（九大易错点+六大培优点） 第三单元 长方体和正方体（3）长方体和正方体的体积-五年级下册数学同步易错精讲+重难点培优练（原卷版＋解析版）人教版

人教版五年级数学下册易错讲解＋重难点培优 第三单元 长方体和正方体（3）长方体和正方体的体积 思维导图 易错讲解 易错点1：长方体体积公式运用错误 一个长方体的长是5厘米，宽是4厘米，高是3厘米，求它的体积。 【错误解答】：（立方厘米） 【错因分析】：把长方体体积公式（其中为长，为宽，为高）错误地理解为类似棱长总和的计算方式。对体积公式的含义没有理解到位。 【正确解答】：（立方厘米） 易错点2：正方体体积公式记错 一个正方体棱长为6厘米，求它的体积。 【错误解答】：（立方厘米） 【错因分析】：将正方体体积公式（为棱长）错记为。没有理解正方体体积是棱长的三次方，即三个棱长相乘。 【正确解答】：（立方厘米） 易错点3：计算体积时单位换算错误 一个长方体的长是2米，宽是15分米，高是100厘米，求它的体积是多少立方米？ 【错误解答】：（立方米） 【错因分析】：在计算时没有统一单位。应先将宽15分米换算为1.5米，高100厘米换算为1米，再代入体积公式计算。 【正确解答】：15分米 = 1.5米，100厘米 = 1米，（立方米） 易错点4：忽略不规则物体体积计算方法 把一个不规则的石头放入一个长8分米、宽6分米、高5分米，水深3分米的长方体玻璃缸中，水面上升了0.5分米，求这块石头的体积是多少？ 【错误解答】：无法求解。 【错因分析】：没有掌握利用排水法求不规则物体体积的方法。不规则物体的体积等于它排开液体的体积，在本题中，石头放入后水面上升的那部分水的体积就是石头的体积。 【正确解答】：（立方分米） 易错点5：对体积单位间的进率混淆 5立方米 =（ ）立方厘米 【错误解答】：5000 【错因分析】：没有记住体积单位间的进率，1立方米 = 1000000立方厘米，而不是1000。在进行单位换算时，应该乘以相应的进率。 【正确解答】：5000000 易错点6：在长方体体积计算中，对长、宽、高变化与体积变化关系理解错误 一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，它的体积扩大到原来的几倍？ 【错误解答】：2倍 【错因分析】：没有理解长方体体积与长、宽、高的倍数关系。长方体体积，当长、宽、高都扩大到原来的2倍时，新体积，体积应扩大到原来的8倍。 【正确解答】：8倍 易错点7：在正方体体积计算中，棱长变化与体积变化关系出错 正方体棱长扩大到原来的3倍，它的体积扩大到原来的多少倍？ 【错误解答】：6倍 【错因分析】：对正方体体积和棱长变化规律不熟悉。正方体体积，棱长扩大到原来的3倍后，新体积，体积应扩大到原来的27倍。 【正确解答】：27倍 易错点8：在组合体体积计算中，不能正确拆分或合并 有一个由两个长方体组成的组合体，上面长方体长4厘米、宽3厘米、高2厘米，下面长方体长6厘米、宽4厘米、高3厘米，求这个组合体的体积。 【错误解答】：（立方厘米） 【错因分析】：错误地对两个长方体体积之和进行了除法运算。组合体体积就是两个长方体体积相加。 【正确解答】：（立方厘米） 易错点9：在液体体积与容器关系问题中出错 一个长方体容器，从里面量长5分米、宽4分米、高6分米，里面装了一些水，水深3分米。将一个棱长为2分米的正方体铁块完全浸入水中，水面上升多少分米？ 【错误解答】：（分米） 【错因分析】：没有正确理解正方体铁块体积与水面上升高度的关系。正方体铁块的体积等于上升的水的体积，应该用铁块体积除以容器的底面积（）来计算水面上升高度。 【正确解答】：（分米） 重难点培优 长方体棱长与体积计算（结合质数相关知识） 若已知长方体底面周长，先通过“底面周长÷2”求出一组长与宽的和；若已知长方体棱长总和，通过“棱长总和÷4”求出一组长、宽、高的和。 根据长、宽、高的和，结合长、宽、高均为质数的条件，确定长、宽、高的具体数值。 最后利用长方体体积公式“体积 = 长×宽×高”计算体积。 一个长方体的底面是一个周长为24cm的长方形，高为8cm，如果长和宽的厘米数都是质数，那么这个长方体的体积是多少？ 【答案】280立方厘米 【分析】用24÷2求出一组长与宽的和，再根据长和宽的厘米数都是质数，确定出长与宽，再根据长方体体积＝长×宽×高解答即可。 【解析】24÷2＝12（厘米）； 因为长和宽的厘米数都是质数，所以长为7厘米，宽为5厘米； 7×5×8 ＝35×8 ＝280（立方厘米）； 答：这个长方体的体积是280立方厘米。 【总结】解答本题时，先求出一组长与宽的和，再根据长与宽都是质数确定它们各是多少厘米。 