精品解析：广东省佛山市南海中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

高二下学期3月阶段性质量检测数学试题 一、单选题 1. 若物体的运动方程是，时物体的瞬时速度是（ ） A. 33 B. 31 C. 39 D. 27 【答案】A 【解析】 【分析】对运动方程求导，得到导函数，导函数中代入时间数据，即得到物体的瞬时速度. 【详解】由已知可得，所以， 所以时物体的瞬时速度是. 故选：. 2. 设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（ ） A. 6 B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的定义，结合导数的几何意义求解即可. 【详解】由题意，， 即，故，即曲线在点处切线的斜率是6. 故选：A 3. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵，， 当时，，解得. 4. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，求导确定单调性即可判断. 【详解】因为，所以， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故排除答案CD， 又，， 设，，则， 所以在上为增函数，又， 所以在上恒成立，即在上单调递增，故排除B. 故选：A 5. 在上既有极大值也有极小值，实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由原函数求出导函数，由题意得出方程有两相异根，由根的判别式求得范围并检验即得. 【详解】由求导得， 因函数在上既有极大值也有极小值，故必有两个相异实根，即，解得. 不妨设方程的两根为且则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，单调递增， 即在时取得极大值，在时取得极小值，符合题意. 故选：A. 6. 下列四个不等式①，②，③ ，④ 中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】首先证明、，利用判断①②③，令令，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可说明④. 【详解】令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以（当且仅当时取等号）； 令，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 所以（当且仅当时取等号）； 对于①：当时，所以，故①正确； 对于②：因为（当且仅当时取等号），所以，当且仅当时取等号，故②正确； 对于③：（当且仅当时取等号），故③错误； 对于④：令，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，则， 所以（当且仅当时取等号），故④正确；综上可得①②④正确． 故选：C 7. 设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可. 【详解】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 8. 2160的不同正因数个数为（ ） A. 42 B. 40 C. 36 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】根据转化为因式乘积分类计算正因数个数即可. 【详解】， 所以2160的不同正因数个数为： . 共40个. 故选：B. 二、多选题 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式，导数的运算法则以及复合函数求导公式运算即可. 【详解】根据基本初等函数的导数公式有：，A正确； 根据复合函数求导公式：，B错误； 根据基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则有：，C正确； 根据基本初等函数的导数公式有：，D错误. 故选：AC 10. 现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到A，B，C，D，E五家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（ ） A. 所有可能的安排方法有125种 B. 若A 医院必须有专家去，则不同的安排方法有61种 C. 若专家甲必须去A 医院，则不同的安排方法有16种 D. 若三名专家所选医院各不相同，则不同的安排方法有10种 【答案】AB 【解析】 【分析】利用分步计数原理及排列知识逐项分析即得. 【详解】对于A，每名专家有5种选择方法，则所有可能的安排方法有种，A正确； 对于B，由选项A知，所有可能的方法有种，A 医院没有专家去的方法有种， 所以A 医院必须有专家去的不同的安排方法有种，B正确； 对于C，专家甲必须去A 医院，则专家乙、丙的安排方法有种，C错误； 对于D，三名专家所选医院各不相同的安排方法有种，D错误． 故选：AB. 11. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，先证明，再说明是的极大值点即可得到A错误；对于B，分别利用和两个表达式即可证明结论；对于C，使用作差法比较和即可；对于D，使用作差法比较和即可. 【详解】对于A，由于，故 . 所以，从而对有，所以是的极大值点，故A错误； 对于B，当时，由于，故 ， 且由，，可得. 故B正确； 对于C，当时，由于，故由，可知 ， 所以，故C正确； 对于D，当时，有，故 ， 所以，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用不同的方向去研究函数的性质，方可解决相应的问题. 三、填空题 12. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有__________种. 【答案】9 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理即可得解. 【详解】解：由题意，若从第一层取书，则有4种不同的取法， 若从第二层取书，则有3种不同取法， 若从第三次取书，则有2种不同的取法， 所以不同的取法有种. 故答案为：9. 13. 已知定义在上的函数，则曲线在点处的切线方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，进而可得切线方程. 【详解】令，得．对求导，得， 所以，故曲线在点处的切线方程为． 故答案为：. 14. 曲线上的点到直线距离的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出曲线的斜率为的切线与曲线相切的切点坐标，再根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】的定义域为， 求导得，令得， 即，解得或（舍去）， 当时，，此时切点为， 所以曲线上的点到直线距离的最小值 即为切点到直线的距离， 即为. 四、解答题 15. 已知函数． （1）写出函数的单调区间； （2）求函数在上的最大值、最小值． 【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）求解导函数，求出与的解集，从而得函数的单调区间；（2）列出，，的变化情况表，得函数的极大值与极小值，再计算端点值，从而可得上的最值. 【小问1详解】 由题意，函数的定义域为，，得或，当时，或；当时，，所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【小问2详解】 由（1）知，，，的变化情况如下表： 极大值 极小值 所以函数的极大值为，极小值为，又，所以函数在上的最大值为，最小值为. 16. 已知数列的首项为，且满足. （1）求证：是等比数列. （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明如下： 由题意，数列满足，即， 则， 又由，可得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）变形得到，从而得到为首项为，公比为的等比数列； （2）由（1）求得，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，得到， 所以数列的前项和. 17. 如图，四棱锥中，底面ABCD，，． （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证出平面，即可得，由勾股定理逆定理可得，从而 ，再根据线面平行的判定定理即可证出； （2）过点D作于，再过点作于，连接，根据三垂线法可知，即为二面角的平面角，即可求得，再分别用的长度表示出，即可解方程求出． 【小问1详解】 因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以， 根据平面知识可知， 又平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 如图所示，过点D作于，再过点作于，连接， 因为平面，所以平面平面，而平面平面， 所以平面，又，所以平面， 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 即，即． 因为，设，则，由等面积法可得，， 又，而为等腰直角三角形，所以， 故，解得，即． 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若恒成立，求正实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用导数，并讨论、研究的符号，进而判断的单调性； （2）将问题转化为恒成立，构造中间函数，只需求时的范围即可. 【详解】（1）且， ∴时，即单调递增； 时，有，即在上单调递增；有，即在上单调递减； 综上，时在上单调递增；时在上单调递减，在上单调递增； （2）由题设，，即恒成立， 令，则， ∴由（1）知：时有极小值也是最小值，故只需即可. 若，则，即在上递减，又， ∴时，，即恒成立. ∴正实数的范围为. 【点睛】关键点点睛：第二问，将问题转化为恒成立，并构造函数并应用导数研究最值，进而求参数a的范围. 19. 已知函数在处取得极值 （1）求实数的值 （2）求证： （3）证明：对于任意的正整数，不等式都成立. 【答案】（1）1 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 分析】(1)利用建立方程求解即可； (2)利用导数考查函数在定义域上的单调性，找到最大值点，求值即可； (3)根据（2）的结论，得到，令，则有， 利用此不等式即可证明. 【小问1详解】 由题知，， 为的极值点， 【小问2详解】 由（1）知，，定义域为, 则， 令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则， 故恒成立. 【小问3详解】 因为，可化为，此不等式恒成立， 令，则有， 即， ， 即 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下学期3月阶段性质量检测数学试题 一、单选题 1. 若物体的运动方程是，时物体的瞬时速度是（ ） A. 33 B. 31 C. 39 D. 27 2. 设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（ ） A. 6 B. 2 C. 3 D. 3. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 在上既有极大值也有极小值，实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 下列四个不等式①，②，③ ，④ 中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 2160的不同正因数个数为（ ） A. 42 B. 40 C. 36 D. 30 二、多选题 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到A，B，C，D，E五家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（ ） A. 所有可能的安排方法有125种 B. 若A 医院必须有专家去，则不同的安排方法有61种 C. 若专家甲必须去A 医院，则不同的安排方法有16种 D. 若三名专家所选医院各不相同，则不同的安排方法有10种 11. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 三、填空题 12. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有__________种. 13. 已知定义在上的函数，则曲线在点处的切线方程是______． 14. 曲线上的点到直线距离的最小值为______. 四、解答题 15. 已知函数． （1）写出函数的单调区间； （2）求函数在上的最大值、最小值． 16. 已知数列的首项为，且满足. （1）求证：是等比数列. （2）求数列的前项和. 17. 如图，四棱锥中，底面ABCD，，． （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求． 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若恒成立，求正实数的取值范围. 19. 已知函数在处取得极值 （1）求实数的值 （2）求证： （3）证明：对于任意的正整数，不等式都成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $