第1章 三角形的证明-2024-2025学年北师大版数学八年级下学期期中复习培优检测

2024-2025学年北师大版数学八年级下学期期中复习培优检测 第1章 三角形的证明 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.34（较难） 班级： 姓名： 学号： 试题说明：同学你好！该份检测卷优选近两年各地名校期中真题，模拟题。多为常考题，易错题，压轴题类型，题目经典，难度中上，贴合正式考试题型。适合培优拔尖的学生考前复习使用。试卷百分制，有助于学生自我检测，教师备课使用。解析版思路清晰，技巧性强，方法独特，通俗易懂！相信你能够取得满意成绩！ 一、选择题（本题共10道小题，每小题2分，共20分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。 1．（2分）（2024春•蚌埠期中）如图，在△中，，，．点在线段上，连结．以下说法不正确的是　　 A．当时，△是直角三角形 B．当时，△是等腰三角形 C．当时，△是等腰三角形 D．当时，平分 2．（2分）（2024春•湖北期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为　　 A．6 B． C．5 D． 3．（2分）（2024春•高新区校级期中）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，的面积为　　 A． B． C．或 D．15 4．（2分）（2024秋•白银期中）如图，长方形的边长为2，边长为1，在数轴上，以原点为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是　　 A． B． C． D．2.5 5．（2分）（2023春•澄海区校级期中）如图数轴上的点表示的数是0，点表示的数是2，，垂足为，且，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为　　 A． B． C． D． 6．（2分）（2024秋•巨野县期中）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则，正确的结论有　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2分）（2024秋•鸡泽县期中）小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为，在数轴上找到表示数2的点，然后过点作，使；再以为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是　　 A．2.2 B． C． D． 8．（2分）（2024春•武昌区期中）如图①叫做一个基本的“勾股树”，也叫做第一代勾股树．让图①中两个小正方形各自长出一个新的勾股树（如图②，叫做第二代勾股树．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图③．这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第五代勾股树图形中正方形的个数为　　 A．31 B．51 C．53 D．63 9．（2分）（2024春•青山湖区期中）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是　　 A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 10．（2分）（2022春•蜀山区期中）如图，是等边形内一点，连接、、，，以为边在形外作△，连接，则以下结论错误的是　　 A．是正三角形 B．是直角三角形 C． D． 二、填空题（本题共10道小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题 卡上相应的位置） 11．（2分）（2022春•高州市期中）如图，在△中，平分，如果，，△的面积为16，则△的面积为 　　． 12．（2分）（2019秋•泰安期中）已知：如图，是边长的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别沿、方向匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点停止，当　　时，是直角三角形． 13．（2分）（2024秋•介休市期中）如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为　　． 14．（2分）（2024秋•盐田区期中）的顶点、、在边长为1的正方形网格的格点上，于点．则长为 　　． 15．（2分）（2022春•鼓楼区期中）已知中，，求证：．下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①所以，这与三角形内角和为矛盾； ②因此假设不成立，所以； ③假设在中，； ④由，得，即． 这四个步骤正确的顺序应是 　　．（填序号） 16．（2分）（2023春•长汀县期中）如图，在正方形的对角线上取一点，使得，连接并延长到，使，与相交于点，若，有下列四个结论：①；②；③；④．则其中正确的结论有 　　．（填序号） 17．（2分）（2023春•随州期中）如图，中，，分别以直角三角形的三条边为边，在直线同侧分别作正三角形，已知，，，则的面积是　　． 18．（2分）（2024春•南山区期中）如图，△中，，，，是线段上一个动点，以为边在△外作等边△．若是的中点，当取最小值时，△的周长为 　　． 19．（2分）（2023春•武侯区校级期中）如图，已知，射线上一点，以为边在下方作等边△，点为射线上一点，若，则 　　． 20．（2分）（2024秋•海安市期中）如图，是的角平分线，点在射线上，是线段的中垂线交于，．若，，则　　． 三、解答题（本大题共8小题，共60分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤） 21．（6分）（2024秋•越秀区校级期中）在△中，，，，垂足为，且．