第3章 图形的平移与旋转-2024-2025学年北师大版数学八年级下学期期中复习培优检测

2024-2025学年北师大版数学八年级下学期期中复习培优检测 第3章 图形的平移与旋转 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.38（较难） 班级： 姓名： 学号： 试题说明：同学你好！该份检测卷优选近两年各地名校期中真题，模拟题。多为常考题，易错题，压轴题类型，题目经典，难度中上，贴合正式考试题型。适合培优拔尖的学生考前复习使用。试卷百分制，有助于学生自我检测，教师备课使用。解析版思路清晰，技巧性强，方法独特，通俗易懂！相信你能够取得满意成绩！ 一、选择题（本题共10道小题，每小题2分，共20分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A A B C B A A D 1．（2分）（2022春•漳浦县期中）如图，在中，，，是的角平分线，过点作交边于点．若，则图中阴影部分面积为　　 A．2 B．4 C．3 D．5 解：将绕点顺时针旋转得到． ，， ， ，，共线， 图中阴影部分的面积． 故选：． 2．（2分）（2024春•雁塔区校级期中）如图，点，分别在轴和轴上，，，若将线段平移至线段，则的值为　　 A．2 B．3 C． D． 解：由题意得，， 是点向右平移个单位得到； ，， 点是点向下平移个单位得到； 线段是线段先向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到， 故，， ， 故选：． 3．（2分）（2024春•清苑区期中）如图，在中，，，为的中点，将绕点按顺时针方向旋转得到，使点落在边上，点落在的延长线上，连接，，，若，则下列结论错误的是　　 A． B． C．是等边三角形 D．垂直平分 解：如图，设，交于点， 根据题意得：，， 为的中点， ，，，， ，， 是等边三角形，故正确； ， ，， ， ， ，故正确； ，故错误； ， ， ， ， ， 垂直平分，故正确； 综上所述，错误的是． 故选：． 4．（2分）（2024秋•海淀区校级期中）在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点，，，中，可能是旋转中心的是　　 A．点 B．点 C．点 D．点 解： 连接、、，作的垂直平分线，作的垂直平分线，作的垂直平分线，交到在处，所以可知旋转中心的是点． 故选：． 5．（2分）（2024春•南海区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，将四边形先向下平移，再向右平移得到四边形．若点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 解：由，可得平移规律为：向右平移6个单位长度，向下平移2个单位长度， ， ， 故选：． 6．（2分）（2024春•城关区校级期中）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题． 阅读材料 立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角． 例如，正方体（如图）．因为在平面中，，与相交于点，所以直线与所成的就是既不相交也不平行的两条直线与所成的角． 解决问题 如图，已知正方体，则既不相交也不平行的两条直线与所成角的大小为　　 A． B． C． D． 解：连接， ，与相交于点， 根据正方体性质可得：， △为等边三角形， ， 即既不相交也不平行的两条直线与所成角为． 故选：． 7．（2分）（2023春•罗湖区校级期中）如图，点为定角平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：①的值不变；②；③的长不变；④四边形的面积不变，其中，正确结论的是　　 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 解：作于，于． ， ， ， ， ， 平分，于，于， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ，，故①正确， ， 定值，故④正确， 设， ， ， ， ， ，故②正确， 在旋转过程中，是等腰三角形，形状是相似的，因为的长度是变化的，所以的长度是变化的，故③错误， 故选：． 8．（2分）（2024春•中原区校级期中）如图，为等边内的一点，且到三个顶点，，的距离分别为6，8，10，则的面积为　　 A． B． C． D． 解：是等边三角形， 把绕点逆时针旋转到，把绕点逆时针旋转到，把绕点逆时针旋转到，连接，，， ， 为等边三角形，且面积为：， ， ， 为直角三角形，且面积为：， 四边形的面积为：， 同理得：四边形的面积为：， 四边形的面积为：， 的面积为：， 故选：． 9．（2分）（2023春•市北区校级期中）如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①△可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为4；③；④；⑤．其中正确的结论是　　 A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③ 解：由题意可知，，， 又，， △，又， △可以由绕点逆时针旋转得到， 故结论①正确； 如图①，连接， ，且， 是等边三角形， ． 故结论②正确； △，． 在中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数， 是直角三角形，， ， 故结论③正确； ， 故结论④错误； 如图②所示，将绕点逆时针旋转，使得与重合，点旋转至点． 