的号，其中甲的座位号为奇数，乙的座位号为偶数，且甲、乙不相邻，则这六人不同的座位安排方法种数为（    ） A．48 B．96 C．128 D．186 2．不等式的解集为（   ） A．{2，8} B．{2，6} C．{7，12} D．{8} 3．某学校文艺汇演准备从甲、乙、丙、丁、戊5人中选4人参加演出．要求甲和乙必须同时参加，且他们的演出顺序必须满足甲在前、乙在后，那么不同的演出顺序种数有（    ） A．18种 B．24种 C．36种 D．72种 4．在（其中是虚数单位）的展开式中，的系数为（   ） A． B． C． D． 5．北京故宫博物院成立于1925年10月10日，是在明朝、清朝两代皇宫及其收藏的基础上建立起来的大型综合性博物馆，也是中国最大的古代文化艺术博物馆．2025年北京故宫博物院将迎来建院100周年．用2025，100，2，0，2，5这6个数可以组成的不同的11位数的个数为（    ） A．594 B．300 C．294 D．297 6．2024年4月26日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情.齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”.假设6人站成一排，两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有（    ） A．16种 B．32种 C．48种 D．64种 7．已知集合，若函数（，）有极值，则满足条件的共有（    ） A．121个 B．360个 C．396个 D．432个 8．若从至的个整数中随机取个不同的数，则这个数的和是的倍数的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．用n种不同的颜色给如图所示的四块区域A，B，C，D涂色，要求相邻域涂不同颜色，不同的涂色方法的总数记作，则（    ） A． B． C． D． 10．中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山．小明与其父母共3人计划在假期出游，每人选一个地方，则（    ） A．3人选择的地点均不同的方法总数为20 B．恰有2人选一个地方的方法总数为60 C．恰有1人选泰山的概率是 D．已知小明已选择去泰山的情况下，其父母至少有一人选择去泰山的概率为 11．已知，设，其中则（    ） A． B． C．若，则 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．关于的方程的正整数解是 13．的展开式中的系数是 .（用数字填写） 14．海州高级中学团委举行了由甲、乙、丙、丁、戊、辛，6名学生参加的“争做时代接班人”的演讲比赛，决出第1名到第6名的名次，赛后甲、乙两名参赛者向老师询问成绩，老师对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军”；对乙说：“你和甲的名次相差2名”.若老师说的都是对的，则6人的名次排列情况可能的种数有 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．求解下列问题． (1)求值：； (2)解不等式：； 16．某次联欢会要安排3个歌舞类节目个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，根据要求解答下列问题（最终结果用数值表示）： (1)若两个小品类节目不能排在第一位和最后一位，一共有多少种排法？ (2)若歌舞类节目必须排在一起，和排在一起，并且在中间，一共有多少种排法？ (3)若同类节目不相邻，请问一共有多少种排法？ 17．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数． (1)有女生但人数必须少于男生； (2)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表； (3)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表． 18．（1）由0，1，2，3，4，5，6这7个数字组成的没有重复数字的四位偶数有多少个？ （2）把5个不同颜色的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放入1个小球，有多少种不同的放法？ （3）某书法兴趣小组有7名组员，其中3人只擅长硬笔书法，2人只擅长软笔书法，其余2人既擅长硬笔书法，又擅长软笔书法，现从书法兴趣小组中选择擅长硬笔书法的2人参加硬笔书法比赛，擅长软笔书法的2人参加软笔书法比赛（每个人不能同时参加两个比赛），则不同的选择方法有多少种？ 19．已知（n为正整数）. (1)若，求该式的展开式中所有项的系数之和； (2)若，求该式的展开式中无理项的个数； (3)若，求该式的展开式中系数最大的项. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7章 计数原理章末检测卷 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．某次会议安排甲、乙等六人的座位在第一排的号，其中甲的座位号为奇数，乙的座位号为偶数，且甲、乙不相邻，则这六人不同的座位安排方法种数为（    ） A．48 B．96 C．128 D．186 【答案】B 【详解】先安排甲、乙，若甲坐1号座位，则乙可以坐4号或6号座位； 若甲坐3号座位，则乙可以坐6号座位； 若甲坐5号座位，则乙可以坐2号座位，共有4种安排方法． 