专题09 规律探索型【重难点培优：知识梳理+五大题型+压轴真题】-2024-2025学年八年级数学下册人教版

专题09 规律探索型重难点题型分类 【题型1：二次根式中的规律题】 【题型2：勾股定理中的规律题】 【题型3：平行四边形中的规律题】 【题型4：一次函数中的规律题】 【题型5：压轴真题】 二次根式中的规律题题型1 1．嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）． (2)观察、归纳，得出猜想： 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律： ①化简：______； ②若（a，b均为正整数），则的值为______． 2．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） (2)根据上述规律，解答问题： 设，求不超过的最大整数是多少？ 3．阅读材料已知下面一列等式： ；；； (1)请用含的等式表示你发现的规律___________________； (2)证明一下你写的等式成立； (3)利用等式计算：； (4)计算：． 4．（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果： ①；②；③；④__________；… （2）深入探究，观察下列等式： ①；②；③；… 根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容： __________． （3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算： ①； ②． 5．阅读下列解题过程： ＝＝-1； ＝＝-； ＝＝-＝2-； … 解答下列各题： （1）＝　　； （2）观察下面的解题过程，请直接写出式子＝　　． （3）利用这一规律计算：（+…+）×（+1）． 勾股定理中的规律题题型2 1．如图，正方形ABCD的边长是2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，以该等腰直角三角形的一条直角边DE为边向外作正方形，其面积标记为S2按照此规律继续作图，则S2021的值为（　　） A． B． C． D． 2．图甲是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如图乙中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，按此规律，在线段OA1，OA2，OA3，…，OA20中，长度为整数的线段有（　　）条． A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2024春•通川区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（﹣1，0），以OA1为直角边作等腰Rt△OA2A3，再以OA3为直角边作等腰Rt△OA3A4，…，按此规律进行下去，则点A2022的坐标为 　 　． 4．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题： 12+1＝2，S1，1＝3，S2，1＝4，S3 （1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律． （2）推算出OA10的长． （3）求出S12+S22+S32+…+S1002的值． 平行四边形中的规律题题型3 1．如图，正方形的边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，按照这样的规律，第2025个正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 第4题 第3题 第2题 第1题 2．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形的两边在坐标轴上，以它的对角线为边作正方形，再以正方形的对角线为边作正方形，以此类推，…，则正方形的边长是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，点O，，A，，B，，C，…都是平行四边形的顶点，点A，B，C，……在x轴正半轴上，，，，，，，，…．按照此规律依次排列，则第8个平行四边形的对称中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．如图：顺次连接矩形四边的中点得到四边形，再顺次连接四边形四边的中点得四边形，…，按此规律得到四边形．若矩形的面积为24，那么四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 一次函数中的规律题题型4 1．如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数的图象，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线l于点，以为边作正方形；过点作直线l的垂线，垂足为，交x轴于点，以为边作正方形；过点作x轴的垂线，垂足为，交直线l于点，以为边作正方形；…；按此规律操作下所得到的正方形的面积是（   ） A． B． C． D． 第1题 第2题 第3题 2．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象为直线，作点关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；再作关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；…则按此规律，所作出的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线与直线相交于点，直线与y轴交于点 A，一动点 C 从点 A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点A₂处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点，，…，…则当动点 C到达处时，运动的总路径的长为（      ） A． B． C． D． 压轴真题题型5 1．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是（   ）． A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 2．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，，，，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图由图的两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，，按此规律，则图中所有正方形的面积和为（　） A．200 B．175 C．150 D．125 3．（24-25九年级上·河南焦作·阶段练习）如图是一个按某种规律排列的数阵．若用有序实数对表示第行，从左到右第个数，如表示实数，则表示的实数是（   ） 第1行 第2行 第3行 第4行 …… …… A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·四川德阳·期末）将正整数的算术平方根按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对表示第排，从左到右第个数，如表示实数，则表示的实数是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级下·湖北十堰·期中）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第行从左至右第个数是（　　） A． B． C． D． 6．（2024秋•蒲县月考）先阅读材料，再回答问题： ； ； ； ； … （1）请根据以上规律写出第七个等式； （2）根据以上规律，若一个等式的最右边的值是55，请写出这个等式； （3）根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且n≥1） 7．（2024秋•渠县校级期中）细心观察图形，认真分析各式，解答问题： ，（S1是Rt△A1A2O的面积），，（S2是Rt△A2A3O的面积），，（S3是Rt△A3A4O的面积）， … （1）用含n（n为正整数）的式子表示Sn，则Sn＝ 　 　； （2）推算出OA2023＝ 　 　； （3）若，求S的值． 8．（2024秋•郸城县月考）观察下列各式及其验证过程： ， 验证：． ， 验证：． （1）按照上述等式及其验证过程的基本思想，猜想的变形结果并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数且n≥2）表示的等式并给出说明． 9．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）观察下列各式：， ， ， 请利用你所发现的规律． (1)写出第4个式子______； (2)写出第个式子______，并证明其正确性（用含的等式表示，为正整数）． (3)计算． 10．（22-23八年级下·江苏·期末）解答题 (1)证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）] (2)如图2，在中，对角线交点为分别是的中点，分别是的中点，…，以此类推．若的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和l； (3)借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？    11．（23-24七年级下·辽宁大连·期中）【问题情境】 小明在探究平面直角坐标系中图形的平移规律的综合实践课上，作了如下操作． 如图1，他在平面直角坐标系的坐标轴上选取了两点，，并用直尺过，两点画出直线，他发现直线上的任意一点沿直线移动时，其坐标变化是有规律的． 【发现规律】 （1）将点沿此直线移动到点时，横坐标增加了2个单位长度，纵坐标减少了__________个单位长度；将点沿此直线移动到点时，横坐标增加了1个单位长度，纵坐标减少了__________个单位长度；因此，他归纳：将直线上任意一点沿直线平移至点，若点的横坐标为，则点的纵坐标为__________（用含，的式子表示）； 【规律运用】 （2）如图2，三角形的一边与直线重合，三角形三个顶点坐标为，，，将三角形沿直线平移至三角形，其中点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，求点的坐标．（（1）中规律可直接使用） 【拓展探究】 （3）①小明在图2中画出三角形，并连接平移前后的三对对应顶点，他发现连接各组对应点的线段具有____________的位置关系． ②连接，，请直接写出三角形的面积为__________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 规律探索型重难点题型分类 【题型1：二次根式中的规律题】 【题型2：勾股定理中的规律题】 【题型3：平行四边形中的规律题】 【题型4：一次函数中的规律题】 【题型5：压轴真题】 二次根式中的规律题题型1 1．嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）． (2)观察、归纳，得出猜想： 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律： ①化简：______； ②若（a，b均为正整数），则的值为______． 【详解】（1）解：根据材料提示可得，特例 4 为：， 故答案为：； （2）解：由上述计算可得，如果为正整数，上述的运算规律为：， 故答案为：； （3）解：， 等式左边等式右边； （4）①解： ． ②， ， ， ． 2．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） (2)根据上述规律，解答问题： 设，求不超过的最大整数是多少？ 【详解】（1）解：① ； ② ； ③ ， 故． （2）解：① ； ② ； ③ ， ，…… ， 故． 故不超过的最大整数是2023． 3．阅读材料已知下面一列等式： ；；； (1)请用含的等式表示你发现的规律___________________； (2)证明一下你写的等式成立； (3)利用等式计算：； (4)计算：． 