1．一个长方体的12条棱长之和是，且长、宽、高的厘米数均为质数，这个长方体的体积最大是多少立方厘米？ 2．一个长方体的底面是一个周长为30厘米的长方形，高为11厘米，如果长和宽的长度都是质数，那么这个长方体的体积是多少？ 3．一个底面是正方形的长方体，所有棱长之和是100厘米，它的高是一位数中最大的质数，这个长方体的体积是多少立方厘米？ 长方体表面积与体积的综合计算（已知前面和上面面积之和） 由“前面面积 + 上面面积 = 长×高 + 长×宽 = 长×（宽 + 高）”，得到长与（宽 + 高）的乘积。 把该乘积分解因数，结合长、宽、高都是质数的条件，确定长、宽、高的具体数值。 再根据长方体体积公式“体积 = 长×宽×高”计算体积。 一个长方体，它的前面和上面的面积之和是156平方厘米，并且长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少？ 【答案】455立方厘米 【解析】试题分析：长方体的前面面积与上面面积之和=长×高+长×宽=长×（宽+高）=156，长宽高都是质数，所以156=13×12，12分成7和5，得出了长13厘米、宽7厘米、高5厘米，再根据体积公式列式计算即可． 解：一个长方体的长、宽、高都是质数， 这个长方体的前面、上面面积之和=长×高+长×宽=长×（宽+高）=156平方厘米， 156=13×12=13×（7+5）， 所以长、宽、高分别为13厘米、7厘米、5厘米， 体积：13×7×5=455（立方厘米）； 答：这个长方体的体积是455立方厘米． 点评：此题主要考查长方体的表面积和体积公式的综合应用，关键是根据题意先确定长宽高，再利用体积公式计算即可． 1.有一个长方体，它的前面和上面的面积共是88平方厘米，并且长、宽、高都是质数，求它的体积是多少？ 2．一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高都是以厘米为单位的质数，这个长方体的体积是多少？ 长方体切割后表面积与体积的关系（根据切面增加的面积求体积） 明确不同切面平行方向增加的表面积与长方体各面的对应关系，如切面与前后面平行，增加的是前后面的面积，将增加的面积除以2得到对应面的面积。 设长方体的长、宽、高分别为、、，得到、、的值，通过分解质因数等方法求出、、。 利用长方体体积公式“体积 = 长×宽×高”计算体积；也可利用体积公式的变形“体积的平方 = 长×宽×长×高×宽×高”求出体积。 有一个长方体，我们打算把它切成两个长方体，如果切面与前、后面平行，则切成两个长方体后表面积增加174平方厘米；如果切面与左、右面平行，则表面积增加138平方厘米；如果切面与上、下面平行，则表面积增加1334平方厘米，那么这个长方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】2001立方厘米 【分析】设这长方体的长、宽和高分别为a、b和h。如果切面与前后面平行，增加的是前后面的面积，前（或后）面的面积则为：174÷2＝87（平方厘米），即ah＝87；同理，左（或右）面的面积为：138÷2＝69（平方厘米），即bh＝69；上（或下）面的面积为：1334÷2＝667（平方厘米），即ab＝667。 因为87＝29×3，69＝3×23，667＝29×23，因此可知这长方体的长、宽和高分别为29厘米23厘米和3厘米。进而求出这个长方体的体积。 【解析】解：设这长方体的长、宽和高分别为a、b和h。 174÷2＝87（平方厘米），即ah＝87； 138÷2＝69（平方厘米），即bh＝69； 1334÷2＝667（平方厘米），即ab＝667； 因ah＝87＝29×3，bh＝69＝23×3，ab＝667＝29×23，由此可知a＝29厘米、b＝23厘米、h＝3厘米。 这长方体的体积为：29×23×3＝2001（立方厘米） 答：这长方体的体积为2001立方厘米。 【总结】此题关键是用分解质因数的方法求出长方体的长、宽和高。 1.有一个长方体，沿三个方向各切一刀后，表面积分别增加了16平方厘米、12平方厘米和24平方厘米，求该长方体的体积。 2.把一个长方体三个方向各切一刀，平行于左右面切后表面积增加54平方厘米，平行于上下面切后增加的面积是平行于前后面切后增加面积的3倍，已知长方体的长为7厘米，求其体积。 长方体容器中物体提起后浸湿部分长度计算（涉及水的体积变化） 先计算出由于物体提起而空出部分的体积，该体积等于物体被提起部分的体积。 下降部分水的底面积为容器底面积减去物体底面积。 用空出部分的体积除以下降部分水的底面积，得到水面下降的高度。 