（十一大易错点+四大培优点）第三单元 长方体和正方体（2）长方体和正方体的表面积-五年级下册数学同步易错精讲+重难点培优练（原卷版＋解析版）人教版

人教版五年级数学下册易错讲解＋重难点培优 第三单元 长方体和正方体（2）长方体和正方体的表面积 思维导图 易错讲解 易错点1：计算长方体表面积公式运用错误 一个长方体的长是4厘米，宽是3厘米，高是2厘米，求它的表面积。 【错误解答】：（平方厘米） 【错因分析】：错误地将表面积公式中的“×2”写成“×3”。长方体表面积公式为（其中为长，为宽，为高），对公式记忆不准确。 【正确解答】：（平方厘米） 易错点2：正方体表面积公式记错 一个正方体棱长为5厘米，求它的表面积。 【错误解答】：（平方厘米） 【错因分析】：把正方体表面积公式（为棱长）错记成。没有正确理解正方体有6个完全相同的面，每个面的面积是。 【正确解答】：（平方厘米） 易错点3：计算表面积时单位换算错误 制作一个长2米、宽15分米、高100厘米的长方体无盖玻璃鱼缸，需要多少平方米的玻璃？ 【错误解答】：（平方米） 【错因分析】：在计算过程中没有统一单位。应先将宽15分米换算为1.5米，高100厘米换算为1米，再进行计算。 【正确解答】：15分米 = 1.5米，100厘米 = 1米，（平方米） 易错点4：忽略无盖或无底等特殊情况 要做一个长30厘米、宽20厘米、高15厘米的无盖长方体铁盒，至少需要多少平方厘米的铁皮？ 【错误解答】：（平方厘米） 【错因分析】：没有注意到题目中“无盖”这个条件，多计算了一个顶面的面积。 【正确解答】：（平方厘米） 易错点5：不清楚拼接对表面积的影响 把两个棱长为3厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 【错误解答】：（平方厘米） 【错因分析】：两个正方体拼接后，会有两个面重合，表面积会减少。错误解答没有考虑到拼接导致的表面积变化。 【正确解答】：（平方厘米） 易错点6：切割后表面积变化计算错误 把一个棱长为8厘米的正方体木块平均切成两个完全相同的长方体木块，这两个长方体木块的表面积之和比原来正方体的表面积增加了多少平方厘米？ 【错误解答】：（平方厘米） 【错因分析】：切割后增加的表面积就是正方体两个面的面积，不需要再除以2。对切割后表面积变化情况理解错误。 【正确解答】：（平方厘米） 易错点7：计算多个相同长方体或正方体组合体表面积时出错 用4个棱长为2厘米的正方体拼成一个长方体，有几种拼法？拼成后的长方体表面积分别是多少？ 【错误解答】：只考虑一种拼法，且计算表面积错误。如拼成长为8厘米、宽和高为2厘米的长方体时，表面积计算为（平方厘米），但实际拼法有两种，且该计算在计算过程中出现错误。 【错因分析】：没有全面考虑拼法，且在计算表面积时对长、宽、高数值代入公式计算错误。拼法有两种，一种是拼成一排，长为8厘米、宽2厘米、高2厘米；另一种是拼成两排，长为4厘米、宽4厘米、高2厘米。 【正确解答】： 拼法一：长8厘米、宽2厘米、高2厘米，表面积为（平方厘米）； 拼法二：长4厘米、宽4厘米、高2厘米，表面积为（平方厘米）。 易错点8：对长方体表面积公式推导过程不理解导致变形应用出错 已知一个长方体的表面积是162平方厘米，长为9厘米，宽为3厘米，求高是多少厘米？ 【错误解答】：设高为厘米，，后续计算错误。 【错因分析】：对长方体表面积公式推导不理解，列方程时错误。长方体表面积公式，变形求解高时，应先将表面积除以2，再减去长乘宽的积，最后除以长与宽的和。 【正确解答】：设高为厘米，，，厘米。 易错点9：在实际问题中分不清求几个面的面积 粉刷一间教室，教室长8米，宽6米，高3米，门窗面积11.4平方米。如果每平方米需要花4元涂料费，粉刷这个教室需要花费多少钱？ 【错误解答】：先求教室表面积（平方米），再减去门窗面积后计算费用，（元）。 【错因分析】：教室粉刷不需要刷地面，错误解答多计算了地面的面积。 【正确解答】：（平方米），（元）。 易错点10：在不规则图形中求表面积时无法正确转化 有一个由棱长为1厘米的小正方体拼成的不规则图形，从正面看有4个小正方形，从上面看有3个小正方形，从左面看有2个小正方形，求这个不规则图形的表面积。 【错误解答】：直接将看到的面数相加乘以小正方形面积，（平方厘米）。 【错因分析】：没有理解求不规则图形表面积的方法，应先分析出小正方体的个数，再根据正方体表面积公式计算。通过三视图可知该图形由4个小正方体组成。 【正确解答】：4个小正方体组成的图形，无论怎样组合，表面积都是（平方厘米）。 易错点11：在动态变化中求表面积出错 一个长方体木块，长、宽、高分别是8厘米、6厘米、5厘米。如果把它沿着高截去2厘米，新的长方体表面积比原来减少了多少平方厘米？ 【错误解答】：（平方厘米），错误原因是计算思路错误，没有准确分析减少的面。 【错因分析】：沿着高截去2厘米，减少的表面积是4个侧面减少的部分，即前后左右四个面减少的面积，每个面减少的面积为长或宽乘2。 【正确解答】：（平方厘米）。 重难点培优 长方体正方体切拼后表面积变化 切割,切割会新增切面使表面积增加。要明确切割方向，确定切面形状（长方体：长×宽、长×高、宽×高；正方体：棱长×棱长）。 增加的表面积公式：。切割次数为，就增加个切面面积。比如长方体不同方向切割，增加的表面积为（）；正方体切割次，。 拼接,拼接时面重合导致表面积减少，需判断拼接面类型（长方体：长×宽、长×高、宽×高；正方体：棱长×棱长）。 减少的表面积公式：。拼接次数为，如长方体不同面拼接，（）；正方体拼接次，。 复杂切拼,将复杂切拼拆分为切割和拼接两部分。先按切割方法算出增加的表面积。 再依据拼接情况算出减少的表面积。 切拼后图形表面积公式： 。计算时仔细分析切割和拼接的面，准确用公式，避免出错。 有一个长方体，先后沿不同方向切了三刀（如图），切完第一刀后得到的2个小长方体的表面积之和是472平方厘米，切完第二刀后得到的4个小长方体表面积之和是632平方厘米，切完第三刀后得到的8个小长方体的表面积之和是752平方厘米。那么，原来长方体六个面中面积最小的是多少平方厘米？ 【答案】48平方厘米 【分析】每切一刀，切面与原来长方体中的两个平行面的面积相等，切完第三刀后，增加一个原来大长方体的表面积，根据切完第三刀后所有面的表面积之和求出原来大长方体的表面积，切完第一刀后增加两个切面的面积，是2个小长方体的表面积之和与原来大长方体的表面积之差；切完第二刀后增加的两个切面的面积，是4个小长方体的表面积之和与切完第一刀2个小长方体的表面积之和的差；切完第三刀后增加的两个切面的面积，是8个小长方体的表面积之和与切完第二刀4个小长方体的表面积之和的差，再除以2求出一个切面的面积，最后比较大小即可。 【解析】大长方体的表面积：752÷2＝376（平方厘米） （472－376）÷2 ＝96÷2 ＝48（平方厘米） （632－472）÷2 ＝160÷2 ＝80（平方厘米） （752－632）÷2 ＝120÷2 ＝60（平方厘米） 因为48平方厘米＜60平方厘米＜80平方厘米，所以原来长方体六个面中面积最小的是48平方厘米。 答：原来长方体六个面中面积最小的是48平方厘米。 【总结】本题主要考查立体图形的切拼，根据每次增加部分的面积求出长方体三个不同面的面积是解答题目的关键。 1．用三个长5厘米、宽3厘米、高2厘米的小长方体木块拼成一个表面积最大的长方体，这个大长方体的表面积是多少平方厘米？ 2．有n个同样大小的正方体，将它们摞成一个长方体，这个长方体的底面就是原正方体的底面．如果这个长方体的表面积是3096平方厘米，当从这个长方体的顶部拿去一个正方体后，新的长方体的表面积比原来长方体的表面积减少144平方厘米，那么n是多少？（写出简要解答步骤） 3．有一个长方体形状的泡沫塑料，长、宽、高分别为4米、5米、6米，现沿水平方向按任意尺寸将它切成4片，再将每片按任意尺寸平行于6米边切成5条，每条又按任意尺寸平行于5米边切成6小块，问共得到大大小小的长方体多少块？它们的面积的总和是多少平方米？切法如图所示． 4．将9块相同的小长方体拼成了一个大长方体，如下图所示，已知每块小长方体的体积是48立方厘米，求大长方体的表面积。 5．一个正方体形状的木块，棱长是1分米，沿着水平方向将它锯成3片，每片又按任意尺寸锯成3条，每条又按任意尺寸锯成3小块，共得到27块长方体．如图，这27块长方体表面积是多少平方分米？ 长方体正方体挖孔后表面积计算 挖小长方体（内部）：分析在长方体内部挖小长方体时，原表面积增加小长方体侧面面积，减少小长方体底面面积。设大长方体长、宽、高，小长方体长、宽、高，增加的面积为（四个侧面），减少的面积为（两个底面），原长方体表面积为，挖孔后剩余几何体表面积为 。 挖孔贯穿：挖孔贯穿长方体时，详细分析贯穿路径上增加和减少的面的情况。如从一个面贯穿到相对面挖一个圆柱孔（可近似看成特殊的挖孔情况），增加圆柱侧面积，减少两个圆的面积，根据具体数据计算出相应的面积变化，再与原表面积进行运算，得出挖孔后剩余几何体的表面积。 挖小正方体（内部）：分析在正方体内部挖小正方体时，原表面积增加小正方体侧面面积，减少小正方体底面面积。设大正方体棱长，小正方体棱长，增加的面积为（四个侧面），减少的面积为（两个底面），原正方体表面积为，挖孔后剩余几何体表面积为 。 挖孔贯穿：挖孔贯穿正方体时，分析贯穿路径上增加和减少的面的情况。如挖一个贯穿正方体的方孔，根据方孔的边长等数据，计算出增加和减少的面积，再与原正方体表面积运算，得出挖孔后剩余几何体的表面积。 如图所示，有一个棱长为40厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同、棱长为2厘米的小正方体后。请问：挖后的表面积是多少平方厘米? 【答案】9624平方厘米 【分析】在角上挖掉一个小正方体，表面积没有变化；在棱上挖掉一个小正方体，表面积会增加左右2个面；在面上挖掉一个小正方体，表面积会增加上下左右4个面。分别求出原来正方体的表面积和增加的面积，便可求出挖后的表面积。 【解析】40×40×6＋2×2×6 ＝9600＋24 ＝9624（平方厘米） 答：挖后的表面积是9624平方厘米 【总结】分别确定在角上、棱上、面上各挖掉一个小正方体后表面积的变化情况是解答此题的关键。 1.有一个棱长是3cm的正方体零件，从它的一个面的正中间挖去一个小长方体（如图），这个零件的表面积是增加了还是减少了？增加（或减少）了多少平方分米？说说你的理由。 2．丁丁先用橡皮泥做了一个长12cm、宽10cm、高8cm的长方体，然后在下面和上面各挖去一个棱长为3 cm的正方体，并把它们粘在长方体的两边(如下图)，你能求出这个立体图形的表面积吗？ 3．如图是一个棱长4厘米的正方体，在正方体上面正中向下挖一个棱长是2厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长是1厘米正方体小洞，最后得到的立方体图形的表面积是多少平方厘米？ 4．如图，一个棱长为5的正方体，在它的上下、左右、前后各面中心挖去一个底面是1的正方形，高为2的长方体洞，求挖后此形体的表面积是多少？ 正方体组合体露在外面的面积计算 观察与面的分类 确定观察方向：从正面、侧面（左面或右面）、上面这三个主要方向观察正方体组合体。对于特殊摆放的组合体，可根据实际情况从其他角度观察。 分类计数：分别数出不同方向看到的面的数量。比如从正面看有个面，从侧面看有个面，从上面看有个面。注意计数时避免重复和遗漏，如相邻面交界处的面不要重复数，隐藏面不要漏数。 计算单个面的面积 若题目给出正方体的棱长 ，根据正方形面积公式，直接算出一个面的面积。 计算露在外面的总面积 将不同方向看到的面的数量相加，得到露在外面的面的总数 （、、为实际观察计数所得）。再用面的总数乘以单个面的面积，即露在外面的总面积。 仔细观察图表，找出规律并填空。（每个小正方体的棱长为1分米） 层数 1 2 3 4 … 小正方体的个数 1 3 6 ( ) … 露在外面的面积（平方分米） 5 12 21 ( ) … 【答案】 10 32 【分析】从层数上看，第一层，小正方体个数1个，第二层个数1＋2＝3（个），第三层个数1＋2＋3＝6（个），那么第四层有1＋2＋3＋4个小正方体； 从露出的面积来看，层数1时，1×1＋4×1＝5（平方分米），层数2时，2×2＋2×4＝12（平方分米），层数3时，3×3＋3×4＝21（平方分米），那么推断层数4时，4×4＋4×4平方分米。 【解析】1＋2＋3＋4＝10（个） 4×4＋4×4 ＝16＋16 ＝32（平方分米） 1.如图，11个棱长为1分米的小正方体木块摆放在地面上，组成一个“2”字，现要在“2”字的表面（与地面接触的面除外）涂上油漆，需涂油漆的面共 平方分米。 2．把5个棱长都是3dm的正方体纸箱堆放在墙角处（如图），露在外面的面积是( )dm。 3．把14个棱长为1的正方体，在地面上堆叠成如图所示的立体，然后将露出的表面部分染成红色。那么红色部分的面积为（    ） A．21 B．24 C．33 D．37 4．由8个体积为a3的小正方体，堆成一个大正方体，现将其中一个小正方体取出堆到第三层（如图），表面积增加了（    ）。 A．6a2 B．5a2 C．4a2 D．3a2 正方体表面涂色面积计算 （一）不同位置涂色面积计算 设正方体棱长为（假设小正方体棱长为）。 顶点处：顶点处有个小正方体，每个顶点处小正方体面涂色，顶点处涂色面积为。 每条棱上（除去顶点）：每条棱上有个面涂色的小正方体（），棱上涂色面积为。 每个面上（除去棱上）：每个面上有个面涂色的小正方体，面上涂色面积为。 将不同位置涂色面积相加得到总的涂色面积，可明确其与正方体表面积的关系。 （二）不同棱长规律总结 改变正方体棱长，重复上述计算过程。如棱长为时，同样计算顶点、棱上、面上涂色面积，对比不同棱长下的数据，总结顶点、棱、面涂色部分面积的变化规律。例如，随着棱长的增大，面涂色的小正方体个数始终为个；面涂色的小正方体个数与棱长相关，随棱长增大而增多；面涂色的小正方体个数增长速度更快。 在一个正方体木块的6个面涂上红色后，把它分割成若干个棱长是1厘米的小正方体木块，如果两面涂红色的小正方体共有108个，那么只有一面涂红色的小正方体有多少个？ 【答案】 486个 【分析】根据两面涂色的小正方体的个数＝正方体的棱长数×（棱长－2），可得大正方体的棱长；接下来再根据一面涂色的小正方体的个数＝正方体的面数×（棱长－2）即可得到答案。 【解析】正方体的棱长： 108÷12＋2 ＝9＋2 ＝11（厘米） 只有一面涂红色： ＝ ＝（个） 答：只有一面涂色的小正方体有486个。 【总结】本题主要考查了染色问题，解题的关键是根据两面涂色的小正方体的个数＝正方体的棱长数×(棱长－2)，求出大正方体的棱长。 1.把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小长方体，其中只有两个面是红色的小长方体恰好是12块，那么至少要把这个大长方体分割成　 　个小长方体． 2．用27个大小一样的小正方体拼成一个大正方体后，把大正方体的表面涂上颜色，三面涂色的有（    ）个． A．8 B．12 C．6 D．1 3．如图是由若干个小正方体组成的大正方体，阴影部分为贯通的空洞，现将这个大正方体的内外表面涂上红色，一个面都没有涂上红色的小正方体有几个？ — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版五年级数学下册易错讲解＋重难点培优 第三单元 长方体和正方体（2）长方体和正方体的表面积 思维导图 易错讲解 易错点1：计算长方体表面积公式运用错误 一个长方体的长是4厘米，宽是3厘米，高是2厘米，求它的表面积。 【错误解答】：（平方厘米） 【错因分析】：错误地将表面积公式中的“×2”写成“×3”。长方体表面积公式为（其中为长，为宽，为高），对公式记忆不准确。 【正确解答】：（平方厘米） 易错点2：正方体表面积公式记错 一个正方体棱长为5厘米，求它的表面积。 【错误解答】：（平方厘米） 【错因分析】：把正方体表面积公式（为棱长）错记成。没有正确理解正方体有6个完全相同的面，每个面的面积是。 【正确解答】：（平方厘米） 易错点3：计算表面积时单位换算错误 制作一个长2米、宽15分米、高100厘米的长方体无盖玻璃鱼缸，需要多少平方米的玻璃？ 【错误解答】：（平方米） 【错因分析】：在计算过程中没有统一单位。应先将宽15分米换算为1.5米，高100厘米换算为1米，再进行计算。 【正确解答】：15分米 = 1.5米，100厘米 = 1米，（平方米） 易错点4：忽略无盖或无底等特殊情况 要做一个长30厘米、宽20厘米、高15厘米的无盖长方体铁盒，至少需要多少平方厘米的铁皮？ 【错误解答】：（平方厘米） 【错因分析】：没有注意到题目中“无盖”这个条件，多计算了一个顶面的面积。 【正确解答】：（平方厘米） 易错点5：不清楚拼接对表面积的影响 把两个棱长为3厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 【错误解答】：（平方厘米） 【错因分析】：两个正方体拼接后，会有两个面重合，表面积会减少。错误解答没有考虑到拼接导致的表面积变化。 【正确解答】：（平方厘米） 易错点6：切割后表面积变化计算错误 把一个棱长为8厘米的正方体木块平均切成两个完全相同的长方体木块，这两个长方体木块的表面积之和比原来正方体的表面积增加了多少平方厘米？ 【错误解答】：（平方厘米） 【错因分析】：切割后增加的表面积就是正方体两个面的面积，不需要再除以2。对切割后表面积变化情况理解错误。 【正确解答】：（平方厘米） 易错点7：计算多个相同长方体或正方体组合体表面积时出错 用4个棱长为2厘米的正方体拼成一个长方体，有几种拼法？拼成后的长方体表面积分别是多少？ 【错误解答】：只考虑一种拼法，且计算表面积错误。如拼成长为8厘米、宽和高为2厘米的长方体时，表面积计算为（平方厘米），但实际拼法有两种，且该计算在计算过程中出现错误。 【错因分析】：没有全面考虑拼法，且在计算表面积时对长、宽、高数值代入公式计算错误。拼法有两种，一种是拼成一排，长为8厘米、宽2厘米、高2厘米；另一种是拼成两排，长为4厘米、宽4厘米、高2厘米。 【正确解答】： 拼法一：长8厘米、宽2厘米、高2厘米，表面积为（平方厘米）； 拼法二：长4厘米、宽4厘米、高2厘米，表面积为（平方厘米）。 易错点8：对长方体表面积公式推导过程不理解导致变形应用出错 已知一个长方体的表面积是162平方厘米，长为9厘米，宽为3厘米，求高是多少厘米？ 【错误解答】：设高为厘米，，后续计算错误。 【错因分析】：对长方体表面积公式推导不理解，列方程时错误。长方体表面积公式，变形求解高时，应先将表面积除以2，再减去长乘宽的积，最后除以长与宽的和。 【正确解答】：设高为厘米，，，厘米。 易错点9：在实际问题中分不清求几个面的面积 粉刷一间教室，教室长8米，宽6米，高3米，门窗面积11.4平方米。如果每平方米需要花4元涂料费，粉刷这个教室需要花费多少钱？ 【错误解答】：先求教室表面积（平方米），再减去门窗面积后计算费用，（元）。 【错因分析】：教室粉刷不需要刷地面，错误解答多计算了地面的面积。 【正确解答】：（平方米），（元）。 易错点10：在不规则图形中求表面积时无法正确转化 有一个由棱长为1厘米的小正方体拼成的不规则图形，从正面看有4个小正方形，从上面看有3个小正方形，从左面看有2个小正方形，求这个不规则图形的表面积。 【错误解答】：直接将看到的面数相加乘以小正方形面积，（平方厘米）。 【错因分析】：没有理解求不规则图形表面积的方法，应先分析出小正方体的个数，再根据正方体表面积公式计算。通过三视图可知该图形由4个小正方体组成。 【正确解答】：4个小正方体组成的图形，无论怎样组合，表面积都是（平方厘米）。 易错点11：在动态变化中求表面积出错 一个长方体木块，长、宽、高分别是8厘米、6厘米、5厘米。如果把它沿着高截去2厘米，新的长方体表面积比原来减少了多少平方厘米？ 【错误解答】：（平方厘米），错误原因是计算思路错误，没有准确分析减少的面。 【错因分析】：沿着高截去2厘米，减少的表面积是4个侧面减少的部分，即前后左右四个面减少的面积，每个面减少的面积为长或宽乘2。 【正确解答】：（平方厘米）。 重难点培优 长方体正方体切拼后表面积变化 切割 切割会新增切面使表面积增加。要明确切割方向，确定切面形状（长方体：长×宽、长×高、宽×高；正方体：棱长×棱长）。 增加的表面积公式：。切割次数为，就增加个切面面积。比如长方体不同方向切割，增加的表面积为（）；正方体切割次，。 拼接 拼接时面重合导致表面积减少，需判断拼接面类型（长方体：长×宽、长×高、宽×高；正方体：棱长×棱长）。 减少的表面积公式：。拼接次数为，如长方体不同面拼接，（）；正方体拼接次，。 复杂切拼 将复杂切拼拆分为切割和拼接两部分。先按切割方法算出增加的表面积。 再依据拼接情况算出减少的表面积。 切拼后图形表面积公式： 。计算时仔细分析切割和拼接的面，准确用公式，避免出错。 有一个长方体，先后沿不同方向切了三刀（如图），切完第一刀后得到的2个小长方体的表面积之和是472平方厘米，切完第二刀后得到的4个小长方体表面积之和是632平方厘米，切完第三刀后得到的8个小长方体的表面积之和是752平方厘米。那么，原来长方体六个面中面积最小的是多少平方厘米？ 【答案】48平方厘米 【分析】每切一刀，切面与原来长方体中的两个平行面的面积相等，切完第三刀后，增加一个原来大长方体的表面积，根据切完第三刀后所有面的表面积之和求出原来大长方体的表面积，切完第一刀后增加两个切面的面积，是2个小长方体的表面积之和与原来大长方体的表面积之差；切完第二刀后增加的两个切面的面积，是4个小长方体的表面积之和与切完第一刀2个小长方体的表面积之和的差；切完第三刀后增加的两个切面的面积，是8个小长方体的表面积之和与切完第二刀4个小长方体的表面积之和的差，再除以2求出一个切面的面积，最后比较大小即可。 【解析】大长方体的表面积：752÷2＝376（平方厘米） （472－376）÷2 ＝96÷2 ＝48（平方厘米） （632－472）÷2 ＝160÷2 ＝80（平方厘米） （752－632）÷2 ＝120÷2 ＝60（平方厘米） 因为48平方厘米＜60平方厘米＜80平方厘米，所以原来长方体六个面中面积最小的是48平方厘米。 答：原来长方体六个面中面积最小的是48平方厘米。 【总结】本题主要考查立体图形的切拼，根据每次增加部分的面积求出长方体三个不同面的面积是解答题目的关键。 1．用三个长5厘米、宽3厘米、高2厘米的小长方体木块拼成一个表面积最大的长方体，这个大长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】162平方厘米 【分析】用三个小长方体拼成一个大长方体，会重合4个面；要使拼成的大长方体的表面积最大，则三个小长方体重合面的面积要最小，在5×3、5×2、3×2中，面积最小的是3×2；这样拼成的大长方体的表面积比原来三个小长方体的表面积之和减少4个3×2的面积；利用长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出一个小长方体的表面积，再乘3，即是3个小长方体的表面积之和，最后减去4个重合面的面积即可。 【解析】（5×3＋5×2＋3×2）×2 ＝（15＋10＋6）×2 ＝31×2 ＝62（平方厘米） 62×3－3×2×4 ＝186－24 ＝162（平方厘米） 答：这个大长方体的表面积是162平方厘米。 【总结】明确把三个完全相同的长方体拼成一个大长方体，当最小的面重合时，拼成的大长方体的表面积最大；当最大的面重合时，拼成的大长方体的表面积最小。 2．有n个同样大小的正方体，将它们摞成一个长方体，这个长方体的底面就是原正方体的底面．如果这个长方体的表面积是3096平方厘米，当从这个长方体的顶部拿去一个正方体后，新的长方体的表面积比原来长方体的表面积减少144平方厘米，那么n是多少？（写出简要解答步骤） 【答案】21 【解析】试题分析：根据题干，表面积减少的144平方厘米厘，是原来正方体的4个面的面积之和，所以原来正方体一个面的面积是：144÷4=36平方厘米，n个同样大小的正方体摞在一起所组成的长方体的表面积是由4n+2个正方体的面的面积之和，由此可得关于n的一元一次方程：36×（4n+2）=3096，解这个方程即可解决问题． 解：正方体一个面的面积是：144÷4=36（平方厘米），根据长方体的表面积可得： 36×（4n+2）=3096， 144n+72=3096， 144n=3024， n=21， 答：n是21． 点评：此题关键是根据正方体拼组长方体的特点，得出拿走一个正方体后，长方体的表面积是减少了4个正方体的面的面积，且n个正方体摞在一起的表面积是4n+2个正方体的面的面积之和． 3．有一个长方体形状的泡沫塑料，长、宽、高分别为4米、5米、6米，现沿水平方向按任意尺寸将它切成4片，再将每片按任意尺寸平行于6米边切成5条，每条又按任意尺寸平行于5米边切成6小块，问共得到大大小小的长方体多少块？它们的面积的总和是多少平方米？切法如图所示． 【答案】120块，760平方米 【解析】试题分析：（1）根据切割特点可知：原来长方体的长宽高处，分别能切出4、5、6个小正方体，利用长方体的体积公式即可计算出：大大小小的长方体共有：4×5×6=120（块）； （2）沿水平方向每切一刀，就会得到2个5×4=20平方米的表面积，4片即3刀，因此表面积增加：20×3×2=120平方米； 同理可知，平行于6米边切成5条，即4刀，表面积增加：6×4×2×4=192平方米；平行于5米边再切6小块即5刀，表面积增加：5×6×5×2=300平方米； 由此利用长方体的表面积公式再计算出原来长方体的表面积，加上上面切割后各自增加的表面积就是它们的表面积总和． 