【详解】（1）解：根据题意，由规律可得： 它的一般性等式为； （2）证明： 原式成立； （3）解： ； （4）解： ． 4．（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果： ①；②；③；④__________；… （2）深入探究，观察下列等式： ①；②；③；… 根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容： __________． （3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算： ①； ②． 【详解】解：（1）10； （2）； （3）①原式 ； ②原式 ． 5．阅读下列解题过程： ＝＝-1； ＝＝-； ＝＝-＝2-； … 解答下列各题： （1）＝　　； （2）观察下面的解题过程，请直接写出式子＝　　． （3）利用这一规律计算：（+…+）×（+1）． 【详解】（1） ＝＝＝ 故答案为：； （2） 故答案为：； （3）（+…+）×（+1） ＝（+…+）×（+1） ＝（）×（+1） ＝ ＝2020． 勾股定理中的规律题题型2 1．如图，正方形ABCD的边长是2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，以该等腰直角三角形的一条直角边DE为边向外作正方形，其面积标记为S2按照此规律继续作图，则S2021的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵△CDE是等腰直角三角形， ∴DE＝CE，∠CED＝90°， ∴CD2＝DE2+CE2＝2DE2， ∴DECD， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ∴S1＝22＝4＝4×（）0， S2＝（2）2＝2＝4×（）1， S3＝（）2＝1＝4×（）2， S4＝（1）24×（）3， …， ∴Sn＝4×（）n﹣1， ∴S2021＝4×（）2020＝（）2018， 故选：A． 2．图甲是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如图乙中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，按此规律，在线段OA1，OA2，OA3，…，OA20中，长度为整数的线段有（　　）条． A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：∵OA1＝1， ∴由勾股定理可得OA2， OA3， …， ∴OAn， ∴在线段OA1，OA2，OA3，…，OA20中，完全平方数有1，4，9，16， ∴在线段OA1，OA2，OA3，…，OA20中，长度为整数的线段有4条， 故选：B． 3．（2024春•通川区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（﹣1，0），以OA1为直角边作等腰Rt△OA2A3，再以OA3为直角边作等腰Rt△OA3A4，…，按此规律进行下去，则点A2022的坐标为 　 　． 【解答】解：∵等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在x轴的负半轴上，且OA1＝A1A2＝1，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA3A4，…， ∴OA1＝1，OA2，OA3＝（）2，…，OA2020＝（）2019， ∵A1、A2、A3、…，每8个一循环，再回到x轴的负半轴， 2022＝8×252+6， ∴点A2022在第四象限， ∵OA2022＝（）2021， ∴点A2022的横坐标为：（）2021＝21010，纵坐标为﹣21010， 故答案为：（21010，﹣21010）． 4．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题： 12+1＝2，S1，1＝3，S2，1＝4，S3 （1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律． （2）推算出OA10的长． （3）求出S12+S22+S32+…+S1002的值． 【解答】解：（1）结合已知数据，可得：OAn2＝n；Sn； （2）∵OAn2＝n， ∴OA10． （3）SSSS ． 平行四边形中的规律题题型3 1．如图，正方形的边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，按照这样的规律，第2025个正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 第4题 第3题 第2题 第1题 【详解】解：根据题意，得第一个正方形的边长为； 第二个正方形的边长为； 第三个正方形的边长为； 第四个正方形的边长为； 由此得到第n个正方形的边长为； 故第2025个正方形的边长为， 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形的两边在坐标轴上，以它的对角线为边作正方形，再以正方形的对角线为边作正方形，以此类推，…，则正方形的边长是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：正方形边长为1， ， ∵正方形是以正方形的对角线为边， ， 同理可得， …， 由规律可以发现，每次正方形的边长变为原来的倍， ∴正方形的边长是， 故选B． 3．如图，在平面直角坐标系中，点O，，A，，B，，C，…都是平行四边形的顶点，点A，B，C，……在x轴正半轴上，，，，，，，，…．按照此规律依次排列，则第8个平行四边形的对称中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：如图，作轴于点M， ∵，， ∴， ∵， ∴点M、A重合， ∴， 则的中点即为平行四边形的对称中点，其坐标为， 同理可得，，，， 则的中点即为第2个平行四边形的对称中点，其坐标为， 同理可得，第3个平行四边形的对称中点的坐标为， ⋯， 同理可得，第n个平行四边形的对称中心的坐标为， ∴第8个平行四边形的对称中心的坐标是，即， 故选：C． 4．如图：顺次连接矩形四边的中点得到四边形，再顺次连接四边形四边的中点得四边形，…，按此规律得到四边形．若矩形的面积为24，那么四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴； 又∵各边中点是， ∴四边形的面积矩形的面积， 即四边形的面积矩形的面积； 同理，四边形的面积四边形的面积=矩形的面积； 以此类推，四边形的面积 矩形的面积． 又∵矩形的面积为24， ∴四边形的面积为． 故选：B． 一次函数中的规律题题型4 1．如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数的图象，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线l于点，以为边作正方形；过点作直线l的垂线，垂足为，交x轴于点，以为边作正方形；过点作x轴的垂线，垂足为，交直线l于点，以为边作正方形；…；按此规律操作下所得到的正方形的面积是（   ） A． B． C． D． 第1题 第2题 第3题 【详解】解：∵直线l为正比例函数的图象， ∴， ∴， ∴正方形的面积， 由题意得、是等腰直角三角形， 由勾股定理得， ， ∴， ∴正方形的面积， 同理，， ∴正方形的面积， … ， 由规律可知，正方形的面积， 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象为直线，作点关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；再作关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；…则按此规律，所作出的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：如图所示， 设与直线l交于点C， ∵， ∴， ∵函数的图象为直线， ∴， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴， ∵将向右平移2个单位得到点， ∴， 同理可得， ∴，， ......， 以此类推，可知当（k为正整数）时，，当时，， ∵， ∴，即． 故选：D． 3．如图，直线与直线相交于点，直线与y轴交于点 A，一动点 C 从点 A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点A₂处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点，，…，…则当动点 C到达处时，运动的总路径的长为（      ） A． B． C． D． 【详解】解：由直线可知， 当时，则， ∴， ∵平行于轴的直线上两点纵坐标相等，平行于轴的直线上两点横坐标相等，且， ∴， ∴， ∴， 根据题意，得出轴， 得出 把代入 得出 ∴， 则， ∴， ∴、为等腰直角三角形， 同理得，，，，， ∴、、都是等腰直角三角形， 由此可得， 所以，当动点到达处时，运动的总路径的长为， ∴则当动点 C到达处时，运动的总路径的长为 故选：D． 压轴真题题型5 1．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是（   ）． A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【详解】解：如图，    由题意得，正方形A的面积为1， ∵三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形， ∴由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和等于第1次“生长”出的两个正方形面积， ∴2次后形成的图形中所有的正方形的面积和， ∴ “生长”了n次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026， 故选：C． 2．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，，，，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图由图的两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，，按此规律，则图中所有正方形的面积和为（　） A．200 B．175 C．150 D．125 【详解】解：∵，，， ∴， 图中所有正方形面积和为：， 图中所有正方形面积和，， 图中所有正方形面积和， ⋯ ∴第个图形中所有正方形的面积和为， ∴图中所有正方形的面积和为：，故正确． 故选：A． 3．（24-25九年级上·河南焦作·阶段练习）如图是一个按某种规律排列的数阵．若用有序实数对表示第行，从左到右第个数，如表示实数，则表示的实数是（   ） 第1行 第2行 第3行 第4行 …… …… A． B． C． D． 【详解】解：由表格可知每行数的个数与行数相同，被开方数为正整数按顺序排列， ∴第八行第1个数为， ∴第八行第5个数为， ∴表示的实数是． 故选B． 4．（23-24七年级下·四川德阳·期末）将正整数的算术平方根按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对表示第排，从左到右第个数，如表示实数，则表示的实数是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：第一排最后一个数为， 第二排最后一个数为， 第三排最后一个数为， 第四排最后一个数为， ……， 以此类推，可知第n排的最后的数为 ∴第7排最后的数为：， ∴第8排第5个数为， ∴表示的实数是． 故选：C 5．（22-23八年级下·湖北十堰·期中）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第行从左至右第个数是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：由题意得，行数与该行数的个数相同，且所有数是从1开始的自然数的算术平方根，如果n是奇数，则符号为负，如果n是偶数则符号为正（第1个数除外）， 第1行到第9行共有：个数，即第9行最后一个数为，因此第11行从开始，则此行第5个数为； 故选：B． 6．（2024秋•蒲县月考）先阅读材料，再回答问题： ； ； ； ； … （1）请根据以上规律写出第七个等式； （2）根据以上规律，若一个等式的最右边的值是55，请写出这个等式； （3）根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且n≥1） 【详解】解：（1）∵， ， ， ， ……， ∴第七个等式为； （2）∵1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝55， ∴当一个等式的最右边的值是55，这个等式为：； （3）由题意可推导一般性规律为：第n个等式为：， ∴第n个等式为． 7．（2024秋•渠县校级期中）细心观察图形，认真分析各式，解答问题： ，（S1是Rt△A1A2O的面积），，（S2是Rt△A2A3O的面积），，（S3是Rt△A3A4O的面积）， … （1）用含n（n为正整数）的式子表示Sn，则Sn＝ 　 　； （2）推算出OA2023＝ 　 　； （3）若，求S的值． 【详解】解：（1）由各式可知，， 故答案为：； （2）∵， ∴， 故答案为：； （3）2S ， ∴． 8．（2024秋•郸城县月考）观察下列各式及其验证过程： ， 验证：． ， 验证：． （1）按照上述等式及其验证过程的基本思想，猜想的变形结果并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数且n≥2）表示的等式并给出说明． 【详解】解：（1）猜想， 验证：4； （2）， 验证：． 9．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）观察下列各式：， ， ， 请利用你所发现的规律． (1)写出第4个式子______； (2)写出第个式子______，并证明其正确性（用含的等式表示，为正整数）． (3)计算． 【详解】（1）解：根据题干中的规律，可得 第4个式子为：； （2）解：根据题干中的规律，可得 第个式子为：； 证明： 左边 右边， 等式成立； （3）解： ，，   原式 ． 10．（22-23八年级下·江苏·期末）解答题 (1)证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）] (2)如图2，在中，对角线交点为分别是的中点，分别是的中点，…，以此类推．若的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和l； (3)借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？    【详解】（1）解：已知：在中，D、E分别是边的中点， 求证：且， 证明：如图，延长至F，使， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形对应边相等），（全等三角形对应角相等）， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴且， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∴且（平行四边形的对边平行且相等）， ∵， ∴且．    （2）解：∵分别是的中点， ∴， ∴四边形的周长1， 同理可得，四边形的周长， 四边形A3B3C3D3的周长， …， ∴四边形的周长之和． （3）解：由图可知，（无限接近于1）， 所以（无限接近于2）． 11．（23-24七年级下·辽宁大连·期中）【问题情境】 小明在探究平面直角坐标系中图形的平移规律的综合实践课上，作了如下操作． 如图1，他在平面直角坐标系的坐标轴上选取了两点，，并用直尺过，两点画出直线，他发现直线上的任意一点沿直线移动时，其坐标变化是有规律的． 【发现规律】 （1）将点沿此直线移动到点时，横坐标增加了2个单位长度，纵坐标减少了__________个单位长度；将点沿此直线移动到点时，横坐标增加了1个单位长度，纵坐标减少了__________个单位长度；因此，他归纳：将直线上任意一点沿直线平移至点，若点的横坐标为，则点的纵坐标为__________（用含，的式子表示）； 【规律运用】 （2）如图2，三角形的一边与直线重合，三角形三个顶点坐标为，，，将三角形沿直线平移至三角形，其中点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，求点的坐标．（（1）中规律可直接使用） 【拓展探究】 （3）①小明在图2中画出三角形，并连接平移前后的三对对应顶点，他发现连接各组对应点的线段具有____________的位置关系． ②连接，，请直接写出三角形的面积为__________． 【详解】解：（1）∵，， ∴点向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点， ∴将点沿此直线移动到点时，横坐标增加了2个单位长度，纵坐标减少了4个单位长度， ∵，， ∴点向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点， ∴横坐标增加了个单位长度，纵坐标则减少了个单位长度， ∵点沿直线平移至点，若点的横坐标为， ∴点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点， ∴横坐标增加了个单位长度，纵坐标则减少了个单位长度， ∴点的横坐标为， ∴点， 故答案为：； （2）∵点的对应点是点， ∴由（1）中结论可得： ， ∴， ∵点的对应点是点， ∴， ∴， 联立，得： ， 解得：， ∴把代入， ∴， ∵，点的对应点是点， ∴点的横坐标为：，纵坐标为， ∴点； （3）对应点的连线平行或重合，理由如下： 如图， ∵将三角形沿直线平移至三角形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点， ∴根据平移的性质可知，， ， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理：， ∵点都在直线上， ∴与重合， ∴对应点的连线平行或重合， 故答案为：平行或重合； 由（2）可知，点，，交轴于点如图∶ 设直线的解析式为：， 把，，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令，则， ∴点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴三角形的面积为， 故答案为： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$