露出水面的物体上被水浸湿的部分的长等于物体被提起的高度加上水面下降的高度。 如图（1）所示，长方体容器的底面是边长为50厘米的正方形，容器内竖直放着一根长方体铁块，这个长方体铁块的底面是边长20厘米的正方形，高80厘米，水面高30厘米。如图（2）所示，把这个铁块提起使得铁块底距离容器底21厘米，此时露出水面的铁块上被水浸湿的部分的长是多少厘米？ 【答案】25厘米 【分析】铁块往上提时水面会下降，填充由于铁块提起而空出部分的体积，即下降部分水的体积等于铁块21厘米高度的体积，用这部分体积除以下降部分水的底面积（容器底面积－铁块底面积）可以得到水面下降的高度。露出水面的铁块上被水浸湿的部分的长，等于提出的21厘米加上水面下降的高度。 【解析】下降水的体积：20×20×21 ＝400×21 ＝8400（立方厘米） 下降水的底面积：50×50－20×20 ＝2500－400 ＝2100（平方厘米） 下降高度：8400÷2100＝4（厘米） 露出的浸湿高度：21＋4＝25（厘米） 答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分的长是25厘米。 【总结】本题关键是明确下降部分水的体积等于铁块21厘米高度的体积，同时还需要注意，下降部分水的底面积是容器底面积与铁块底面积的差。 在底面边长为60厘米的正方形的一个长方体的容器里，直立着一个长1米，底面为正方形，边长15厘米的四棱柱铁棍。这时容器里的水半米深。现在把铁棍轻轻地向正上方提起24厘米，露出水面的四棱柱切棍浸湿部分长多少厘米？ 长方体体积变化与表面积计算（根据体积变化求表面积） 根据长、宽、高的变化与体积变化的关系，分别求出“宽×高”“长×宽”“长×高”的值，如长增加厘米，体积增加立方厘米，则宽×高 = 。 再利用长方体表面积公式“表面积 = 2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高)”计算表面积。 一个长方体，如果长增加2厘米，宽和高不变，体积就增加40立方厘米；如果高增加2厘米，长和宽不变，体积就增加60立方厘米；如果宽增加2厘米，长和高不变，体积就增加48立方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】148平方厘米 【分析】首先根据长增加2厘米，宽和高不变，体积就增加40立方厘米，可得宽×高＝40÷2（平方厘米）；同理分别求出长×宽、长×高的值，然后根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据代入公式解答即可。 【解析】宽×高＝40÷2＝20（平方厘米） 长×宽＝60÷2＝30（平方厘米） 长×高＝48÷2＝24（平方厘米） [（40÷2）＋（60÷2）＋（48÷2）]×2 ＝[20＋30＋24]×2 ＝74×2 ＝148（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是148平方厘米。 【总结】此题主要考查长方体的表面积公式的灵活运用，关键是求出长×宽、长×高、宽×高的值。 1.一个长方体，如果长增加3厘米，体积就增加60立方厘米；如果宽增加4厘米，体积就增加120立方厘米；如果高增加5厘米，体积就增加150立方厘米。求原长方体的表面积是多少平方厘米？ 2.长方体的长、宽、高分别为a、b、c，若长减少4厘米，体积减少80立方厘米；若宽增加3厘米，体积增加90立方厘米；若高增加6厘米，体积增加144立方厘米。求原长方体的表面积。 正方体涂色与体积计算（根据涂色小正方体个数求大正方体体积） 两面涂色的小正方体位于每条棱的顶点之外，数量为（为大正方体棱长包含小正方体棱长的个数），通过两面涂色小正方体的数量求出。 一面涂色的小正方体在每个面的中间部分，数量为，据此求出。 没有涂色的小正方体在大正方体内部，组成一个棱长为的小正方体，数量为，据此求出。 最后根据正方体体积公式“体积 = ”计算大正方体体积。 一个大正方体，先在它的每个面上都涂上红色，再把它切成棱长是的小正方体。已知两面涂色的小正方体有96个，原来大正方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】 【分析】先根据大正方体上两面涂色的小正方体的个数推算出大正方体的棱长，再根据棱长求出这个大正方体的体积。 【解析】 （个）   答：原来大正方体的体积是。 【总结】在一个表面涂色的大正方体上，两面都涂色的位于每条棱的顶点之外地方，且一上一下两个顶点就意味着有两个小正方体。理解这一点是解题关键。 