精品解析：上海市进才中学2024-2025学年高一下学期三月阶段性测试数学试卷

上海市进才中学高一第二学期三月阶段性测试高一数学 一、填空题（每题3分，共12题） 1. 设 是第一象限的角，若 ，则 _____. 2. 已知一个扇形的面积和周长均为16，则该扇形的圆心角大小为______．（用弧度制） 3. 已知函数（）是偶函数，则的最小值是______． 4. 在中，，则这个三角形一定__________三角形 5. 已知三角形内角满足，则__________. 6. 已知，则的值为______． 7. 函数，则最小值为______． 8. 函数的图象的一部分如图所示，则的初相为______． 9. 如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40m的C，D两点，测得，，，，则A，B两点的距离是__________m. 10. 设函数，的图象在区间内恰有一条对称轴，且的最小正周期大于，则的取值范围是__________． 11. 在△ABC中，，，点M满足，则________． 12. 设函数，若恰有个零点，. 则下述结论中: ①若恒成立，则的值有且仅有个； ②在上单调递增； ③存在和，使得对任意恒成立； ④“”是“方程在恰有五个解”的必要条件. 所有正确结论编号是______________； 二、选择题（每题3分，共4题） 13. 将函数图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，所得到的图象的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 14. 锐角中，，，则a的值可以为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 15. 已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则（ ） A. B. C. D. 16. 对于任意，不等式有以下两个结论：①当时，对于任意实数，不等式成立；②对于任意实数，总存在，使不等式成立那么（ ） A. ①正确②错误 B. ①错误②正确 C. ①正确②正确 D. ①错误②错误 三、解答题（共5题） 17. 已知角的终边落在直线上，求，，的值． 18. 记的内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，求外接圆面积的最小值． 19. 养殖户承包一片靠岸水域，如图所示，，为直线岸线，千米，千米，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点P按线段和修建养殖网箱，已知． （1）求岸线上点A与点B之间的直线距离； （2）如果线段上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段上的网箱每千米可获得4万元的经济收益．记，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少万元？ 20. 已知，最小正周期为，且对任意的，都有． （1）求解析式及单调递增区间； （2）求在区间上的最大值与最小值 （3）设函数，若存在，使得方程有解，求实数取值范围． 21. 我们知道：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取其定义域D中的任意值时，有，且成立，那么函数叫做周期函数．对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期．对于定义域为R的函数，若存在正常数T，使得是以T为周期的函数，则称为正弦周期函数，且称T为其正弦周期． （1）验证是以为周期的正弦周期函数． （2）已知函数是周期函数，请求出它的一个周期．并判断此周期函数是否存在最小正周期，并说明理由． （3）已知存在这样一个函数，它是定义在R上严格增函数，值域为R，且是以T为正弦周期的正弦周期函数．若，，且存在，使得，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市进才中学高一第二学期三月阶段性测试高一数学 一、填空题（每题3分，共12题） 1. 设 是第一象限的角，若 ，则 _____. 【答案】## 【解析】 【分析】由是第一象限角，，利用平方关系求得，进而可求，根据商数关系即可求得的值. 【详解】∵是第一象限角，， ∴， ∴ 故答案为：. 2. 已知一个扇形的面积和周长均为16，则该扇形的圆心角大小为______．（用弧度制） 【答案】2 【解析】 【分析】设出圆心角和半径，根据弧长和面积公式得到周长，得到答案. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为， 故扇形的弧长为，周长为， 扇形的面积，解得. 故答案：2 3. 已知函数（）是偶函数，则的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用三角函数的性质即可求解. 【详解】因为函数是偶函数， 所以，解得， 又， 所以当时，的最小值是. 故答案为：. 4. 在中，，则这个三角形一定是__________三角形 【答案】等腰 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，进而利用进行化简可得的关系，从而可判断三角形的形状. 【详解】因为，利用正弦定理边化角，得， 又， 所以，即， 化简得，又，得， 所以△ABC为等腰三角形. 故答案为：等腰. 5. 