在甲和乙的座位确定了的情况下，其余四人的座位安排方法有种， 故这六人不同的座位安排方法种数为． 故选：B． 2．不等式的解集为（   ） A．{2，8} B．{2，6} C．{7，12} D．{8} 【答案】D 【解析】直接根据排列数公式展开，再解不等式，即可得答案. 【详解】 ，解得：. 又， ，即. 故选：D 【点睛】本题考查排列数公式的计算、不等式求解，考查基本运算求解能力. 3．某学校文艺汇演准备从甲、乙、丙、丁、戊5人中选4人参加演出．要求甲和乙必须同时参加，且他们的演出顺序必须满足甲在前、乙在后，那么不同的演出顺序种数有（    ） A．18种 B．24种 C．36种 D．72种 【答案】C 【详解】先从丙、丁、戊3人中选2人，有种，再把4人排列满足甲在前、乙在后，有，∴总共有种． 故选：C 4．在（其中是虚数单位）的展开式中，的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由二项式定理得，的通项公式为， 由得，，由得， ∴，， ∵，， ∴的系数为. 故选：C. 5．北京故宫博物院成立于1925年10月10日，是在明朝、清朝两代皇宫及其收藏的基础上建立起来的大型综合性博物馆，也是中国最大的古代文化艺术博物馆．2025年北京故宫博物院将迎来建院100周年．用2025，100，2，0，2，5这6个数可以组成的不同的11位数的个数为（    ） A．594 B．300 C．294 D．297 【答案】D 【详解】因为首位数字不能为0，所以首先从2025，100，2，2，5这5个数中任选一个排首位，有5种排法，剩余5个数进行全排列，有种排法，又两个2交换位置所得的11位数相同，且2，0，2，5排列成2025的排法有种，所以用2025，100，2，0，2，5组成的不同的11位数的个数为. 故选：D． 6．2024年4月26日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情.齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”.假设6人站成一排，两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有（    ） A．16种 B．32种 C．48种 D．64种 【答案】B 【详解】两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，有种排法， 剩下的四名宇航员共有种排法，其中两位“80后”彼此相邻，两位“90后”彼此相邻且分别在左侧或右侧的排法共有种， 所以两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有种. 故选：. 7．已知集合，若函数（，）有极值，则满足条件的共有（    ） A．121个 B．360个 C．396个 D．432个 【答案】C 【详解】函数定义域为R，求导得， 由函数有极值，得函数有变号零点，则，解得， ，由，得，而， 所以满足条件的共有个. 故选：C 8．若从至的个整数中随机取个不同的数，则这个数的和是的倍数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】至中除以3余0的数有：3,6,9,12,15,18，共6个， 至中除以3余1的数有：1,4,7,10,13,16，共6个， 至中除以3余2的数有：2,5,8,11,14,17，共6个， 从至随机取个不同的数，则这个数的和是的倍数的情况有：①3个除以3余0的数；②3个除以3余1的数；③3个除以3余2的数；④1个除以3余0的数加1个除以3余1的数加1个除以3余2的数， 所以这个数的和是的倍数的概率 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．用n种不同的颜色给如图所示的四块区域A，B，C，D涂色，要求相邻域涂不同颜色，不同的涂色方法的总数记作，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】使用种不同颜色时，对区域涂色可用种， 由、相邻，故对区域可用种， 由、、相邻，故对区域可用种， 由、相邻，故对区域可用种， 故不同的涂色方法的总数种， 种，种， 种，种， 故A、B错误，C、D正确. 故选：CD. 10．中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山．小明与其父母共3人计划在假期出游，每人选一个地方，则（    ） A．3人选择的地点均不同的方法总数为20 B．恰有2人选一个地方的方法总数为60 C．恰有1人选泰山的概率是 D．已知小明已选择去泰山的情况下，其父母至少有一人选择去泰山的概率为 【答案】BCD 【详解】对于A，3人选择的地点均不同的方法总数为，故A错误； 对于B，恰有2人选一个地方的方法总数为，故B正确； 对于C，恰有1人选泰山的方法总数为，所有的方法数为，所以恰有1人选泰山的概率是，故C正确； 对于D，父母都不选择去泰山的概率为，所以小明已选择去泰山的情况下，其父母至少有一人选择去泰山的概率，故D正确； 故选：BCD． 11．已知，设，其中则（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】AC 【详解】A． ，A正确； B．， 所以 （除非），B错； C．设是中最大项， ，即， 注意到，，又， 不等式组可解为，所以，所以，C正确； D．例如时，，， ，D错误． 