易知是边长为3的等边三角形，是边长为3、4、5的直角三角形， 则， 故结论⑤正确． 综上所述，正确的结论为：①②③⑤． 故选：． 10．（2分）（2023春•凤城市期中）如图，已知直线交、轴于、两点，以为边作等边、、三点逆时针排列），、两点坐标分别为、，连接、，则的最小值为　　 A．6 B． C．6.5 D．7 解：点在直线上， ， ， ．， ， ，， 在轴上方作等边， ， ，即， 又，， ， ， 点的轨迹为定直线， 作点关于直线的对称点，连接，， ， 当点、、在同一条直线上时，的值最小， ，，， ，，，即，， 的最小值 故选：． 二、填空题（本题共10道小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题 卡上相应的位置） 11．（2分）（2024春•道县期中）如图，是等边内一点，，，，则　　． 解：如图所示，将绕点逆时针旋转，使与重合，点旋转至， 由旋转的性质可得是边长为3的等边三角形，是三边分别为3、4、5的直角三角形， 故． 故答案为：． 12．（2分）（2024春•宝安区校级期中）如图，，的坐标为，，若将线段平移至，则的值为　0　． 解：由点平移前后的纵坐标分别为2、4，可得点向上平移了2个单位， 由点平移前后的横坐标分别是为1、3，可得点向右平移了2个单位， 由此得线段的平移的过程是：向上平移2个单位，再向右平移2个单位， 所以点、均按此规律平移， 由此可得，， ， 故答案为：0． 13．（2分）（2024秋•林州市期中）如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为　12　． 解：如图，过点作于点，过点作于点， 于点． ， 四边形是矩形， ， 同理可知，四边形是矩形， ， 曲线关于点成中心对称，点的对称点是点， ，，图形①与图形②面积相等， 阴影部分的面积之和长方形的面积． 故答案为：12． 14．（2分）（2024春•沙坪坝区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，△的顶点在轴上，顶点在轴上，，，把△沿轴向右平移至△，与相交于点，连接，若点，，则点的坐标为 　　． 解：， ， ， ， ， 根据平移可得， ， ， ， 设， ， 由平移可得， 在△中，，即， 解得或（不合题意，舍去）， ， 点的坐标为． 故答案为：． 15．（2分）（2024春•寿阳县期中）如图，中，，将逆时针旋转得到，交于．当时，点恰好落在上，此时等于 　　． 解：由旋转性质可得：，， ， ， ，， ， 故答案为：． 16．（2分）（2024春•市中区校级期中）如图，等边△中，，是上一点，且，点为边上一动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转至，连接、，则△周长的最小值为 　　． 解：如图，过点作于点，过点作于点，则， △为等边三角形， ，， ， 根据题意得：，， ， ， △△， ， ， ， ， ， ， ， 点的运动轨迹是直线，且该直线与直线平行，在的左侧，与的距离是， 作点关于该直线的对称点，连接交该直线于， 即当点，，三点共线时，△的周长最小，连接交该直线于，则，， ， △的周长的最小值为， 故答案为：． 17．（2分）（2024春•深圳校级期中）如图，在中，，，．将绕点按顺时针方向旋转后得，直线、相交于点．取的中点，连接，则长的最大值为 　9　． 解：取的中点，连接、，如图： 是由绕点旋转得到， ，，， 设，则， ，， 在四边形中，， 在中，，，， 中，， 是中位线， ， 而， 当、、在一条直线上时，最大，最大值为， 故答案为：9． 18．（2分）（2024春•新津区校级期中）如图，在△中，，，将△绕点按逆时针方向旋转，得到△，连接，并分别延长交于点，则的长为 　　． 解：如图， 连接，作于， 由题意得， ，， ， ， ， ， ， △△， ， ，， △△ ， ， ， ， 在△中，，， ， 在△中，，， ， ， 故答案为：． 19．（2分）（2024春•成华区校级期中）如图，等腰中，，是上一点，，，点在边上，若点绕点逆时针旋转的对应点恰好在上，则的长度为　　． 解：如图，延长到，使得，连接，过点作于． ，， ， ，， ， ，， ， ，， ，， ， 在中，， ， ， 故答案为． 20．（2分）（2024春•武侯区校级期中）如图，把绕顶点顺时针旋转得到，若直线垂直平分，垂足为点，连接，，且．下面四个结论： ①； ②； ③； ④的面积为， 其中正确的结论有　①②④　． 解：把绕顶点顺时针旋转得到， ，， 为等腰直角三角形， ，，所以①②正确； 直线垂直平分， ，， ， 而， ， 为斜边上的中线， ， ， ，所以③错误； 作于，如图， 把绕顶点顺时针旋转得到， ， 点为的中点， ， 的面积，所以④正确． 故答案为①②④． 三、解答题（本大题共8小题，共60分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤） 21．（6分）（2024秋•浏阳市期中）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△的顶点均在格点上． （1）画出将△关于原点的中心对称图形△． （2）将△绕点顺时针旋转得到△，画出△． （3）若△由△绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 　　． 解：（1）如图，△即为所求； ； （2）如图，△即为所求； （3）根据旋转的性质可得，旋转中心为和垂直平分线的交点，图中点即为旋转中心， ， 故答案为：． 22．