已知三角形内角满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先将两边平方求出，再根据计算可得. 【详解】因为为三角形的内角，所以， 又，所以，即，所以， 所以， 所以. 故答案为： 6. 已知，则的值为______． 【答案】-4 【解析】 【分析】利用诱导公式化简，再结合齐次式法求值，即得答案. 【详解】由题意知， 故 ， 故答案为：-4 7. 函数，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】把作为一个整体，结合二次函数性质求最小值． 【详解】， 因为， 所以时，， 故答案为：． 8. 函数的图象的一部分如图所示，则的初相为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由图象利用“五点法”求出函数的解析式，从而可求出初相. 【详解】由图可知， 周期，所以，所以， 因为点在函数图象上， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以初相为， 故答案为： 9. 如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40m的C，D两点，测得，，，，则A，B两点的距离是__________m. 【答案】 【解析】 【分析】先求出所需角度，再由正弦定理，得，进而由余弦定理求解即可. 【详解】在中，，， ， ，. 在中，，， . 由正弦定理，得. 在中，由余弦定理，得，， 故A，B两点之间的距离为. 故答案为： 10. 设函数，的图象在区间内恰有一条对称轴，且的最小正周期大于，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，利用正弦函数的性质可得对称轴为，，结合条件即可求解. 【详解】，, 令，则，， 当时，，则，解得， 此时，可验证此时恰有一条对称轴在内，符合题意， 当时，，则，解得， 此时，不符合题意， 当取其它整数时，不符合题意，所以. 故答案为：. 11. 在△ABC中，，，点M满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据可得，在中分别利用余弦定理可得，再求出可得答案. 【详解】设， 因为，，所以， 因为，所以, 因为， 所以，得， 在分别由余弦定理得 ，，， 所以， 所以，得， 所以， 所以， 即. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查余弦定理的应用，考查三角形的面积公式的应用，解题的关键是在中分别利用余弦定理找出的关系，再结合又得到的关系，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题. 12. 设函数，若恰有个零点，. 则下述结论中: ①若恒成立，则的值有且仅有个； ②在上单调递增； ③存在和，使得对任意恒成立； ④“”是“方程在恰有五个解”的必要条件. 所有正确结论的编号是______________； 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据条件画出的图像，结合图像和逐一判断即可. 【详解】恰有个零点，，，函数的图像如图： ①如图，即有两个交点，正确； ②结合右图，且当时，在递增，错误； ③，， ，存在为最小值，为最大值，正确； ④结合右图，若方程在内恰有五个解，需满足，即，同时结合左图，当，不一定有五个解，正确. 故答案为：①③④. 【点睛】本题考查了三角函数的图像和性质，考查了数形结合思想和分类讨论思想，属于难题. 二、选择题（每题3分，共4题） 13. 将函数图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，所得到的图象的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换，准确运算，即可求解. 【详解】将函数图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）， 可得：， 再将得到的图象向左平移个单位长度可得：， 故选：C 14. 锐角中，，，则a的值可以为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用余弦定理即可得到答案. 【详解】若a为最大边，由余弦定理可得,则，即，， 若c为最大边，由余弦定理可得,则，即，， 故. 故选：B 15. 已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先大致画出正弦函数图像和余弦函数图像，通过观察可知，三角形左右两个顶点之间为一个周期，故只需求出等腰直角三角形的斜边长即可，再根据可知等腰直角三角形的斜边上的高，由此求得斜边长即函数的周期，再由周期公式求得的值. 【详解】 如图所示，在函数与的交点中， ， 令，即， 不妨取， 即， 因为三个相邻的交点构成一个等腰直角三角形， 当正弦值等于余弦值时，函数值为， 故等腰直角三角形斜边上的高为，即， 所以，所以． 故选：． 16. 对于任意，不等式有以下两个结论：①当时，对于任意实数，不等式成立；②对于任意实数，总存在，使不等式成立那么（ ） A. ①正确②错误 B. ①错误②正确 C. ①正确②正确 D. ①错误②错误 【答案】A 【解析】 【分析】利用的关系，换元化简不等式左侧为，根据二次函数的性质得出不等式左侧的值域，再利用简易逻辑用语及不等式的恒能成立一一判定结论即可. 