1.把一个大正方体表面涂满红色，然后分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，已知两面涂色的小正方体有60个，求大正方体的体积是多少立方厘米？ 2.一个大正方体被分割成若干个棱长为1厘米的小正方体后，发现只有一面涂色的小正方体有150个，求大正方体的体积。 3.将一个大正方体表面涂满颜色后分割成棱长为1厘米的小正方体，其中没有涂色的小正方体有64个，求大正方体的体积。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版五年级数学下册易错讲解＋重难点培优 第三单元 长方体和正方体（3）长方体和正方体的体积 思维导图 易错讲解 易错点1：长方体体积公式运用错误 一个长方体的长是5厘米，宽是4厘米，高是3厘米，求它的体积。 【错误解答】：（立方厘米） 【错因分析】：把长方体体积公式（其中为长，为宽，为高）错误地理解为类似棱长总和的计算方式。对体积公式的含义没有理解到位。 【正确解答】：（立方厘米） 易错点2：正方体体积公式记错 一个正方体棱长为6厘米，求它的体积。 【错误解答】：（立方厘米） 【错因分析】：将正方体体积公式（为棱长）错记为。没有理解正方体体积是棱长的三次方，即三个棱长相乘。 【正确解答】：（立方厘米） 易错点3：计算体积时单位换算错误 一个长方体的长是2米，宽是15分米，高是100厘米，求它的体积是多少立方米？ 【错误解答】：（立方米） 【错因分析】：在计算时没有统一单位。应先将宽15分米换算为1.5米，高100厘米换算为1米，再代入体积公式计算。 【正确解答】：15分米 = 1.5米，100厘米 = 1米，（立方米） 易错点4：忽略不规则物体体积计算方法 把一个不规则的石头放入一个长8分米、宽6分米、高5分米，水深3分米的长方体玻璃缸中，水面上升了0.5分米，求这块石头的体积是多少？ 【错误解答】：无法求解。 【错因分析】：没有掌握利用排水法求不规则物体体积的方法。不规则物体的体积等于它排开液体的体积，在本题中，石头放入后水面上升的那部分水的体积就是石头的体积。 【正确解答】：（立方分米） 易错点5：对体积单位间的进率混淆 5立方米 =（ ）立方厘米 【错误解答】：5000 【错因分析】：没有记住体积单位间的进率，1立方米 = 1000000立方厘米，而不是1000。在进行单位换算时，应该乘以相应的进率。 【正确解答】：5000000 易错点6：在长方体体积计算中，对长、宽、高变化与体积变化关系理解错误 一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，它的体积扩大到原来的几倍？ 【错误解答】：2倍 【错因分析】：没有理解长方体体积与长、宽、高的倍数关系。长方体体积，当长、宽、高都扩大到原来的2倍时，新体积，体积应扩大到原来的8倍。 【正确解答】：8倍 易错点7：在正方体体积计算中，棱长变化与体积变化关系出错 正方体棱长扩大到原来的3倍，它的体积扩大到原来的多少倍？ 【错误解答】：6倍 【错因分析】：对正方体体积和棱长变化规律不熟悉。正方体体积，棱长扩大到原来的3倍后，新体积，体积应扩大到原来的27倍。 【正确解答】：27倍 易错点8：在组合体体积计算中，不能正确拆分或合并 有一个由两个长方体组成的组合体，上面长方体长4厘米、宽3厘米、高2厘米，下面长方体长6厘米、宽4厘米、高3厘米，求这个组合体的体积。 【错误解答】：（立方厘米） 【错因分析】：错误地对两个长方体体积之和进行了除法运算。组合体体积就是两个长方体体积相加。 【正确解答】：（立方厘米） 易错点9：在液体体积与容器关系问题中出错 一个长方体容器，从里面量长5分米、宽4分米、高6分米，里面装了一些水，水深3分米。将一个棱长为2分米的正方体铁块完全浸入水中，水面上升多少分米？ 【错误解答】：（分米） 【错因分析】：没有正确理解正方体铁块体积与水面上升高度的关系。正方体铁块的体积等于上升的水的体积，应该用铁块体积除以容器的底面积（）来计算水面上升高度。 【正确解答】：（分米） 重难点培优 长方体棱长与体积计算（结合质数相关知识） 若已知长方体底面周长，先通过“底面周长÷2”求出一组长与宽的和；若已知长方体棱长总和，通过“棱长总和÷4”求出一组长、宽、高的和。 根据长、宽、高的和，结合长、宽、高均为质数的条件，确定长、宽、高的具体数值。 最后利用长方体体积公式“体积 = 长×宽×高”计算体积。 一个长方体的底面是一个周长为24cm的长方形，高为8cm，如果长和宽的厘米数都是质数，那么这个长方体的体积是多少？ 【答案】280立方厘米 【分析】用24÷2求出一组长与宽的和，再根据长和宽的厘米数都是质数，确定出长与宽，再根据长方体体积＝长×宽×高解答即可。 【解析】24÷2＝12（厘米）； 因为长和宽的厘米数都是质数，所以长为7厘米，宽为5厘米； 7×5×8 ＝35×8 ＝280（立方厘米）； 答：这个长方体的体积是280立方厘米。 【总结】解答本题时，先求出一组长与宽的和，再根据长与宽都是质数确定它们各是多少厘米。 1．一个长方体的12条棱长之和是，且长、宽、高的厘米数均为质数，这个长方体的体积最大是多少立方厘米？ 【答案】646立方厘米 【分析】用棱长总和÷12，先求出一组长宽高的和，根据除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数，找到长宽高可能的结果，根据长方体体积＝长×宽×高，确定最大体积即可。 【解析】长＋宽＋高： 40以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37     体积：（立方厘米）     体积：（立方厘米）     体积：（立方厘米）     体积：（立方厘米） 答：这个长方体的最大体积为646立方厘米。 【总结】关键是熟悉长方体特征，理解质数、合数分类标准，掌握长方体体积公式。 2．一个长方体的底面是一个周长为30厘米的长方形，高为11厘米，如果长和宽的长度都是质数，那么这个长方体的体积是多少？ 【答案】286立方厘米 【分析】先根据“长方形的周长＝（长＋宽）×2”求出底面的长宽之和，再找出符合题意的长和宽，最后利用“长方体的体积＝长×宽×高”求出这个长方体的体积，据此解答。 【解析】30÷2＝15（厘米） 长和宽的长度都是质数，当长为13厘米，宽为2厘米时，2＋13＝15（厘米），符合题意。 13×2×11 ＝26×11 ＝286（立方厘米） 答：这个长方体的体积是286立方厘米。 【总结】根据题意求出符合题意的长和宽，并掌握长方体的体积计算公式是解答题目的关键。 3．一个底面是正方形的长方体，所有棱长之和是100厘米，它的高是一位数中最大的质数，这个长方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】567立方厘米 【分析】根据题意可知，高是一位数中最大的质数，一位数中最大的质数是7；这个长方体的高是7厘米；底面是正方形，所以长方体的长等于宽；根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，长＋宽＝棱长总和÷4－高，进而求出长方体的长和宽，再根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【解析】（100÷4－7）÷2 ＝（25－7）÷2 ＝18÷2 ＝9（厘米） 9×9×7 ＝81×7 ＝567（立方厘米） 答：这个长方体的体积是567立方厘米。 长方体表面积与体积的综合计算（已知前面和上面面积之和） 由“前面面积 + 上面面积 = 长×高 + 长×宽 = 长×（宽 + 高）”，得到长与（宽 + 高）的乘积。 把该乘积分解因数，结合长、宽、高都是质数的条件，确定长、宽、高的具体数值。 再根据长方体体积公式“体积 = 长×宽×高”计算体积。 一个长方体，它的前面和上面的面积之和是156平方厘米，并且长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少？ 【答案】455立方厘米 【解析】试题分析：长方体的前面面积与上面面积之和=长×高+长×宽=长×（宽+高）=156，长宽高都是质数，所以156=13×12，12分成7和5，得出了长13厘米、宽7厘米、高5厘米，再根据体积公式列式计算即可． 解：一个长方体的长、宽、高都是质数， 这个长方体的前面、上面面积之和=长×高+长×宽=长×（宽+高）=156平方厘米， 156=13×12=13×（7+5）， 所以长、宽、高分别为13厘米、7厘米、5厘米， 体积：13×7×5=455（立方厘米）； 答：这个长方体的体积是455立方厘米． 点评：此题主要考查长方体的表面积和体积公式的综合应用，关键是根据题意先确定长宽高，再利用体积公式计算即可． 1.有一个长方体，它的前面和上面的面积共是88平方厘米，并且长、宽、高都是质数，求它的体积是多少？ 【答案】165立方厘米 【分析】前面和上面两个面面积和为88，就是长×高＋长×宽＝88，长、宽、高都是质数，据此可确定，这个长方形的长、宽、高各是多少厘米，然后再根据长方体体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 【解析】因为上面的面积＝长×宽，前面的面积＝长×高，所以长×（高＋宽）＝88； 11×8＝88 8＝3＋5 11×3×5 ＝33×5 ＝165（立方厘米） 答：这个长方体的体积是165立方厘米。 【总结】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用，理解质数的意义及应用。 2．一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高都是以厘米为单位的质数，这个长方体的体积是多少？ 【答案】立方厘米 【分析】根据题意，前面和上面两个面面积和为209，就是长×高＋长×宽＝209，长、宽、高都是以厘米为单位的数，且都是质数，据此确定这个长方形的长、宽、高各是多少厘米，然后根据长方体体积的计算方法进行计算即可。 【解析】由分析可知，长×高＋长×宽＝209， 长×（高＋宽）＝209， 209＝19×11， 要么宽＋高＝11，要么宽＋高＝19 11＝2＋9＝3＋8＝4＋7＝5＋6，不管怎么组合都有合数， 所以，宽＋高＝19符合要求， 19＝2＋17＝3＋16＝4＋15＝5＋14＝6＋13＝7＋12＝8＋11＝9＋10，只有2＋17的组合都是质数， 宽、高分别为2厘米、17厘米， 209÷19＝11（厘米） 所以，这个长方体的长是11厘米。 体积：11×17×2 ＝187×2 ＝374（立方厘米） 答：这个长方体的体积是374立方厘米。 【总结】本题的关键是求出这个长方体的宽和高是多少，再根据长方体体积的计算方法进行计算。 长方体切割后表面积与体积的关系（根据切面增加的面积求体积） 明确不同切面平行方向增加的表面积与长方体各面的对应关系，如切面与前后面平行，增加的是前后面的面积，将增加的面积除以2得到对应面的面积。 设长方体的长、宽、高分别为、、，得到、、的值，通过分解质因数等方法求出、、。 利用长方体体积公式“体积 = 长×宽×高”计算体积；也可利用体积公式的变形“体积的平方 = 长×宽×长×高×宽×高”求出体积。 有一个长方体，我们打算把它切成两个长方体，如果切面与前、后面平行，则切成两个长方体后表面积增加174平方厘米；如果切面与左、右面平行，则表面积增加138平方厘米；如果切面与上、下面平行，则表面积增加1334平方厘米，那么这个长方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】2001立方厘米 【分析】设这长方体的长、宽和高分别为a、b和h。如果切面与前后面平行，增加的是前后面的面积，前（或后）面的面积则为：174÷2＝87（平方厘米），即ah＝87；同理，左（或右）面的面积为：138÷2＝69（平方厘米），即bh＝69；上（或下）面的面积为：1334÷2＝667（平方厘米），即ab＝667。 因为87＝29×3，69＝3×23，667＝29×23，因此可知这长方体的长、宽和高分别为29厘米23厘米和3厘米。进而求出这个长方体的体积。 【解析】解：设这长方体的长、宽和高分别为a、b和h。 174÷2＝87（平方厘米），即ah＝87； 138÷2＝69（平方厘米），即bh＝69； 1334÷2＝667（平方厘米），即ab＝667； 因ah＝87＝29×3，bh＝69＝23×3，ab＝667＝29×23，由此可知a＝29厘米、b＝23厘米、h＝3厘米。 这长方体的体积为：29×23×3＝2001（立方厘米） 答：这长方体的体积为2001立方厘米。 【总结】此题关键是用分解质因数的方法求出长方体的长、宽和高。 1.有一个长方体，沿三个方向各切一刀后，表面积分别增加了16平方厘米、12平方厘米和24平方厘米，求该长方体的体积。 【答案】96立方厘米。 【解析】平行于左右面一刀，增加的是2个宽×高的面，所以宽×高 = 16÷2 = 8平方厘米； 平行于前后面切一刀，增加的是2个长×高的面，所以长×高 = 12÷2 = 6平方厘米； 平行于上下面一刀，增加的是2个长×宽的面，所以长×宽 = 24÷2 = 12平方厘米。 长方体体积的平方 = 长×宽×长×高×宽×高 = 12×6×8＝12×12×4，即体积的平方 = 12×12×4，所以体积 = 12×2＝24立方厘米。 【总结】解决这类问题要明白切割后增加的表面积与长方体各面的对应关系，通过增加的表面积求出两两相乘的面的面积，再利用体积公式的变形求出体积。 2.把一个长方体三个方向各切一刀，平行于左右面切后表面积增加54平方厘米，平行于上下面切后增加的面积是平行于前后面切后增加面积的3倍，已知长方体的长为7厘米，求其体积。 【答案】189立方厘米。 【解析】设长宽高分别为a、b、h。 平行于左右面一刀增加2个宽×高的面，所以bh = 54÷2 =27平方厘米。 2ab＝3×2ah，b＝3h。 3h×h＝27，h＝3厘米，b＝9厘米 体积：7×9×3＝189立方厘米。 长方体容器中物体提起后浸湿部分长度计算（涉及水的体积变化） 先计算出由于物体提起而空出部分的体积，该体积等于物体被提起部分的体积。 下降部分水的底面积为容器底面积减去物体底面积。 用空出部分的体积除以下降部分水的底面积，得到水面下降的高度。 露出水面的物体上被水浸湿的部分的长等于物体被提起的高度加上水面下降的高度。 如图（1）所示，长方体容器的底面是边长为50厘米的正方形，容器内竖直放着一根长方体铁块，这个长方体铁块的底面是边长20厘米的正方形，高80厘米，水面高30厘米。如图（2）所示，把这个铁块提起使得铁块底距离容器底21厘米，此时露出水面的铁块上被水浸湿的部分的长是多少厘米？ 【答案】25厘米 【分析】铁块往上提时水面会下降，填充由于铁块提起而空出部分的体积，即下降部分水的体积等于铁块21厘米高度的体积，用这部分体积除以下降部分水的底面积（容器底面积－铁块底面积）可以得到水面下降的高度。露出水面的铁块上被水浸湿的部分的长，等于提出的21厘米加上水面下降的高度。 【解析】下降水的体积：20×20×21 ＝400×21 ＝8400（立方厘米） 下降水的底面积：50×50－20×20 ＝2500－400 ＝2100（平方厘米） 下降高度：8400÷2100＝4（厘米） 露出的浸湿高度：21＋4＝25（厘米） 答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分的长是25厘米。 【总结】本题关键是明确下降部分水的体积等于铁块21厘米高度的体积，同时还需要注意，下降部分水的底面积是容器底面积与铁块底面积的差。 在底面边长为60厘米的正方形的一个长方体的容器里，直立着一个长1米，底面为正方形，边长15厘米的四棱柱铁棍。这时容器里的水半米深。现在把铁棍轻轻地向正上方提起24厘米，露出水面的四棱柱切棍浸湿部分长多少厘米？ 【答案】25.6厘米 【分析】根据“这时容器里的水半米深”，可知原来铁棍被水浸湿的部分是在50厘米处，后来将铁棍提起24厘米，就会露出浸湿的24厘米，同时将铁棍提起，水位肯定是要下降的，据此只要把水位下降的高度求出来（用长、宽都是15厘米，高是24厘米铁块的体积除以容器的底面积），注意容器的底面积＝容器的底面积－铁棍的底面积。进而加上提起的24厘米，即为露出水面的铁棍上被水浸湿的那部分的长度。 【解析】半米＝50厘米 15×15×24÷（60×60－15×15） ＝5400÷（3600－125） ＝5400÷3375 ＝1.6（厘米） 24＋1.6＝25.6（厘米） 答：露出水面的铁棍上被水浸湿的部分长25.6厘米。 长方体体积变化与表面积计算（根据体积变化求表面积） 根据长、宽、高的变化与体积变化的关系，分别求出“宽×高”“长×宽”“长×高”的值，如长增加厘米，体积增加立方厘米，则宽×高 = 。 再利用长方体表面积公式“表面积 = 2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高)”计算表面积。 一个长方体，如果长增加2厘米，宽和高不变，体积就增加40立方厘米；如果高增加2厘米，长和宽不变，体积就增加60立方厘米；如果宽增加2厘米，长和高不变，体积就增加48立方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】148平方厘米 【分析】首先根据长增加2厘米，宽和高不变，体积就增加40立方厘米，可得宽×高＝40÷2（平方厘米）；同理分别求出长×宽、长×高的值，然后根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据代入公式解答即可。 【解析】宽×高＝40÷2＝20（平方厘米） 长×宽＝60÷2＝30（平方厘米） 长×高＝48÷2＝24（平方厘米） [（40÷2）＋（60÷2）＋（48÷2）]×2 ＝[20＋30＋24]×2 ＝74×2 ＝148（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是148平方厘米。 【总结】此题主要考查长方体的表面积公式的灵活运用，关键是求出长×宽、长×高、宽×高的值。 1.一个长方体，如果长增加3厘米，体积就增加60立方厘米；如果宽增加4厘米，体积就增加120立方厘米；如果高增加5厘米，体积就增加150立方厘米。