（6分）（2024春•绿园区校级期中）图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上，点在格线上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图1中，作出点关于点的对称点，连结． （2）在图2中，作出线段关于点的成中心对称线段． （3）在图3中，已知点是线段上的任意一点，作出一条线段，使得． 解：（1）连接并延长，与网格的交点即为点，连接， 如图所示，点即为所求作的点． （2）分别连接，并延长，与网格分别交于点和点， 如图所示，线段即为所求作的线段． （3）分别连接，并延长，与网格分别交于点和点，连接，连接并延长与交于点， 如图所示，即为所求作的线段． 23．（8分）（2024秋•巴东县期中）阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边△内有一点，若点到顶点、、的距离分别为3，4，5，求的度数． 为了解决本题，我们可以将△绕顶点旋转到△处，此时△△，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出 　　； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，△中，，，、为上的点且，求证：； （3）能力提升 如图③，在△中，，，，点为△内一点，连接，，，且，求的值． 解：（1）△△， 、、， 由题意知旋转角， △为等边三角形， ，， 易证△为直角三角形，且， ； 故答案为：； （2）如图2，把△绕点逆时针旋转得到△， 由旋转的性质得，，，，，， ， ， ， 在△和△中， △△， ， ，， ， ， 由勾股定理得，， 即． （3）如图3，将△绕点顺时针旋转至△处，连接， 在△中，，，， ， ， △绕点顺时针方向旋转， △如图所示； ， ，，， ， △绕点顺时针方向旋转，得到△， ，，， △是等边三角形， ，， ， ， 、、、四点共线， 在△中，， ． 24．（8分）（2024春•南海区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）将△绕点顺时针旋转，在平面直角坐标系中画出旋转后的△； （2）将△向右平移2个单位，再向下平移4个单位，在平面直角坐标系中画出平移后的△； （3）点为轴上一点，连接，，是否存在这样的点，使得的值最小？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）如图所示，△即为所求； （2）如图所示，△即为所求； （3）如图：作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点， 所以，， 设直线的解析式为， 由题意可得：，解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为． 25．（8分）（2024秋•珠海校级期中）将一副直角三角板如图1，摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，，保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转． （1）如图2，当为的角平分线时，求此时的值； （2）当旋转至的内部时，求与的数量关系； （3）在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，求此时等于 　或或或　（直接写出答案即可）． 解：（1）如图2，，， ， 平分， ， ， 答：此时的值是； （2）当旋转至的内部时，如图3，与的数量关系是：； 理由是：由旋转得：， ，， ； （3）分四种情况： ①当时，如图4，， ； ②当时，如图5，则， ， ； ③当时，如图6，则， ， ； ④当时，如图7， ， ， ； 综上，的值是或或或． 故答案为：或或或 26．（8分）（2019春•叶县期中）如图，在直角坐标系中，边长为2的等边三角形的顶点、都在轴上，顶点在第二象限内，经过平移或轴对称或旋转都可以得到． （1）沿轴向右平移得到，则平移的距离是　2　个长度单位；与关于直线对称，则对称轴是　 　；绕原点顺时针方向旋转得到，则旋转角度可以是　 　度． （2）连接，交于点，求的度数． 解：（1）沿数轴向右平移得到，则平移的距离是2个单位长度；与关于直线对称，则对称轴是轴；绕原点顺时针旋转得到，则旋转角度至少是度， 故答案为：2；轴；120； （2）和是能够重合的等边三角形， ，， ， ． 27．（8分）（2023春•埇桥区期中）已知，是等边三角形，将一块含有角的直角三角板如图放置，让三角板在所在的直线上向右平移，如图1，当点与点重合时，点恰好落在三角形的斜边上． （1）利用图1证明：； （2）在三角板的平移过程中，在图2中线段是否始终成立（假定，与三角板斜边的交点为、？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 解：（1）是等边三角形， ，． ． ， ， ， ． （2）成立． 是等边三角形， ，． ． ， ． ， ． 又，， ． 28．（8分）（2024春•罗湖区校级期中）如图1，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中，． （1）操作发现 如图2，固定，使绕点旋转，当点恰好落在边上时，填空： ①线段与的位置关系是 　　； ②设的面积为，的面积为，则与的数量关系是 　　． （2）猜想论证 当绕点旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中与的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了和中、边上的高，请你证明小明的猜想． （3）拓展探究 已知，点是角平分线上一点，，交于点（如图．若在射线上存在点，使，请直接写出相应的的长． 解：（1）①绕点旋转点恰好落在边上， ， ， 是等边三角形， ， 又， ， ； ②，， ， ， 根据等边三角形的性质，的边、上的高相等， 的面积和的面积相等（等底等高的三角形的面积相等）， 即； 故答案为：；； （2）如图，是由绕点旋转得到， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， 的面积和的面积相等（等底等高的三角形的面积相等）， 即； （3）如图，过点作，易求四边形是菱形， 所以，且、上的高相等， 此时； 过点作， ，， ， ，，， ， △是等边三角形， ， ，，点是角平分线上一点， ， ， ， ， 在和中， ， ， 点也是所求的点， ，点是角平分线上一点，， ， 又， ， ，， 故的长为或． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学八年级下学期期中复习培优检测 第3章 图形的平移与旋转 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.38（较难） 班级： 姓名： 学号： 试题说明：同学你好！该份检测卷优选近两年各地名校期中真题，模拟题。多为常考题，易错题，压轴题类型，题目经典，难度中上，贴合正式考试题型。适合培优拔尖的学生考前复习使用。试卷百分制，有助于学生自我检测，教师备课使用。解析版思路清晰，技巧性强，方法独特，通俗易懂！相信你能够取得满意成绩！ 一、选择题（本题共10道小题，每小题2分，共20分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。 1．（2分）（2022春•漳浦县期中）如图，在中，，，是的角平分线，过点作交边于点．若，则图中阴影部分面积为　　 A．2 B．4 C．3 D．5 2．（2分）（2024春•雁塔区校级期中）如图，点，分别在轴和轴上，，，若将线段平移至线段，则的值为　　 A．2 B．3 C． D． 3．（2分）（2024春•清苑区期中）如图，在中，，，为的中点，将绕点按顺时针方向旋转得到，使点落在边上，点落在的延长线上，连接，，，若，则下列结论错误的是　　 A． B． C．是等边三角形 D．垂直平分 4．（2分）（2024秋•海淀区校级期中）在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点，，，中，可能是旋转中心的是　　 A．点 B．点 C．点 D．点 5．（2分）（2024春•南海区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，将四边形先向下平移，再向右平移得到四边形．若点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 6．（2分）（2024春•城关区校级期中）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题． 阅读材料 立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角． 例如，正方体（如图）．因为在平面中，，与相交于点，所以直线与所成的就是既不相交也不平行的两条直线与所成的角． 解决问题 如图，已知正方体，则既不相交也不平行的两条直线与所成角的大小为　　 A． B． C． D． 7．（2分）（2023春•罗湖区校级期中）如图，点为定角平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：①的值不变；②；③的长不变；④四边形的面积不变，其中，正确结论的是　　 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 8．（2分）（2024春•中原区校级期中）如图，为等边内的一点，且到三个顶点，，的距离分别为6，8，10，则的面积为　　 A． B． C． D． 9．（2分）（2023春•市北区校级期中）如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①△可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为4；③；④；⑤．其中正确的结论是　　 A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③ 10．（2分）（2023春•凤城市期中）如图，已知直线交、轴于、两点，以为边作等边、、三点逆时针排列），、两点坐标分别为、，连接、，则的最小值为　　 A．6 B． C．6.5 D．7 二、填空题（本题共10道小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题 卡上相应的位置） 11．（2分）（2024春•道县期中）如图，是等边内一点，，，，则　　． 12．（2分）（2024春•宝安区校级期中）如图，，的坐标为，，若将线段平移至，则的值为　 　． 13．（2分）（2024秋•林州市期中）如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为　　． 14．（2分）（2024春•沙坪坝区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，△的顶点在轴上，顶点在轴上，，，把△沿轴向右平移至△，与相交于点，连接，若点，，则点的坐标为 　　． 15．（2分）（2024春•寿阳县期中）如图，中，，将逆时针旋转得到，交于．当时，点恰好落在上，此时等于 　　． 16．（2分）（2024春•市中区校级期中）如图，等边△中，，是上一点，且，点为边上一动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转至，连接、，则△周长的最小值为 　　． 17．（2分）（2024春•深圳校级期中）如图，在中，，，．将绕点按顺时针方向旋转后得，直线、相交于点．取的中点，连接，则长的最大值为 　　． 18．（2分）（2024春•新津区校级期中）如图，在△中，，，将△绕点按逆时针方向旋转，得到△，连接，并分别延长交于点，则的长为 　　． 19．（2分）（2024春•成华区校级期中）如图，等腰中，，是上一点，，，点在边上，若点绕点逆时针旋转的对应点恰好在上，则的长度为　　． 20．（2分）（2024春•武侯区校级期中）如图，把绕顶点顺时针旋转得到，若直线垂直平分，垂足为点，连接，，且．下面四个结论： ①； ②； ③； ④的面积为， 其中正确的结论有　　． 三、解答题（本大题共8小题，共60分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤） 21．（6分）（2024秋•浏阳市期中）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△的顶点均在格点上． （1）画出将△关于原点的中心对称图形△． （2）将△绕点顺时针旋转得到△，画出△． （3）若△由△绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 　　． 22．（6分）（2024春•绿园区校级期中）图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上，点在格线上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图1中，作出点关于点的对称点，连结． （2）在图2中，作出线段关于点的成中心对称线段． （3）在图3中，已知点是线段上的任意一点，作出一条线段，使得． 23．（8分）（2024秋•巴东县期中）阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边△内有一点，若点到顶点、、的距离分别为3，4，5，求的度数． 为了解决本题，我们可以将△绕顶点旋转到△处，此时△△，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出 　　； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，△中，，，、为上的点且，求证：； （3）能力提升 如图③，在△中，，，，点为△内一点，连接，，，且，求的值． 24．（8分）（2024春•南海区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）将△绕点顺时针旋转，在平面直角坐标系中画出旋转后的△； （2）将△向右平移2个单位，再向下平移4个单位，在平面直角坐标系中画出平移后的△； （3）点为轴上一点，连接，，是否存在这样的点，使得的值最小？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（8分）（2024秋•珠海校级期中）将一副直角三角板如图1，摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，，保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转． （1）如图2，当为的角平分线时，求此时的值； （2）当旋转至的内部时，求与的数量关系； （3）在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，求此时等于 　　（直接写出答案即可）． 26．（8分）（2019春•叶县期中）如图，在直角坐标系中，边长为2的等边三角形的顶点、都在轴上，顶点在第二象限内，经过平移或轴对称或旋转都可以得到． （1）沿轴向右平移得到，则平移的距离是　 　个长度单位；与关于直线对称，则对称轴是　 　；绕原点顺时针方向旋转得到，则旋转角度可以是　 　度． （2）连接，交于点，求的度数． 27．（8分）（2023春•埇桥区期中）已知，是等边三角形，将一块含有角的直角三角板如图放置，让三角板在所在的直线上向右平移，如图1，当点与点重合时，点恰好落在三角形的斜边上． （1）利用图1证明：； （2）在三角板的平移过程中，在图2中线段是否始终成立（假定，与三角板斜边的交点为、？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 28．（8分）（2024春•罗湖区校级期中）如图1，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中，． （1）操作发现 如图2，固定，使绕点旋转，当点恰好落在边上时，填空： ①线段与的位置关系是 　　； ②设的面积为，的面积为，则与的数量关系是 　　． （2）猜想论证 当绕点旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中与的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了和中、边上的高，请你证明小明的猜想． （3）拓展探究 已知，点是角平分线上一点，，交于点（如图．若在射线上存在点，使，请直接写出相应的的长． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$