，其两边分别交边，于点，． （1）求证：△是等边三角形； （2）求证：． 22．（6分）（2024春•金水区校级期中）如图，在△中，，． （1）尺规作图：①作边的垂直平分线交于点； ②连接，作的平分线交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求的度数． 23．（8分）（2024秋•高邮市期中）如图，已知△中，，，，，是△边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为，点从点开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设运动的时间为 ． （1）出发后，求的长； （2）当点在边上运动时，出发几秒钟，△是等腰三角形？ （3）当点在边上运动时，求能使△成为等腰三角形的的值． 24．（8分）（2023春•宝丰县期中）在中，，平分，交于点，． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，是的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接．求证：． 25．（8分）（2024秋•西城区校级期中）如图，在中，平分，是上一点，，交于点，交的延长线于，交的延长线于点． ①求证：是等腰三角形； ②猜想与的大小有什么关系？证明你的猜想． 26．（8分）（2024春•高安市期中）定义：如图，点、把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点． （1）已知、把线段分割成、、，若，，，则点、是线段的勾股分割点吗？请说明理由． （2）已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 27．（8分）（2024春•龙岗区期中）如图，△中，，于点，，． （1）求，的长； （2）若点是射线上的一个动点，作于点，连结． ①当点在线段上时，若△是以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的的长． ②设直线交直线于点连结，，若，则的长为 　　（直接写出结果）． 28．（8分）（2023秋•海淀区校级期中）如图1，点、分别是边长为的等边△边、上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为， （1）连接、交于点，则在、运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； （2）何时△是直角三角形？ （3）如图2，若点、在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学八年级下学期期中复习培优检测 第1章 三角形的证明 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.34（较难） 班级： 姓名： 学号： 试题说明：同学你好！该份检测卷优选近两年各地名校期中真题，模拟题。多为常考题，易错题，压轴题类型，题目经典，难度中上，贴合正式考试题型。适合培优拔尖的学生考前复习使用。试卷百分制，有助于学生自我检测，教师备课使用。解析版思路清晰，技巧性强，方法独特，通俗易懂！相信你能够取得满意成绩！ 一、选择题（本题共10道小题，每小题2分，共20分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。 1．（2分）（2024春•蚌埠期中）如图，在△中，，，．点在线段上，连结．以下说法不正确的是　　 A．当时，△是直角三角形 B．当时，△是等腰三角形 C．当时，△是等腰三角形 D．当时，平分 解：过点作交于点，如图： ，，， ， ， 即， 解得：， 则； 故当时，点与点重合，此时△是直角三角形；不符合题意； 当时，连接，如图： ，， ， 即点是的中点， 故是△斜边上的中线， ， △是等腰三角形；不符合题意； 当时，连接，如图： ，， ， ， △是等腰三角形；不符合题意； 作的角平分线与交于点，连接，过点作交与点，过点作交与点，如图： 则， ， 即， 解得：， ， ； 即当时，平分；符合题意； 故选：． 2．（2分）（2024春•湖北期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为　　 A．6 B． C．5 D． 解：在中，由勾股定理得：， 即， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积， 阴影部分的面积， 故选：． 3．（2分）（2024春•高新区校级期中）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，的面积为　　 A． B． C．或 D．15 解：当时， 过作，交于点， ， ， ， 由勾股定理，， ， 当时， 不满足小于， 此种情况不存在， 故选：． 4．（2分）（2024秋•白银期中）如图，长方形的边长为2，边长为1，在数轴上，以原点为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是　　 A． B． C． D．2.5 解：四边形是矩形， ， ， 这个点表示的示数是， 故选：． 5．（2分）（2023春•澄海区校级期中）如图数轴上的点表示的数是0，点表示的数是2，，垂足为，且，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为　　 A． B． C． D． 解：在中，， ， ， 点在轴负半轴， 点表示的数为． 故选：． 6．（2分）（2024秋•巨野县期中）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则，正确的结论有　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 解：在中，和的平分线相交于点， ，，， ， ；故②正确； 在中，和的平分线相交于点， ，， ， ，， ，， ，， ， 故①正确； 过点作于，作于，连接， 在中，和的平分线相交于点， ， ；故④正确； 在中，和的平分线相交于点， 点到各边的距离相等，故③正确． 