求原长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】180平方厘米。 【解析】长增加3厘米体积增加60立方厘米，可得宽×高 = 60÷3 = 20平方厘米； 宽增加4厘米体积增加120立方厘米，可得长×高 = 120÷4 = 30平方厘米； 高增加5厘米体积增加150立方厘米，可得长×宽 = 150÷5 = 30平方厘米。 长方体表面积 = 2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高)= 2×(30 + 30 + 20)= 180平方厘米。 【总结】根据体积变化与长、宽、高变化的关系求出两两相乘的面的面积，再利用表面积公式求解。 2.长方体的长、宽、高分别为a、b、c，若长减少4厘米，体积减少80立方厘米；若宽增加3厘米，体积增加90立方厘米；若高增加6厘米，体积增加144立方厘米。求原长方体的表面积。 【答案】156平方厘米。 【解析】长减少4厘米体积减少80立方厘米，可得b×c = 80÷4 = 20平方厘米； 宽增加3厘米体积增加90立方厘米，可得a×c = 90÷3 = 30平方厘米； 高增加6厘米体积增加144立方厘米，可得a×b = 144÷6 = 24平方厘米。 表面积 = 2×(ab + ac + bc)= 2×(24 + 30 + 20)= 156平方厘米。 【总结】利用体积变化和长、宽、高变化的关系求出各面面积，进而求表面积。 正方体涂色与体积计算（根据涂色小正方体个数求大正方体体积） 两面涂色的小正方体位于每条棱的顶点之外，数量为（为大正方体棱长包含小正方体棱长的个数），通过两面涂色小正方体的数量求出。 一面涂色的小正方体在每个面的中间部分，数量为，据此求出。 没有涂色的小正方体在大正方体内部，组成一个棱长为的小正方体，数量为，据此求出。 最后根据正方体体积公式“体积 = ”计算大正方体体积。 一个大正方体，先在它的每个面上都涂上红色，再把它切成棱长是的小正方体。已知两面涂色的小正方体有96个，原来大正方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】 【分析】先根据大正方体上两面涂色的小正方体的个数推算出大正方体的棱长，再根据棱长求出这个大正方体的体积。 【解析】 （个）   答：原来大正方体的体积是。 【总结】在一个表面涂色的大正方体上，两面都涂色的位于每条棱的顶点之外地方，且一上一下两个顶点就意味着有两个小正方体。理解这一点是解题关键。 1.把一个大正方体表面涂满红色，然后分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，已知两面涂色的小正方体有60个，求大正方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】343立方厘米。 【解析】两面涂色的小正方体在每条棱除两端外的位置。 设大正方体棱长为n厘米，则每条棱上两面涂色的小正方体个数为(n - 2)个，正方体有12条棱， 所以12×(n - 2)= 60，解得n = 7厘米， 大正方体体积 = 7×7×7 = 343立方厘米。 【总结】根据两面涂色小正方体的位置特点和数量求出大正方体棱长，进而求体积。 2.一个大正方体被分割成若干个棱长为1厘米的小正方体后，发现只有一面涂色的小正方体有150个，求大正方体的体积。 【答案】343立方厘米。 【解析】只有一面涂色的小正方体在每个面的中间部分。 每个面上一面涂色的小正方体个数为(n - 2)²个，正方体有6个面， 所以6×(n - 2)² = 150，(n - 2)² = 25，n - 2 = 5，n = 7厘米， 大正方体体积 = 7×7×7 = 343立方厘米。 【总结】依据一面涂色小正方体的分布规律和数量求大正方体棱长，从而得出体积。 3.将一个大正方体表面涂满颜色后分割成棱长为1厘米的小正方体，其中没有涂色的小正方体有64个，求大正方体的体积。 【答案】216立方厘米。 【解析】没有涂色的小正方体在大正方体内部，组成一个棱长为(n - 2)厘米的小正方体。 已知没有涂色的小正方体有64个，即(n - 2)³ = 64，n - 2 = 4，n = 6厘米， 大正方体体积 = 6×6×6 = 216立方厘米。 【总结】根据没有涂色小正方体的位置和数量求大正方体棱长，进而计算体积。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$