【详解】记 ， 令，则， 因为，所以，， 所以， 令，上式化，， 易知对称轴，由二次函数的性质易知时单调递增， 即，， 所以. 显然恒成立，即当时，恒成立， 故①正确； 显然当时，， 不存在使得成立，故②错误. 故选：A. 【点睛】思路点睛：先利用同角三角函数的和积关系化简不等式左侧，再利用换元法转化为求二次函数定区间的值域，结论①②分别对应恒能成立问题，结合集合包含关系判定即可. 三、解答题（共5题） 17. 已知角的终边落在直线上，求，，的值． 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】根据题意确定终边可能在第二、四象限，在角终边上取点，然后利用三角函数的定义求解. 【详解】因为角的终边落在直线上，而直线过第二、四象限， 当角的终边在第二象限时，在直线上取一点， 则， 当角的终边在第四象限时，在直线上取一点， 则. 18. 记的内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，求外接圆面积的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，运用和角公式化简求得，即得； （2）由余弦定理，结合基本不等式和条件可得，再由正弦定理求得外接圆半径最小值即可. 【小问1详解】 由整理得：， 由正弦定理，可得 即， 因为，所以，即， 又因，所以． 【小问2详解】 由正弦定理，外接圆的半径， 要使外接圆的半径最小，只需最小， 由余弦定理，， 当且仅当时取等号，此时，则． 故外接圆面积的最小值为． 19. 养殖户承包一片靠岸水域，如图所示，，为直线岸线，千米，千米，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点P按线段和修建养殖网箱，已知． （1）求岸线上点A与点B之间的直线距离； （2）如果线段上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段上的网箱每千米可获得4万元的经济收益．记，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少万元？ 【答案】（1）千米 （2）万元 【解析】 【分析】（1）由余弦定理计算即可； （2）先由正弦定理计算出相关长度，再计算收益表达式，最后由辅助角公式求最值. 【小问1详解】 在中，由余弦定理，得 即岸线上点与点之间的直线距离为 千米． 【小问2详解】 在中， ， 则， 设两段网箱获得的经济总收益为 万元，则 因为，所以，所以 所以两段网箱获得的经济总收益最高接近万元． 20. 已知，最小正周期为，且对任意的，都有． （1）求的解析式及单调递增区间； （2）求在区间上的最大值与最小值 （3）设函数，若存在，使得方程有解，求实数的取值范围． 【答案】（1）；， （2）函数在上的最大值为，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）由函数的周期性与对称性，建立方程，利用整体思想，结合正弦函数的单调性，建立不等式，可得答案； （2）利用整体思想，结合正弦函数的单调性，可得答案； （3）利用整体思想，结合正弦函数的单调性，再利用二次函数在某个区间上存在零点，可得答案. 【小问1详解】 由函数的最小正周期，则， 由函数满足，则直线是函数图象的对称轴， 可得，，解得，，所以， 函数的解析式是， 令，，解得，， 所以函数的单调递增区间为，. 【小问2详解】 由，则， 当时，； 当时，. 所以函数在上的最大值为，最小值为. 【小问3详解】 由题意可得， 由，则， 当时，；当时，， 令，令， 由题意等价于函数在上存在零点， 由二次函数开口向上，且，则， 整理可得，解得， 所以的取值范围为. 21. 我们知道：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取其定义域D中的任意值时，有，且成立，那么函数叫做周期函数．对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期．对于定义域为R的函数，若存在正常数T，使得是以T为周期的函数，则称为正弦周期函数，且称T为其正弦周期． （1）验证是以为周期的正弦周期函数． （2）已知函数是周期函数，请求出它的一个周期．并判断此周期函数是否存在最小正周期，并说明理由． （3）已知存在这样一个函数，它是定义在R上严格增函数，值域为R，且是以T为正弦周期的正弦周期函数．若，，且存在，使得，求的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）是它的一个周期且是最小正周期，证明见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据正弦周期函数的定义求解； （2）结合正弦、余弦函数性质由周期函数定义求解． （3）从是严格递增函数，时，进行推理可得． 【小问1详解】 ，证毕． 【小问2详解】 ，易知是它的一个周期， 因为， 下面证明是的最小正周期， 时，是增函数， 时，是减函数， 又， ， 所以，即函数图象关于直线对称， 所以当时，不可能是函数的周期， 假设函数有小于的正周期，则，取， 与时，函数的单调性相同，但，而在这两个区间上单调性相反，假设错误． 所以是的最小正周期． 【小问3详解】 因为是周期函数，是它的一个周期， ，，又由题意，, 因为，，是严格递增函数， 所以， 又时，， ，， 因为严格递增函数， 所以与是一一对应的， 因此，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $