黄金卷04（广东省卷专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（每题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．在下列4个数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式的乘法、零指数幂、实数的大小比较 【分析】根据实数的性质进行化简即可比较大小． 【详解】解：，，，， 根据实数比较大小的方法，可得， 故最小的数是． 故选：A． 【点睛】此题主要考查实数的大小比较，解题的关键是熟知实数的性质． 2．下列汽车标志中，是中心对称图形但不是轴对称图形的有（    ）个    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐个进行判断即可．轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：第一个：既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； 第二个：不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； 第三个：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 第四个：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 第五个：不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； 综上：是中心对称图形但不是轴对称图形的有第二个和第五个图形，共两个， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 3．在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A．x＞2 B．x≤2且x≠0 C．x＜2 D．x＞2且x≠0 【答案】B 【知识点】求一元一次不等式的解集、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】根据分式分母不为零、二次根式的被开方数非负性解答即可． 【详解】解：由题意得：2-x≥0且x≠0， 解得：x≤2且x≠0， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式、二次根式、解一元一次不等式，熟练掌握分式和二次根式有意义的条件是解答的关键． 4．如图，是的直径，点，在上,若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆周角定理 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握该知识点是解题的关键． 利用圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，可得到答案． 【详解】解：， ， 故选：B． 5．不透明的袋子中装有两个颜色分别为红、蓝的小球，除颜色外两个小球无其他差别从中随机摸出一个小球，记录其颜色，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其颜色，那么两次都摸到蓝色小球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可求得相应的概率． 【详解】解：树状图如下所示，    由上可得，一共有种等可能性，其中两次都摸到蓝色小球的可能性有种， 两次都摸到蓝色小球的概率为， 故选：． 6．一个直角三角形的两直角边长分别为，其面积为4，则与之间的关系用图象 表示大致为 （ ） A．B． C． D． 【答案】C 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】根据题意有：xy=4；根据反比例函数图象进行分析. 【详解】根据题意有：xy=4；故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x y实际意义x、y应大于0，其图象在第一象限； 故选C 【点睛】考核知识点：反比例函数的图象. 7．不等式的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式组，求得不等式组的解集，再进行判断选择. 【详解】解：对， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 故选A. 【点睛】本题考查了不等式组的解法和不等式的解集在数轴上的表示，属于基础题型，熟练掌握不等式组的解法是解此类题的关键. 8．若正多边形的内角和是，则该正多边形的一个外角是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正多边形的外角问题、正多边形的内角问题 【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，根据多边形的内角和公式求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是，依此可以求出多边形的一个外角． 【详解】解：∵正多边形的内角和是， ∴多边形的边数为， ∵多边形的外角和都是， ∴该正多边形的每个外角为． 故选：B． 9．抛物线y=2（x﹣2）2+5向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，此时抛物线的对称轴是（　　） A．x=2 B．x=﹣1 C．x=5 D．x=0 【答案】B 【知识点】二次函数图象的平移 【详解】∵将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得新抛物线的解析式为：y=2（x+1）2+3， ∴新抛物线的对称轴为直线：， 故选B． 【点睛】（1）抛物线的对称轴是直线：；（2）将抛物线向左（或右）平移m个单位长度，再向上（或向下）平移n个单位长度所得新抛物线的解析式为：，(即左右平移时：左加、右减；上下平移时：上加、下减)． 10．如图，矩形中，，，以A为圆心，2为半径作．若动点E在上，动点P在上，则的最小值是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【知识点】点与圆上一点的最值问题 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，点与圆上一点的最值问题，勾股定理等；作关于的对称点，以为圆心，2为半径作，连接交于，交于，由轴对称的性质得 ，此时取得最小值，，由勾股定理即可求解；能由对称的性质及圆外一点到圆上一点距离最小值的典型解法找出取得最小值的条件是解题的关键． 【详解】解：如图，作关于的对称点，以为圆心，2为半径作，连接交于，交于， ， 此时取得最小值， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 取得最小值为， 故选：A． 二、填空题：（每小题3分，共15分.） 11．保鲜室的温度零上记作，冷藏室的温度零下，记作 ． 【答案】 【知识点】相反意义的量 【分析】根据零上和零下是具有相反意义的量，可直接得结论． 【详解】解：∵零上记作， ∴零下记作：． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了正数和负数．理解具有相反意义的量是解决本题的关键． 12．已知，，计算的值为 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】将已知式子代入代数式中求解即可． 【详解】 将，代入中，可得 原式 故答案为：． 【点睛】本题考查了代数式的计算问题，掌握代入法是解题的关键． 13．在平行四边形中，若，则的度数是 ． 【答案】/100度 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行四边形对角相等、对边平行．根据平行四边形的对角相等求出，进而求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧．如图，若七巧板中标有3的平行四边形的面积，则图中标有5的正方形的面积的值为 ． 【答案】2 【知识点】用七巧板拼图形 【分析】本题考查了七巧板拼接图形，根据，，结合题意，即可求解． 【详解】解：设标有4和6的三角形面积分别为， 根据题意可得，又， ∴， 故答案为：． 15．如图，在菱形中，点为边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，交于点，连接，交于点，已知，，，则= ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、由平行截线求相关线段的长或比值、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解 【分析】过点作交、的延长线于点，在上截取，连接，由四边形是菱形，则，，再由旋转可得，，从而证明是等边三角形，然后由等边三角形的性质可得∴，，从而，最后由平行线分线段成比例即可求解． 【详解】解：过点作交、的延长线于点，在上截取，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，， 由旋转可得，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，平行线分线段成比例，菱形的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题：（本大题共8个小题，共75分.） 16．（1）计算：． （2）化简． 【答案】（1）2    （2） 【知识点】分式加减乘除混合运算、实数的混合运算 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算： （1）去绝对值，化简二次根式，计算零指数幂，再进行加减运算即可得到结果； （2）前项利用平方差公式分解因式，利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后即可得到结果. 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 17．如图，在中，． (1)用尺规作图：作的平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，于，若，，求的长度． 【答案】(1)见详解 (2)的长度为 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查尺规作图——角平分线，勾股定理等，熟练掌握尺规作图、勾股定理、角平分线的性质是解决问题的关键．（1）根据角平分线的尺规作图方法直接作图即可得到答案；（2）根据角平分线的性质可得，设，则，再根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2） 是的角平分线， ， 又，， ， 在中，，，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴的长度为． 18．某校为满足学生课外活动的需求，准备开设五类运动项目，分别为A：篮球，B：足球，C：乒乓球，D：羽毛球，E：跳绳．为了解学生的报名情况，现随机抽取八年级部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请根据以上图文信息回答下列问题： (1)请求出项目C的人数并将条形统计图补充完整； (2)在此扇形统计图中，项目D所对应的扇形圆心角的大小为____________； (3)若该校共有1500名学生，请你估计全校报篮球的学生人数． 【答案】(1)25人，图形见解析 (2) (3)300人 【知识点】求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关联、由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】本题考查扇形统计图和条形统计图： （1）根据E组人数及其所占总体的百分比求出总体人数；再求C组人数，从而根据人数补全条形图； （2）用D组人数占总人数的百分比求出D组圆心角占360度的百分比，从而求出D对应的圆心角度数； （3）用1500乘以报篮球的学生人数占总人数的百分比，即可求解． 【详解】（1）解：调查的总人数为（人）， C组的人数为：（人）， 补全条形图如图所示： （2）解：项目D所对应的扇形圆心角的大小为； 故答案为： （3）解：全校报篮球的学生人数为人． 19．为保护环境，我县公交公司计划购买甲型和乙型两种环保节能公交车共辆，若购买甲型公交车辆，乙型公交车辆，共需万元；若购买甲型公交车辆，乙型公交车辆，共需万元． (1)求购买甲型和乙型公交车每辆各需多少万元？ (2)预计在某线路上甲型和乙型公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次，若该公司购买甲型和乙型公交车的总费用不超过万元，且确保这辆公交车在该线路的年均载客总和不少于万人次，则该公司有哪几种购车方案？ (3)在（2）的条件下，哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少万元？ 【答案】(1)甲型公交车每辆万元，乙型公交车每辆万元 (2)方案一：购买甲型公交车辆，乙型公交车辆 方案二：购买甲型公交车辆，乙型公交车辆 方案三：购买甲型公交车辆，乙型公交车辆 (3)方案三总费用最少；最少总费用是万元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）设购买甲型公交车每辆万元，购买乙型公交车每辆万元，根据题意列二元一次方程组，解方程组即可． （2）设购买甲型公交车辆，则购买乙型公交车辆，根据“两车的总费用”和“年均载客总和”列不等式组，解不等式组，且解为正整数，即可得到方案． （3）设购车总费用为万元，根据题意列出购买两车的总费用，化简以后，根据一次函数中“”得到，当最大时，费用最少． 【详解】（1）设购买甲型公交车每辆万元，购买乙型公交车每辆万元， ， 解得． 答：购买甲型公交车每辆万元，购买乙型公交车每辆万元． （2）设购买甲型公交车辆，则购买乙型公交车辆， ， 解得． 为正整数， ，，， 方案一：购买甲型公交车辆，乙型公交车辆； 方案二：购买甲型公交车辆，乙型公交车辆； 方案三：购买甲型公交车辆，乙型公交车辆． （3）设购车总费用为万元，则： ， ， ， 随的增大而减小，当最大时，最小， 时， ． 答：方案三购买总费用最少，最少总费用是万元． 【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用以及一次函数中因变量与自变量之间的关系；注意理解题目，找准等量关系，列出方程组和不等式组是关键． 20．如图，四边形内接于，是的直径，，于点E，连结． (1)求证：平分； (2)若于点H，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】三角形角平分线的定义、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、已知圆内接四边形求角度、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】（1）如图，连结，由，可得，由圆内接四边形可得，进而结论得证； （2）由，可得，由，可得，证明，进而结论得证． 【详解】（1）证明，如图，连结， ， ， ， ， 平分； （2）证明： ， ， ，， ， ， ∴， ∵，，， ， ． 【点睛】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角、弦长相等，圆内接四边形的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质．熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角、弦长相等，圆内接四边形的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 21．如图，菱形中，与交于点O，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点F，连接，若，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、利用菱形的性质证明、证明四边形是矩形 【分析】（1）根据菱形的性质得到，，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据直角三角形的性质得到，得出，根据勾股定理即可得到答案． 【详解】（1）证明：四边形为菱形， ，， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形， 又， 四边形是矩形； （2）解：由（1）得：四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， 为中点， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键． 22．问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． 实践探究： （1）如图1，若，则的值为______； （2）如图2，当，时，求的值； 问题解决： （3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】勾股定理与折叠问题、含30度角的直角三角形、相似三角形的判定与性质综合、矩形与折叠问题 【分析】（1）根据折叠的性质可得，，从而可得，即可得结果； （2）利用“一线三等角”得出，则，，代入计算得，再利用勾股定理求出的长，从而得出答案； （3）过作于点，则易得，，，由对应边成比例可得，设，，则在中，由勾股定理可得，的关系，从而可求得结果． 【详解】解：（1）根据折叠的性质，得，， ， 四边形是矩形， ∴， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）将沿翻折，使点恰好落在边上点处． ，， 在矩形中，，， ，， ， ， ， ， ，，， ， 解得：或（不合题意，舍去）， ， ， ， ， ， ； （3）过作于点，如图， 平分，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 设，，则，，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 即， ， ． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键． 23．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的正半轴交于点． (1)求的值及抛物线的解析式． (2)如图①，若点为直线上方抛物线上一动点，当时，求点的坐标； (3)如图②，若是线段的上一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点、，连接．设点的横坐标为． ①当为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少； ②是否存在以，，为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)①当时，线段有最大值为4；②存在，或 【知识点】角度问题(二次函数综合)、求一次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）将点的坐标直接代入直线解析式可得出的值；再求出点的坐标，将，的坐标代入抛物线解析式，即可得出结论； （2）由（1）可得，则，设，可表达点的坐标，代入抛物线的解析式即可得出结论； （3）①由点，坐标可得出直线的解析式，由此可表达点，的坐标，进而表达的长度，结合二次函数的性质可得出结论； ②根据题意需要分两种情况，当时，当时，分别求出的值即可． 【详解】（1）直线与轴交于点， ， ， 直线的表达式为； 当时，， 点的坐标为， 将点的坐标为，点的坐标为，代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）如图，过点作轴交抛物线于点，过点作的垂线，垂足为， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 的坐标为， 将点的坐标代入解析式可得，， 解得或（舍去） 的坐标为； （3）①由（1）可知，直线的解析式为：； 点的横坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 设线段的长度为， 则 ， 当时，线段有最大值为4； ②存在，理由如下： 由图形可知， 若与相似，则需要分两种情况， 当时，由（2）可知，，此时； 当时，过点作轴交抛物线于点， 令， 解得（舍或， 即， 综上，当的值为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查的是待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质，解题的关键是第（3）问中需分两种情况讨论． 2 / 22 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（每题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．在下列4个数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 2．下列汽车标志中，是中心对称图形但不是轴对称图形的有（    ）个    A．2 B．3 C．4 D．5 3．在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A．x＞2 B．x≤2且x≠0 C．x＜2 D．x＞2且x≠0 4．如图，是的直径，点，在上,若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．不透明的袋子中装有两个颜色分别为红、蓝的小球，除颜色外两个小球无其他差别从中随机摸出一个小球，记录其颜色，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其颜色，那么两次都摸到蓝色小球的概率是（   ） A． B． C． D． 6．一个直角三角形的两直角边长分别为，其面积为4，则与之间的关系用图象 表示大致为 （ ） A．B． C． D． 7．不等式的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 8．若正多边形的内角和是，则该正多边形的一个外角是（　　） A． B． C． D． 9．抛物线y=2（x﹣2）2+5向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，此时抛物线的对称轴是（　　） A．x=2 B．x=﹣1 C．x=5 D．x=0 10．如图，矩形中，，，以A为圆心，2为半径作．若动点E在上，动点P在上，则的最小值是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 二、填空题：（每小题3分，共15分.） 11．保鲜室的温度零上记作，冷藏室的温度零下，记作 ． 13．在平行四边形中，若，则的度数是 ． 14．七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧．如图，若七巧板中标有3的平行四边形的面积，则图中标有5的正方形的面积的值为 ． 15．如图，在菱形中，点为边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，交于点，连接，交于点，已知，，，则= ． 三、解答题：（本大题共8个小题，共75分.） 16．（1）计算：． （2）化简． 17．如图，在中，． (1)用尺规作图：作的平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，于，若，，求的长度． 18．某校为满足学生课外活动的需求，准备开设五类运动项目，分别为A：篮球，B：足球，C：乒乓球，D：羽毛球，E：跳绳．为了解学生的报名情况，现随机抽取八年级部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请根据以上图文信息回答下列问题： (1)请求出项目C的人数并将条形统计图补充完整； (2)在此扇形统计图中，项目D所对应的扇形圆心角的大小为____________； (3)若该校共有1500名学生，请你估计全校报篮球的学生人数． 19．为保护环境，我县公交公司计划购买甲型和乙型两种环保节能公交车共辆，若购买甲型公交车辆，乙型公交车辆，共需万元；若购买甲型公交车辆，乙型公交车辆，共需万元． (1)求购买甲型和乙型公交车每辆各需多少万元？ (2)预计在某线路上甲型和乙型公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次，若该公司购买甲型和乙型公交车的总费用不超过万元，且确保这辆公交车在该线路的年均载客总和不少于万人次，则该公司有哪几种购车方案？ (3)在（2）的条件下，哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少万元？ 20．如图，四边形内接于，是的直径，，于点E，连结． (1)求证：平分； (2)若于点H，求证：． 21．如图，菱形中，与交于点O，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点F，连接，若，求长． 22．问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． 实践探究： （1）如图1，若，则的值为______； （2）如图2，当，时，求的值； 问题解决： （3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值． 23．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的正半轴交于点． (1)求的值及抛物线的解析式． (2)如图①，若点为直线上方抛物线上一动点，当时，求点的坐标； (3)如图②，若是线段的上一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点、，连接．设点的横坐标为． ①当为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少； ②是否存在以，，为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 2 / 22 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B B A C A B B A 11． 12． 13．/100度 14．2 15． 16．（1）解：原式......（2分） ．......（3分） （2）解：原式 ......（5分） ．......（7分） 17．（1）解：如图所示，即为所求； ......（2分） （2） 是的角平分线， ，......（3分） 又，， ，......（4分） 在中，，，， ， 即，......（5分） 在和中， ， ， ， ，......（6分） 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴的长度为．......（7分） 18．（1）解：调查的总人数为（人），......（1分） C组的人数为：（人），......（2分） 补全条形图如图所示： ......（3分） （2）解：项目D所对应的扇形圆心角的大小为；......（5分） 故答案为： （3）解：全校报篮球的学生人数为人．......（7分） 19．（1）设购买甲型公交车每辆万元，购买乙型公交车每辆万元，......（1分） ，......（2分） 解得．......（3分） 答：购买甲型公交车每辆万元，购买乙型公交车每辆万元． （2）设购买甲型公交车辆，则购买乙型公交车辆， ，......（4分） 解得． 为正整数， ，，，......（5分） 方案一：购买甲型公交车辆，乙型公交车辆； 方案二：购买甲型公交车辆，乙型公交车辆； 方案三：购买甲型公交车辆，乙型公交车辆．......（6分） （3）设购车总费用为万元，则： ，......（7分） ， ， 随的增大而减小，当最大时，最小，......（8分） 时， ．......（9分） 答：方案三购买总费用最少，最少总费用是万元. 20．（1）证明，如图，连结，......（1分） ， ，......（2分） ， ，......（3分） 平分；......（4分） （2）证明： ， ，......（5分） ，， ，......（6分） ， ∴，......（7分） ∵，，， ，......（8分） ．......（9分） 21．（1）证明：四边形为菱形， ，， ，......（1分） ， ，......（2分） 又， 四边形为平行四边形，......（3分） 又， 四边形是矩形；......（4分） （2）解：由（1）得：四边形是矩形， ，，......（5分） ，， ， ，......（6分） ， ， ， 为中点，......（7分） ， ，......（8分） ．......（9分） 22．；......（2分） （2）将沿翻折，使点恰好落在边上点处． ，，......（3分） 在矩形中，，， ，， ， ，......（4分） ， ，......（5分） ，，， ， 解得：或（不合题意，舍去）， ，......（6分） ， ， ， ，......（7分） ；......（8分） （3）过作于点，如图， 平分，，， ， ， ，......（9分） ， ，， ， ， ， ， ，......（10分） 设，，则，，， ， 在中，由勾股定理得：， 即，......（11分） 即， ，......（12分） ．......（13分） 23．（1）直线与轴交于点， ， ，......（1分） 直线的表达式为； 当时，， 点的坐标为， 将点的坐标为，点的坐标为，代入， 得：，......（2分） 解得：， 抛物线的解析式为；......（3分） （2）如图，过点作轴交抛物线于点，过点作的垂线，垂足为， 轴， ，......（4分） ， ， ，......（5分） ， ， ，......（6分） ， 设， 的坐标为， 将点的坐标代入解析式可得，，......（7分） 解得或（舍去） 的坐标为；......（8分） （3）①由（1）可知，直线的解析式为：； 点的横坐标为， 点的坐标为，点的坐标为，......（9分） 设线段的长度为， 则......（10分） ， 当时，线段有最大值为4；......（11分） ②存在，理由如下： 由图形可知， 若与相似，则需要分两种情况， 当时，由（2）可知，，此时； 当时，过点作轴交抛物线于点，......（12分） 令， 解得（舍或， 即，......（13分） 综上，当的值为或时，以，，为顶点的三角形与相似．......（14分） 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$