专题03 一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训（9大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题03一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训（9大题型+15道提优训练） 题型一 利用根与系数的关系直接求代数式的值 题型二 利用根与系数的关系间接求代数式的值 题型三 利用根与系数的关系降次求代数式的值 题型四 构造一元二次方程求代数式的值 题型五 由两根关系求方程字母系数 题型六 根与系数关系的新定义问题 题型七 一元二次方程根与系数关系多结论问题 题型八 一元二次方程根与系数的关系综合 题型九 一元二次方程根与系数的关系新定义 知识点01 韦达定理 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 【经典例题一 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 【例1】（24-25九年级上·河南周口·期末）若a，b是一元二次方程的两根，则的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值，一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程的解就是使方程成立的未知数的值和一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，再代入求值即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：B． 1．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知m和n是方程的两个根，则代数式的值是（   ） A．11 B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，若m和n是一元二次方程的两个根，则，，由此求解． 【详解】解： m和n是方程的两个根， ，， ， 故选D． 2．（24-25九年级上·甘肃白银·期末）实数，是一元二次方程的两个根，则多项式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系可得，然后代入求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系可得， ， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江西九江·期中）若m，n是方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程的解、根与系数的关系、代数式求值等知识点，掌握根与系数的关系成为解题的关键． 根据方程的解以及根与系数的关系可得，，代入计算即可求解． 【详解】解：由已知得，，则． 故答案为： 【经典例题二 利用根与系数的关系间接求代数式的值】 【例2】（24-25九年级上·湖北孝感·期中）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，是一元二次方程的两个实数根，得到，，化简代入计算即可． 本题考查了方程的根，根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 1．（2022·四川成都·模拟预测）已知α、β是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】2027 【分析】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 利用根与系数的关系求出与的值，再将代入方程得到，原式变形后将各自的值代入计算即可求出值． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， 则 ． 故答案为：2027． 2．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）已知方程的两个实数根为、，求下列代数式的值． ① ；     ② ；     ③ ；     ④ ． 【答案】 /0.5 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若为方程的两个根，则与系数的关系式：，． 根据一元二次方程根与系数的关系求出和的值，然后代入和变形后的式子计算求解． 【详解】解：方程的两个实数根为、， ∴，，， ∴，， ∴， ． 故答案为：①，②，③，④． 3．（2025九年级下·福建福州·学业考试）已知关于的方程有两个不相等的正实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式的应用，分式的加法运算．掌握相关知识是解题的关键． （1）由方程有两个不相等的正实数根，，根据根的判别式以及根与系数的关系可得到关于的不等式，则可求得的取值范围； （2）将原式整理得：，利用根与系数的关系可分别表示出与的值，再代入化简的式子可得：，即可求解． 【详解】（1）解：方程有两个不相等的正实数根，， ①，②，③． 由①得， 整理得：， 取任意实数均成立． 由②得：， 解得：． 由③：得， 解得：． 综上，； （2） ． ，， 原式 ， ， 当时，取得最大值，最大值为． 【经典例题三 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 【例3】（23-24·广东深圳·一模）已知、是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题题考查了一元二次方程根与系数的关系，单项式乘以多项式，由、是方程的两个实数根，则，，然后将原始变形并结合一元二次方程根与系数的关系分析计算即可，理解方程的解的概念，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 故选：． 1．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）设，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了根与系数的关系和方程的解等知识点，先利用一元二次方程解的定义得到,， 再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可得解，熟练掌握若是一元二次方程 的两根，则， 是解决此题的关键． 【详解】解：是方程 的实数根， , ,， 是方程的两个实数根， ， ， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·全国·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)当取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为和，求代数式的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及根与系数的关系， （1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求得两个不等式的公共部分即可； （2）确定，方程变为，利用根与系数的关系得到，，利用一元二次方程的定义得到，，则，，然后利用整体代入法计算的值； 解题的关键是掌握：①一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，；②式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且， ∴的取值范围是且； （2）∵取满足（1）中条件的最小整数， ∴， 此时方程变为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴ ， ∴代数式的值为． 