故选：． 7．（2分）（2024秋•鸡泽县期中）小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为，在数轴上找到表示数2的点，然后过点作，使；再以为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是　　 A．2.2 B． C． D． 解：在中，，， ． 以点为圆心，为半径与正半轴交点表示的数为． 故选：． 8．（2分）（2024春•武昌区期中）如图①叫做一个基本的“勾股树”，也叫做第一代勾股树．让图①中两个小正方形各自长出一个新的勾股树（如图②，叫做第二代勾股树．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图③．这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第五代勾股树图形中正方形的个数为　　 A．31 B．51 C．53 D．63 解：第一代勾股树中正方形有（个， 第二代勾股树中正方形有（个， 第三代勾股树中正方形有（个， 第四代勾股树图形中正方形的个数有（个； 第五代勾股树图形中正方形的个数有（个； 故选：． 9．（2分）（2024春•青山湖区期中）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是　　 A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 解：和的平分线相交于点， ，， ，①正确； ， ， ，分别是与的平分线， ， ， ， ， 如图，在上取一点，使， 是的角平分线， ， 在和中，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故②正确； 作于，于， 和的平分线相交于点， 点在的平分线上， ， ， ，③正确． 故选：． 10．（2分）（2022春•蜀山区期中）如图，是等边形内一点，连接、、，，以为边在形外作△，连接，则以下结论错误的是　　 A．是正三角形 B．是直角三角形 C． D． 解：是等边三角形，则，又△，则，， 是正三角形，又， 设，则：，，， 根据勾股定理的逆定理可知：是直角三角形，且， 又是正三角形， ， 错误的结论只能是． 故选：． 二、填空题（本题共10道小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题 卡上相应的位置） 11．（2分）（2022春•高州市期中）如图，在△中，平分，如果，，△的面积为16，则△的面积为 　24　． 解：过作于，于， 平分，，， ， 设， △的面积为16，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：24． 12．（2分）（2019秋•泰安期中）已知：如图，是边长的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别沿、方向匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点停止，当　1或2　时，是直角三角形． 解：根据题意得，， 中，，， ， 中，，，若是直角三角形，则 或， 当时，， 即，（秒， 当时，， ，（秒． 答：当秒或秒时，是直角三角形． 故答案为：1或2． 13．（2分）（2024秋•介休市期中）如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为　139　． 解：根据题意知，，， 所以，，， 所以． 故答案为：139． 14．（2分）（2024秋•盐田区期中）的顶点、、在边长为1的正方形网格的格点上，于点．则长为 　　． 解：如图，由勾股定理得， ， ， ． 故答案为：． 15．（2分）（2022春•鼓楼区期中）已知中，，求证：．下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①所以，这与三角形内角和为矛盾； ②因此假设不成立，所以； ③假设在中，； ④由，得，即． 这四个步骤正确的顺序应是 　③④①②　．（填序号） 解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：1、假设在中，， 2、由，得，即， 3、，这与三角形内角和为矛盾， 4、因此假设不成立．， 故答案为：③④①②． 16．（2分）（2023春•长汀县期中）如图，在正方形的对角线上取一点，使得，连接并延长到，使，与相交于点，若，有下列四个结论：①；②；③；④．则其中正确的结论有 　①②④　．（填序号） 解：①四边形是正方形， ，． 在和中，， ， ，故①正确； ②过作于， ，， ， ， ， ， ， ， ，故②正确； ③根据勾股定理求出， ，， ，， ， ， ，故③错误； ④在上取一点，使，连接， ， ， ． ． ， 是等边三角形． ，， ， ． 在和中，， ， ． ， ，故④正确； 故答案为：①②④． 17．（2分）（2023春•随州期中）如图，中，，分别以直角三角形的三条边为边，在直线同侧分别作正三角形，已知，，，则的面积是　11　． 解：由图可知，， 设，，，则． ，，是等边三角形， 则，，， ． 故答案为：11． 18．（2分）（2024春•南山区期中）如图，△中，，，，是线段上一个动点，以为边在△外作等边△．若是的中点，当取最小值时，△的周长为 　18　． 解：连接，过点作．交的延长线于， △是等边三角形，点是的中点， ， 点在射线上运动， 当点与点重合时，最小， ，， ，， ， ， △是等边三角形， ， ， △的周长为：18， 故答案为：18． 19．（2分）（2023春•武侯区校级期中）如图，已知，射线上一点，以为边在下方作等边△，点为射线上一点，若，则 　或．　． 解：（1）当位于左侧时，如图1， △是等边三角形， ，， ， ， ， △△， （2）当位于右侧时，如图2，将△绕着点顺时针旋转得到△， 此时△是等边三角形， ， ， 故答案为：或． 20．（2分）（2024秋•海安市期中）如图，是的角平分线，点在射线上，是线段的中垂线交于，．若，，则　　． 解：连接，过作于，交于，交于， 是线段的中垂线， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 平分，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共60分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤） 21．（6分）（2024秋•越秀区校级期中）在△中，，，，垂足为，且．，其两边分别交边，于点，． （1）求证：△是等边三角形； （2）求证：． （1）证明：，， ， ， ， ， △是等边三角形； （2）证明：△是等边三角形， ， ， ， ， ， 在△与△中， ， △△， ． 22．（6分）（2024春•金水区校级期中）如图，在△中，，． （1）尺规作图：①作边的垂直平分线交于点； ②连接，作的平分线交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求的度数． 解：（1）如图，点，射线即为所求． （2）垂直平分线段， ， ， ， ， ， 平分， ． 23．（8分）（2024秋•高邮市期中）如图，已知△中，，，，，是△边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为，点从点开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设运动的时间为 ． （1）出发后，求的长； （2）当点在边上运动时，出发几秒钟，△是等腰三角形？ （3）当点在边上运动时，求能使△成为等腰三角形的的值． 解：（1）当时，，． ， ， 在△中，由勾股定理可得， ， 即的长为． （2）由题意可知，， 又， ， 当△为等腰三角形时，则有， ，解得， 出发后△是等腰三角形． （3）在△中，由勾股定理可求得， 当点在上运动时，， ， △为等腰三角形， 有，和三种情况： ①当时，如图，过作，则， 在△中，可求得； 在△中，由勾股定理可得，即， 解得或（舍去）， ②当时，则，解得， ③当时，则， ， ， ， ，即，解得， 综上可知，当的值为6.6或6或5.5时，△为等腰三角形． 24．（8分）（2023春•宝丰县期中）在中，，平分，交于点，． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，是的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接．求证：． （1）解：设， 平分， ， ， ， 又， ， 又，即， ， ， 在中，， ， 解得， ， 的度数为； （2）是的中点，， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ． 25．（8分）（2024秋•西城区校级期中）如图，在中，平分，是上一点，，交于点，交的延长线于，交的延长线于点． ①求证：是等腰三角形； ②猜想与的大小有什么关系？证明你的猜想． ①证明：， ，， 平分， ， ， ， 即是等腰三角形； ②．理由如下： 证明：， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ． 26．（8分）（2024春•高安市期中）定义：如图，点、把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点． （1）已知、把线段分割成、、，若，，，则点、是线段的勾股分割点吗？请说明理由． （2）已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 解：（1）是． 理由：，， ， 、、为边的三角形是一个直角三角形， 点、是线段的勾股分割点． （2）设，则， ①当为最长线段时，依题意， 即， 解得； ②当为最长线段时，依题意． 即， 解得， 综上所述，或10． 27．（8分）（2024春•龙岗区期中）如图，△中，，于点，，． （1）求，的长； （2）若点是射线上的一个动点，作于点，连结． ①当点在线段上时，若△是以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的的长． ②设直线交直线于点连结，，若，则的长为 　或　（直接写出结果）． 解：（1），， ， ， ， ， ， 由勾股定理得：， ； （2）①分两种情况： 当时，过作于，如图1所示： ， ， ， 是△的中位线， ； 当时，如图2所示： 在△和△中， ， △△， ， ； 综上所述，的长为6或； ②分两种情况： 当在线段上时，过作于，如图3所示： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， △是等腰三角形， ， ， ； 当在线段的延长线上时，过作于，如图4所示： 同理得：， ， ， 同理得：△是等腰三角形， ， ， △中，； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 28．（8分）（2023秋•海淀区校级期中）如图1，点、分别是边长为的等边△边、上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为， （1）连接、交于点，则在、运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； （2）何时△是直角三角形？ （3）如图2，若点、在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 解：（1）不变． 等边三角形中，， 又由条件得， 在△和△中， ， △△， ， ． （2）设时间为，则， ①当时， ， ，得，； ②当时， ， ，得，； 当第秒或第秒时，△为直角三角形． （3）不变． 在等边三角形中，， ， 又由条件得， 在△和△中， ， △△ 又， 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$