故选：AC． 【点睛】方法点睛：本题考查二项式定理，掌握二项式定理是解题关键．处理方法：（1）组合数的变形公式，（2）求二项展开式中最大项（或最小项）的方法，设第项是，可设第项最大，则有，解此不等式可得． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．关于的方程的正整数解是 【答案】8 【详解】因为，且， 所以， 所以， 解得． 故答案为：8． 13．的展开式中的系数是 .（用数字填写） 【答案】 【详解】的展开式中，要得到的系数，则可能为或. 故含的项为 ， 故答案为： 14．海州高级中学团委举行了由甲、乙、丙、丁、戊、辛，6名学生参加的“争做时代接班人”的演讲比赛，决出第1名到第6名的名次，赛后甲、乙两名参赛者向老师询问成绩，老师对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军”；对乙说：“你和甲的名次相差2名”.若老师说的都是对的，则6人的名次排列情况可能的种数有 . 【答案】168 【详解】由分步原理可得 当甲是第二名时，乙只能为第四，此时有种； 当甲是第三名时，乙为第一或第五，此时有种； 当甲是第四名时，乙为第二或第六，此时有种； 当甲是第五名时，乙为第三，此时有种； 当甲是第六名时，乙为第四，此时有种； 所以共有168种. 故答案为：168. 【点睛】易错点睛：本题易错点在于理解“你和甲的名次相差2名”，表示甲可以比乙靠前，也可以靠后. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．求解下列问题． (1)求值：； (2)解不等式：； 【答案】(1)148 (2) 【详解】（1）. （2）由，得， 化简得，解得，① 又，所以，② 由①②及得. 16．某次联欢会要安排3个歌舞类节目个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，根据要求解答下列问题（最终结果用数值表示）： (1)若两个小品类节目不能排在第一位和最后一位，一共有多少种排法？ (2)若歌舞类节目必须排在一起，和排在一起，并且在中间，一共有多少种排法？ (3)若同类节目不相邻，请问一共有多少种排法？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为总共有六个位置，两个小品类节目不能排在第一位和最后一位， 先将排好，则有种排法，剩下四个节目四个位置，则有种排法， 故共有种排法. （2）先将六个节目分成三组，且这三组个数分别为，并排列，故有种排法， 必须排在一起共有种排法，在中间共有种排法， 故共有种排法. （3）分两步完成：第一步，先安排3个歌舞类节目，则有种排法； 第二步，再用插空法安排小品节目和1个相声节目： ①若小品节目和1个相声节目互不相邻，则有种排法； ②若与中的其中一个相邻，则有种排法. 故共有种排法. 17．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数． (1)有女生但人数必须少于男生； (2)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表； (3)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表． 【答案】(1)5400种 (2)3360种 (3)360种 【详解】（1）先选后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有种，后排有种， 共（种）． （2）先选后排，但先安排该男生，有（种）． （3）先从除去该男生、该女生的6人中选3人有种，再安排该男生有种，其中3人全排有种，共（种）． 18．（1）由0，1，2，3，4，5，6这7个数字组成的没有重复数字的四位偶数有多少个？ （2）把5个不同颜色的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放入1个小球，有多少种不同的放法？ （3）某书法兴趣小组有7名组员，其中3人只擅长硬笔书法，2人只擅长软笔书法，其余2人既擅长硬笔书法，又擅长软笔书法，现从书法兴趣小组中选择擅长硬笔书法的2人参加硬笔书法比赛，擅长软笔书法的2人参加软笔书法比赛（每个人不能同时参加两个比赛），则不同的选择方法有多少种？ 【答案】（1）420；（2）150；（3）37. 【详解】（1）求没有重复数字的四位偶数的个数有两类： 个位数字为0，共有个；个位数字不是0，共有个， 所以没有重复数字的四位偶数的个数是. （2）把5个不同颜色的小球按分成3组的分法数为；按分成3组的分法数为， 将每种分法所得3组放入3个不同盒子，有种放法， 所以不同的放法种数为. （3）求不同选法种数，有三类办法： 擅长两种书法的不选，有种；擅长两种书法的选1人，有种； 擅长两种书法的选2人，有种， 所以不同选法种数是. 19．已知（n为正整数）. (1)若，求该式的展开式中所有项的系数之和； (2)若，求该式的展开式中无理项的个数； (3)若，求该式的展开式中系数最大的项. 【答案】(1)1 (2)15 (3) 【详解】（1）由可得， 令可得， 所以展开式中所有项的系数之和为1； （2）若，则，解得，或舍去， 设的通项为， 且， 所以当时可得展开式中的无理项，所以共有15个无理项； （3）设的通项为， 且， 最大的项为偶数， 则，解得， ， 所以展开式中系数最大的项为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$