3．（24-25九年级上·全国·期末）设α，β是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解等知识点，根据根与系数的关系可以求出，根据方程的解得出，将可化为，代入求值即可解答，利用两根之和与的计算与转化是解决问题的关键． 【详解】∵α，β是方程的两个实数根， ∴， ， ∴， ∴ ∴ ， 故答案为：2024． 【经典例题四 构造一元二次方程求代数式的值】 【例4】（24-25九年级上·山东潍坊·阶段练习）阅读材料：如果，是一元二次方程的两个实数根，则有，．创新应用：如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握一元二次方程的解以及根与系数的关系是解答本题的关键． 利用根的性质确定和满足的方程，再根据根与系数的关系求出和，将代数式化简代入求值即可解答． 【详解】解：，是两个不相等的实数，且满足，， ，是一元二次方程的两个实数根，， ，， ， ， ， ， ， 故选：B． 1．（24-25八年级上·上海·期中）若、是两个不相等的素数，且，那么的值为 ． 【答案】/ 【分析】由题意得、是方程的两个根，则，由、是两个不相等的素数确定出或，继而代入求解即可． 【详解】解：由题意得、是方程的两个根， ∴， ∵、是两个不相等的素数， ∴或， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，素数的概念，分式的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 2．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）已知，是方程的两根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握：若，是一元二次方程的两根时，，，是解答本题的关键．根据根与系数的关系和方程的解得到，，，，将原式化简得到，再代入求值即可． 【详解】解：，是方程的两根， ，，，， ， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读材料： 材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，有如下关系：，； 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：，是一元二次方程的两个实数根， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，，则 ； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值； (3)提升：已知实数，满足，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的变形计算、分式的混合运算等知识，掌握一元二次方程的两个实数根，和系数，，有如下关系为“，”是解题的关键； （1）利用根与系数的关系，即可得出的值； （2）利用根与系数的关系，可得出，，将其代入中，即可求解； （3）由实数、满足，，且，可得出，是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系，可得出，，进而求得的值，再将其代入中，即可求解； 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为，， ， 故答案为：； （2）解：一元二次方程的两根分别为，， ，， ； （3）解：实数，满足，，且， ，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， 即或 当时， ； 当时， ； 【经典例题五 由两根关系求方程字母系数】 【例5】（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）已知方程的两个实数根，满足，则实数的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数关系即韦达定理，两根之和是，两根之积是．同时考查代数式的变形．由根与系数关系可得：，；而与可用关系式联系起来． 【详解】解：方程的两个实数根为，； 则，． ， ， 即， ， ， 解得或． 故选：D． 1．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且满足，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．据根的情况可得，根据根与系数的关系可得，即可求出m的取值范围． 【详解】解：根据题意，， 解得， ∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 又∵， ∴ 解得， ∴实数m的取值范围是：． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)当m为何值时，方程有两个实数根； (2)若、是方程的两根，且，求m的值． 【答案】(1)时方程有两个实数根 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系． （1）根据根的判别式大于等于0列式求解即可； （2）由根与系数的关系得，，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， ∴时方程有两个实数根； （2）解：∵、是方程的两根， ∴，． ∵，    ∴， ∴，， ∵， ∴． 3．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值； (2)若关于的方程（是常数，且）是“邻根方程”，令，试求的最大值． 【答案】(1)或 (2)16 【分析】（1）先利用公式法解出一元二次方程的两个根，再根据两个根的差是1，即可得到结果； （2）根据“邻根方程”的定义和韦达定理即可列出与的关系式，再由可列出与的关系式，最后利用完全平方公式求出最大值． 本题考查一元二次方程的解，读懂题意、理解“邻根方程”，掌握利用完全平方式确定最大值、最小值等知识点是解决本题的关键． 【详解】（1）解：关于的方程是邻根方程， 解方程可得：，， ， ，， 或； （2）关于的方程（是常数）是邻根方程， 设两个根分别为， ， 由韦达定理：，， ， ， 此时，方程必定有解． ， 当时，有最大值，最大值为16． 答：的最大值为16． 【经典例题六 根与系数关系的新定义问题】 【例6】（24-25九年级上·湖南张家界·期中）阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：； 材料2：如果实数m，n满足，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m，n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 请根据上述材料解决下面问题： (1)若实数a，b满足：，则_____，______； (2)若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． （1）根据题意，得到实数a，b是方程的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到，进而得到，代入，求出的值，再根据根与系数的关系，进行求解即可． 【详解】（1）由题意得：a，b是的两个根， ， 故答案为：； （2）由题意，得：， 即， 解得； ， ， ， 当时，，解得：， ， ， ； 当时，，解得：， ， ， ； 综上：或． 1．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）、是一元二次方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差根方程”，根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)方程①；②中，是差根方程的是________________（填序号）； (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． 【答案】(1)② (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，正确的理解“差根方程”的定义是解题的关键． （1）据“差根方程”定义判断即可； （2）根据是“差根方程”，且，得到，从而得到； 【详解】（1）解：①设，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， 方程不是差根方程； ②设，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， 方程是差根方程； 故答案为：②； （2）解：， 因式分解得：， 解得：，， 关于的方程是“差根方程”， ，即； 2．（24-25九年级上·江苏南京·期中）定义：如果关于x的一元二次方程（a，b，c均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，是“邻根方程”的是______（填序号）． ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求n的值． (3)若一元二次方程（b，c均为常数）为“邻根方程”，直接写出b，c满足的数量关系． 【答案】(1)①③ (2)或 (3) 【分析】本题主要考查解一元二次方程、根与系数的关系等知识点，正确理解“邻根方程”的定义是，解答的关键． （1）分别求得①②③中两个方程的根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于m的方程求解即可； （3）设方程的两个根，根据 “邻根方程”的定义得到，利用根与系数关系可得到b、c的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得，， ∵， ∴方程是“邻根方程”； ②解方程得， ∵， ∴方程是“邻根方程”； ③解方程得，， ∵， ∴方程是“邻根方程”． 故答案为：①③． （2）解：解方程得：，， ∵该方程是“邻根方程”， ∴或，解得或． （3）解：∵一元二次方程（b，c均为常数）为“邻根方程”， ∴设方程的两个根，则，，，， 由得， ∴，即， ∴． 3．（24-25九年级上·广东深圳·期中）综合与探究 【定义】我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程” 【示例】如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”是________． 【探究】 （2）已知一元二次方程的两根为，，请求出它的“友好方程”的两个根． 【猜想】 （3）当时，方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________．（，） 【证明】 ∵方程的两根为，； 方程的两根为，①________；…… （4）请完成上述填空①，并补全证明过程．（备注：证明一组关系即可） 【拓展】 （5）已知关于x的方程的两根是，．请利用上述结论，直接写出关于x的方程的两根． 【答案】（1）；（2），；（3）互为倒数；（4）证明见解析；（5），． 【分析】本题考查了新定义下一元二次方程根与系数的关系，求根公式的应用，倒数的定义等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据“友好方程”的定义即可得出答案； （2）根据“友好方程”的定义得出方程的“友好方程”，求解即可； （3）（4）根据求根公式得出方程的两根为，及其“友好方程”的两根为，，再求得，，即可得出答案； （5）先根据“友好方程”的根的特点求出，即的两根为，，将待求方程变为，把看成一个整体即可求解． 【详解】解：（1）依题意可得： 一元二次方程的“友好方程”是， 故答案为：； （2）， ∴， 解得：，； （3）（4）∵时， ∴方程的两根为，， 方程的两根为，， ∴ ， 同理： ， ∴方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为互为倒数， 故答案为：互为倒数，； （5）∵关于x的方程的两根是，， ∴方程的“友好方程”，即的两根为，， 设 ∴，即可化为： ， ∴，， ∴或， 解得：，． 【经典例题七 一元二次方程根与系数关系多结论问题】 【例7】（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）对于一元二次方程，有下列说法： ①若方程有两实数根为1，，则分解因式得； ②若，则方程有两个不相等的实数根； ③若，则方程一定有一个根为； ④若方程有两个不等于0的实数根，则方程一定有两实数根．其中正确的有（　　）， A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，根与系数的关系，根据方程的根和十字相乘法因式分解，判断①，根的判别式判断②，方程的解判断③，根与系数的关系，判断④． 【详解】解：若方程有两实数根为1，，则分解因式得，故①错误； 若，则：，则方程有两个不相等的实数根；故②正确； 当时，， ∴若，则方程一定有一个根为；故③正确； ∵方程有两个不等于0的实数根， ∴， ∴， ∴方程为一元二次方程， ∵， ∴， ∴方程一定有两实数根．故④正确； 故选C． 1．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程必有一根为； ②若方程无实根，则方程有两个不相等的实根； ③若方程两根为、，且满足，则方程，必有实根，； ④若c是方程的一个根，则一定有； ⑤若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④⑤ D．①③⑤ 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质．按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案． 【详解】解：①当时，， 是方程的解，①的说法正确； ②若方程无实根，则，∴，对于方程，，则方程无实根；②的说法不正确． ③若方程两根为，且满足， ，， ，， 即可得出方程，必有实根，，③的说法正确； ④由是方程的一个根，得．当，则；当，则不一定等于0，那么④不一定正确； ⑤若是一元二次方程的根，则， ， ， ， ，⑤的说法正确； 综上，①③⑤的说法正确； 故选：D． 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，错误的是（　　） A．方程是倍根方程 B．若是倍根方程，则 C．若，则关于x的方程是倍根方程 D．若方程是倍根方程，且，则方程的一个根为 【答案】D 【分析】根据倍根方程的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、解方程得：， ∴， ∴方程是倍根方程，故①正确，不符合题意； B、∵ ∴， ∵方程是倍根方程， ∴或， ∴，或， ∴，故②正确，不符合题意； C、∵， 方程转化为：，解得：， ∴，故③正确，不符合题意； D、∵方程是倍根方程， ∴设， ∵， ∴，即：， ∴， ∴，故④错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查解一元二次方程，根与系数的关系，理解并掌握倍根方程的定义，是解题的关键． 3．