第4章因式分解-2024-2025学年北师大版数学八年级下学期期中复习培优检测

2024-2025学年北师大版数学八年级下学期期中复习培优检测 第4章 因式分解 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.41（较难） 班级： 姓名： 学号： 试题说明：同学你好！该份检测卷优选近两年各地名校期中真题，模拟题。多为常考题，易错题，压轴题类型，题目经典，难度中上，贴合正式考试题型。适合培优拔尖的学生考前复习使用。试卷百分制，有助于学生自我检测，教师备课使用。解析版思路清晰，技巧性强，方法独特，通俗易懂！相信你能够取得满意成绩！ 一、选择题（本题共10道小题，每小题2分，共20分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D C C B A C D A 1．（2分）（2024春•雁塔区校级期中）下列各式属于因式分解的是　　 A． B． C． D． 解：、是多项式乘法，不是因式分解，错误； 、不符合完全平方公式的特点，不能运用完全平方公式进行分解，错误； 、两次运用平方差公式，正确； 、不是积的形式，错误； 故选：． 2．（2分）（2021春•碑林区校级期中）已知，，，则的值为　　 A．9 B．6 C．4 D．无法确定 解：，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 3．（2分）（2024春•西安校级期中）下列是因式分解的是　　 A． B． C． D． 解：、，故该选项不正确，不符合题意； 、，故该选项不正确，不符合题意； 、，没有化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意； 、，是因式分解，故该选项正确，符合题意； 故选：． 4．（2分）（2024春•云岩区校级期中）若，，则代数式的值是　　 A．2024 B．2029 C．2031 D．2035 解：原式 ， 故选：． 5．（2分）（2024春•长泰区校级期中）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是　　 A． B． C． D． 解：．等式左右两边是单项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； ．等式从左到右的变形，右边不是乘积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； ．等式从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； ．等式从左到右的变形是多项式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； 故选：． 6．（2分）（2024秋•文登区校级期中）已知，，分别是的三边长，若，，则的周长是　　 A．3 B．6 C．8 D．12 解：， ． ． ． ． 故选：． 7．（2分）（2024春•雁塔区校级期中）若，，是三角形的三边长，则代数式的值　　 A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．以上三种情况均有可能 解：原式 ， ，，是三角形的三边， ，， ， 故选：． 8．（2分）（2023春•禅城区校级期中）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：学、我、爱、数、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是　　 A．我爱美 B．数学游 C．我爱数学 D．美我数学 解：， 又，，，分别对应下列四个个字：学、我、爱、数， 结果呈现的密码信息是：我爱数学． 故选：． 9．（2分）（2024春•辽阳期中）下列式子从左到右的变形是因式分解的是　　 A． B． C． D． 解：．，是多项式的乘法运算，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意； ．，等式的右边不是整式的乘积的形式，故该选项不正确，不符合题意； ．，等式的左边不是多项式，故该选项不正确，不符合题意； ．，是因式分解，故该选项正确，符合题意． 故选：． 10．（2分）（2024春•南岸区校级期中）下列四种说法中正确的个数有　　 ①关于、的方程存在整数解； ②若两个实数、满足，则； ③若，则； ④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：当，是整数时，可能是偶数，也可能是奇数，而2024是偶数， 关于、的方程可能存在整数解， 故①错误； ， ， ， ， ， ， ， 或， 或， 故②错误； ， ， ， ， ， ， ， 故③正确； ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， 或， 故④错误， 综上可知：正确的有③，共1个， 故选：． 二、填空题（本题共10道小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题 卡上相应的位置） 11．（2分）（2024春•沈北新区期中）已知，，则的值为 　　． 解：，， ， 故答案为：． 12．（2分）（2024春•武侯区校级期中）已知，，则代数式的值为 　　． 解：，， 两式相加可得， ， ． 故答案为：． 13．（2分）（2024春•芗城区校级期中）多项式的公因式为 　　． 解：多项式的公因式是． 故答案为：． 14．（2分）（2024春•即墨区校级期中）分解因式：　　． 解： ． 故答案为：． 15．（2分）（2024春•龙泉驿区期中）如果一个正整数能够表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．因为，，，，所以按从小到大的顺序，“智慧数”依次为3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，，按此规律，2024是第 　1516　个“智慧数”． 解：“智慧数”依次为3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，， 把智慧数按从小到大顺序3个数分一组，从第2组开始每组的第一个数都是4的倍数， ，，，， 第组的第一个数为，且为正整数）． ， 是第506组的第1个数， ， 是第1516个“智慧数”． 故答案为：1516． 16．（2分）（2024春•雨城区校级期中）已知，则代数式值为　5　． 解：，， ， ， ， ， 当时，原式． 故答案为：5． 17．（2分）（2024秋•江油市期中）刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术注》中指出：“勾、股幂合为弦幂，明矣．”也就是说，图1中直角三角形的三边、、存在的关系．他在书中构造了一些基本图形来解决问题．如图2，分别将以为边长的正方形和为边长的正方形置于以为边长的大正方形的左下角和右上角，则图中阴影部分面积等于 　　（用含字母的代数式表示）；若，则　　． 解：图中阴影部分面积等于， 如图所示： ，，， ， ，即， ， ， ，即， ， 故答案为：，6． 18．（2分）（2024春•青羊区校级期中）若，则代数式的值等于 　4　． 解：， ． ． 故答案为：4． 19．（2分）（2024秋•江都区期中）已知，，是的三边，，则的形状是 　等腰三角形　． 解：， ， ， ， ， 所以此三角形是等腰三角形， 故答案为：等腰三角形． 20．（2分）（2024春•仁寿县校级期中）为自然数，若为两个连续自然数之积，则的值是 　2或13　． 解：， 则， 解得，不是自然数，故舍去， 或， 解得； 又， 当时，； 故答案为：2或13． 三、解答题（本大题共8小题，共60分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤） 21．（6分）（2024春•新城区校级期中）分解因式． （1）； （2）． 解：（1） ； （2） ． 22．（6分）（2024春•景泰县期中）阅读材料 对式子可以变化如下：原式此种变化抓住了完全平方公式的特点，先加一项，使这三项成为完全平方式，再减去加的项，我们把这种变化叫配方． 请仔细体会配方的特点，然后尝试用配方解决下列问题： （1）分解因式：； （2）无论取何值，代数式总有一个最小值，请尝试用配方求出它的最小值． 解：（1）原式 ； （2）原式 ， ， ， 故的最小值为2023． 23．（8分）（2024春•长安区校级期中）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来．即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式． （1）如图1，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成．请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积． 方法　　； 方法　　； 根据以上信息，可以得到的等式是 　　； （2）如图2，大正方形是由四个边长分别为，，的直角三角形为斜边）和一个小正方形拼成．请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到，，之间的数量关系； （3）在（2）的条件下，若，，求斜边的值． 解：（1）从整体看，大正方形的边长为， ； 从组成看，大正方形面积由4块组成：，，，， ． ； 故答案为：； （2）从整体看，大正方形的边长为， ； 从组成看，大正方形面积由5块组成：，，，，． ． ． ． ； （3），，， ． ， ． 24．（8分）（2024春•振兴区校级期中）材料1：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 例如分解因式： 材料2：分解因式． 解：设，则原式． 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决． 请你根据以上阅读材料解答下列问题： （1）根据材料1将因式分解； （2）根据材料2将因式分解； （3）结合材料1和材料2，将因式分解． 解：（1） ． （2）设， 则原式 ． （3）， 则 ． 25．（8分）（2024秋•鼓楼区校级期中）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，利用几何直观的方法和面积法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用． 【问题探究】 探究1：如图1所示，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论：． 探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出 的结果． 【形成结论】 （1）探究2中 　　； 【应用结论】 （2）利用（1）问所得到的结论求解：已知，，求的值； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，求的值． 解：（1）等式左边是从整体看大正方形的面积等于边长的平方， 等式右边应该表示出组成大正方形的各个部分的面积的和． 组成大正方形的各个部分的面积分别为：，，，，，，，，， 它们的和为：． 故答案为：； （2）解： ． ． ，， ； （3）由（1）得：， ， ． ， ． ， ． 即 原式． 26．（8分）（2024春•潍城区期中）【阅读理解】 先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积可以不再含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式计算时．利用有理化因式．有时可以化去分母中的根号，例如： ． 请根据以上信息，完成下列问题． 【新知运用】 （1）写出的一个有理化因式：　　； （2）化去式子分母中的根号　　； （3）化去式子分子中的根号：　　；（直接写结果） 【拓展应用】 （4）求的最大值． 解：（1）， 的有理化因式是； （2）； （3）； （4）由题意得：， 解得， ， 当时，值最大， 即值最大， 此时， 的最大值是． 27． （8分）（2024春•大东区期中）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如： ． ，当时，原式有最小值，最小值为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）利用配方法分解因式：； （2）求多项式的最小值； （3）已知，，是的三边长，且满足，求的周长． 解：（1）原式 ； （2） ， ， ， 多项式的最小值为． （3）， ， ， ， ，，， ，，， 的周长． 28．（8分）（2024春•即墨区期中）阅读下列材料： 材料1、将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成 （1）（2） 材料2、因式分解： 解：将“”看成一个整体，令，则原式 再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）根据材料1，把分解因式． （2）结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 解：（1）； （2）①令， 则原式， 所以； ②令， 则原式 ， 所以原式 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学八年级下学期期中复习培优检测 第4章 因式分解 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.41（较难） 班级： 姓名： 学号： 试题说明：同学你好！该份检测卷优选近两年各地名校期中真题，模拟题。多为常考题，易错题，压轴题类型，题目经典，难度中上，贴合正式考试题型。适合培优拔尖的学生考前复习使用。试卷百分制，有助于学生自我检测，教师备课使用。解析版思路清晰，技巧性强，方法独特，通俗易懂！相信你能够取得满意成绩！ 一、选择题（本题共10道小题，每小题2分，共20分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。 1．（2分）（2024春•雁塔区校级期中）下列各式属于因式分解的是　　 A． B． C． D． 2．（2分）（2021春•碑林区校级期中）已知，，，则的值为　　 A．9 B．6 C．4 D．无法确定 3．（2分）（2024春•西安校级期中）下列是因式分解的是　　 A． B． C． D． 4．（2分）（2024春•云岩区校级期中）若，，则代数式的值是　　 A．2024 B．2029 C．2031 D．2035 5．（2分）（2024春•长泰区校级期中）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是　　 A． B． C． D． 6．（2分）（2024秋•文登区校级期中）已知，，分别是的三边长，若，，则的周长是　　 A．3 B．6 C．8 D．12 7．（2分）（2024春•雁塔区校级期中）若，，是三角形的三边长，则代数式的值　　 A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．以上三种情况均有可能 8．（2分）（2023春•禅城区校级期中）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：学、我、爱、数、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是　　 A．我爱美 B．数学游 C．我爱数学 D．美我数学 9．（2分）（2024春•辽阳期中）下列式子从左到右的变形是因式分解的是　　 A． B． C． D． 10．（2分）（2024春•南岸区校级期中）下列四种说法中正确的个数有　　 ①关于、的方程存在整数解； ②若两个实数、满足，则； ③若，则； ④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本题共10道小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题 卡上相应的位置） 11．（2分）（2024春•沈北新区期中）已知，，则的值为 　　． 12．（2分）（2024春•武侯区校级期中）已知，，则代数式的值为 　　． 13．（2分）（2024春•芗城区校级期中）多项式的公因式为 　　． 14．（2分）（2024春•即墨区校级期中）分解因式：　　． 15．（2分）（2024春•龙泉驿区期中）如果一个正整数能够表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．因为，，，，所以按从小到大的顺序，“智慧数”依次为3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，，按此规律，2024是第 　　个“智慧数”． 16．（2分）（2024春•雨城区校级期中）已知，则代数式值为　 　． 17．（2分）（2024秋•江油市期中）刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术注》中指出：“勾、股幂合为弦幂，明矣．”也就是说，图1中直角三角形的三边、、存在的关系．他在书中构造了一些基本图形来解决问题．如图2，分别将以为边长的正方形和为边长的正方形置于以为边长的大正方形的左下角和右上角，则图中阴影部分面积等于 　　（用含字母的代数式表示）；若，则　　． 18．（2分）（2024春•青羊区校级期中）若，则代数式的值等于 　　． 19．（2分）（2024秋•江都区期中）已知，，是的三边，，则的形状是 　　． 20．（2分）（2024春•仁寿县校级期中）为自然数，若为两个连续自然数之积，则的值是 　　． 三、解答题（本大题共8小题，共60分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤） 21．（6分）（2024春•新城区校级期中）分解因式． （1）； （2）． 22．（6分）（2024春•景泰县期中）阅读材料 对式子可以变化如下：原式此种变化抓住了完全平方公式的特点，先加一项，使这三项成为完全平方式，再减去加的项，我们把这种变化叫配方． 请仔细体会配方的特点，然后尝试用配方解决下列问题： （1）分解因式：； （2）无论取何值，代数式总有一个最小值，请尝试用配方求出它的最小值． 23．（8分）（2024春•长安区校级期中）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来．即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式． （1）如图1，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成．请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积． 方法　　； 方法　　； 根据以上信息，可以得到的等式是 　　； （2）如图2，大正方形是由四个边长分别为，，的直角三角形为斜边）和一个小正方形拼成．请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到，，之间的数量关系； （3）在（2）的条件下，若，，求斜边的值． 24．（8分）（2024春•振兴区校级期中）材料1：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 例如分解因式： 材料2：分解因式． 解：设，则原式． 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决． 请你根据以上阅读材料解答下列问题： （1）根据材料1将因式分解； （2）根据材料2将因式分解； （3）结合材料1和材料2，将因式分解． 25．（8分）（2024秋•鼓楼区校级期中）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，利用几何直观的方法和面积法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用． 【问题探究】 探究1：如图1所示，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论：． 探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出 的结果． 【形成结论】 （1）探究2中 　　； 【应用结论】 （2）利用（1）问所得到的结论求解：已知，，求的值； 【拓展应用】 （3） 在（2）的条件下，求的值． 26．（8分）（2024春•潍城区期中）【阅读理解】 先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积可以不再含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式计算时．利用有理化因式．有时可以化去分母中的根号，例如： ． 请根据以上信息，完成下列问题． 【新知运用】 （1）写出的一个有理化因式：　　； （2）化去式子分母中的根号　　； （3）化去式子分子中的根号：　　；（直接写结果） 【拓展应用】 （4） 求的最大值． 27．（8分）（2024春•大东区期中）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如： ． ，当时，原式有最小值，最小值为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）利用配方法分解因式：； （2）求多项式的最小值； （3）已知，，是的三边长，且满足，求的周长． 28．（8分）（2024春•即墨区期中）阅读下列材料： 材料1、将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成 （1）（2） 材料2、因式分解： 解：将“”看成一个整体，令，则原式 再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）根据材料1，把分解因式． （2）结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$