解：（1）切割后的长方体共有：4×5×6=120（块）； （2）沿水平方向切4条，即3刀，表面积增加：5×4×2×3=120（平方米）， 平行于6米边切成5条，即4刀，表面积增加：6×4×2×4=192（平方米）； 平行于5米边再切6小块即5刀，表面积增加：5×6×5×2=300平方米； 长方体原有表面积为：（4×5+5×6+6×4）×2=148（平方米）； 所以，这大大小小的120块长方体的表面积和为：120+192+300+148=760（平方米）， 答：共得到大大小小的长方体120块，它们的面积的总和是760平方米． 点评：抓住长方体平行于长宽高的切割特点，得出每切1刀增加的表面积规律，是解决此类问题的关键． 4．将9块相同的小长方体拼成了一个大长方体，如下图所示，已知每块小长方体的体积是48立方厘米，求大长方体的表面积。 【答案】360cm2 【分析】根据摆放的方式得知，设小长方体的高为（a）cm，则长为（3a）cm，宽为（2a）cm，根据题意可得3a×2a×a＝48，可以求出长方体的长、宽、高。根据长方体的体积＝长×宽×高，以及表面积的计算公式，表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，可求出大长方体的表面积。 【解析】解：设小长方体的高为（a）cm，则长为（3a）cm，宽为（2a）cm。 3a×2a×a＝48 6a×a×a＝48 a×a×a＝8 a＝2 小长方体的高：2cm 小长方体的长：6cm 小长方体的宽：4cm 大长方体的长：6×2＝12（cm） 大长方体的宽：2×3＝6（cm） 大长方体的高：4＋2 ＝6（cm） 表面积： （12×6＋12×6＋6×6）×2 ＝（72＋72＋36）×2 ＝ 180×2 ＝ 360（cm2） 答：大长方体的表面积为360cm2。 【总结】解答此题的关键是：先依据题目条件求出小长方体的长、宽、高，进而求出大长方体长、宽、高，从而求得大长方体表面积，同学们要掌握相关的知识点，以便熟练解答此题型。 5．一个正方体形状的木块，棱长是1分米，沿着水平方向将它锯成3片，每片又按任意尺寸锯成3条，每条又按任意尺寸锯成3小块，共得到27块长方体．如图，这27块长方体表面积是多少平方分米？ 【答案】18平方分米 【分析】沿着水平方向将它锯成3片，需要锯2次，每锯一次，表面积就多出了这个正方体的两个面，那么整个切割过程共锯了2×3＝6次，所以表面积多出了6×2＝12个正方体的面，由此即可求得锯开后27块长方体的表面积之和。 【解析】1×1×6＋1×1×12 ＝6＋12 ＝18（平方分米） 答：这27块长方体的表面积是18平方分米。 【总结】根据正方体的切割特点，得出6次切割后多出的表面积部分，是解决此类问题的关键。 长方体正方体挖孔后表面积计算 挖小长方体（内部）：分析在长方体内部挖小长方体时，原表面积增加小长方体侧面面积，减少小长方体底面面积。设大长方体长、宽、高，小长方体长、宽、高，增加的面积为（四个侧面），减少的面积为（两个底面），原长方体表面积为，挖孔后剩余几何体表面积为 。 挖孔贯穿：挖孔贯穿长方体时，详细分析贯穿路径上增加和减少的面的情况。如从一个面贯穿到相对面挖一个圆柱孔（可近似看成特殊的挖孔情况），增加圆柱侧面积，减少两个圆的面积，根据具体数据计算出相应的面积变化，再与原表面积进行运算，得出挖孔后剩余几何体的表面积。 挖小正方体（内部）：分析在正方体内部挖小正方体时，原表面积增加小正方体侧面面积，减少小正方体底面面积。设大正方体棱长，小正方体棱长，增加的面积为（四个侧面），减少的面积为（两个底面），原正方体表面积为，挖孔后剩余几何体表面积为 。 挖孔贯穿：挖孔贯穿正方体时，分析贯穿路径上增加和减少的面的情况。如挖一个贯穿正方体的方孔，根据方孔的边长等数据，计算出增加和减少的面积，再与原正方体表面积运算，得出挖孔后剩余几何体的表面积。 如图所示，有一个棱长为40厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同、棱长为2厘米的小正方体后。请问：挖后的表面积是多少平方厘米? 【答案】9624平方厘米 【分析】在角上挖掉一个小正方体，表面积没有变化；在棱上挖掉一个小正方体，表面积会增加左右2个面；在面上挖掉一个小正方体，表面积会增加上下左右4个面。分别求出原来正方体的表面积和增加的面积，便可求出挖后的表面积。 【解析】40×40×6＋2×2×6 ＝9600＋24 ＝9624（平方厘米） 答：挖后的表面积是9624平方厘米 【总结】分别确定在角上、棱上、面上各挖掉一个小正方体后表面积的变化情况是解答此题的关键。 1.有一个棱长是3cm的正方体零件，从它的一个面的正中间挖去一个小长方体（如图），这个零件的表面积是增加了还是减少了？增加（或减少）了多少平方分米？说说你的理由。 【答案】增加了，增加了0.1dm2，理由见解析。 【分析】从正方体的内部挖去一个小长方体，表面积的增减要具体分析。但它一定会多出4个面，就是小长方体的4个侧面；也一定会减少2个面，就是小长方体的上下两个面。 【解析】4×1×3－2×1×1 ＝12－2 ＝10（cm²） 10cm²＝0.1dm² 答：这个零件的表面积是增加了，增加了0.1dm²。 