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知一元二次方程中，下列说法： ①若，则； ②若方程两根为-1和2，则； ③若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ④若，则方程有两个不相等的实数根． 其中正确的有 ．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】根据一元二次方程的解的定义，判别式与根的个数的关系，根与系数的关系逐一进行判断即可． 【详解】解：①若，则1为方程的一个根，∴，故①错误； ②若方程两根为-1和2，则：，∴，②正确； ③若方程有两个不相等的实数根，则：，∵，∴，∴方程必有两个不相等的实数根，③正确； ④若，则：，∵，∴，④正确； 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查一元二次方程解的定义，根的判别式，根与系数的关系．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【经典例题八 一元二次方程根与系数的关系综合】 【例8】（24-25九年级上·江苏南京·期中）类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 学习再现： 设一元二次方程的两个根分别为和， 那么， 比较系数得，． 类比推广： （）设的三个根分别为，，，求的值． 问题解决： （）若的三个根分别为，，，则的值是______． 拓展提升： （）已知实数满足，且，求正数的最小值． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）根据学习材料得，据此即可求解； （）结合（）的结果，再根据即可求解； （）由题意可得，，进而得是方程的两根，由和可得，即得，进而可得，据此即可求解； 本题考查了一元二次方程根和系数的关键，一元二次方程根的判别式，多项式的乘法运算，掌握一元二次方程中根与系数的关系以及多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）根据学习材料提示得， ， ， ， ∴，， ∴的值为； （）∵的三个根分别为，，， 又∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； （）∵，， ∴，， ∵是方程的两根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴正数的最小值为． 1．（23-24九年级上·福建三明·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”． 例如，一元二次方程的两个根是和，则一元二次方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程__________（填“是”或“不是”）“倍根方程”；若一元二次方程是“倍根方程”，则______． (2)如果关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则之间满足什么样的关系？说明理由． 【答案】(1)不是， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查一元二次方程的求解，根与系数关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）解方程后，对比两根与 “倍根方程”的定义即可，再将和分别代入，联立两式可解值． （2）十字相乘法解出方程的两个根，再根据倍根方程的定义可得或，求解即可． （3）由根与系数关系得，，消掉，即可求出答案． 【详解】（1）解：解方程， 解得：， ∵和不是二倍关系， ∴不是“倍根方程”， ∵是“倍根方程”， ∴将和分别代入上式可得，，， 解得：， 故答案为：不是，． （2）解：原方程可化为， ∴， ∴或， ∴或． （3）解：之间满足的关系． 理由：设一个根为，则另一个根为，由根与系数关系得，， ∴，， ∴，即． ∴之间满足的关系． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)①已知一元二次方程的两根分别为，，则_______，_______． ②已知实数，满足：，（），则_______． (2)已知实数、、满足：，，且，求的取值范围． 【答案】(1)①1.5，；② (2) 【分析】本题考查根与系数的关系，根的判别式． （1）①根据根与系数的关系解答； ②根据题意，得到实数，是方程    的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，，是方程的解，进而得到，再根据根与系数的关系和根的判别式求出的范围，即可． 【详解】（1）解：①一元二次方程的两根分别为，， ，， 故答案为：1.5，； ②实数，满足：，， ，是方程的解， ，， ； 故答案为：； （2）解：实数、、满足：， ，是方程的解， ，， ， ，， 解得， ， ． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个正实数根，，且． (1)求k关于n的表达式； (2)若n为正整数，求k的取值范围． 【答案】(1) (2)，且（n为正整数） 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程： （1）根据根与系数的关系得到 ，，再由得到，，则，据此可得答案； （2）根据，结合n为正整数进行求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个正实数根，， ∴ ，， ∵， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵n为正整数， ∴， ∴， ∴，且（n为正整数）． 【经典例题九 一元二次方程根与系数的关系新定义】 【例9】（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． (1)若一元二次方程为，请直接写出该方程的衍生点M的坐标为 ． (2)若点M是关于x的一元二次方程为的衍生点，若点M在直线上，求m的值； (3)是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上．若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)m的值为 (3)存在，， 【分析】（1）解方程后，根据定义即可求点坐标； （2）求出方程的解为，，根据，得出，根据点M在直线上，求出，即可得出答案； （3）先求出直线经过定点，则方程的衍生点为，即可求，， 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴． （2）解：， 解得：，， ∵， ∴， ∴， ∵点M在直线上， ∴， 解得：， ∴m的值为； （3）解：存在，理由如下： ∵， ∴直线恒过定点，则方程的衍生点M为， ∴根据根与系数的关系有，， 即， ∴，． 【点睛】本题考查一次函数的图像及性质，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，点为该一元二次方程的衍生点的定义，解题的关键是理解新定义衍生点，熟练掌握一次函数的图像及性质，学会用分类讨论的思想解决问题． 1．（23-24九年级下·山东烟台·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ． (2)若是的倒方程的解，求出c的值； (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法和倒方程的定义是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根与系数的关系进一步解答即可； 【详解】（1）解：方程的倒方程是； （2）解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程得 ：， ∴ （3）由题意得：方程的倒方程为， ∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ， ∴ ∴ ； 2．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根，有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为，， ，，则． 材料3：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将、看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解： 一元二次方程的两个根为，，则______，______，______． （2）类比应用：已知实数、满足，，且，求的值． （3）思维拓展：已知，是一元二次方程的两个实数根．直接写出使的值为整数的实数的整数值． 【答案】（1），，；（2）；（3）实数的整数值为或或 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系，可得，从而得到，再由，即可求解； （3）由根的判别式求得，再利用根与系数的关系求得，得到，据此求解即可． 【详解】解：（1）一元二次方程的两个根为，， ，， ； 故答案为：，，； （2）由题知，和可看成方程的两个实数根， ，． ， ， ． 所以． 故的值为． （3）根据题意得且，解得， ，， ∴， ∴， 为整数，为整数， ， 解得， 又， 的整数值为或或． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系，根的判别式以及利用根与系数关系求代数式的值，根据代数式的结构特征恒等变形为已知代数式的形式是解决问题的关键． 3．（23-24九年级上·四川泸州·期中）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值． 【答案】(1)此方程为“限根方程”，理由见解析 (2)2 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式． （1）解该一元二次方程，得出，，再根据“限根方程”的定义判断即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，代入，即可求出，，再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可. 【详解】（1）解：此方程为“限根方程”，理由如下： ， 解得：，， ∵， ∴方程为“限根方程”； （2）由根与系数的关系，得，， ∵， ∴, ∴或； 当时，，， ∴, ∴符合题意； 当时，， ∴, ∴（不符合题意，舍去）， ∴k的值为2. 1．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）已知和是方程的两个解，则的值为（    ） A． B．2023 C． D．2021 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系的运用，由根与系数的关系可以求出，，然后变形为，再整体代入可以求出其值． 【详解】解：∵和是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：C． 2．（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知实数，满足，，且，求的值（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，解题的关键是掌握相关知识．将化为，得到实数，是方程的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系可得，，即可求解． 【详解】解：化为， ，且， 实数，是方程的两个根， ，， ， 故选：A． 3．（24-25九年级上·河北保定·期末）已知方程的两个实数根满足，则实数k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数关系即韦达定理，两根之和是，两根之积是．同时考查代数式的变形．由根与系数关系可得：，；而与可用关系式联系起来． 【详解】解：方程的两个实数根为，； 则，． ，， ， ， 即， ， ， 解得或． 故选：A． 4．（24-25九年级上·四川眉山·期末）关于的方程有两个实数根为，，若，则为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合，求出的值是解题的关键．由根与系数的关系可得出，，结合可求出的可能值，根据方程的系数结合根的判别式可确定的值，此题得解． 【详解】解：关于的方程有两个实数根为，， ，， ，即， ， 解得：， 关于的方程有两个实数根， ， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ． 故选：D． 5．（24-25九年级上·北京朝阳·期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，，关于x的方程的根为，给出下面三个结论： ①； ②； ③． 上述结论中，所有可能正确的结论的序号是（    ） A．① B．② C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、根的判别式及根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系表示出，，再用b，c表示出，进而得出，，之间的关系，据此进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：因为关于x的方程有两个不相等的实数根，， 所以，， 则， 又因为关于x的方程的根为， 所以， 则， 所以，， 则当时，，， 所以； 当时，，， 所以； 当，且时，，， 所以； 当，且时，，， 所以． 综上所述，所有可能正确的结论是①；③． 故选：C 6．（24-25九年级下·安徽阜阳·开学考试）已知关于的方程的两根分别为和，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，利用根与系数的关系求出两根之和，再由可求出，进而得出，最后用k表示出两根之积即可解决问题． 【详解】解：∵关于x的方程的两根分别为和， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）已知、是方程的两根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系、求代数式的值，由题意可得，，，再将所求式子变形，代入计算即可得解． 【详解】解：∵、是方程的两根， ∴，，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·河南周口·期中）关于x的方程的两个根，满足，且，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．根据根与系数的关系得到，，进而根据已知条件式推出，，则可得方程，解方程后根据验证结果即可． 【详解】解：∵，是关于x的方程的两个根， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 9．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）已知方程的两个实数根为、，求下列代数式的值． ① ；     ② ；     ③ ；     ④ ． 【答案】 /0.5 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若为方程的两个根，则与系数的关系式：，． 根据一元二次方程根与系数的关系求出和的值，然后代入和变形后的式子计算求解． 【详解】解：方程的两个实数根为、， ∴，，， ∴，， ∴， ． 故答案为：①，②，③，④． 10．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）对于一切不小于2的自然数，关于的一元二次方程的两个根记作，（），则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，由根与系数的关系得，，所以，则，然后代入即可求解． 【详解】解：由根与系数的关系得，， 所以， 则， ． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·江西上饶·期末）若方程的两根为，，不解方程，求下列代数式的值． (1)______，______； (2)； (3)． 【答案】(1)2，； (2) (3) 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数关系即可得到答案； （2）把原式变形为，把（1）中的结果整体代入即可得到答案； （3）利用一元二次方程的定义得到，再利用整体代入即可求出答案． 【详解】（1）解：∵方程的两根为，， ∴，， 故答案为：2，； （2） （3）∵方程的两根为，， ∴，则， ∴ 12．（辽宁省丹东市第十四中学等协作校2024-2025学年九年级下学期开学数学试题）如果关于的一元二次方程有两个实数根和，那么．据此解决下列问题： (1)如果和方程的两根，则 ； ； (2)如果和是关于的一元二次方程的两根，且，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． （1）根据根与系数的关系：，来解题； （2）首先根据根的判别式求得的取值范围，然后由根与系数的关系结合已知得出关于的一元二次方程，解方程求的值． 【详解】（1）解：、是方程的两个实数根， ∴，， ∴ 故答案为：，； （2）解：关于的方程有两个实数根， ， 解得：或， 、是关于的方程的两个实数根， ，， 又∵， ，即， 解得，或， 又∵或， ∴的值是． 13．（24-25九年级上·河北沧州·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根和． (1)求k 的取值范围； (2)试说明的值与k无关． 【答案】(1)且 (2)详见解析 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系，一元二次方程的根与系数的关系．解题关键是熟练掌握（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①△方程有两个不相等的实数根；②△方程有两个相等的实数根；③△方程没有实数根．（2）一元二次方程的根与系数的关系为：，． （1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于的不等式，求得的取值范围． （2）利用根与系数的关系，根据，再把，代入得到的值是一个常用数，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 ∴ 解得  ， 又， ∴且． （2）证明：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根和． ∴， 即的值与k无关． 14．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请根据上述结论解决问题：方程①；方程②；方程③．这几个方程中，是倍根方程的是 ；（填序号即可） (2)一般规律探究：我们知道，若一元二次方程的两根为，，则有，，请你根据以上关系探究：若一元二次方程是“倍根方程”，则，，满足什么数量关系？ (3)若是倍根方程，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程等知识点，读懂题意，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． （1）先解方程，然后根据“倍根方程”的定义进行判断即可； （2）由于一元二次方程是“倍根方程”，因而可设方程的两根为和，由一元二次方程的根与系数的关系可得，，进而可得，，于是可得，化简即可得出，，之间的数量关系； （3）求解方程可得，，由“是倍根方程”可得或，然后分和两种情况即可求出的值． 【详解】（1）解：方程①， 解得：，， ， 方程①是倍根方程； 方程②， 解得：，， 且， 方程②不是倍根方程； 方程③， 解得：，， ， 方程③是倍根方程； 故答案为：； （2）解：一元二次方程是“倍根方程”， 可设方程的两根为和， 则，， ，， ， 整理，得：， 答：，，之间的数量关系是； （3）解：， 解得：，， 是倍根方程， 或， 当时，，即， 当时，，即， 的值为或． 15．（24-25九年级上·河南焦作·期末）在数学史上，人们发现方程的根并不是孤立的存在，它们与方程的系数之间存在深刻的联系．数学家们对此进行很多探索，并做出了巨大的贡献．某数学兴趣小组在学习一元二次方程之后也尝试做了研究：如果一个一元二次方程的两根分别是另一个一元二次方程两根的倍或，我们把这两个一元二次方程称为倍根一元二次方程，称为根倍数．请解决下列问题： (1)一元二次方程和______（“是”或“不是”）倍根一元二次方程，______． (2)请求出方程的一个倍根一元二次方程，根倍数为3． (3)关于的一元二次方程的倍根方程（设根倍数为）是______． 【答案】(1)是，2或 (2)或 (3)或 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，一元二次方程的解法，一元二次方程根与系数的关系； （1）分别解方程与，再结合新定义判断即可； （2）由方程的根为和，结合根倍数为3，可得倍根方程的两个根分别为：和或和，再进一步求解即可； （3）设一元二次方程两个根分别为，可得，一元二次方程的倍根方程的两个根分别为：或；再进一步求解即可； 【详解】（1）解：，即， 解得：和， ，即， 解得：和， 故一元二次方程和是“倍根方程”，且或． （2）解：，即， 解得：和， ∵根倍数为3， ∴倍根方程的两个根分别为：和或和， 当两个根为和时， ∴方程为， 当两个根为和时， ∴方程为，即； （3）解：设一元二次方程两个根分别为， ∴， ∴一元二次方程的倍根方程的两个根分别为：或； 当倍根方程的两个根分别为：时， ∴方程为， ∴， ∴方程为：， 当倍根方程的两个根分别为：时， ∴方程为， ∴， ∴方程为：， 综上：一元二次方程的倍根方程为或. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训（9大题型+15道提优训练） 题型一 利用根与系数的关系直接求代数式的值 题型二 利用根与系数的关系间接求代数式的值 题型三 利用根与系数的关系降次求代数式的值 题型四 构造一元二次方程求代数式的值 题型五 由两根关系求方程字母系数 题型六 根与系数关系的新定义问题 题型七 一元二次方程根与系数关系多结论问题 题型八 一元二次方程根与系数的关系综合 题型九 一元二次方程根与系数的关系新定义 知识点01 韦达定理 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 【经典例题一 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 【例1】（24-25九年级上·河南周口·期末）若a，b是一元二次方程的两根，则的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 1．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知m和n是方程的两个根，则代数式的值是（   ） A．11 B． C． D．1 2．（24-25九年级上·甘肃白银·期末）实数，是一元二次方程的两个根，则多项式的值为 ． 3．（24-25九年级上·江西九江·期中）若m，n是方程的解，则的值为 ． 【经典例题二 利用根与系数的关系间接求代数式的值】 【例2】（24-25九年级上·湖北孝感·期中）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（　　） A． B． C． D． 1．（2022·四川成都·模拟预测）已知α、β是一元二次方程的两个根，则 ． 2．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）已知方程的两个实数根为、，求下列代数式的值． ① ；     ② ；     ③ ；     ④ ． 3．（2025九年级下·福建福州·学业考试）已知关于的方程有两个不相等的正实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)求的最大值． 【经典例题三 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 【例3】（23-24·广东深圳·一模）已知、是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）设，是方程的两个实数根，则的值为 ． 2．（24-25九年级上·全国·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)当取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为和，求代数式的值． 3．（24-25九年级上·全国·期末）设α，β是方程的两个实数根，则的值为 ． 【经典例题四 构造一元二次方程求代数式的值】 【例4】（24-25九年级上·山东潍坊·阶段练习）阅读材料：如果，是一元二次方程的两个实数根，则有，．创新应用：如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·上海·期中）若、是两个不相等的素数，且，那么的值为 ． 2．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）已知，是方程的两根，则 ． 3．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读材料： 材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，有如下关系：，； 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：，是一元二次方程的两个实数根， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，，则 ； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值； (3)提升：已知实数，满足，且，求的值． 【经典例题五 由两根关系求方程字母系数】 【例5】（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）已知方程的两个实数根，满足，则实数的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 1．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且满足，则的取值范围是 ． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)当m为何值时，方程有两个实数根； (2)若、是方程的两根，且，求m的值． 3．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值； (2)若关于的方程（是常数，且）是“邻根方程”，令，试求的最大值． 【经典例题六 根与系数关系的新定义问题】 【例6】（24-25九年级上·湖南张家界·期中）阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：； 材料2：如果实数m，n满足，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m，n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 请根据上述材料解决下面问题： (1)若实数a，b满足：，则_____，______； (2)若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值． 1．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）、是一元二次方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差根方程”，根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)方程①；②中，是差根方程的是________________（填序号）； (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． 2．（24-25九年级上·江苏南京·期中）定义：如果关于x的一元二次方程（a，b，c均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，是“邻根方程”的是______（填序号）． ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求n的值． (3)若一元二次方程（b，c均为常数）为“邻根方程”，直接写出b，c满足的数量关系． 3．（24-25九年级上·广东深圳·期中）综合与探究 【定义】我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程” 【示例】如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”是________． 【探究】 （2）已知一元二次方程的两根为，，请求出它的“友好方程”的两个根． 【猜想】 （3）当时，方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________．（，） 【证明】 ∵方程的两根为，； 方程的两根为，①________；…… （4）请完成上述填空①，并补全证明过程．（备注：证明一组关系即可） 【拓展】 （5）已知关于x的方程的两根是，．请利用上述结论，直接写出关于x的方程的两根． 【经典例题七 一元二次方程根与系数关系多结论问题】 【例7】（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）对于一元二次方程，有下列说法： ①若方程有两实数根为1，，则分解因式得； ②若，则方程有两个不相等的实数根； ③若，则方程一定有一个根为； ④若方程有两个不等于0的实数根，则方程一定有两实数根．其中正确的有（　　）， A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 1．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程必有一根为； ②若方程无实根，则方程有两个不相等的实根； ③若方程两根为、，且满足，则方程，必有实根，； ④若c是方程的一个根，则一定有； ⑤若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④⑤ D．①③⑤ 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，错误的是（　　） A．方程是倍根方程 B．若是倍根方程，则 C．若，则关于x的方程是倍根方程 D．若方程是倍根方程，且，则方程的一个根为 3．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知一元二次方程中，下列说法： ①若，则； ②若方程两根为-1和2，则； ③若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ④若，则方程有两个不相等的实数根． 其中正确的有 ．（填序号） 【经典例题八 一元二次方程根与系数的关系综合】 【例8】（24-25九年级上·江苏南京·期中）类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 学习再现： 设一元二次方程的两个根分别为和， 那么， 比较系数得，． 类比推广： （）设的三个根分别为，，，求的值． 问题解决： （）若的三个根分别为，，，则的值是______． 拓展提升： （）已知实数满足，且，求正数的最小值． 1．（23-24九年级上·福建三明·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”． 例如，一元二次方程的两个根是和，则一元二次方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程__________（填“是”或“不是”）“倍根方程”；若一元二次方程是“倍根方程”，则______． (2)如果关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则之间满足什么样的关系？说明理由． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)①已知一元二次方程的两根分别为，，则_______，_______． ②已知实数，满足：，（），则_______． (2)已知实数、、满足：，，且，求的取值范围． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个正实数根，，且． (1)求k关于n的表达式； (2)若n为正整数，求k的取值范围． 【经典例题九 一元二次方程根与系数的关系新定义】 【例9】（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． (1)若一元二次方程为，请直接写出该方程的衍生点M的坐标为 ． (2)若点M是关于x的一元二次方程为的衍生点，若点M在直线上，求m的值； (3)是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上．若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 1．（23-24九年级下·山东烟台·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ． (2)若是的倒方程的解，求出c的值； (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 2．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根，有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为，， ，，则． 材料3：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将、看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解： 一元二次方程的两个根为，，则______，______，______． （2）类比应用：已知实数、满足，，且，求的值． （3）思维拓展：已知，是一元二次方程的两个实数根．直接写出使的值为整数的实数的整数值． 3．（23-24九年级上·四川泸州·期中）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值． 1．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）已知和是方程的两个解，则的值为（    ） A． B．2023 C． D．2021 2．（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知实数，满足，，且，求的值（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河北保定·期末）已知方程的两个实数根满足，则实数k的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·四川眉山·期末）关于的方程有两个实数根为，，若，则为（   ） A．或 B．或 C． D． 5．（24-25九年级上·北京朝阳·期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，，关于x的方程的根为，给出下面三个结论： ①； ②； ③． 上述结论中，所有可能正确的结论的序号是（    ） A．① B．② C．①③ D．①②③ 6．（24-25九年级下·安徽阜阳·开学考试）已知关于的方程的两根分别为和，若，则的值为 ． 7．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）已知、是方程的两根，则代数式的值是 ． 8．（24-25九年级上·河南周口·期中）关于x的方程的两个根，满足，且，则m的值为 ． 9．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）已知方程的两个实数根为、，求下列代数式的值． ① ；     ② ；     ③ ；     ④ ． 10．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）对于一切不小于2的自然数，关于的一元二次方程的两个根记作，（），则 ． 11．（24-25九年级上·江西上饶·期末）若方程的两根为，，不解方程，求下列代数式的值． (1)______，______； (2)； (3)． 12．（辽宁省丹东市第十四中学等协作校2024-2025学年九年级下学期开学数学试题）如果关于的一元二次方程有两个实数根和，那么．据此解决下列问题： (1)如果和方程的两根，则 ； ； (2)如果和是关于的一元二次方程的两根，且，求的值． 13．（24-25九年级上·河北沧州·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根和． (1)求k 的取值范围； (2)试说明的值与k无关． 14．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请根据上述结论解决问题：方程①；方程②；方程③．这几个方程中，是倍根方程的是 ；（填序号即可） (2)一般规律探究：我们知道，若一元二次方程的两根为，，则有，，请你根据以上关系探究：若一元二次方程是“倍根方程”，则，，满足什么数量关系？ (3)若是倍根方程，求的值． 15．（24-25九年级上·河南焦作·期末）在数学史上，人们发现方程的根并不是孤立的存在，它们与方程的系数之间存在深刻的联系．数学家们对此进行很多探索，并做出了巨大的贡献．某数学兴趣小组在学习一元二次方程之后也尝试做了研究：如果一个一元二次方程的两根分别是另一个一元二次方程两根的倍或，我们把这两个一元二次方程称为倍根一元二次方程，称为根倍数．请解决下列问题： (1)一元二次方程和______（“是”或“不是”）倍根一元二次方程，______． (2)请求出方程的一个倍根一元二次方程，根倍数为3． (3)关于的一元二次方程的倍根方程（设根倍数为）是______． 学科网（北京）股份有限公司 $$