理由：从这个正方体零件的一个面挖去一个小长方体后，它多了4个侧面，共12cm²，少了2个底面，共2cm²，所以总体来看，它的表面积是增加了。 【总结】由于有图示，我们的想象过程不会太过于难，图示中清楚地标记着挖去的小长方体的数据。根据数据和图示分析计算即可。 2．丁丁先用橡皮泥做了一个长12cm、宽10cm、高8cm的长方体，然后在下面和上面各挖去一个棱长为3 cm的正方体，并把它们粘在长方体的两边(如下图)，你能求出这个立体图形的表面积吗？ 【答案】736cm2 【解析】(12×10＋12×8＋10×8)×2＝592(cm2) 3×3×4×4＋592＝736(cm2) 3．如图是一个棱长4厘米的正方体，在正方体上面正中向下挖一个棱长是2厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长是1厘米正方体小洞，最后得到的立方体图形的表面积是多少平方厘米？ 【答案】116平方厘米 【分析】把棱长是2厘米的正方体的底面向上平移，把棱长是1厘米的正方体底面向上平移，则容易看出：求最后得到的立方体图形的表面积，即棱长为4厘米的正方体的表面积与棱长为2厘米的正方体四个侧面和棱长为1厘米的正方体四个侧面的面积之和；根据“正方体的表面积＝棱长2×6”求出棱长为4厘米的正方体的表面积，根据“正方体的侧面积＝棱长2×4”分别求出棱长为2厘米的正方体四个侧面和棱长为1厘米的正方体四个侧面的面积，然后相加即可。 【解析】42×6＋22×4＋12×4 ＝96＋16＋4 ＝116（平方厘米） 答：最后得到的立方体图形的表面积是116平方厘米。 【总结】解答此题的关键是明确：两个小正方体，每个正方体中向上的一个面，经过平移能够填补完整大正方体上面的一个面。 4．如图，一个棱长为5的正方体，在它的上下、左右、前后各面中心挖去一个底面是1的正方形，高为2的长方体洞，求挖后此形体的表面积是多少？ 【答案】198 【分析】此题可先求出大正方体的表面积，然后求出一个小长方体的表面积就能求得六个小孔的表面积（去掉前面和后面的面积），由此即可解决问题。 【解析】大正方体的表面积为：5×5×6＝150 一个小长方体的表面积（不包括前后面）：（1×2＋1×2）×2＝8 6个小长方体的表面积（不包括前后面）：8×6＝48 所以这个图形的面积为：150＋48＝198 答：挖后此形体的表面积是198。 【总结】明确此题中小长方体洞的5个面中，洞底小正方形面就相当于原正方体每个面正中心边长为1的小正方形面，所以在计算时小正方体要去掉小孔部分前后面的面积，这是此题的关键。 正方体组合体露在外面的面积计算 观察与面的分类 确定观察方向：从正面、侧面（左面或右面）、上面这三个主要方向观察正方体组合体。对于特殊摆放的组合体，可根据实际情况从其他角度观察。 分类计数：分别数出不同方向看到的面的数量。比如从正面看有个面，从侧面看有个面，从上面看有个面。注意计数时避免重复和遗漏，如相邻面交界处的面不要重复数，隐藏面不要漏数。 计算单个面的面积 若题目给出正方体的棱长 ，根据正方形面积公式，直接算出一个面的面积。 计算露在外面的总面积 将不同方向看到的面的数量相加，得到露在外面的面的总数 （、、为实际观察计数所得）。再用面的总数乘以单个面的面积，即露在外面的总面积。 仔细观察图表，找出规律并填空。（每个小正方体的棱长为1分米） 层数 1 2 3 4 … 小正方体的个数 1 3 6 ( ) … 露在外面的面积（平方分米） 5 12 21 ( ) … 【答案】 10 32 【分析】从层数上看，第一层，小正方体个数1个，第二层个数1＋2＝3（个），第三层个数1＋2＋3＝6（个），那么第四层有1＋2＋3＋4个小正方体； 从露出的面积来看，层数1时，1×1＋4×1＝5（平方分米），层数2时，2×2＋2×4＝12（平方分米），层数3时，3×3＋3×4＝21（平方分米），那么推断层数4时，4×4＋4×4平方分米。 【解析】1＋2＋3＋4＝10（个） 4×4＋4×4 ＝16＋16 ＝32（平方分米） 1.如图，11个棱长为1分米的小正方体木块摆放在地面上，组成一个“2”字，现要在“2”字的表面（与地面接触的面除外）涂上油漆，需涂油漆的面共 平方分米。 【答案】35 【分析】通过观察，与上面平行的小正方形面有11个，与正面平行的小正方形面有（7×2）个，与侧面平行的小正方形面有（5×2）个，将所有小正方形面相加，即可求出总共需要喷漆的面，再乘每个小正方形面的面积即可。 【解析】与上面平行：11个； 与正面平行：7×2＝14（个） 与侧面平行：5×2＝10（个） 需喷油漆的面共： （11＋14＋10）×（1×1） ＝35×1 ＝35（平方分米） 需涂油漆的面共35平方分米。 【总结】解答本题的关键是计算出小正方形面的总个数，注意总个数不包括底面。 2．把5个棱长都是3dm的正方体纸箱堆放在墙角处（如图），露在外面的面积是( )dm。 【答案】99 【分析】观察图形可知，从上面看，露在外面的有3个面；从左面看，露在外面的有4个面；从右面看，露在外面的有4个面。露在外面的一共有3＋4＋4个面，每一个面的面积为3×3 dm，则露在外面的面积是（3＋4＋4）×3×3dm。 【解析】（3＋4＋4）×3×3 ＝11×3×3 ＝33×3 ＝99（dm） 所以露在外面的面积是99 dm。 故答案为：99。 【总结】解决本题的关键是明确露在外面的一共11个面。 3．把14个棱长为1的正方体，在地面上堆叠成如图所示的立体，然后将露出的表面部分染成红色。那么红色部分的面积为（    ） A．21 B．24 C．33 D．37 【答案】C 【分析】此题可根据表面积的计算分层计算得出红色部分的面积再相加。 【解析】根据题意得： 第一层露出的表面积为：1×1×6﹣1×1＝6－1＝5 第二层露出的表面积为：1×1×6×4﹣1×1×13＝24－13＝11 第三层露出的表面积为：1×1×6×9﹣1×1×37＝＝54－37＝17 所以红色部分的面积为：5＋11＋17＝33 故答案为：C。 【总结】此题考查的知识点是几何体的表面积，关键是在计算表面积时减去不露的或重叠的面积。 4．由8个体积为a3的小正方体，堆成一个大正方体，现将其中一个小正方体取出堆到第三层（如图），表面积增加了（    ）。 A．6a2 B．5a2 C．4a2 D．3a2 【答案】C 【解析】观察图形可知，从正方体顶点处拿掉小正方体，减少三个面的同时又增加三个面，再把这个小正方体堆到第三层，则减少1个面的同时也增加了5个面，依此即可求解。 【解析】根据题干分析可得，将其中一个小正方体取出堆到第三层（如图），表面积增加了4个面，因为体积是a3的小正方体的棱长是a，所以表面积是增加了a×a×4＝4a2。 答：表面积增加了4a2。 故选：C。 【总结】该题主要考查正方体的表面积和立方体的切拼问题，关键是明确增加和减少的面数。 正方体表面涂色面积计算 （一）不同位置涂色面积计算 设正方体棱长为（假设小正方体棱长为）。 顶点处：顶点处有个小正方体，每个顶点处小正方体面涂色，顶点处涂色面积为。 每条棱上（除去顶点）：每条棱上有个面涂色的小正方体（），棱上涂色面积为。 每个面上（除去棱上）：每个面上有个面涂色的小正方体，面上涂色面积为。 将不同位置涂色面积相加得到总的涂色面积，可明确其与正方体表面积的关系。 （二）不同棱长规律总结 改变正方体棱长，重复上述计算过程。如棱长为时，同样计算顶点、棱上、面上涂色面积，对比不同棱长下的数据，总结顶点、棱、面涂色部分面积的变化规律。例如，随着棱长的增大，面涂色的小正方体个数始终为个；面涂色的小正方体个数与棱长相关，随棱长增大而增多；面涂色的小正方体个数增长速度更快。 在一个正方体木块的6个面涂上红色后，把它分割成若干个棱长是1厘米的小正方体木块，如果两面涂红色的小正方体共有108个，那么只有一面涂红色的小正方体有多少个？ 【答案】 486个 【分析】根据两面涂色的小正方体的个数＝正方体的棱长数×（棱长－2），可得大正方体的棱长；接下来再根据一面涂色的小正方体的个数＝正方体的面数×（棱长－2）即可得到答案。 【解析】正方体的棱长： 108÷12＋2 ＝9＋2 ＝11（厘米） 只有一面涂红色： ＝ ＝（个） 答：只有一面涂色的小正方体有486个。 【总结】本题主要考查了染色问题，解题的关键是根据两面涂色的小正方体的个数＝正方体的棱长数×(棱长－2)，求出大正方体的棱长。 1.把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小长方体，其中只有两个面是红色的小长方体恰好是12块，那么至少要把这个大长方体分割成　 　个小长方体． 【答案】20. 【解析】试题分析：在大长方体木块表面上涂满红色后后，只有两个面是红色的小长方体位于棱上（除去棱的端点），知道了是12块，为使分割的块数尽量少，可使12条棱中有8条棱只有端点的两个小长方体，另外4条棱的中间分别有（12÷4=3）个小长方体，进而可求出共分割成小长方体的个数． 解：因为只有两个面是红色的小长方体位于棱上（除去棱的端点）； 为使分割的块数尽量少，可使12条棱中有8条棱只有端点的两个小长方体， 另外4条棱的中间分别有的小长方体：12÷4=3（个）， 共分割成小长方体的个数：（3+2）×2×2=20（个）． 故答案为20． 点评：此题属于立体图形的切拼，要明确“两个面是红色的小长方体”位于大长方体的什么位置． 2．用27个大小一样的小正方体拼成一个大正方体后，把大正方体的表面涂上颜色，三面涂色的有（    ）个． A．8 B．12 C．6 D．1 【答案】A 3．如图是由若干个小正方体组成的大正方体，阴影部分为贯通的空洞，现将这个大正方体的内外表面涂上红色，一个面都没有涂上红色的小正方体有几个？ 【答案】2个 【分析】大正方体有4排4列4层，如果没有贯通的空洞，中间部分的小正方体是没有涂红色的，共有2×2×2＝8（个），由于有贯通的空洞，中间没有涂色的小正方体要减少2×3＝6（个）（贯通的空洞减少2个，空洞四周涂色又要减法4个），所以一个面都没有涂上红色的小正方体有8－6＝2（个），据此即可解答。 【解析】2×2×2－2×3 ＝8－6 ＝2（个） 答：一个面都没有涂上红色的小正方体有2个。 【总结】先按没有空洞计算没有涂色的小正方体的个数，再减去由于有贯通空洞减少没有涂色的小正方体的个数。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$